Modelo Neoclásico de crecimiento de Solow

1. Crecimiento Económico - Unidad 2: Modelo Neoclásico de Crecimiento
Juan Pablo Medina
UAI

2. Crecimiento: Modelo Neoclásico 1
Introducción
• El modelo neoclásico está basado en los trabajos de Robert Solow (Nobel de Economı́a por esta con-
tribución). Tambien la contribucion de Trevor Swan. Hay quienes llaman el modelo de Solow-Swan.
• El modelo neoclasico da un sustento teorico para descomponer el crecimiento en la contribucion del
crecimiento de los factor productivos, capital (K) y trabajo (L); y la productividad. La productividad
usualmente se conoce tambien como el residuo de Solow.
• Aspecto matematico: Usaremos tiempo continuo. Esto da beneficios para resolver y representar grafi-
camente el modelo neoclasico, pero tiene sus costos tambien. Modelos en tiempo continuo tiene una
complejidad conceptual de entender que las variables son continuas en vez de ser discretas: xt con t en el
intervalo continuo [0, T] versus xt con t = 0, 1, 2, 3, 4, ..., T

3. Crecimiento: Modelo Neoclásico 2
Modelo sin crecimiento de la población y de la productividad
• Y = PIB. Y = AF(K, L), donde
– A: Productividad total de factores
– K: Capital
– L: Trabajo
– F(·): Función con retornos constantes de escala. Eso sı́: FK > 0, FL > 0, FKK < 0, FLL < 0. FK
es la derivada de la función con respecto a K y FKK es la segunda derivada de F con respecto a K.
• Caso sencillo que cumple las condiciones anteriores: Función Cobb-Douglas
F(K, L) = K1−α
Lα

4. Crecimiento: Modelo Neoclásico 3
• Notación: x (minuscula de X) es el nivel per capita de X:
x =
X
L
• Normalicemos por ahora A = 1, implicando que
y =
Y
L
=
1
L
F(K, L) = F(
K
L
, 1) = F(k, 1)
Definamos F(k, 1) como la función f(k)
• Dada las propiedades de F(·), f(k) será creciente y concava en k. Con ello, la única forma de tener más
ingreso per capita (y ↑) es tener más capital per capita (k ↑).
• En el caso Cobb-Douglas, f(k) = k1−α
.
• Otros supuestos del modelo neoclasico básico: economı́a cerrada y no hay gasto de gobierno.

5. Crecimiento: Modelo Neoclásico 4
• Ecuación de acumulación del capital
– En tiempo discreto tenemos: Kt+1 = (1 − δ)Kt + It, donde (1 − δ)Kt es el capital no depreciado al
final de t y It es la inversión en nuevo capital. Podemos re-escribir la expresión anterior como:
Kt+1 − Kt ≡ ∆Kt = It − δKt
– En tiempo continuo pensamos que la distancia de tiempo se hace infinitesimal entre t y t + ∆t,
implicando que
lim
∆t→0
Kt+∆t − Kt
∆t
=
dKt
dt
≡ K̇t
– Ası́, la acumulación de capital en tiempo continuo puede escribirse como:
K̇t = It − δKt

6. Crecimiento: Modelo Neoclásico 5
• Suponer que la población y trabajo se mantiene constante Lt = L, ∀t. Con ello,
k̇t =
dkt
dt
=
d(Kt/L)
dt
=
K̇t
L
=
It
L
− δ
Kt
L
= it − δkt
• Dado que no hay gobierno y es economı́a, cerrada el PIB per capita por el lado de la demanda puede
escribirse como
yt =
Yt
L
=
Ct + It
L
= ct + it
• En economı́a cerrada también sabemos que el ahorro (st) es igual a la inversión: yt − ct = st = it.
• Para terminar la descripción del modelo, asumimos una tasa de ahorro constante como fraccón del ingreso:
st = syt, donde s es una constante dada entre el intervalo (0, 1). Esto lleva a que it = syt = sf(kt).
Incorporando esto en la ecuación de acumulación del capital obtenemos
k̇t = sf(kt) − δkt (1)

7. Crecimiento: Modelo Neoclásico 6
• El estado estacionario es un valor de kt tal que k̇t = 0. Por lo tanto, el estado estacionario es un valor k∗
que satisface sf(k∗
) − δk∗
= 0.
• Ver figura 1 para representación grafica del estado estacionario

8. Crecimiento: Modelo Neoclásico 7
Figure 1: Modelo neoclasico básico

9. Crecimiento: Modelo Neoclásico 8
• ¿ Qué pasa si kt > k∗
? δkt > sf(kt) ⇒ k̇t < 0
• ¿ Qué pasa si kt < k∗
? δkt < sf(kt) ⇒ k̇t > 0
• Las dos observaciones anteriores, nos llevan a concluir que k∗
es un estado estacionario estable. La
economı́a converge a k∗
, independiente del nivel capital per capita inicial.
• Las consecuencias de lo anterior son tremendas pensado en la evidencia empı́rica que vimos en la intro-
ducción. En el largo plazo, no hay crecimiento del ingreso o PIB cuando no tenemos crecimiento de la
población o crecimiento de la productividad total de factores.
• Un aspecto central de la conclusión anterior es que la productividad marginal de capital per capita sea
decreciente en k. Esto limita que la acumulación del capital continue indefinidamente.

