1. Ejercicio 1
Definida una se˜al discreta x[n] como
n
0 para n ≤ 0 y n ≥ 4
x[n] =
(−1)n n para n = 1, 2, 3
y la repetici´n peri´dica y[n] como
o o
∞
y[n] = x[n + 7k]
k=−∞
Encuentre la energ´ y potencia de estas dos se˜ales.
ıa n
Jorge A. Rodr´
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2. Soluci´n
o
Para le energ´ de x[n], tenemos
ıa
∞
Ex = x2 [n]
n=−∞
= x2 [1] + x2 [2] + x2 [3] = 14
Para la potencia de x[n], tenemos
N
1
Px = l´
ım x2 [n]
N →∞ 2N + 1 n=−N
14
= l´
ım =0
N →∞ 2N + 1
La energ´ de y[n] es
ıa
ım N ∗ Ex → ∞
Ey = l´
N →∞
Para la potencia de y[n] como esta es peri´dica seria
o
N0 −1
1
Py = x2 [n]; donde N0 es el periodo
N0 n=0
1
= 14 = 2
7
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3. Ejercicio 2
Una se˜al discreta x[n] es definida como
n

1 + n , −3 ≤ n ≤ −1
 3
x[n] = 1, 0≤n≤3

0, de otra manera

1 Determine estos valores y bosqueje la se˜al x[n]
n
2 Dibuje las se˜ales que resultan si nosotros:
n
1 Primero x[n] se invierte la se˜al y el resultado se retrasa por cuatro
n
muestras.
2 Primero x[n] se retrasa cuatro muestras y luego se invierte el resultado.
3 Dibuje la se˜al x[−n + 4]
n
4 Compare los resultados de la partes (2) y (3) y deduzca las reglas para
obtener la se˜al x[−n + 4] de x[n]
n
5 ¿Puedes expresar la se˜al x[n] en t´rminos de las se˜ales δ[n] y u[n]?
n e n
Jorge A. Rodr´
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4. Soluci´n
o
1 2
1 x[n] = ..,0, 3 , 3 , 1, 1, 1, 1, 0, ...
↑
2 1
2 1 x[−n] = ..,0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
Despu´s de retardar la se˜ al invertida por 4 muestras, tenemos
e n
2 1
x[−n + 4] = ..,0, 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
2 Si primero se retarda x[n] por cuatro muestras, se tiene
1 2
x[n − 4] = ... 0, 0, 3 , 3 , 1, 1, 1, 1, 0, ...
↑
Ahora, invertimos
2 1
x[−n − 4] = ..,0, 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, 0, ...
↑
2 1
3 x[−n + 4] = ... 0, 1, 1, 1, 1, 3 , 3 , 0, ...
↑
4 Para obtener x[−n + k], primero se gira x[n] para obtener x[−n], luego si k > 0 se corre k
muestras a la derecha, o si k < 0 se corre k muestras a la izquierda.
Jorge A. Rodr´
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5. Ejercicio 3
Considere la siguiente se˜al, x[n] = δ[n] + 2δ[n − 1] + 3δ[n − 2]. Calcule su media
n
x[n] + x[n − 1]
m´vil y[n] =
o .
2
Elige las respuestas correctas
La salida para n ≥ 4 es siempre cero.
La salida en n = 3 no depende de la entrada en n = 1
y[n] = 0,5δ[n] + 1,5δ[n − 1] + 2,5δ[n − 2] + 1,5δ[n − 3]
Soluci´n
o
Las respuestas correctas son la primera y la tercera.
Jorge A. Rodr´
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6. Ejercicio 4
Un sistema de tiempo discreto puede ser
Est´tico o din´mico
a a variante con el tiempo
Lineal o no lineal Causal o no causal
Invariante con el tiempo o Estable o inestable
Examine los siguientes sistemas con respecto a las anteriores propiedades.
1 y[n] = cos(x[n]) 5 y[n] = x[n]u[n]
n+1
2 y[n] = x[k] 6 y[n] = x[n] + nx[n + 1]
k=−∞
3 y[n] = x[n]cos(ω0 n)
7 y[n] = x[−n]
4 y[n] = x[−n + 2] 8 y[n] = sgn(x[n])
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7. Soluci´n
o
1 Est´tico, no lineal, invariante , causal, estable.
a
2 Din´mico, lineal, invariante, no causal e inestable. Este ultimo es f´cil de probar. Para
a ´ a
una entrada acotada x[k] = u[k] , la salida es
n+1
0 n < −1
y[n] = u[k] =
k=−∞
n+2 n ≥ −1
Como y[n] → ∞ cuando n → ∞, el sistema es inestable.
