El documento describe conceptos fundamentales de la teoría de grupos y su aplicación en mecánica cuántica. Explica que U(1) es el grupo unitario más simple, formado por matrices 1x1 de números complejos que representan fases. U(1) es un grupo abeliano cuyos elementos dejan invariantes muchos lagrangianos en teoría de campos. Los operadores unitarios, incluidos los de U(1), preservan el producto interno y por lo tanto las probabilidades de transición entre estados cuánticos.

1. La Transformación Unitaria U(1)
• La transformación de fase U(1) deja invariante la densidad de probabilidad.
Esas transformaciones se denominan de calibración y forman un grupo.
Teoría de Grupo
Operación Binaria
Una Operación Binaria * en un conjunto S es una función que va de S X S  S
Para cada elemento (a,b) ϵ S X S se define el elemento *((a,b)) ϵ S por a*b .
Grupo
Un grupo <G ,*> es un conjunto G cerrado bajo la operación binaria *
Tal que se satisfacen los siguientes axiomas
1.) Asociatividad
si a, b, c ∈ G entonces
a*(b*c) = (a*b)*c
2.) Elemento Identidad
Existe un elemento e ∈ G tal que para cada x ∈ G se tiene
e*x = x*e =x
3.) Elemento Inverso
Para cada elemento a ∈ G existe un elemento a’ ∈ G tal que
a*a’ = a’*a = e
Si adicionalmente la operación binaria del grupo es conmutativa, el grupo se llama
“Abeliano”.

2. Ejemplo básico de un Grupo
<ℝ,+> es un grupo ya que si a,b,c ∈ ℝ
1.) a+(b+c) = (a+b)+c
2.) El número 0 es el elemento identidad del conjunto ℝ ya que a + 0 = 0 + a = a
3.) Para cada elemento a , existe un numero inverso –a , que es el elemento inverso y
está en ℝ.
Subgrupo
Un subconjunto H de G es un subgrupo de G si y sólo sí
1.) H es cerrado bajo la operación binaria de G.
2.) El elemento identidad de G e está en H.
3.) Para todo a ∈ H existe también un elemento inverso a’ en H.
Homomorfismo
En matemáticas, la preservación de estructuras matemáticas es fundamental.
En el caso de la teoría de conjunto, dos conjuntos son preservados por un
Isomorfismo.
En el caso de la topología, dos espacio topológicos son preservados por un
Homeomorfismo
Es de interés conocer una transformación ℴ: 𝐺 −> 𝐺′ que relacione la estructura de
grupo de G con la estructura de grupo en G’.
Una transformación ℴ: 𝐺 −> 𝐺′ es un Homomorfismo si la propiedad de
Homomorfismo se cumple
ℴ( 𝑎𝑏) = ℴ(𝑎)ℴ(𝑏) donde a, b ∈ G
Si existe un Homomorfismo entre dos grupos, cualquiera propiedad estructural del
primer grupo es preservada por homomorfismo en el segundo grupo.

3. Anillo
El concepto de Anillo fue introducido por David Hilbert y la axiomatización de la
teoría de anillos conmutativos fue desarrollada por Emmy Noether.
Un Anillo <R,+, ⋅> es un conjunto R con dos operaciones binarias, adición y
multiplicación definidas en R tal que
1.) <R,+> es Abeliano
2.) La multiplicación es asociativa
3.) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 se cumple la ley distributiva izquierda a ⋅ (b+c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ 𝑐)
y la ley de distribución derecha (a+b) ⋅ 𝑐 = ( 𝑎 ⋅ 𝑐) + (𝑏 ⋅ 𝑐)
Algebra
Sea K un cuerpo y A un espacio vectorial sobe el cuerpo Κ. En donde se define el
producto : A X A  A.
Entonces A es un Algebra sobre K dado que <A,+,⋅> es un Anillo y si para todo a,b,c ∈
A y ∝ ∈ K,
1.) a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
2.) a ⋅ (b+c)= a⋅b+ a⋅c
3.) (a+b) ⋅ c = a⋅c+b⋅c
4.) ∝⋅ ( 𝑎 ⋅ 𝑏) = (∝⋅ 𝑎) 𝑏 = 𝑎 ⋅ (∝⋅ 𝑏)