10. Crecimiento: Modelo Neoclásico 9
• Hagamos algunos calculos de estado estacionario. El ratio capital-PIB en estado estacionario será:
K∗
Y ∗
=
k∗
y∗
=
s
δ
• Ahora si la función de producción es Cobb-Douglas, tenemos que k∗
/y∗
= k∗
/(k∗
)1−α
= (k∗
)α
, implicando
que
k∗
=
s
δ
1/α
(2)
• La expresión (2) hace una conexión entre ahorro y stock de capital: Mayor ahorro implica mayor k∗
y
mayor y∗
.

11. Crecimiento: Modelo Neoclásico 10
Agregando crecimiento de la población
• Asumir que la población crece a una tasa n (en logaritmos):
Lt = L0 exp(nt)
• Notar que
L̇t =
dLt
dt
= nL0 exp(nt) = nLt
• La ecuación de acumulación del capital en niveles es igual que antes:
K̇t = It − δKt
• Sin embargo, en terminos per capita tiene que modificarse:
k̇t =
d(Kt/Lt)
dt
=
K̇t
Lt
− L̇t
Kt
(Lt)2
=
K̇t
Lt
−
L̇t
Lt
Kt
Lt
=
K̇t
Lt
− nkt

12. Crecimiento: Modelo Neoclásico 11
• Usando que K̇t = It − δKt obtenemos
K̇t
Lt
=
It
Lt
− δ
Kt
Lt
= it − δkt = k̇t + nkt
implicando que
k̇t = it − (δ + n)kt = sf(kt) − (δ + n)kt (3)
• El capital se deprecia a una tasa δ (igual que antes), pero el nivel de capital por trabajador cae a una
tasa n, dado el crecimiento de la población. En consecuencia, el capital per capita se deprecia a una tasa
δ + n.
• Ahora el estado estacionario de k∗
debe satisfacer sf(k∗
) − (δ + n)k∗
= 0. O de manera equivalente
k∗
/f(k∗
) = s/(δ + n). Ver figura 2

13. Crecimiento: Modelo Neoclásico 12
Figure 2: Modelo neoclasico con crecimiento de la población

14. Crecimiento: Modelo Neoclásico 13
• Nuevamente para tener una solución analı́tica para k∗
es necesario especificar la forma especifica de la
función de producción. En el caso Cobb-Douglas, f(kt) = (kt)1−α
, tendremos
k∗
f(k∗)
= (k∗
)α
=
s
δ + n
⇒ k∗
=
s
δ + n
1/α
, y∗
=
s
δ + n
(1−α)/α
• El ratio Capital-PIB es un indicador macroeconómico relevante del estado estacionario y es función de
la tasa de ahorro (s), la tasa de depreciación (δ) y la tasa de crecimiento de la población (n). También
depende de α, el cual es la participación del trabajo en el ingreso en el caso Cobb-Douglas. Veamos
algunos ejemplos:
– Caso 1: s = 30%, δ = 5%, n = 2% ⇒ k∗
/y∗
= 0, 30/(0, 07) = 4, 29
– Caso 2: s = 20%, δ = 5%, n = 2% ⇒ k∗
/y∗
= 0, 20/(0, 07) = 2, 86
• Notar que una mayor tasa de ahorro (todo lo demás constante) nuevamente implica k∗
, y∗
, k∗
/y∗
mayores.

15. Crecimiento: Modelo Neoclásico 14
• La dinámica del modelo neoclasico se puede ver con un grafico diferente a figura 2. Tomenos la ecuación
dinámica del capital per capita y dividamosla por el capital per capita:
k̇t
kt
= s
f(kt)
kt
− (δ + n) (4)
• Notar que k̇t
kt
es la tasa de crecimiento del capital per capita. Dado que f(kt) tiene retornos decrecientes
de escala, f(kt)/kt será una función decreciente en kt. Veamos esta representación grafica de la dinámica
del capital per capita en figura 3

16. Crecimiento: Modelo Neoclásico 15
Figure 3: Representación gráfica alternativa del modelo neoclasico con crecimiento de la población

17. Crecimiento: Modelo Neoclásico 16
• Notar que se cumple que
ẏt
yt
= (1 − α)
k̇t
kt
• En el estado estacionario el capital y el PIB per capita no crecen. Estas variables puede crecer o decrecer
en la transición al estado estacionario. En particular, si el capital per capita es menor a k∗
tendremos que
habra crecimiento de el capital y PIB per capita. Cuando kt k∗
, la economı́a decrecerá en terminos
per capita hacia el estado estado estacionario. Un aspecto clave de estas conclusiones es la ausencia de
crecimiento de la productividad.
• Lo anterior se puede plantear de una forma alternativa: los paı́ses pobres relativo a su estado estacionario
(kt k∗
, yt y∗
) crecen más rápido que aquellos que tiene un ingreso más cerca de su estado estacionario.
• No hay que olvidar que en estado estacionario, el crecimiento del capital y del PIB es igual al crecimiento