3 Est´tico, lineal, variante, causal, estable.
a
4 Din´mico, lineal, invariante, no causal, estable.
a
5 Est´tico, lineal, invariante, causal, estable.
a
6 Est´tico, lineal, variante, no causal, inestable.
a
7 Din´mico, lineal, invariante, no causal, estable.
a
8 Est´tico, no lineal, invariante, causal, estable.
a
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8. Ejercicio 5
Para una se˜al de tiempo discreto x[n] como se muestra en la figura, bosquejar
n
cada una de las siguientes se˜ales.
n
x[n] 3 3
2
1
-1 0 1 2 3 4 5 n
1 x[n − 3]
2 x[2n]
3 x[−n]
4 x[−n + 2]
Jorge A. Rodr´
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9. Soluci´n
o
x[n − 3] 3 3 x[2n] 3
2 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 n -1 0 1 2 3 4 5 n
(a) (b)
3 3 x[−n] 3 3 x[−n + 2]
2 2
1 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 n
(c) (d)
Figura: (a) x[n − 3] (b) x[2n] (c) x[−n] (d) x[−n + 2]
Jorge A. Rodr´
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10. Ejercicio 6
Usando las se˜ales en tiempo discreto x1 [n] y x2 [n] tal como se muestran en
n
la figura, representar cada una de las siguientes se˜ales gr´ficamente y por una
n a
secuencia de n´meros.
u
x2 [n]
2 2
3 x1[n]
2 2 2 -2 -1 3
1 -3 0 1 2 4 n
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n 2 2 2
1 y1 [n] = x1 [n] + x2 [n]
2 y2 [n] = 2x1 [n]
3 y3 [n] = x1 [n]x2 [n]
Jorge A. Rodr´
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11. Soluci´n
o
4
3 3
y1 [n]
2 2
6
y2 [n]
4 4 4
−2 −1 3
2
−4 −3 0 1 2 4 5 6 7 n
2 2 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 n
(a) (b)
y3 [n]
4
2
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 n
(c)
Figura: (a) y1 [n] (b) y2 [n] (c) y3 [n]
Jorge A. Rodr´
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12. Ejercicio 7
Dado el siguiente filtro
Determinar la relaci´n entrada salida del sistema.
o
Jorge A. Rodr´
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13. Soluci´n
o
La relaci´n de entrada salida del filtro anterior es dada por la siguiente ecuaci´n
o o
en diferencias.
y[n] = b (ax[n] + x[n − 1]) − (cx[n − 3] + x[n − 4])
Jorge A. Rodr´
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14. Ejercicio 8
Sea τ un sistema LTI y estable, con entrada x[n] y salida y[n]. Muestre que:
1 Si x[n] es peri´dica con periodo N , la salida y[n] tiende a una se˜al
o n
peri´dica con el mismo periodo.
o
2 Si x[n] es acotado y tiende a una constante, la salida tambi´n tiende a
e
una constante.
Jorge A. Rodr´
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15. Soluci´n
o
1
n
y[n] = h[k]x[n − k], donde x[n] = 0 para n < 0
k=−∞
n+N n+N
y[n + N ] = h[k]x[n + N − k] = h[k]x[n − k]
k=−∞ k=−∞
n n+N
= h[k]x[n − k] + h[k]x[n − k]
k=−∞ k=n+1
N
= y[n] + h[k]x[n − k]
k=n+1
Para un sistema estable l´ |h[n]| = 0, luego
ım
n→∞
N
l´ y[n + N ] = y[n] + l´
ım ım h[k]x[n − k]
n→∞ n→∞
k=n+1
l´ y[n + N ] = y[n]
ım
n→∞
Jorge A. Rodr´
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16. 2 Sea x[n] = xo [n] + au[n], donde a es una constante y xo [n]es una se˜al acotada con
n
l´ xo [n] = 0.