4. Mecánica Cuántica
La teoría cuántica se basa en funciones de onda y en operadores.
El Estado de un sistema se representa por su Función de Onda, y los Observables son
representados por Operadores.
Brackets
El estado de una partícula en mecánica cuántica se representan por elementos de un
espacio vectorial. En la mecánica cuántica los vectores son representados por la
notación de Dirac. “Brackets”
Kets |𝜓 > =
𝑧1
⋮
𝑧 𝑛
𝐵𝑟𝑎 < 𝜓| = 𝑧 ∗1 ,⋯, 𝑧 ∗ 𝑛
Dados dos vectorescomplejos
|𝜓 > =
𝑧1
⋮
𝑧 𝑛
y |𝜑 > =
𝑤1
⋮
𝑤 𝑛
el producto interno de estos vectores es
< 𝜑|𝜓 > = (𝑤 ∗1 ,⋯, 𝑤 ∗ 𝑛)
𝑧1
⋮
𝑧 𝑛
= ∑ 𝑤 ∗𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑧𝑖
En donde < 𝜑|𝜓 > es un “Bracket”.
El producto interno para dos funciones f(x) y g(x) está dado por
< 𝑓|𝑔 > = ∫ 𝑓( 𝑥)∗
𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Espacio de Hilbert
En análisis funcional un espacio de Hilbert es un espacio vectorial H con un producto
interno< 𝑓|𝑔 > tal que la norma definida por | 𝑓| = √< 𝑓, 𝑓 > convierte H en un
espacio métrico completo.
Si la métrica definida por la norma no es completa, entonces H es un espacio de
producto interno.
Para representar un posible estado la función de onda 𝜓 debe ser normalizada

5. ∫ |𝜓|2
dx = 1
El conjunto de todas las funciones integrables cuadradas en un intervalo especifico
𝑓(𝑥) tal que ∫ |𝑓(𝑥)|
𝑏
𝑎
2
𝑑𝑥 < ∞
constituye un espacio vectorial menor llamado el espacio 𝐿2
y es un ejemplo de un
espacio de Hilbert.
“En mecánica cuántica la función de onda vive en el espacio de Hilbert”.

6. Matrices Unitarias y de Hermite
-Matriz Transpuesta Conjugada
Una matriz A es transpuesta conjugada si A* = 𝐴 𝑇̅̅̅̅
-Matriz Ortogonal
Una matriz A es ortogonal si A𝐴 𝑇
= 𝐴 𝑇
A = I
-Matriz Unitaria
Una matriz compleja U es unitaria si UU* = I
En el caso de que U sea real U*=𝑈 𝑇
y U𝑈 𝑇
= I lo que implica que U sería ortogonal.
En otras palabras Unitario es el análogo complejo a Ortogonal.
Proposición. Si A es una matriz de Hermite entonces:
a) los elementos diagonales de A son números reales, y los elementos del lado
opuesto de la diagonal principal son conjugados.
b) Los valores propios de la matriz de Hermite son números reales.
c) Los vectores propios de A correspondientes a diferentes valores propios son
ortogonales.
Observables y Operadores de Hermite
Un Observable es un operador medible o una calibración en donde las propiedades de
un estado de sistema pueden ser determinadas por una secuencia de operaciones
físicas.
Los Operadores que representan Observables tiene la propiedad especial
< 𝑓|𝑄̂ 𝑔 > = < 𝑄̂ 𝑓|𝑓 > para todo f(x)
Estos operadores se llaman Operadores de Hermite. Estos operadores surgen en la
mecánica cuántica debido a que sus valores medidos son reales.
“Los Observables son representados porOperadores de Hermite”.
Un Operador Conjugado de Hermite (o Adjunto) de un operador 𝑄̂ es el operador 𝑄̂ +
tal que
< 𝑓|𝑄̂ 𝑔 > = < 𝑄+̂ 𝑓|𝑔 > para todo f y g.