18. Crecimiento: Modelo Neoclásico 17
de la población. Las variables en términos per capita son constantes en el estado estacionario, pero los
niveles brutos de las variables si crecen en el estado estacionario conforme crece la población y el empleo.
• El modelo presentado hasta ahora asume que todos los paı́ses son iguales y, por lo tanto, convergen
al mismo estado estacionario. Ası́, la conclusión que hemos derivado se le denomina convergencia
incondicional o no condicional. Esto quiere decir que los paı́ses convergen a k∗
independiente de
sus condiciones iniciales, al converger al mismo k∗
.
• ¿Qué pasa si los paı́ses difieren en sf(kt)/kt? Tendrán diferentes niveles de capital per capita en estado
estacionario. Figura ilustra esta posibilidad, suponiendo que un paı́s pobre tiene un estado estacionario
k∗
1, el cual es menor que el estado estacionario de un paı́s rico k∗
2 k∗
1. Con ello, el paı́s pobre puede
estar más cerca de su propio estado estacionario que el paı́s rico: mayor distancia entre k2 y k∗
2 que entre

19. Crecimiento: Modelo Neoclásico 18
k2 y k∗
2, como se muestra en la figura. Esto hace que el paı́s rico crezca más rápido que el paı́s pobre.

20. Crecimiento: Modelo Neoclásico 19
Figure 4: Paises con diferentes estados estacionarios

21. Crecimiento: Modelo Neoclásico 20
• ¿ Por qué difieren los paı́ses en su capital per capita?
– Paı́ses que ahorran más tienen un k∗
mayor
– Paı́ses con mayores tasas de crecimiento de la población tiene k∗
menores.
– Considerar la siguiente modificación que contempla A 6= 1: f(kt) = A(kt)1−α
, donde A es la produc-
tividad total de factores, la cual puede ser diferente entre paı́ses. Ası́, paises con mayor A tendrán un
k∗
mayor.
Bienestar y la regla dorada
• Es importante remarcar que este modelo no asume una optimización del consumo. En consecuencia, no
es necesariamente cierto que un nivel mayor de ingreso per capita signifique una mayor nivel de bienestar
del paı́s.

22. Crecimiento: Modelo Neoclásico 21
• Un mayor nivel de ingreso per capita puede lograrse sacrificando el consumo. El consumo es un mejor
aproximación al bienestar.
• Pregunta: ¿Cual serı́a el nivel de capital per capita de estado estacionario que maximiza el consumo
de estado estacionario? El ahorro per capita es igual a st = yt − ct. En estado estacionario k̇t = 0,
implicando que st = (δ + n)kt. Juntando las ultimas dos expresiones tenemos que un estado estacionario
que maximiza el consumo es un kRD
tal que se maximiza cRD
= f(kRD
) − (δ + n)kRD
. Este capital,
kRD
, se denomina el capital de la regla dorada. La condición de primer orden de esta maximización es:
f0
(kRD
) = δ + n (5)
• Suponiendo la función de producción Cobb-Douglas, f(kt) = (kt)1−α
, se puede resolve que
kRD
=
1 − α
δ + n
1/α

23. Crecimiento: Modelo Neoclásico 22
• Recordemos que el estado estacionario del modelo desarrollado con crecimiento de la población es:
k∗
=
s
δ + n
1/α
• Conclusiones
– Si s = 1−α, entonces la economia se encuentra en la regla dorada y ası́, el ahorro del modelo es igual
al que se deriva bajo la regla dorada sRD
= 1 − α.
– Si s 1 − α, el nivel de capital per capita es demasiado elevado y la tasa de ahorro es excesiva con
respecto a la regla. dorada. Dado que la tasa de inter’es puede intepretar como el retorno del capital
(f0
(kt)−δ). LO que dice este caso es que la tasa de ahorro es alta e implicará una tasa de interés más
baja que en el caso de la regla dorada, lo cual puede ser inconsistente con una tasa de ahorro elevada.
[Ineficiencia dinámica, Japón]

24. Crecimiento: Modelo Neoclásico 23
– Si s 1 − α, el nivel de capital es bajo y se ahorra poco con respecto a la regla dorada. En este otro
caso, la tasa de interés es elevada en comporación con la que prevalecerı́a en la regla dorada y serı́a
un incoherente con una tasa de ahorro baja. [Más el caso en Latinoamerica]
• Más adelante en el curso derivaremos un modelo con la tasa de ahorro óptima donde habrá una corre-
spondencia entre la tasa de interés y la tasa de ahorro, logrando evitar esta incoherencia. En todo caso, el
modelo con tasa de ahorro óptima tendrá prácticamente las mismas predicciones en torno al crecimiento
y niveles per capita que derivamos con tasa de ahorro exógena.
Agregando progreso tecnológico exógeno
• Una de las principales conclusiones que hemos establecido hasta ahora con el modelo neoclásico es que
el PIB per capita no crece en el largo plazo (estado estacionario). Esta conclusión esta en contradicción

