Matemáticas II vol. II

II
II
SUSTITUIR
2doGrado
VolumenII
matemáticAS
2do Grado Volumen II
Libroparaelmaestro
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matemáticAS
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Libro para el maestro
matemáticas II
2do Grado Volumen II

Matemáticas II. Libro para el maestro. Volumen II, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano
de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
Josefina Vázquez Mota
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA
José Fernando González Sánchez
Dirección General de Materiales Educativos
María Edith Bernáldez Reyes
Dirección de Desarrollo e Innovación
de Materiales Educativos
Subdirección de Desarrollo e Innovación
de Materiales Educativos para la Educación Secundaria
Dirección Editorial
INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA
Dirección General
Manuel Quintero Quintero
Coordinación de Informática Educativa
Felipe Bracho Carpizo
Dirección Académica General
Enna Carvajal Cantillo
Coordinación Académica
Armando Solares Rojas
Asesoría académica
María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)
Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)
(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)
Autoras
Ana Laura Barriendos Rodríguez, Diana Violeta Solares Pineda
Colaboración (actividades tecnológicas)
Deyanira Monroy Zariñán
Colaboradores
Araceli Castillo Macías, Rafael Durán Ponce,
Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia García Peña,
José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero,
Jesús Rodríguez Viorato
Apoyo técnico y pedagógico
María Catalina Ortega Núñez
Coordinación editorial
Sandra Hussein Domínguez
Primera edición, 2007 (ciclo escolar 2007-2008)
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2007
Argentina 28, Centro,
06020, México, D.F.
ISBN 978-970-790-964-9 (obra completa)
ISBN 978-968-01-1461-0 (volumen II)
Impreso en México
Distribución gratuita-Prohibida su venta
Servicios editoriales
Dirección de arte:
Rocío Mireles Gavito
Diseño:
Zona gráﬁca
Diagramación:
Bruno Contreras, Erandi Alvarado,
Víctor M. Vilchis Enríquez
Iconografía:
Cynthia Valdespino, Fernando Villafán
Ilustración:
Gustavo Cárdenas, Curro Gómez, Carlos Lara,
Gabriela Podestá
Fotografía:
Cynthia Valdespino, Fernando Villafán

CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEÑAR EN LA TELESECUNDARIA
1 Crear un ambiente de confianza
2 Incorporar estrategias de enseñanza de manera permanente
3 Fomentar la interacción en el aula
4 Utilizar recursos múltiples
5 Desplegar ideas en el aula para consultas rápidas
Pistas didácticas
Mapa-índice
Clave de logos
Bloque 3
secuencia 18 Sucesiones de números con signo
secuencia 19 Ecuaciones de primer grado
secuencia 20 Relación funcional
secuencia 21 Los polígonos y sus ángulos internos
secuencia 22 Mosaicos y recubrimientos
secuencia 23 Las características de la línea recta
Bloque 4
secuencia 24 Potencias y notación científica
secuencia 25 Triángulos congruentes
secuencia 26 Puntos y rectas notables del triángulo
secuencia 27 Eventos independientes
secuencia 28 Gráficas de línea
secuencia 29 Gráficas formadas por rectas
Bloque 5
secuencia 30 Sistemas de ecuaciones
secuencia 31 Traslación, rotación y simetría central
secuencia 32 Eventos mutuamente excluyentes
secuencia 33 Representación gráfica de sistemas de ecuaciones
Examen bloque 3
Examen bloque 4
Examen bloque 5
Bibliografía
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6
8
10
12
14
16
20
25
26
28
40
56
76
86
98
116
118
138
148
166
184
200
210
212
230
246
260
274
286
300
312
Índice

Cinco sugerencias para enseñar
en la Telesecundaria
1 3 4
52

Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre
causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar
dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de
confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer
preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para
lograr esto son:
• Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas
ocasiones las preguntas tienen más de una solución. Por ello, es
importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a
llegar a una solución única. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar
a sus compañeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las
propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qué punto se
acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemáticas, por ejemplo,
muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que
corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea
colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden
aparecer en la clase sobre un mismo problema.
• Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo
es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de
conocimientos y experiencias. Algunos serán lectores fluidos, otros
sabrán argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarán con mucha
facilidad, otros harán cálculos y estimaciones con soltura. Formar
equipos heterogéneos propicia que unos puedan compartir lo que
saben con otros. Esto es particularmente útil para la realización de los
proyectos de Ciencias, debido a
que éstos integran contenidos
conceptuales, habilidades y
actitudes desarrolladas a lo
largo de un bloque o al final
del año escolar.
Crear un ambiente de confianza1

• Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando
su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situación que
desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en
silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro
puede hacer lo mismo. Esto lo ayudará a darse cuenta de cuánto
tiempo toma, qué retos especiales presenta o qué aspectos hay que
tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo,
también puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar
información y tomar sugerencias.
• Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento
a qué ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer
intervenciones más directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos
de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede
pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o
palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales;
también puede participar en algunos grupos para conocer la dinámica
del trabajo en equipo. Además, en algunos momentos, puede orientar
el diálogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algún
contenido conceptual.
• Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en
ocasiones los alumnos concluyen una actividad y después de discutirla
con otros se dan cuenta de que les gustaría modificarla. Puede resultar
de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algún
aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, déles tiempo
para reelaborar y sentirse más satisfechos con su trabajo.
Cómo hacer
una lluvia de ideas
Cómo coordinar
la discusión de
un dilema moral

Es importante usar diferentes prácticas académicas
de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos
tipos de textos, gráficas, esquemas, mapas, fórmulas e imágenes;
demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar
términos técnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y
realizar operaciones matemáticas. Las siguientes estrategias pueden servir
como lineamientos generales para la enseñanza en el aula:
• Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las
diferentes fórmulas, gráficas, mapas, tablas e imágenes que se les
presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas
Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos
sobre por qué se incluyen estos recursos en la actividad, qué tipo de
información aportan y en qué aspectos deben poner atención para
comprenderlos mejor.
• Las actividades relacionadas con los mapas, imágenes, gráficas,
problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de
favorecer la construcción colectiva de significados: en lugar de
utilizarlas para verificar la comprensión de lectura o la interpretación
de la información representada, se busca construir con el grupo, con la
participación de todos, qué dice el texto o las otras representaciones,
qué conocemos acerca de lo que dice, qué podemos aprender de ellos
y qué nos dicen para comprender mejor nuestro mundo.
• Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta consti-
tuye una situación privilegiada para escuchar un texto y comentarlo
sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar
su significado; la lectura en pequeños grupos crea oportunidades para
que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexión personal y la
relectura de fragmentos. Según la ocasión y el propósito, también
puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos.
• Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar
de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensión de
los estudiantes, utilícelas para construir, junto con ellos, los
significados de los textos incluidos en las secuencias.
• Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeños
textos, puede modelarse cómo iniciar el escrito en el pizarrón: pida a
dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar
a todos a empezar a escribir.
Incorporar estrategias de
enseñanza de manera permanente
2

• Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van
escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los
escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos
y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los
ayudará a escuchar cómo se oye (y cómo se entienden) sus escritos.
Propicie la valoración y aceptación de las opiniones de los otros con el
fin de mejorar la composición de textos. Modele y propicie el uso de
oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas.
• Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el
conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas
preguntas pueden promover el pensamiento crítico en los estudiantes
porque no sólo se dirigen a los contenidos conceptuales, también se
involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexión de
aspectos éticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros.
• Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temática o
contenido académico: para ejemplificar algún tipo de expresión,
identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula
y léalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales múltiples y
la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.
• Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los
alumnos, de acuerdo a la temática o contenido académico.
• Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo
que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces,
cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de
nuestras preguntas y dudas. También se puede usar la escritura para
ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hipótesis o
registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasión posterior.
En matemáticas, por ejemplo, el carácter de formal o acabado del
procedimiento de solución de un problema depende del problema que
trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicati-
vo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma
operación es un procedimiento experto para un
problema de tipo aditivo. El conoci-
miento matemático está en cons-
trucción permanente.
Cómo apoyar la
elaboración de resúmenes
Cómo introducir
otros recursos
Para hacer uso
del diccionario
Cómo leer
un mapa
Cómo concluir
un diálogo o actividad

10 Libro para el maestro
El diálogo e interacción entre los pares es una
parte central en el proceso de aprendizaje: la participación con otros nos
ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos
hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, oír las ideas de los
demás y compararlas con las propias. Por ello, es deseable:
• Fomentar la interacción en el aula con múltiples oportunidades para
opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer
preguntas y contestar: las preguntas que se responden con “sí” o
“no”, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir
las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las
preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de
respuestas que permiten el análisis, la comparación y la profundización
en las problemáticas a tratar; también permiten explorar
razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Además,
dan pie a un uso más extenso de la expresión oral.
• Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el
tema nuevo o lo que están aprendiendo: en diferentes momentos de
las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse diálogos,
con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros
alumnos, y con ello enriquecer y promover la construcción compartida
de conocimientos.
Fomentar la interacción en el aula
3