7. Densidades Lagranianas y el Teorema de
Noether
El formalismo Lagraniano se aplica para campos o sea para funciones en el
espaciotiempo 𝜑(𝑥, 𝑡) que se representan compactamente por 𝜑(𝑥).
En el caso continuo se trabaja con Densidades Lagranianas
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = ∫ ℒ 𝑑3
𝑥
La Acción S es la integral de tiempo de L
𝑆 = ∫ 𝑑𝑡 𝐿 = ∫ℒ 𝑑4
𝑥
Densidad Canónica del Momento
𝜋( 𝑥) =
𝜕ℒ
𝜕𝜑̇
La densidad Hamiltoniana esta dada por
ℋ = 𝜋( 𝑥) 𝜑̇( 𝑥) − ℒ
Para obtener el Hamiltoniano se integra esta densidad en el espacio
𝐻 = ∫ ℋ 𝑑3
𝑥
Teorema de Noether
Una simetría es un cambio de perspectiva que deja las ecuaciones de movimiento
invariantes. Por ejemplo el cambio puede ser una traslación en el espacio, un cambio
en el tiempo o una rotación. Estas son Simetrías Externas , ya que dependen de
cambios en el espaciotiempo.
También existen simetrías las Simetrías Internas que son cambios en el campo que no

8. involucran cambios con respecto al espacio tiempo.
Se considera una simetría como un tipo de variación a los campos o al Lagraniano que
deja las ecuaciones de movimiento invariantes.
Grupos de Lie y el Grupo U(n)
-EL Grupo Lineal General GL(n; ℝ)es el grupo de todas las matrices invertibles n x n
con entradas reales. Este grupo tienen la operación de multiplicación de matrices.
Sea 𝐴 𝑚 una secuencia de matrices complejas. Se dice que 𝐴 𝑚 Converge (m  ∞) a la
entrada correspondiente de A.
-Una Matriz Grupo de Lie es un subgrupo G de GL(n; ℂ)con la siguiente propiedad:
Si 𝐴 𝑚 es cualquiera secuencia de matrices en G y 𝐴 𝑚 converge a alguna matriz A
entonces A ∈ 𝐺 o A no es invertible.
Algunos ejemplos de Matrices Grupo de Lie
GL(n; ℝ)Grupo lineal general
SL(n; ℝ) Grupo especial lineal
O(n) Grupo ortogonal
SO(n) Grupo especial ortogonal
U(n) Grupo unitario
SU(n) Grupo especial unitario
O(n,k) Grupo ortogonal generalizado, Grupo de Lorentz
Sp(n) Los grupos simplécticos,
H Grupo de Heisenberg
E(n) Grupo de Euclideo
P(n;1) Grupo de Poincaré, entre otros.

9. Grupos de Lie
Un Grupo de Lie es una variedad diferenciable G que es también un grupo tal que el
producto de grupos
G X G → G y la transformación inversa 𝑔 → 𝑔−1
son diferenciables.
El grupo U(n)
Como en el caso de las matrices, los grupos ortogonales tienen análogos complejos, el
más importante es el Grupo U(n) . El grupo unitario consiste en todas las matrices
unitarias complejas n x n que son las que preservan el producto interno sobre ℂ 𝑛
.
<v,w> =∑ 𝑣̅ 𝑖
𝑤 𝑖𝑛
𝑖=1
Los operadores unitarios juegan un papel fundamental en la teoría cuántica ya que
preservan el producto interno, lo que significa que las transformaciones unitarias
dejan sin afectar las probabilidades de estado para diferentes transiciones.
Cuando las predicciones físicas de una teoría son invariantes bajo la acción de un
grupo , el grupo podría ser representado porun operador unitario.
Adicionalmente este operador conmuta con el Operador Hamiltoniano
[U,H] = 0