25. Crecimiento: Modelo Neoclásico 24
con la evidencia que revisamos en la Unidad 1. Una forma sencilla de hacer el modelo neoclasico más
coherente con la evidencia es agregar progreso tecnológico. En este caso, la productividad total de
factores, At crece a lo largo del tiempo.
• Función de producción:
Yt = AtF(Kt, Lt)
donde At crece a una tasa x: At = A0 exp(xt).
• Es importante notar que no tenemos un modelo endógeno de las causas que hacen que la productividad
crezca, sino más bien analizaremos las consecuencias de este crecimiento exogeno en la productividad en
las predicciones del crecimiento con el modelo.
• La poblacion crece a una tasa n: Lt = L0 exp(nt)

26. Crecimiento: Modelo Neoclásico 25
• Para facilitar la exposicion consideraremos la funcion de produccion Cobb-Douglas:
Yt = At(Kt)1−α
(Lt)α
= A0(Kt)1−α
(L0 exp((n + x/α)t))α
= A0(Kt)1−α
(Et)α
donde Et = L0 exp((n + x/α)t) se denomina como las unidades de eficiencia del trabajo. Esto es las
horas de trabajo disponible corregidas por la calidad de esta fuerza de trabajo.
• Con esta forma de expresar la funcion de produccion el modelo se asemeja al caso con crecimiento de la
poblacion. Kt se acumula con la inversion y Et crece a una tasa exogena n + x/α.
• Por lo tanto, para tener el modelo en forma estacionaria parece natural expresar las variables por unidades
de eficiencia del trabajo (tambien normalicemos A0 = 1). Denotemos por ỹt como la variable Yt expresada
por unidades de eficiencia del trabajo:
ỹt =
Yt
L0 exp((n + x/α)t)

27. Crecimiento: Modelo Neoclásico 26
• Las variables expresadas en niveles per capita se pueden obtener tomando en cuenta que
yt =
Yt
L0 exp(nt)
= ỹt exp((x/α)t)
• Nuevamente expresando el PIB por el lado de la demanda dividiendolo por Et y considerando que It =
K̇t + δKt, tenemos que
ỹt =
Yt
Et
=
Ct
Et
+
K̇t
Et
+ δ
Kt
Et
= c̃t +
K̇t
Et
+ δk̃t
• Por otra parte, tomando la derivada de k̃t en el tiempo obtenemos:
˙
k̃t =
dk̃t
dt
=
d(Kt/(L0 exp((n + x/α)t)))
dt
=
K̇t
L0 exp((n + x/α)t))
− (n + x/α)(L0 exp((n + x/α)t)))
Kt
(L0 exp((n + x/α)t)))2
=
K̇t
Et
− (n + x/α)
Kt
Et
=
K̇t
Et
− (n + x/α)k̃t

28. Crecimiento: Modelo Neoclásico 27
• Combinando las ultimas dos expresiones podemos escribir:
˙
k̃t = ỹt − c̃t − (δ + n + x/α)k̃t (6)
• Notar que ỹt = Yt/Et = (k̃t)1−α
= f(k̃t)
• Dividiendo (6) por k̃t y continuar asumiendo una tasa de ahorro exogena (ỹt − c̃t = sỹt = sf(k̃t)) se
obtiene
˙
k̃t
k̃t
=
sf(k̃t)
k̃t
− (δ + n + x/α) (7)
• El estado estacionario de k̃t satisface sf(k̃∗))
k̃∗ − (δ + n + x/α) = 0. La figura 5 muestra la dinamica usando
la misma representacion grafica que la ultima vez.

29. Crecimiento: Modelo Neoclásico 28
Figure 5: Dinamica del modelo neoclasico con progreso tecnologico

30. Crecimiento: Modelo Neoclásico 29
• Por lo tanto, las variables Ct, Kt, It, Yt crecen a una tasa n + x/α en el largo plazo, mientras que los
valores per capita crecen a una tasa x/α. Con ello, podemos concluir que agregando progreso tecnologico
podemos hacer crecer el PIB per capita en el largo plazo. El crecimiento del PIB en niveles en el largo
plazo es la suma del crecimiento de la poblacion y el crecimiento de la productividad del trabajo.
• Con la funcion de produccion Cobb-Douglas y A0 = 1 podemos caracterizar el estado estacionario:
s
(k̃∗
)1−α
k̃∗
= δ + n + x/α ⇒ k̃∗
=
s
δ + n + x/α
1/α
• Al igual que antes podemos obtener una expresion del ratio capital-PIB en el estado estacionario:
k̃∗
ỹ∗
=
s
δ + n + x/α

31. Crecimiento: Modelo Neoclásico 30
Volver a la discusion de la regla dorada con progreso tecnologico
• Cuando discutimos la regla dorada, argumentamos que la prodcutividad marginal del capital neta de
depreciacion es una buena aproximacion de la tasa de interes en el modelo a pesar de que no hemos hecho
un modelo donde la tasa de interes logre el equilibrio entre el ahorro y la inversion.
rt = f0
(k̃t) − δ
• Asi, cuando la tasa de interes es baja se tiene que la productividad marginal del capital sera baja. Eso
quiere decir que la economia tiene mucho capital y se esta ahorrando mucho. Lo natural serı́a que la tasa
de ahorro se ajustara a la baja para tener menos capital. Sin embargo, en este modelo la tasa de ahorro
esta dada exogenamente.
• Regla dorada: maximizar el consumo por unidades de eficiencia en el estado estacionario. Para ello,

