Este documento define conceptos básicos sobre funciones, incluyendo: 1) Una función es un proceso que transforma un input (variable independiente) en un output (variable dependiente); 2) El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, mientras que el recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente; 3) Existen diferentes características que pueden presentar las funciones, como continuidad, crecimiento, monotonía, inyectividad, epiyectividad y paridad.

1. Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Construcción Civil
Santiago, Chile 2011
Ayudantía 3
Funciones
Función: Una primera forma de ver una función es como un proceso o rutina (usando la
terminología computacional) que transforma un input, ; en un output, : Por
ejemplo, : Aquí sería el nombre del proceso (función) . Con frecuencia al
output, ; se lo denota por una segunda letra (usualmente y) aunque esta última pareciera
jugar un rol bastante secundario.
Se le asigna un papel secundario al output dado que es una variable dependiente de los
valores independientes que tome . De la afirmación anterior se define el o Dominio de una
función que incluye un subconjunto de Reales para los cuales la función existe y queda definida. En
el caso del conjunto de valores que toma se le denomina o Recorrido. Muchas veces nos
encontraremos con situaciones diversas donde las funciones están definidas para todo R como
dominio, pero no para todo R como recorrido, también es muy común encontrar funciones con
cortes donde no está definida (no se puede ejecutar un desarrollo) en la función a evaluar.
Entonces en un modelo abstracto, denotamos a las dos variables involucradas por e y ninguna
aparece como más importante que la otra o como “generada" por ésta. Lo que se observa es una
relación entre ellas y lo que convierte a ésta en una relación funcional (o, simplemente, una
función) es el hecho de que una de ellas (digamos, la cantidad ; llamada la variable dependiente)
puede ser conocida en forma precisa y única si se conoce el valor de la otra (llamémosla ; la
variable independiente). En tal caso escribimos :
Ejemplo simple para comprender el proceso evaluativo y rutinario de una función.
Sea , evalúe los valores para :
Comencemos:

2. Entonces finalmente concluimos que encontramos las siguientes parejas de valores, donde para
cada x asignado existe un y correspondiente:
Para tenemos que si:
;
;
;
Como podemos ver para un número reducido de la función consiste de un número reducido de
, (como en el ejemplo anterior) pero esta es una forma limitada de ver una función, dada que
esta función está definida para todo ,implicando entonces que dependiendo del Dominio que
tome para la función dependerá el Recorrido que esta función tome. La función anterior es una
forma de representación de una función mediante una tabla, la cual es muy usada en la Enseñanza
Media. Sin embargo es usualmente a través de una fórmula" como descubrimos el único valor de y
asociado a un x particular. Como vemos, esto nos lleva al primer enfoque y así, ambos son
complementarios. Sólo hay un cambio de énfasis: el primer enfoque pone el acento en las
operaciones requeridas para conocer la variable dependiente a partir de la variable
independiente. Es un enfoque dinámico en el sentido que nos hace pensar en y como siendo
generada por x mediante la rutina f: Tal es así que a la primera variable se le llama la imagen de la
segunda (bajo la función f ).
En el segundo enfoque, ambas variables aparecen desplegadas al mismo tiempo, sin una relación
de causalidad clara entre la una y la otra. Un ejemplo claro de esto es el gráfico de una función, el
cual exhibe todas las parejas ( ) que participan de la relación.
Hay que hacer notar desde un comienzo que una fórmula matemática (como, por ejemplo,
) no es la única forma de explicitar la relación entre las dos variables. En forma más
general aún, se puede lograr por medio de una regla", la que puede perfectamente venir en la
forma de un enunciado verbal.
no puede ser expresada mediante una fórmula cerrada. Incluso sería posible que, para ciertos no
fuese posible conocer el valor de que le corresponde (esto ocurriría si, para ciertos no
pudiésemos decidir si éste es racional o irracional). Pero igual es una función legítima ya que todo
número real es racional o irracional, pero no ambos, y así, a cada le corresponde un solo