10. U(1)
El grupo unitario más simple es el grupo U(1) que consiste de una matriz 1 X 1 de
números complejos escrita en representación polar, igualmente se puede decir que
una simetría U(1) tiene un parámetro 𝜃 y se escribe
U = 𝑒−𝑖𝜃
en donde 𝜃 ∈ ℝ
U(1) es también la unidad de circulo y los elementos de U(1) son llamados Fases.
La transformación U(1) es un grupo
Los requisitos para que U(1) con la operación binaria de multiplicación sea un grupo
son asociatividad , debe existir un elemento neutro, y cada elemento debe poseer
elemento inverso.
1.) Asociatividad sea 𝑒−𝑖𝜃1
, 𝑒−𝑖𝜃2
y 𝑒−𝑖𝜃3
elementos de U(1) , y sean 𝜃1, 𝜃2, 𝜃3
elementos de ℝ, entonces
𝑒−𝑖𝜃1
⋅ (𝑒−𝑖𝜃2
⋅ 𝑒−𝑖𝜃3
) = 𝑒−𝑖𝜃1
⋅ (𝑒−𝑖(𝜃2+𝜃3)
) = (𝑒−𝑖( 𝜃1+𝜃2+𝜃3)
) =
= 𝑒−𝑖(𝜃1+𝜃2)
) ⋅ 𝑒−𝑖𝜃3
2.) Elemento neutro
∃ 𝛽 ∈ ℝ tal que 𝑒−𝑖𝜃1
⋅ 𝑒−𝑖𝛽
= 𝑒−𝑖𝛽
⋅ 𝑒−𝑖𝜃1
= 𝑒−𝑖𝜃1
En este caso 𝛽 = 0 ∈ ℝ y el elemento neutro de U(1) es 𝑒−𝑖𝛽
= 1.
3.)Elemento inverso
∀ 𝜃𝑖 𝜖 ℝ ∃ − 𝜃𝑖 𝜖 ℝ
tal que
𝑒−𝑖𝜃1
⋅ 𝑒 𝑖𝜃1
= 𝑒−𝑖𝛽
= 1.
De manera trivial se puede ver también que el Grupo U(1) es Abeliano.
Muchos Lagranianos en teoría de campos son invariantes bajo la transformación U(1)
Esta invariancia se ve más clara en el plano complejo. Si se considera un número
complejo arbitrario z = 𝑟𝑒 𝑖𝑎
y si se multiplica este número por 𝑒 𝑖𝜃
se tiene
𝑒 𝑖𝜃
z = 𝑒 𝑖𝜃
𝑟𝑒 𝑖𝑎
= 𝑟𝑒 𝑖(𝜃+𝑎)

11. El nuevo número complejo tiene la longitud r y el ángulo es incrementado por 𝜃.
-Como ejemplo se tiene que el Campo escalar complejo de un Lagraniano
𝐿 = 𝜕𝜇 𝜑∗
𝜕 𝜇
𝜑 − 𝑚2
𝜑∗
𝜑
es Invariante bajo la transformación
𝜑 → 𝑒−𝑖𝜃
𝜑
Como se describió anteriormente ,
“Si un Lagraniano es invariante bajo una transformación, entonces existe una
simetría”.
En este caso existe una simetría U(1).
Las partículas asociadas a mediar la fuerza llamadas bosones de calibración, están
asociados a esta simetría. En electrodinámica cuántica el boson de calibración
asociado con la simetría U(1) es el fotón.
La simetría U(1) también se manifiesta en términos de la conservación de varios
números cuánticos.
También se presenta una invarianza local U(1) en el mecanismo de Higgs en el
rompimiento espontaneo de simetría.

