El documento define los conceptos de grupo, subgrupo, grupo finito y homomorfismo entre grupos. Proporciona ejemplos de cada uno y pide realizar ejercicios de autoevaluación sobre estos temas.

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Parte A. Individual.
Busque y seleccione en Internet (plataformas como Wikipedia, Youtube, Scribd, o
búsqueda libre usando palabras clases en buscadores como Google, Google académica
entre otros), información sobre grupo, subgrupo, grupo finito, homomorfismo entre
grupos y ejemplos. Trate de no excederse de este temario. De ser necesario presente
una síntesis propia.
GRUPO
DDDeeefffiiinnniiiccciiióóónnn
Es un par ordenado compuesto por un conjunto, G y operación binaria cerrada en ''G'' «*»
que compone dos elementos cualesquiera a y b de G para formar otro elemento notado
como a * b o ab.
Deben satisfacer cuatro axiomas:
ooo CCCeeerrrrrraaaddduuurrraaa ooo CCClllaaauuusssuuurrraaa
Para todo a, b de G, el resultado de la operación a * b también pertenece a G.
ooo AAAsssoooccciiiaaatttiiivvviiidddaaaddd
Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuación (a * b) * c = a * (b * c).
ooo EEEllleeemmmeeennntttooo nnneeeuuutttrrrooo
Existe un elemento e de G, tal que para todos los elementos a de G, se cumpla la
ecuación e *a = a * e = a. El elemento de identidad de un grupo G se escribe a
menudo como 1 o 1G, una notación heredada de la identidad multiplicativa.
ooo EEEllleeemmmeeennntttooo iiinnnvvveeerrrsssooo
Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a * b = b * a = e.
El orden en el que se hace la operación de grupo puede ser significativo. En otras palabras,
el resultado de operar el elemento a con el elemento b no debe dar necesariamente el
mismo que operando b con a; la ecuación a * b = b * a puede no ser siempre cierta. Esta
ecuación se cumple en el grupo de enteros con la adición: a + b = b + a, para dos enteros
cualesquiera (propiedad conmutativa de la adición). Los grupos para los cuales la ecuación
a * b = b * a se cumple siempre, se denominan abelianos. Así, el grupo de los enteros con
la adición es abeliano.
DDDeeefffiiinnniiiccciiióóónnn aaalllttteeerrrnnnaaatttiiivvvaaa
Un grupo es un sistema algebraico que no es sino un conjunto no vacío provisto de una
operación binaria asociativa, donde las ecuaciones ax=b y ya=b tienen solución dentro de
dicho conjunto; por ello, también cumple la clausuratividad, entre otras propiedades.
MATEMÁTICA I
Actividad Individual Nº 6 – Unidad 5

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EEEjjjeeemmmppplllooosss
 (ℤ, +), el conjunto de números enteros con la suma usual, es un grupo abeliano; donde
el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
 (ℝ, +) , el conjunto de los números reales con la suma usual, es un grupo abeliano;
donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
 (ℤ{0},∗), el conjunto de los números enteros (excluyendo al 0) con la multiplicación, no
es un grupo; dado que el elemento simétrico de x es 1/x, y dicho 1/x pertenece al conjunto
de racionales, no al de los enteros.
 La suma de matrices define una estructura de grupo conmutativo en las matrices con
coeficientes reales (digamos) con un número de columnas y filas prefijado. Las funciones
reales de variable real, con la suma de funciones, también forman un grupo conmutativo, al
igual que las sucesiones de números reales con la suma de sucesiones.
SUBGRUPO
En álgebra, dado un grupo 𝐺 con una operación binaria ∗, se dice que un subconjunto no
vacío 𝐻 de 𝐺 es un subgrupo de 𝐺, si H también forma un grupo bajo la operación ∗. O de
otro modo, 𝐻 es un subgrupo de 𝐺 si la restricción de ∗ a 𝐻 satisface los axiomas de grupo.
Un subgrupo propio de un grupo 𝐺 es un subgrupo 𝐻, que es un subconjunto propio de 𝐺
(es decir 𝐻 ≠ 𝐺). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {𝑒} que consiste
solamente en el elemento identidad.
El grupo 𝐺 a veces se denota por el par ordenado (𝐺,∗), generalmente para acentuar la
operación ∗ cuando 𝐺 lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se
sigue la convención usual y se escribe el producto 𝑎 ∗ 𝑏 o simplemente 𝑎𝑏.
DDDeeefffiiinnniiiccciiióóónnn
Decimos que un subconjunto 𝐹 de un grupo 𝐺 es un subgrupo de 𝐺 cuando 𝐹 es un grupo
con la operación (de adición o multiplicación) de 𝐺 restringida a los elementos de 𝐹.
EEEjjjeeemmmppplllooosss
Sea el grupo ({0;1;2;3;4},+5) cuya operación +5 (suma módulo 5) viene definida por la
tabla:
+5 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
no tiene otro subgrupo que el trivial, porque para el resto de los subconjuntos de G se
incumple el axioma del cierre de los grupos.