3. También podemos encontrar una forma de expresar las funciones como una mezcla de las dos.
Para los tres tipos de expresión los procesos relativos a encontrar su Dominio y Recorrido siguen
siendo los mismos, quizá solo varían con respecto a cómo encontrarlos , pero análogamente los
procesos equivalentes a la búsqueda de características principales para una función recaen en
cada una de ellas por igual.
Dominio: El Dominio de una función y = f(x) es el conjunto de todos los x que participan de ella.
Éste puede ser dado explícitamente o bien, si la función es definida mediante una fórmula, se
puede omitir y aplicarse la regla del máximo dominio: el dominio es el mayor subconjunto de R
para el cual la fórmula en cuestión puede ser calculada. Éste se llama también el dominio natural
de la función.
Recorrido: (o rango) de una función es el conjunto de todos los y que participan de ella.
Éste puede resultar algo más difícil de visualizar que el dominio. Si conocemos el gráfico de la
función, el dominio es la proyección de éste sobre el eje X; mientras que el rango es su proyección
sobre el eje Y:
Ejemplo: Para hallar el recorrido de la función debemos hallar todos los números y
para los cuales tal que:
La mejor forma de intentarlo (aunque no siempre es posible hacerlo de esta manera) es descubrir
cuál es el x que corresponde a un y dado. En otras palabras, despejar x de la igualdad anterior.
Tenemos que:

4. Vemos así que todo es imagen de algún dado por ⁄ por lo tanto el
recorrido { }=
Continuidad: Para las funciones se define el termino continuidad asignado a todas las funciones
como una propiedad de estas misma. Se dice que una función es continua en el punto si
para este punto la función está definida, es decir que tiene una imagen correspondiente.
Análogamente se dice que es discontinua para un punto si para ese punto la función no
está definida, es decir su imagen no existe.
Es de fácil entendimiento saber entonces que una función definida para un subconjunto de R será
continua si para todo x perteneciente a aquel subconjunto la función está perfectamente definida,
en el caso contrario si existe una excepción donde solo un x o más x no definen la función
entonces se dice que no es continua (discontinua).
Una idea intuitiva de continuidad recae en la siguiente idea: “Una función continua es aquella que
su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.”
Función Continua: Note que está Definida para todo x de aquel sub Dominio
Función Discontinua: Note que no está definida en x = 3

5. Análogamente se puede verificar si una función es continua o discontinua con respecto a su
recorrido, en simples palabras es decir que para todo o cierto tramo de valores de X, la función
esté definida y entregue una imagen para cada x, en cambio si es discontinua pues, presentará un
vacío o simplemente un punto en el cual no esté definida (ver imágenes)
Recorrido Continuo:
Recorrido Discontinuo:
A pesar de que existe el recorrido discontinuo es muy poco utilizado verbalmente de esta forma,
más adelante introduciremos terminología pertinente para referirnos al recorrido no continuo (ver
Epiyección)
Crecimiento: Como toda función se basa en la entrada de cierto x para darnos un resultado reflejo
o un y , estas variaciones de valores expresadas gráfica y numéricamente conducen a establecer
una característica de crecimiento o decrecimiento en las funciones, intuitivamente imaginemos
que una función creciente es aquella en la que su gráfica tiende a irse hacia arriba en el primer

6. cuadrante, mientras que una decreciente es aquella en la que su gráfica se va hacia abajo y con
dirección al cuarto cuadrante.
Analíticamente esto se explica de la siguiente manera:
Función Creciente: Toda función es creciente si para todo par de con implica
que
Función Decreciente: Toda función es decreciente si para todo par de con
implica que

7. Monotonía: Se le asigna la definición de monotonía a aquella función que para cierto subconjunto
del dominio presenta solo una de las dos características de crecimiento, es decir es monótona si
para cierto subconjunto de reales solo crece o decrece. Más ciertamente Monotonía se suele
asignar como “Monótona Creciente” o “Monótona Decreciente”. Gráficamente:
Función monótona Creciente
Función monótona Decreciente
Función No monótona:

8. Inyectiva: Se denomina que una función es inyectiva si para todo su dominio, y particularmente
para cada uno de los x pertenecientes a este existe una y solo una imagen en y. Es decir que la
función es 1 – 1 , un valor de x da solo uno para y. Gráficamente esto significa que si yo trazo una
línea paralela al eje x en cualquier punto solo debo intersectar a la función en un solo punto.
Solo la intersecta en un punto
Epiyectiva: Se denomina que una función es epiyectiva cuando es continua en su recorrido
considerando determinado dominio. En pocas palabras es cuando para determinado Dominio el
Recorrido es continuo e igual al Dominio.
Recorrido
Dominio
Note que el Dominio es igual al Recorrido

9. Biyección: Se le designa a una función la característica de Biyectiva cuando cumple las dos
condiciones mencionadas anteriormente, es decir que es Inyectiva y Epiyectiva. Para los dos casos
cabe señalar las demostraciones analíticas que se basan simplemente en:
Para la Inyectiva: Demostrar que dados dos x , sean x1 y x2 pues las dos imágenes son distintas.
Para la Epiyectiva: Cabe demostrar que es continua en su recorrido y que coincide con el Dominio.
Paridad: Para las funciones cabe señalar una característica muy importante y que hace referencia
a su comportamiento frente a su dominio, es decir muchas funciones son repetitivas en su imagen
para distintos x, o muchas veces no.
Función PAR: En matemáticas, una función par es cualquier función que satisface la relación
para todo valor admisible de x. La gráfica de dicha función es simétrica respecto al
eje y.
Funcion IMPAR: En matemáticas, una función impar es cualquier función que satisface la relación
para todo valor admisible de x. La gráfica de dicha función es simétrica con
respecto al origen de coordenadas.

10. Función Inversa: Una consecuencia fundamental del hecho de que una función sea
inyectiva es que el conocimiento de un valor cualquiera de y determina de manera única al que
lo precede.
En otras palabras, la misma relación que determina a como función de también permite
expresar a como función de : La regla que establece como obtener a partir de se llama la
función inversa de y es costumbre denotarla por : Decimos en este caso que f es invertible.
Es importante entender que la anterior es sólo una notación y que no es lo mismo que
De este modo tenemos:
Dado que si miramos las funciones como un conjunto de pares ordenados, encontrar la inversa de
una función recae en despejar el x y dejarlo en función de y, ejemplo.
Sea su gráfico es:
Entonces para encontrar su inversa tenemos que:

11. Cuyo gráfico es:
Al mirar una función como un conjunto de pares ordenados y observar que la inversa de una
función se obtiene invirtiendo el orden de cada uno de ellos (o sea, son las mismas parejas pero
“escritas al revés") resultan evidentes los siguientes dos hechos relativos a dos funciones
que son inversas la una de la otra:
Los gráficos de y de son simétricos respecto a la recta : Esto resulta
de observar que el punto con coordenadas (a; b) se obtiene tomando la reflexión del punto
respecto a dicha recta. (ver gráfico siguiente)

12. Donde la función está de color rojo
Funciones Compuestas: Si miramos a una función como a una fórmula u operación que transforma
un número en otro, la inversa de una función no hace otra cosa que “deshacer" lo hecho por la
original. Una manera de entender esto es pensar que si ambas operaciones se aplican en forma
secuencial a un argumento, el resultado final debiera ser el argumento original.
Este proceso, de “usar una función como argumento de otra" se conoce como composición de
funciones. Si insertamos la función en la función obtenemos : Esta nueva
función se denota simplemente por :

13. Mientras que:
Observamos que no es lo mismo que (no da igual echar líquido a un termo y luego
taparlo que primero taparlo y en seguida vaciar el líquido).
Ahora bien, retomando el concepto de función inversa, el comentario anterior de que la aplicación
sucesiva de dos funciones que son inversas la una de la otra puede reformularse así:
Sergio Andrés Henríquez Millalaf
Estudiante de Construcción Civil
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer Semestre 2011