32. Crecimiento: Modelo Neoclásico 31
recordar que
˙
k̃t = ỹt − c̃t − (δ + n + x/α)k̃t
• Asumiendo la funcion de produccion Cobb-Douglas, ỹt = (k̃t)1−α
.
• En estado estacionario: ˙
k̃t = 0, c̃t = c̃, k̃t = k̃.
• Por lo tanto, al regla dorada consiste en maximizar c̃ sujeto a que c̃ = (k̃)1−α
− (δ + n + x/α)k̃. Este
problema tiene la siguiente condicion de primer orden:
(1 − α)(k̃RD
)−α
− (δ + n + x/α) = 0, o puesto de otra manera f0
(k̃RD
) = δ + n + x/α
lo que implica que el capital de la regla dorada es:
k̃RD
=
1 − α
δ + n + x/α
1/α
(8)

33. Crecimiento: Modelo Neoclásico 32
• Por lo tanto, en la regla dorada la tasa de interes es rRD
= f0
(k̃RD
) − δ = n + x/α, es decir, es igual a
la tasa de crecimiento del PIB de la economia (n + x/α).
• Por otra parte, para evitar que las restricciones presupuestarias intertemporales (en valor presente) no
esten bien acotadas (para descartar esquemas tipo Ponzi), se requiere que la tasa de interés sea mayor o
igual a la tasa de crecimiento de la economia.
• Asi, la regla dorada es una condicion que satisface la ausencia de esquemas tipo Ponzi en el limite.
• Esto se aplica en el largo plazo (que la tasa de interes no sea menor que la tasa de crecimiento de
la economia). En la practica, se observa periodos donde las tasas de interes (reales) son mayores en
promedio a la tasa de crecimiento, pero tambien se observa periodos donde lo inverso tambien ocurre
(tasas de interes reales menores a la tasa de crecimiento de la economia).

34. Crecimiento: Modelo Neoclásico 33
Aplicaciones
• Para entender la logica del modelo neoclasico realizaremos algunos ejercicios que nos ayudaran a ganar
intuicion economica de las predicciones del modelo.
– Reduccion del stock de capital (e.g. despues de una guerra o un desastre natural).
– Aumento en la tasa de crecimiento de la poblacion
– Aumento en la tasa de ahorro
– Aumento en la tasa de crecimiento del progreso tecnologico.
• Destruccion de capital. Inicialmente en k̃1, pero se produce un evento que destruye parte del capital y lo
deja en k̃2 k̃1. Ver figura 6 para ilustrar la dinamica posterior a la destruccion del capital.

35. Crecimiento: Modelo Neoclásico 34
– La destruccion del capital aumenta la productividad marginal del capital. Asi, a una misma tasa
de inversion se tendra una mayor expansion del PIB. No hay que olvidar de que a pesar de que el
crecimiento sea mayor a lo previo, el bienestar del pais es menor dada la destruccion del capital.
– Ejemplos de esta aplicacion son Japon y Alemania despues de la segunda guerra mundial. Estos
paises tuvieron tasas de crecimiento bastante grandes en comparacion a lo que tenian previamente y
relativas a otros paises.

36. Crecimiento: Modelo Neoclásico 35
Figure 6: Destruccion del capital

37. Crecimiento: Modelo Neoclásico 36
• Aumento de la tasa de crecimiento de la poblacion.
– Crecimiento de la poblacion pasa de n1 a n2 n1.
– Figura 7 ilustra las consecuencias de lo anterior.
– El capital se depreciara mas rapido que antes por cada trabajador. Se requiere acumular mas capital
para mantener el mismo nivel per capita. Ello lleva a que el capital per capita tenga que ser mas
productivo de forma tal que k̃∗
2 k̃∗
1.
– En el largo plazo, el PIB y el consumo per capita crecen a la misma tasa que antes (x/α), pero en
la transicion habra una reduccion en los niveles per capita y, por lo tanto, la economia crecera menos
que x/α en la transicion al nuevo estado estacionario.

38. Crecimiento: Modelo Neoclásico 37
Figure 7: Aumento en la tasa de crecimiento de la poblacion

39. Crecimiento: Modelo Neoclásico 38
• Aumento en la tasa de ahorro.
– La tasa de ahorro pasa de s1 a s2 s1
– Ver figura 8
– Aumento del capital per capita y del PIB per capita
– Tambien un aumento en la tasa de crecimiento en la transicion al nuevo estado estacionario.
– Notar que el consumo en el corto plazo (transicion inicial) cae por mas tasa de ahorro. Esto es
consistente con que k̃t crece en la transicion a k̃∗
2. Se puede ver lo anterior dado que s2f(k̃∗
1)
(δ + n + x/α)k̃∗
1
– En el largo plazo, eso si, el capital y PIB per capita vuelven a crecer a x/α.