12. Transformaciones de Calibración
Se considera una extensión a la idea de invarianza basado en las transformaciones de
calibración.
En electromagnetismo es posible cambiar los potenciales escalares y vectorial 𝜓 y 𝐴⃗
sin cambiar las ecuaciones de campo y por lo tanto sin cambiar los campos 𝐸⃗⃗⃗⃗ y 𝐵⃗⃗ .
𝐵⃗⃗ = ∇⃗⃗⃗ 𝑋 𝐴⃗ recordando que ∇ ∙ ( ∇⃗⃗⃗ 𝑋 𝐹⃗ ) = 0 para cualquier campo vectorial 𝐹⃗.
Por lo tanto la ecuación de Maxwell ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = 0 se satisface cuando 𝐵⃗⃗ = ∇⃗⃗⃗ 𝑋 𝐴⃗ .
Ahora, si f es una función escalar, se define un nuevo potencial vectorial
𝐴⃗′
=𝐴⃗ + ∇⃗⃗⃗f
también se sabe de cálculo que el rotacional del operador Del y el gradiente de f es
cero, ∇⃗⃗⃗ X ∇⃗⃗⃗f = 0 Por lo tanto se puede agregar un término de la forma ∇⃗⃗⃗f a un
potencial vectorial y el campo magnético se mantendrá sin cambiar.
𝐵⃗⃗ = ∇⃗⃗⃗ 𝑋 𝐴′⃗⃗⃗⃗ = ∇ 𝑋 (𝐴⃗ + ∇⃗⃗⃗f) = ∇⃗⃗⃗ 𝑋 𝐴⃗ + ∇⃗⃗⃗ X ∇⃗⃗⃗f = ∇⃗⃗⃗ 𝑋 𝐴⃗
Este tipo de transformaciones se llaman Calibración.
Las Transformaciones de Calibración Global y Local.
El teorema de Noether relaciona las leyes de conservación con simetrías en el
Lagraniano.
Cuando se invoca la teoría cuántica estas simetrías toman la forma de invariantes bajo
una transformación unitaria. Por ejemplo una simetría U(1) significa que un
Lagraniano L = L (𝜑, 𝜕𝜇 𝜑) es invariante bajo la transformación de la forma
𝜑( 𝑥) → 𝜑′( 𝑥) = 𝑒−𝑖𝜃
𝜑(𝑥)
Si 𝜃 no depende de la coordenada x de espacio tiempo entonces la ecuación anterior
tiene Simetría Global.
Si 𝜃 depende de la coordenada de espacio tiempo de tal modo que 𝜃 = 𝜃(𝑥) entonces
la ecuación anterior representa una Simetría Local.
Las simetrías locales son importantes porque representa cantidades físicas que se

13. conservan como carga, número de Leptón y preservan la causalidad.
Ejemplo Calibración Global
Se considera un Lagraniano complejo llamado Lagraniano de Klein Gordon
𝐿 = 𝜕𝜇 𝜑+
𝜕 𝜇
𝜑 − 𝑚2
𝜑+
𝜑
y sea U la transformación unitaria global, donde U no depende del espacio tiempo,
se tiene
𝜑 → U𝜑 y 𝜑+
→ 𝜑+
𝑈+
Como esta transformación es unitaria, se sabe que U𝑈+
= 𝑈+
𝑈 = 1
Se verá como esta transformación afecta el Lagraniano.
Si se toma el primer término del Lagraniano 𝜕𝜇 𝜑+
𝜕 𝜇
𝜑 y si se aplica la transformación
se ve que
𝜕𝜇 𝜑+
𝜕 𝜇
𝜑 → 𝜕𝜇 (𝜑+
𝑈+
)𝜑+
𝜕 𝜇
(𝑈𝜑)
Sin embargo U no depende del espacio tiempo en ninguna forma así que los
operadores de derivada no lo afectan por lo tanto.
𝜕𝜇 ( 𝜑+
𝑈+) 𝜕 𝜇( 𝑈𝜑) = 𝜕𝜇 ( 𝜑+)( 𝑈+
𝑈) 𝜕 𝜇
(𝜑) = 𝜕𝜇 𝜑+
𝜕 𝜇
𝜑
Similarmente para el segundo término del Lagraniano
𝑚2
𝜑+
𝜑 → 𝑚2 ( 𝜑+
𝑈+)( 𝑈𝜑) = 𝑚2
𝜑+( 𝑈+
𝑈) 𝜑 = 𝑚2
𝜑+
𝜑
Por lo tanto se ve que bajo la transformación 𝜑 → U𝜑 el Lagraniano
𝐿 = 𝜕𝜇 𝜑+
𝜕 𝜇
𝜑 − 𝑚2
𝜑+
𝜑 es invariante.

