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1. Acción (matemática)
En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo sobre un conjunto
es una aplicación que cumple las dos condiciones siguientes:1
1. , donde es el elemento neutro del grupo.
2. .
En tal caso se dice que el grupo actúa sobre , y que el conjunto es un -conjunto.2
Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento de , la aplicación
es una función biyectiva definida sobre . En consecuencia, una definición
alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo y el grupo
.
donde denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de en sí mismo, bajo la operación
de composición de funciones, denominado grupo simétrico de . Se dice que el homomorfismo es una
representación del grupo por permutación.3
Notación alternativa
Ejemplos
El núcleo de la acción y los puntos fijos
Estabilizador y órbita de un punto
Subgrupos estabilizadores
Órbitas de la acción
Relación entre órbitas y estabilizadores
Tipos de acciones
Acción de un grupo sobre sí mismo
Acción por multiplicación
Acción por conjugación
Ecuación de clases
Notas
Referencias
Bibliografía referenciada
Bibliografía adicional
Enlaces externos
Índice
Notación alternativa

2. Otra notación utilizada para las acciones es . Así los axiomas de acción se reescriben:
.
.
Es frecuente denominar puntos a los elementos del conjunto , para no causar confusión con los elementos
del grupo .
El ejemplo más sencillo es la acción trivial: para cualquier y , . Cuando la
acción es trivial, cada biyección es la aplicación identidad del conjunto , que lleva cada elemento en sí
mismo.
El grupo de tres elementos actúa sobre el plano complejo de la siguiente manera:
.
.
.
donde es una raíz cúbica de la unidad distinta de 1 (si tomáramos la raíz la acción sería trivial).
Geométricamente, esta acción representa rotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de
0, 120 y 240 grados.
Un tipo importante de acción es aquella en la que es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el
punto de partida de la teoría de la representación.
Se define el núcleo de una acción como el conjunto de todos los elementos del grupo
que actúan trivialmente sobre todo punto de :4
.
Para cada elemento del núcleo, la biyección asociada es la identidad de . Es por tanto el núcleo del
homomorfismo , y como tal es un subgrupo normal del .
En contraste, se denominan puntos fijos de la acción a los elementos de sobre los que todos los
elemento de actúan trivialmente, es decir:
es un punto fijo si para todo .
Para cada elemento de un conjunto sobre el que actúa un grupo , podemos definir dos subconjuntos
de interés.5
Ejemplos
El núcleo de la acción y los puntos fijos
Estabilizador y órbita de un punto
Subgrupos estabilizadores

3. El estabilizador de un punto se compone de todos los elementos de que actúan trivialmente
sobre
.
Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo . En consecuencia,
cuando es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo: . El núcleo de la acción es
precisamente la intersección de los estabilizadores de todos los puntos de :
.
es un subgrupo de , no necesariamente normal. También es llamado subgrupo de isotropía de .6
La órbita de se compone de todos los elementos de que son imagen de por la acción de algún
elemento de :7
.
La órbita de contiene a los elementos del conjunto que se alcanzan desde por la acción de .
Cuando es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio , esto es: , y viceversa.
La relación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es una relación
de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de forman una partición del conjunto , lo
que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.
Dado un punto arbitrario , existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o
izquierdas) en de su estabilizador , es decir
.nota 1
En particular, si es un subgrupo de índice finito en , la órbita de es un conjunto finito y su
cardinalidad es
.8
Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el
otro:
Si entonces , donde .
Lo anterior se deriva de que si es un elemento que deja fijo el punto , entonces
.
Órbitas de la acción
Relación entre órbitas y estabilizadores
Tipos de acciones