40. Crecimiento: Modelo Neoclásico 39
Figure 8: Aumento en la tasa de ahorro

41. Crecimiento: Modelo Neoclásico 40
• Aumento de la tasa de crecimiento del progreso tecnologico
– Tasa de crecimiento de At pasa de x1 a x2 x1.
– Este cambio tiene mas complejidades adicionales porque ahora las cantidades per capita ahora crecen
mas rapido en el estado estacionario.
– Ver figura 9. Tambien la figura 10 para representar la evolucion en el tiempo del capital y el PIB per
capita.
– k̃∗
2 k̃∗
1
– El consumo por unidades de eficiencia cae en el estado estacionario tambien porque c̃∗
2 = (1−s)f(k̃∗
2)
(1 − s)f(k̃∗
1) = c̃∗
1.
– ?’El bienestar cae? No, ya que lo que interesa para el bienestar es el consumo per capita y no por

42. Crecimiento: Modelo Neoclásico 41
unidad de eficiencia
– Que pasa en el instante en que la tasa de crecimiento de At pasa de x1 a x2 si se estaba en k̃∗
1?
Justo antes del cambio:
˙
k̃t
k̃t
= s
f(k̃∗
1)
k̃∗
1
− (δ + n + x1/α) = 0
Justo despues del cambio:
˙
k̃t
k̃t
= s
f(k̃∗
1)
k̃∗
1
− (δ + n + x2/α) = −(x2 − x1)/α
– Tambien sabemos que despues del cambio:
k̇t
kt
=
˙
k̃t
k̃t
+
x2
α
– Todo lo anterior nos lleva a concluir que
k̇t
kt
=
x1
α
al instante del cambio en x y luego gradualmente
va aumentando hasta
x2
α

43. Crecimiento: Modelo Neoclásico 42
– Veamos ahora la dinamica del PIB per capita. yt = At(kt)1−α
. Por lo tanto, la tasa de crecimiento es
ẏt
yt
=
Ȧt
At
+ (1 − α)
k̇t
kt
– Por lo tanto, justo al momento del cambio en x tenemos que
Justo despues del cambio:
ẏt
yt
= x2 + (1 − α)
x1
α
x2
α
– Asi, la tasa de crecimiento del PIB aumenta discretamente al momento del cambio en x.
– Dado que el consumo per capita es proporcional al PIB per capita, tenemos que el consumo per capita
tendra la misa tasa de crecimiento que el PIB per capita.

44. Crecimiento: Modelo Neoclásico 43
Figure 9: Aumento en la tasa de crecimiento del progreso tecnologico

45. Crecimiento: Modelo Neoclásico 44
Figure 10: Evolucion tasas de crecimiento de kt e yt luego del aumento en la tasa de crecimiento del progreso tecnologico

46. Crecimiento: Modelo Neoclásico 45
Predicciones sobre la convergencia del modelo neoclasico
• Derivemos la velocidad de convergencia al estado estacionario del modelo
– Recordar que
˙
k̃t =
K̇t
Et
−
Ėt
Et
Kt
Et
=
K̇t
Et
− (n + x/α)
Kt
Et
⇒ K̇t =
˙
k̃t + (n + x/α)k̃t
Et
⇒
K̇t
Kt
=
˙
k̃t + (n + x/α)k̃t
Et
Kt
⇒
K̇t
Kt
=
˙
k̃t
k̃t
+ (n + x/α)
Notar que el termino (n + x/α) no depende del nivel de Kt ni de kt ni k̃t
– Tambien vimos que
˙
k̃t
k̃t
= s
f(k̃t)
k̃t
− (δ + n + x/α) = sA0(k̃t)−α
− (δ + n + x/α)

47. Crecimiento: Modelo Neoclásico 46
– Queremos saber cuanto cambia la tasa de crecimiento con un incremento de 1% en k̃t
β =
∂
˙
k̃t
k̃t
∂ log(k̃t)
=
∂sA0(k̃t)−α
∂ log(k̃t)
=
∂sA0 exp(−α log(k̃t))
∂ log(k̃t)
= −αsA0 exp(−α log(k̃t)) = −αsA0(k̃t)−α
– Por lo tanto, la tasa de crecimiento disminuye a medida que k̃t aumenta. Ademas, la derivada se
vuelve menos negativa a medida que k̃∗
crece. Entonces, la derivada es mas baja en k̃∗
, donde es igual
−αsA0(k̃∗
)−α
= −α(δ + n + x/α)
• La derivada computada anteriormente evaluada en el estado estacionario nos da una nocion de la velocidad
de la convergencia al estado estacionario. Esto porque la derivada captura cuan rapido se va reduciendo
la distancia entre el capital inicial y del estado estacionario en cada periodo.
• Pongamos algunos valores estandar para computar α(δ + n + x/α)
– Participacion del ingreso laboral en el PIB de un grupo de paises desarrollados esta en torno a 70%:

48. Crecimiento: Modelo Neoclásico 47
α = 0, 70
– Depreciacion del capital es 10% anual: δ = 0, 10
– Tasa de crecimiento de la poblacion es 1% anual: n = 0, 01
– Tasa de crecimiento del progreso tecnologico anual es 1%: x = 0, 01.
– Entonces: α(δ + n + x/α) = 0, 7(0, 1 + 0, 01 + 0, 01/0, 7) = 0, 087 ==8,7%.
– Este seria una cota inferior de β porque esta computado en el estado estacionario, donde la derivada
era menor en valor absoluto. Tomemos esto como referencia para la dinamica de k̃ : k̃∗
/k̃t ≈
(1, 087)−t
k̃∗
/k̃0
– Asi, cada año se avanzaria como minimo 8,7% en cubrir la diferencia entre el capital inicial y el de
estado estacionario.