11Libro para el maestro
• Incorporar en las actividades cotidianas los diálogos en pequeños
grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es
más probable que lo hagan en un grupo más pequeño o en parejas.
• Utilizar ciertos formatos de interacción de manera reiterada, con
materiales de apoyo escritos y/o gráficos para organizar actividades:
algunos ejemplos de estos formatos son la presentación oral de
reseñas de libros, la revisión de textos escritos por los alumnos,
realización de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno
tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de
información, analista, etcétera).
• Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden
ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del
grupo; un registro de diferentes formas de expresión o propuestas de
cómo “decir” algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una
tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.
Cómo llevar
a cabo un debate
Cómo conducir una
revisión grupal de textos
Cómo conducir
un diálogo grupal
Cómo coordinar
la discusión de
un dilema moral

Una parte fundamental de la educación secundaria
es aprender a utilizar recursos impresos y tecnológicos para conocer
diversas expresiones culturales, buscar información y resolver problemas.
Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como
parte de la preparación de las clases y
• Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los
alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes
recursos.
• Promover el uso constante de otros recursos tecnológicos y bibliográficos
disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede
Utilizar recursos múltiples
4

fomentarse su uso para la realización de los trabajos escolares y, de
contar con conectividad, para buscar información en Internet.
Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la
biblioteca de la escuela y la biblioteca pública son fuentes de
información potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos
tecnológicos, como los videos, los simuladores para computadora y
otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensión de
fenómenos o procesos matemáticos, biológicos, físicos y químicos que
muchas veces son difíciles de replicar en el laboratorio o a través de
alguna actividad experimental.
Cómo anotar referencias
de las fuentes utilizadas
Cómo introducir
otros recursos

Las paredes del aula constituyen un espacio
importante para exponer diferentes recursos de consulta rápida y
constante. Por ejemplo, se puede:
• Crear un banco de palabras en orden alfabético de los términos
importantes que se están aprendiendo en las distintas materias. Sirven
de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus
guías, escribir pequeños textos, participar en los diálogos, etc.
• Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver
algún tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para
orientar qué hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en
un texto:
Desplegar ideas en el aula
para consultas rápidas
Tratar de inferir el significado
del texto.
Buscarlo en el diccionario.
Preguntar al maestro
o a un compañero.
Saltarla y seguir leyendo.
¿Qué hacer cuando no sabes
qué significa una palabra?
5

• Colgar mapas, tablas, gráficas, fórmulas, diagramas y listas para la
consulta continua.
• Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y
la evolución de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una
bitácora donde se escribe cada día lo que ocurrió en las diferentes
clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el
registro del trabajo y experiencias del día. La bitácora se pone a
disposición de todos para consultar. Esta no es una actividad para
calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la
memoria del grupo durante el año escolar. Cada alumno podrá
seleccionar qué fue lo relevante durante el día y escribirá de acuerdo a
su estilo y sus intereses.
Cómo organizar la
bitácora del grupo

Pistas didácticas
Cómo anotar referencias de las fuentes utilizadas
• Cuando se utilizan textos o imágenes que aparecen en distintos medios, se cita
su procedencia, usando alguno de los siguientes códigos:
• Libro: apellido del autor, nombre del autor, título, lugar de edición, editorial
y año de publicación. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar también
las palabras o páginas consultadas.
• Revista o periódico: título, número, lugar y fecha de publicación, páginas consultadas.
• Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisión y canal.
Cómo conducir una revisión grupal de textos individuales
• Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los
textos en el pizarrón o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresio-
nes que puedan ser mejoradas.
• Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo
que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrón haga las modificaciones sugeridas por
los comentaristas y pregunte al autor si está de acuerdo, si su texto mejora con las
aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el
que concluya cuál es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el
pizarrón y después en su cuaderno.
• Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban
con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo.
• En cada ocasión invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no
se autopropongan.
• Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.
Cómo conducir un diálogo grupal
• Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrón,
para recuperarlas en la discusión o conclusiones.
• Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema)
o en situaciones parecidas.
• Para avanzar en el diálogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones
de los alumnos. Por ejemplo: “Juan dijo tal cosa, pero María piensa esta otra,
¿qué otras observaciones se podrían hacer?”
• Cierre cada punto y dé pie al siguiente inciso. Por ejemplo: “Ya vimos las características comunes a
todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado”.
• En cada ocasión otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano.
• Señale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.