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GRUPO FINITO
Un grupo finito es un grupo cuyo conjunto fundamental 𝐺 tiene un número de elementos
finito.
Los grupos finitos surgen también cuando se considera la simetría de objetos matemáticos
o físicos, cuando esos objetos admiten sólo un número finito de transformaciones que
preservan la estructura.
EEEjjjeeemmmppplllooosss
Grupos cíclicos
Un grupo cíclico ZN es un grupo en la que todos sus elementos son potencias de un
determinado elemento a donde 𝑎 𝑁
= 𝑎0
= 𝑒, el elemento identidad. Un ejemplo típico de
este grupo son las N-ésimas raíces de la unidad complejas. Relacionando a a una raíz
primitiva de la unidad se obtiene un isomorfismo entre las dos. Esto puede ser realizado
con cualquier grupo cíclico finito.
HOMOMORFISMO ENTRE GRUPOS
Es una función entre grupos que preserva la operación binaria.
Dados dos grupos (𝐺, °) y (𝐻,∗) la aplicación 𝜑 ∶ 𝐺 → 𝐻 es un homomorfismo de grupos
si se verifica que para todos los pares de elementos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 𝜑( 𝑎°𝑏) = 𝜑( 𝑎) ∗ 𝜑(𝑏)
donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (°) es la ley de composición
interna en 𝑮, y la operación del lado derecho de la ecuación (*) es la ley de composición
interna en 𝑯.
Si la aplicación 𝜑 es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que
ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian
por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.
EEEjjjeeemmmppplllooosss
La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles en
los números reales no nulos, es un homomorfismo de grupos:
𝑓: 𝔾𝕃 𝑛( 𝑅) → (R ∗,∙) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓( 𝐴) = det( 𝐴)
dado que 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 𝗑 B) = det( 𝐴) ∙ det(B)
Parte B. Individual.
Tome ejercicios de la autoevaluación, en especial aquellos que respondieron de
manera equivocada, y aquí expliciten y fundamenten la respuesta.

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DDDeeesssaaarrrrrrooollllllooo
503. Un subgrupo es un grupo más pequeño. (Verdadero)
En teoría de grupos, el subgrupo generado por un subconjunto S de un grupo G es el
subgrupo más pequeño que contiene a todos los elementos de S.
504. Todo subconjunto de un grupo es subgrupo si contiene al neutro y al inverso. (Falso)
Sean ( 𝐺,°) un grupo y 𝐻 ⊂ 𝐺 ∶ 𝐻 ≠ ∅. El grupo ( 𝐻, °) se llama Subgrupo de ( 𝐺, °) si y
sólo si:
 H contiene al elemento identidad de G: 𝑒 ∈ 𝐻
 la operación binaria es cerrada en H: ∀𝑎, 𝑏 𝐻 ⟹ 𝑎 ° 𝑏 ∈ 𝐻
 H contiene los elementos inversos: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 ⟹ 𝑎−1
∈ 𝐻