49. Crecimiento: Modelo Neoclásico 48
– En cuanto tiempo se cubre la mitad de la diferencia entre el capital inicial y el de estado estacionario?
Un T tal que (k̃∗
/k̃T )/(k̃∗
/k̃0) = 1/2 = (1, 087)−T
:
(1, 087)−T
= 1/2 ⇒ −T log(1, 087) = − log(2) ⇒ T = log(2)/ log(1, 087) = 8, 3
– Toma 8,3 años cubrir la mitad de la diferencia entre el capital inicial y el capital de estado estacionario.
• Este ultimo valor parece muy rapido en comparacion a lo que se encuentra en la evidencia de paises.
• Veremos mas adelante que un resultado teorico mas coherente con la evidencia utiliza una defincion mas
amplia de capital, incluyendo tanto el capital fisico como el capital humano en K. En ese caso, se tiene
α = 0, 2, δ = 0, 08 (el capital humano se deprecia mas lento que el fisico. β = 0, 2(0, 08 + 0, 01 +
0, 01/0, 2) = 0, 028 = 2, 8%. Se cierra la mitad de la diferencia entre el capital inicial y el de estado
estacionario en T = log(2)/ log(1, 028) = 25. 25 años en periodo mas coherente con la evidencia de

50. Crecimiento: Modelo Neoclásico 49
paises. Ver Mankiw, Romer y Weil (1992) y Barro y Sala-i-Martin (1991, 1992).
Sobre la convergencia nuevamente
• Como hemos visto, existe una relación inversa entre k̃t y crecimiento.
• Además, como ỹt = A0(k̃t)α
, lo que implica que el ingreso esta relacionado también con el crecimiento.
• La relación inversa entre ingreso per capita y crecimiento se conoce como la hipotesis de convergencia
incondicional. Los graficos que mostramos en los apuntes de la Unidad 1 para una muestra de paı́ses
ilustraba si esta hipotesis se daba en los datos.
• Es importante enfatizar que la hipotesis de convergencia incondicional supone que la única diferencia
entre paı́ses es el stock de capital inicial; y todo lo demás es igual entre paı́ses: tasa de ahorro, s; tasa

51. Crecimiento: Modelo Neoclásico 50
de depreciación, δ; tasa de crecimiento de la población, n; tasa de crecimiento de la productividad, x,
participación del trabajo en la producción, α; etc.
• Si nos deviamos de lo anterior la convergencia no es necesariamente incondicional, sino que condicional al
estado estacionario de cada paı́s. Por ejemplo, figura 11 ilustra un caso donde los paı́ses ricos tienen una
tasa de ahorro mayor que los paı́ses pobres y, por lo tanto, tienen un estado estacionario (k̃∗
1) mayor que
los paı́ses pobres (k̃∗
1 k̃∗
2).

52. Crecimiento: Modelo Neoclásico 51
Figure 11: Convergencia condicional: pais rico vs pais pobre

53. Crecimiento: Modelo Neoclásico 52
• Con ello, podrı́amos tener una situación donde el paı́s pobre tiene un capital inicial bastante más bajo
que el paı́s rico (k̃0,2 k̃0,1), pero el paı́s pobre esta mas cerca de su propio estado estacionario que el
paı́s rico: distancia entre k̃∗
1 y k̃0,1 es mayor que distancia entrek̃∗
2 y k̃0,2. Ası́, el paı́s rico crece más rapido
que el paı́s pobre.
• Lo anterior implica una divergencia en los ingresos per capita entre paı́ses.
• Sin embargo, la convergencia ilustrada en figura 11 se denomina convergencia condicional, al referirse a
que es condicional al estado estacionario de cada paı́s.
• Nuevamente, si uno asume un α ∈ [0, 2; 0, 3], Barro y Sala-i-Martin (1991,1992) y Mankiw, Romer y Weil
(1992) encuentran evidencia empı́rica para la hipotesis de convergencia condicional.

54. Crecimiento: Modelo Neoclásico 53
Modelo de Solow ampliado con capital humano
• Mankiw, Romer y Weil (1992) construyen un modelo de Solow ampliado que incorpora capital humano
además de capital fı́sico
Yt = B(Kt)λ
(Ht)η
(Lt)1−λ−η
(9)
donde Kt es capital fisico, Ht es capital humano y Lt es trabajo. B es la productividad total de factores.
• Por el lado de la demanda, inversión en capital fisico y humano son sustitutos perfectos (claramente esto
es un supuesto poco realista, pero facilita enormemente los resultados del modelo. Quizas a largo plazo
no es un supuesto incorrecto esta sustitución perfecta):
K̇t + Ḣt = Yt − Ct − δKKt − δHHt (10)
donde δK y δH son, respectivamente, las tasa de depreciacion del capital fisico y humano.

