Para uso de la universidad

1. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
C´alculo Diferencial L´ımites

2. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımites
Departamento de F´ısica, Matem´aticas y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana
18 de julio de 2017
C´alculo Diferencial L´ımites

3. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
El concepto de l´ımite sirve como fundamento a nociones matem´aticas
como la continuidad, la derivada y la integral. Por tanto, es pertinente
comenzar su estudio que dar´a lugar a la idea central del c´alculo diferencial,
la derivada.
C´alculo Diferencial L´ımites

4. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
¿Qu´e es un l´ımite?
Definici´on
Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de
x = a, excepto posiblemente en a. Decimos que el l´ımite de
f(x) cuando x se aproxima a x = a es el n´umero L y
escribimos
l´ım
x→a
f(x) = L,
si, para todo > 0, existe un n´umero δ > 0 correspondiente
tal que para toda x,
0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| <
Ejemplo
¿Cu´al es el comportamiento de la funci´on
f(x) =
x2
− 4
x − 2
cerca de x = 2?
C´alculo Diferencial L´ımites

5. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Para hacerse a una idea del comportamiento de las im´agenes de la funci´on
se usar´an los valores de x que esten “lo suficientente cerca a 2”, sin
importar que ocurre en x = 2.
x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1
f(x) 3.9 3.99 3.998 4.001 4.01 4.1
La tabla anterior se observa que, a medida que x es un n´umero cerca a 2,
f(x) se aproxima a 4.
x
−3 −2 −1 1 2 3
y
−2
−1
1
2
3
4 f(x)
C´alculo Diferencial L´ımites

6. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Teorema: Leyes de los l´ımites
Si L y M, a y k son n´umeros reales y
l´ım
x→a
f(x) = L y l´ım
x→a
g(x) = M,
entonces:
1 Regla de suma: l´ım
x→a
(f(x) + g(x)) = l´ım
x→a
f(x) + l´ım
x→a
g(x) = L + M
2 Regla de resta: l´ım
x→a
(f(x) − g(x)) = l´ım
x→a
f(x) − l´ım
x→a
g(x) = L − M
3 Regla del m´ultiplo constante: l´ım
x→a
(kf(x)) = k l´ım
x→a
f(x) = kL
4 Regla del producto: l´ım
x→a
(f(x)g(x)) = l´ım
x→a
f(x) l´ım
x→a
g(x) = LM
5 Regla del cociente: l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
l´ım
x→a
f(x)
l´ım
x→a
g(x)
=
L
M
, M = 0
6 Regla de la potencia: l´ım
x→a
[f(x)]n
= l´ım
x→a
f(x)
n
= Ln
, n ∈ Z+
7 Regla de la ra´ız: l´ım
x→a
n
f(x) = n l´ım
x→a
f(x) =
n
√
L, n ∈ Z+
. (Si n es
par, se debe tener que l´ım
x→a
f(x) > 0).
C´alculo Diferencial L´ımites

7. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Ejemplo
Calcule:
l´ım
x→2
x3 + 2x + 3
x2 + 5
.
Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene:
l´ım
x→2
x3 + 2x + 3
x2 + 5
= l´ım
x→2
x3 + 2x + 3
x2 + 5
=
l´ım
x→2
(x3
+ 2x + 3)
l´ım
x→2
(x2
+ 5)
=
l´ım
x→2
x3
+ l´ım
x→2
2x + l´ım
x→2
3
l´ım
x→2
x2
+ l´ım
x→2
5
C´alculo Diferencial L´ımites

8. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
l´ım
x→2
x
3
+ 2 l´ım
x→2
x + l´ım
x→2
3
l´ım
x→2
x
2
+ l´ım
x→2
5
=
23 + 2 · 2 + 3
22 + 5
=
8 + 4 + 3
9
=
15
9
=
5
3
C´alculo Diferencial L´ımites

9. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
L´ımites laterales
Definici´on: L´ımite lateral a derecha
Sea f una funci´on definida en cada n´umero del intervalo
abierto (a, c). Entoces, el l´ımite de f(x), cuando x tiende a
a por derecha, es L, lo que se denota por
l´ım
x→a+
f(x) = L
Si 0 < x − a < δ entonces |f(x) − L| < .
“Es decir, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a
L, tanto como se quiera, tomando x suficientemente
cercanos a a, pero menores que a.”
De forma similar se puede definir el l´ımite lateral a izquierda.
C´alculo Diferencial L´ımites

10. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Ejemplo
En la gr´afica de la siguiente funci´on se observa que los valores de f(x)
tienden a 1 conforme x tiende a 0 por la izquierda, pero se acercan a -1 a
medida que x tiene a 0 por derecha. Por lo tanto,
l´ım
x→0−
f(x) = 1 y l´ım
x→0+
f(x) = −1
x
−3 −2 −1 1 2 3
y
−1
1
f(x)
t
Teorema
Una funci´on f(x) tiene un l´ımite cuando x tienda a a si y s´olo si tiene
l´ımites por derecha y por izquierda, y adem´as si estos l´ımites laterales son
iguales:
l´ım
x→a
f(x) = L ⇔ l´ım
x→a−
f(x) = L y l´ım
x→a+
f(x) = L
C´alculo Diferencial L´ımites

11. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Ejemplo
Considere la funci´on f(x) dada por
f(x) =



1 si x < 0
0 si x = 0
−1 si x > 0
Como l´ım
x→0−
f(x) = 1 = l´ım
x→0+
f(x) = −1 y en virtud del teorema anterior
se puede decir que l´ım
x→0
f(x) No existe.
Ejemplo
Calcule:
l´ım
x→7
x − 7
x2 − 49
.
Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene:
l´ım
x→7
x − 7
x2 − 49
= l´ım
x→7
x − 7
(x − 7)(x + 7)
C´alculo Diferencial L´ımites

12. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
l´ım
x→7
x − 7
(x − 7)(x + 7)
= l´ım
x→7
1
x + 7
=
1
14
Ejemplo
Calcule
l´ım
x→−3
4 −
√
x2 + 7
x
Aplicando las leyes de los l´ımites se tiene:
l´ım
x→−3
4 −
√
x2 + 7
3x + 9
= l´ım
x→−3
4 −
√
x2 + 7
3x + 9
·
4 +
√
x2 + 7
4 +
√
x2 + 7
= l´ım
x→−3
9 − x2
(3x + 9)(4 +
√
x2 + 7)
= l´ım
x→−3
(3 − x)(3 + x)
3(x + 3)(4 +
√
x2 + 7)
=
1
3
l´ım
x→−3
(3 − x)(3 + x)
(3 + x)(4 +
√
x2 + 7)
C´alculo Diferencial L´ımites

13. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
1
3
l´ım
x→−3
(3 − x)(3 + x)
(3 + x)(4 +
√
x2 + 7)
=
1
3
l´ım
x→−3
3 − x
4 +
√
x2 + 7
=
1
3
·
3 − (−3)
4 + (−3)2 + 7
=
1
3
·
6
4 +
√
16
=
3
8
Teorema de compresi´on
Suponga que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todos los valores de x en alg´un
intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en x = a.
Tambi´en suponga que
l´ım
x→a
g(x) = l´ım
x→a
h(x) = L
Entonces l´ım
x→a
f(x) = L.
C´alculo Diferencial L´ımites

14. L´ımites
C´alculo
Diferen-
cial
L´ımites
L´ımite
L´ımites
L´ımite
Ejemplo
Si 5 − 3x − x2
≤ f(x) ≤ x + 9 para todo x cerca a -2 excepto tal vez para
x = −2. ¿Cu´al es el valor de l´ım
x→−2
g(x)?
Como l´ım
x→−2
(5 − 3x − x2
) = 7 y l´ım
x→−2
(x + 9) = 7 en virtud del teorema de
compresi´on se debe tener que l´ım
x→−2
g(x) = 7
C´alculo Diferencial L´ımites