14. Ejemplo Calibración Local
Se considera el mismo Lagraniano complejo
𝐿 = 𝜕𝜇 𝜑+
𝜕 𝜇
𝜑 − 𝑚2
𝜑+
𝜑
y la transformación unitaria global U, 𝜑 → U𝜑 donde en este caso, U depende
del espacio tiempo U=U(x) .
Si se evalua nuevamente el segundo término del Lagraniano este queda invariante,
𝑚2
𝜑+
𝜑 → 𝑚2 ( 𝜑+
𝑈+)( 𝑈𝜑) = 𝑚2
𝜑+( 𝑈+
𝑈) 𝜑 = 𝑚2
𝜑+
𝜑
Sin embargo el primer término del Lagraniano cambia debido a la dependencia de U =
U(x) con el espacio tiempo.
𝜕𝜇 ( 𝜑+) → 𝜕𝜇 (𝜑+
𝑈+
) = 𝜕𝜇 ( 𝜑+) 𝑈+
+ 𝜑+
𝜕𝜇(𝑈+
)
similarmente
𝜕𝜇 𝜑 → 𝜕𝜇( 𝑈𝜑) = 𝜕𝜇 ( 𝑈) 𝜑 + 𝑈𝜕𝜇( 𝜑)
Esto se puede escribir de manera diferente usando el hecho de que U es unitario
𝜕𝜇 𝜑 → 𝜕𝜇 ( 𝑈𝜑) = 𝜕𝜇( 𝑈) 𝜑 + 𝑈𝜕𝜇 ( 𝜑) = U𝑈+
𝜕𝜇( 𝑈) 𝜑 + 𝑈𝜕𝜇 ( 𝜑) =U[𝜕 𝜇 𝜑 + (𝑈+
𝜕𝜇 𝑈)𝜑]
Para mantener la invariancia se debe cancelar el término (𝑈+
𝜕𝜇 𝑈)𝜑
Esto se puede hacer introduciendo un nuevo elemento, un campo que dependa del
espacio tiempo 𝐴 𝜇 = 𝐴 𝜇( 𝑥) llamado Potencial de Calibración. Esto se introduce para
mantener la invarianza del Lagraniano.
Se introduce una Derivada Covariante que actua en el campo
𝐷 𝜇 𝜑 = 𝜕𝜇 𝜑 − 𝑖𝐴 𝜇 𝜑
Esta Derivada Covariante en 𝜑 → U(𝑥)𝜑 lleva a 𝐷 𝜇 𝜑 → 𝐴 𝜇 𝑈(𝑥)𝐷 𝜇 𝜑
Esto sucederá si se define 𝐴 𝜇 de tal forma que obedezca la similaridad de la
transformación
𝐴 𝜇 → 𝑈𝐴 𝜇 𝑈+
+ 𝑖𝑈𝜕𝜇 𝑈+

15. Fin
L =
1
2
(𝜕𝜇 𝜑2
) −
1
2
𝑚2
𝜑2
−
1
4
𝜆𝜑4
𝜑 = ±√
𝑚2
𝜆
= ± 𝜈
Blibiografía
1.Fraleigh, John B. (1976), A FirstCourseIn Abstract Algebra (Segunda
ed), Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
2.Griffiths, David J. (2004), Introduction toQuantum Mechanics (Segunda
ed), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
3.Bourbaki, N. Éléments deMathématique, Groupeset Algègres de Lie
Springer, ISBN 3-540-35335-6
4.McMahon, David. QuantumField Theory Demystified (Primeraed)
McGraw-Hill ISBN 978-0071543828