55. Crecimiento: Modelo Neoclásico 54
• Para simplificar, supongamos que δK = δH = δ.
• Las empresas maximizan sus utilidades al combinar los factores productivos. Dado que capital fisico y
capital humano son sustitutos perfectos por el lado de la demanda de factores, debemos tener que las
productividades marginales del capital fisico y humano se igualan:
λ
Yt
Kt
= η
Yt
Ht
⇒ Ht =
η
λ
Kt (11)
• Usando (11) en (9) obtenemos:
Yt = B(Kt)λ
(
η
λ
Kt)η
(Lt)1−λ−η
= B(
η
λ
)η
(Kt)λ+η
(Lt)1−λ−η
• Si definimos A = B(η
λ)η
y α = 1 − λ − η, podemos volver a escribir la función de producción del modelo
neoclasico basico:
Yt = A(Kt)1−α
(L1)α

56. Crecimiento: Modelo Neoclásico 55
• La diferencia más relevante tiene que ver con la interpretación de la participación del capital (fisico y
humano) y el trabajo en la función de producción.
– Usando datos de paise, se sabe que la participación del capital fisico en la producción es un 30%:
λ = 0, 3.
– También la participación del capital humano en la producción de varios paises es 50%: η = 0, 5.
– Entonces α = 1 − λ − η.
– La tasa de depreciación promedio ponderado del capital fisico y humano es 8% anual: δ = 0, 08.
– La tasa de crecimiento de la poblacion es 1% anual: n = 0, 01.
– La tasa de crecimiento de la productividad es 1%: x = 0, 01.
– Recordando el coeficiente β de convergencia evaluado en el estado estacionario es βEE = −α(δ + n +

57. Crecimiento: Modelo Neoclásico 56
x/α), obtenemos que β = −0, 2(0, 08 + 0, 01 + 0, 01/0, 2) = −0, 028.
– La literatura empirica se estima indirectamente β en la siguiente regresion de paises i = 1, ..., N:
gi = θ + β log(y0,i) + otros controles de paises
donde gi es la tasa de crecimiento en un periodo dado en el pas i y y0,i es el ingreso per capita de ese
mismo pais i al comienzo de dicho periodo.
– En estudios se ha estimado que β̂ = −0, 02 en la regresion de arriba. Por lo tanto, el modelo neoclasico
ampliado con capital humano es más consiste con la evidencia empı́rica de convergencia de los paises.
Incorporar la dimensión de economı́a abierta
• Hasta ahora hemos considerado una economı́a cerrada para el modelo neoclasico.

58. Crecimiento: Modelo Neoclásico 57
• Consideremos el modelo ampliado con capital humano, pero agregando ahora una dimension de economı́a
abierta: cada paı́s puede pedir prestado en los mercados financieros internacionales para invertir en capital
fisico. No puede hacerse eso para el capital humano.
• Esto es lo que hacen Barro, Mankiw y Sala-i-Martin (1992) para ver las consecuencias de estos supuestos
en la prediccion del modelo sobre la convergencia. Funcion de producción es la misma vista previamenete:
Yt = Yt = B(Kt)λ
(Ht)η
(Lt)1−λ−η
.
• Kt puede moverse libremene entre paı́ses, por lo que la productividad marginal de capital fisico neto de
depreciación debiera igualarse a la tasa de interes internacional, r∗
:
PMgK,t = λ
Yt
Kt
= r∗
+ δ ⇒ Kt =
λ
r∗ + δ
Yt (12)
• En contraste, se asume que no hay movilidad libre de capital humano entre paises .

59. Crecimiento: Modelo Neoclásico 58
• Usando (12) en la funcion de producción se obtiene
Yt = B(Kt)λ
(Ht)η
(Lt)1−λ−η
= B(
λ
r∗ + δ
Yt)λ
(Ht)η
(Lt)1−λ−η
= B(
λ
r∗ + δ
)λ
(Yt)λ
(Ht)η
(Lt)1−λ−η
implicando que
(Yt)1−λ
= B(
λ
r∗ + δ
)λ
(Ht)η
(Lt)1−λ−η
⇒ Yt =
B(
λ
r∗ + δ
)λ
1
1−λ
(Ht)
η
1−λ (Lt)1− η
1−λ
• Definiendo A =
B( λ
r∗+δ)λ
1
1−λ
, α = 1 − η
1−λ, podemos escribir la funcion de produccion resultante como:
Yt = A(Ht)1−α
(Lt)α
• Nuevamente, si tenemos λ = 0, 3, η = 0, 5 implica que α = 1 − 0, 5/0, 7 = 0, 29
• Usando lo mismos valores para el resto de los parametros: δ = 0, 08, n = x = 0, 01, se obtiene que el

60. Crecimiento: Modelo Neoclásico 59
coeficiente de convergencia en este modelo serı́a:
βEE = −α(δ + n + x/α) = −0, 29(0, 08 + 0, 01 + 0, 01/0, 29) = −0, 036
• Ası́, el modelo con libre movilidad de capital fisico implica un convergencia más rapida que el modelo en
economı́a cerrada. Con ello, el modelo de economı́a cerrada no parece ser un mal supuesto para explicar
la mas lenta convergencia observada en los paises.