ım
n→∞
Entonces,
∞ ∞
y[n] = a h[k]u[n − k] + h[k]x0 [n − k]
k=−∞ k=−∞
n
y[n] = a h[k] + y0 [n]
k=−∞
Claramente la energ´ de x0 [n],Ex0 < ∞ luego Ey0 < ∞. Entonces
ıa (1)
l´ |yo [n]| = 0, luego
ım
n→∞
n
l´ y[n] = a l´
ım ım h[k] ⇒ A
n→∞ n→∞
k=−∞
Jorge A. Rodr´
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17. Ejercicio 9
1 Muestre que para cualquier constante real o compleja a, y para cualquier
par de n´meros enteron finitos M y N , tenemos
u
N aM −aN +1
n 1−a si a = 1
a =
n=M
N −M +1 si a = 1
2 Muestre que si |a| < 1, entonces
∞
1
an =
n=0
1−a
Jorge A. Rodr´
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18. Soluci´n
o
1 Para a = 1
N N M −1
an = an − an
n=M n=1 n=1
= N − (M − 1) = N − M + 1
Para a = 1
N
an = aM + aM +1 + · · · + aN
n=M
N
(1 − a) an = (1 − a)(aM + aM +1 + · · · + aN )
n=M
N
(1 − a) an = (aM + aM +1 + · · · + aN ) − (aM +1 + aM +2 + · · · + aN +1 )
n=M
N
(1 − a) an = aM − aN +1
n=M
N
aM − aN +1
an =
n=M
1−a
(2)
Jorge A. Rodr´
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19. Soluci´n 2
o
2 Del resultado anterior reemplazamos: M = 0, N → ∞ y sabiendo que |a| < 1, tenemos
∞ a0 − l´ an
ım
n→∞
an =
n=0
1−a
∞
1
an = ; para |a| < 1
n=0
1−a
Jorge A. Rodr´
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20. Ejercicio 10
Determine y bosqueje la convoluci´n y[n] de las se˜ales
o n
1
3n 0≤n≤6
x[n] =
0 de otra manera
2 −2 ≤ n ≤ 2
h[n] =
o de otra manera
1 De forma gr´fica
a
2 De forma anal´
ıtica
Jorge A. Rodr´
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21. Soluci´n
o
2 2
x[k] 4/3
5/3
x[k] 4/3
5/3
1 1
2/3 2/3
1/3 1/3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
h[n-k] h[n-k]
1 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 k n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 k
(a) (b)
Figura: (a) Para n ≤ −2 (b) Para n = −2
Jorge A. Rodr´
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22. 2 2
x[k] 4/3
5/3
x[k] 4/3
5/3
1 1
2/3 2/3
1/3 1/3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
h[n-k] h[n-k]
n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 k n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 k
(a) (b)
Figura: (a) Para n = 0 (b) Para n = 1
Jorge A. Rodr´
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23. 2 2
x[k] 4/3
5/3
x[k] 4/3
5/3
1 1
2/3 2/3
1/3 1/3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
h[n-k] h[n-k]
n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 k n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 k
(a) (b)
Figura: (a) Para n = 2 (b) Para n = 3
Jorge A. Rodr´
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24. 2 2
x[k] 4/3
5/3
x[k] 4/3
5/3
1 1
2/3 2/3
1/3 1/3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
h[n-k] h[n-k]
n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 k n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 k
(a) (b)
Figura: (a) Para n = 4 (b) Para n = 5
Jorge A. Rodr´
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25. 2 2
x[k] 4/3
5/3
4/3
5/3
x[k]
1 1
2/3 2/3
1/3 1/3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k -1 0 1 2 3 4 5 6 k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
h[n-k] h[n-k]
n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 k n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 k
(a) (b)
Figura: (a) Para n = 6 (b) Para n = 7
Jorge A. Rodr´
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26. 2 2
4/3
5/3
x[k] 4/3
5/3
x[k]
1 1
2/3 2/3
1/3 1/3
-1 0 1 2 3 4 5 6 k 0 1 2 3 4 5 6 k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
h[n-k] h[n-k]
n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 k n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 k
(a) (b)
Figura: (a) Para n = 8 (b) Para n = 9
Jorge A. Rodr´
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27. Soluci´n
o
1 2
y[−1] = 2 =
3 3
1 2
y[0] = 2 + =2
3 3
1 2
y[1] = 2 + +1 =4
3 3
1 2 4 20
y[2] = 2 + +1+ =
3 3 3 3
1 2 4 5
y[3] = 2 + +1+ + = 10
3 3 3 3
2 4 5 40
y[4] = 2 +1+ + +2 =
3 3 3 3
4 5
y[5] = 2 1 + + + 2 = 12
3 3
4 5
y[6] = 2 + + 2 = 10
3 3
5 22
y[7] = 2 +2 =
3 3
y[8] = 2 (2) = 4
y[n] = 0 para n = −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Jorge A. Rodr´
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28. Soluci´n
o
2 De forma anal´
ıtica, tenemos
1
x[n] = n (u[n] − u[n − 7])
3
h[n] = 2u[n + 2] − 2u[n − 3]
y[n] = x[n] h[n]
∞
= x[k]2 (u[n − k + 2] − u[n − k − 3])
−∞
n+2 n−3
= 2x[k] − 2x[k]
−∞ −∞
n+2
1
=2 k (u[k] − u[k − 7])
k=n−3
3
1
=2 δ(n + 1) + δ(n) + 2δ(n − 1)
3
10 20
+ δ(n − 2) + 5δ(n − 3) + δ(n − 4)
3 3
11
+6δ(n − 5) + 5δ(n − 6) + δ(n − 7) + δ(n − 8)
3
Jorge A. Rodr´
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ıtulo 2