4. Una acción se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un
conjunto , si dados dos elementos e cualesquiera de , existe un elemento del
grupo que aplica en , es decir:
.9
Cuando la acción de un grupo es transitiva sobre un espacio topológico decimos
que éste es un espacio homogéneo para el grupo .10
Una acción se llama n-transitiva si dadas dos -tuplas de elementos del conjunto ,
e diferentes dos a dos (esto es, e para todo ),
existe un elemento del grupo que aplica en para cada . Las acciones 2-
transitivas se denominan también acciones doblemente transitivas, las 3-transitivas
triplemente transitivas, etc.
Una acción doblemente transitiva satisface la siguiente definición equivalente: una acción
es doblemente transitiva si dado cualquier punto , el estabilizador actúa
transitivamente sobre los puntos restantes (es decir, es transitiva sobre ). 11
Una acción es fiel o efectiva si el núcleo de la acción es trivial, es decir, el elemento
identidad de es el único que actúa trivialmente sobre todo punto de . Esta condición es
equivalente a que el homomorfismo sea inyectivo, y por tanto cada biyección
sea distinta.12
Una acción es libre, o se dice que el grupo actúa libremente, si el único elemento de con
puntos fijos es la identidad, es decir
(donde denota la identidad de ).
Cuando el conjunto sobre el que actúa un grupo es el propio grupo, es decir , decimos que el
grupo actúa sobre sí mismo. Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí
mismo son por multiplicación y por conjugación.
Todo grupo actúa sobre sí mismo por multiplicaciónnota 2 por la izquierda (respectivamente, por la
derecha) mediante la acción definida por13
(respectivamente ).
Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita
que abarca todo . Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha
coinciden precisamente cuando el grupo es abeliano.
El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo
Acción de un grupo sobre sí mismo
Acción por multiplicación

5. es inyectivo. Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo es isomorfo a un subgrupo
de su propio grupo simétrico. En particular, si es finito de orden , entonces es isomorfo a un subgrupo
del grupo de permutaciones de n elementos, . Este resultado se conoce con el nombre de teorema de
Cayley.14
Por otro lado, todo grupo actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida por15
.
El estabilizador de cada punto está formado por los elementos de que conmutan con , es decir, el
centralizador de :
Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que
entonces
.
Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación. Los elementos del centro del grupo
(formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por ) forman cada uno
de ellos una clase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de
conjugación de un elemento solo contiene a ese elemento entonces pertenece al centro de , esto es:
.
La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener la descomposición orbital de grupos
finitos:
que es la unión disjunta de todas las clases de conjugación . En consecuencia
Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto
de clases:
De las primeras hay una clase por cada elemento del centro, y cada una tiene cardinalidad
1.
Para el resto de clases de conjugación, si es un representante de la clase se tiene
que
.
Acción por conjugación
Ecuación de clases

6. Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de :16
donde es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas
en el centro de . La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como el
teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.
1. Aquí se debe entender el símbolo como el conjunto cociente de bajo la relación de
equivalencia determinada por las clases laterales, bien sean derechas o izquierdas, pues
no se puede asegurar que sea un subgrupo normal.
2. Aunque es habitual utilizar la palabra multiplicación o producto, en realidad se hace
referencia a la operación del grupo, sea cual sea.
tom Dieck, Tammo (1987). Transformation groups (https://books.google.com/books?id=azcQ
hi6XeioC). de Gruyter Studies in Mathematics 8. Berlin: Walter de Gruyter & Co. ISBN 978-3-
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Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. ISBN 978-
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(https://books.google.com/books?id=Sl8OAGYRz_AC&pg=PA5&dq=%22little+group%22+a
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Reid, Miles (2005). Geometry and topology (en inglés). Cambridge, UK New York:
Cambridge University Press. ISBN 9780521613255.
Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª edición). Springer.
Smith (2008). Introduction to abstract algebra (https://books.google.com/books?id=PQUAQh
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1. Dummit y Foote, 2004, p. 41.
2. Eie y Chang, 2010, p. 144.
3. Smith, 2008, p. 253.
4. Dummit y Foote, 2004, p. 112.
5. Rotman, 1999, p. 56.
6. Procesi, 2007, p. 5.
7. Eie y Chang, 2010, p. 146.
8. Rotman, 1999, p. 57.
9. tom Dieck, 1987, p. 29.
10. Reid, 2005, p. 170.
11. Dummit y Foote, 2004, p. 117.
12. Eie y Chang, 2010, p. 145.
13. Dummit y Foote, 2004, p. 118.
14. Rotman, 1999, p. 52.
15. Dummit y Foote, 2004, p. 122.
16. Dummit y Foote, 2004, p. 124.
Notas
Referencias
Bibliografía referenciada

7. Thurston, William (1980). The geometry and topology of three-manifolds (http://library.msri.or
g/books/gt3m/). Princeton lecture notes (en inglés).
N.I.Herstein
Serge Lang
Marshall Hall
Burnside
A.G.Kurosch
Gallian, Joseph A. (2012). Contemporary Abstract Algebra (9ª edición). Cengage. p. 656.
ISBN 9781305657960.
Dorronsoro
Weisstein, Eric W. «Acción de grupos» (http://mathworld.wolfram.com/GroupAction.html). En
Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
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Bibliografía adicional
Enlaces externos