Cómo hacer una lluvia de ideas
• Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situación (¿Qué
pasaría si…? ¿Cómo podríamos…? ¿Por qué creen que esto ocurre así…? ¿Qué les sugiere esto?).
• Permita y promueva que los alumnos den su opinión, anote ideas y sugerencias y
planteen dudas.
• Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrón, de manera abreviada,
sus comentarios y aportaciones. También puede anotar sus ideas en un procesador
de palabras y proyectarlas en la pantalla.
• Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen
diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas
cronológicamente, agruparlas por contenido, etcétera).
• Resuma con el grupo las principales aportaciones.
• Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.
Cómo concluir un diálogo o una actividad
• Hacia el final del diálogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los
participantes.
• Señale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recuérdele al
grupo cómo se plantearon y cómo se resolvieron.
• Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales
de la actividad y de sus reflexiones.
• Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas
entre ellos.
• Anote en el pizarrón las ideas y conclusiones más
importantes.
Cómo organizar la bitácora del grupo
• La bitácora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca
escribir día a día la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el
sentido de que cada alumno puede elegir qué aspecto del día comentar y cómo
comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspecti-
vas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula.
• Cada día un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar
fotografías, etcétera.
• Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras.
• Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitácora electrónica) del grupo que
se despliegue en Internet. En la página www.blogspot.com se explica cómo hacerlo.

Cómo coordinar la discusión de un dilema moral
• Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que
los comentarios se harán más adelante.
• Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntándoles, ¿por qué es un dilema?, ¿cuál es el
tema central?, ¿qué habrá pensado el personaje en cuestión?
• Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria.
• Explique previamente dos reglas básicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a
personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente
argumentos a favor y en contra de cada postura.
• A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, anótelos en el pizarrón e
invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: ¿Cuál es el mejor argumento a favor
de X postura y por qué? ¿Habría otros argumentos?, ¿cuáles?
• Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los
argumentos dados, y a buscar salidas diversas y más satisfactorias al dilema.
Cómo introducir otros recursos
• Explore y lea con anticipación los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con
el grupo.
• Presente el material (libro, revista, artículo de periódico, mapa, imagen, etcétera)
al grupo, comentando qué tipo de material es, el autor o artista, el año.
• Lea o muéstrelo al grupo.
• Converse con los alumnos acerca de la relación de este material con el trabajo que se está
desarrollando. Propicie la reflexión sobre la relación del material presentado con la
actividad que se realiza o el contenido que se trabaja.
• Invítelos a revisar el material y conocerlo más a detalle, o que ellos sugieran, aporten,
lleven o busquen material relevante para los temas que están abordando en el curso.
Cómo llevar a cabo un debate
• Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeñen las funciones de moderador y
de secretario, explicándoles en qué consiste su labor.
• Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse
con claridad cuál o cuáles son los puntos o aspectos que se están confrontando.
• El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la
primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus
argumentos acerca del tema.
• El secretario toma notas de las participaciones poniendo énfasis en las ideas o conceptos
que aportan.
• Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios.
De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones;
o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el
secretario tome nota de ellas.
• Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participan-
tes cuáles son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones.
• Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.

Cómo leer un mapa
• Pida a los alumnos que identifiquen el título del mapa para saber qué tipo de información
representa. Si se trata de un mapa histórico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cuándo
data y si representa hechos o procesos del pasado.
• Revise con los alumnos las referencias o simbología.
• Señale claramente cuál es la escala empleada en el mapa.
• Revise con el grupo la simbología utilizada y su explicación.
• Comente con el grupo la información que se puede obtener a partir del mapa
o relacionándolo con otras informaciones previas.
• Interprete la orientación a partir de leer la rosa de los vientos.
Cómo conducir una revisión grupal de textos colectivos
• Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmen-
tos breves del texto en el pizarrón para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.
• Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisión. En el
pizarrón haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si están de acuerdo, si su
texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los
autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir,
reelaboren su idea en el pizarrón y luego en su cuaderno.
• Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo
reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo.
• En cada ocasión, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie
actitudes positivas hacia la revisión para el mejoramiento de la expresión escrita.
Cómo apoyar la elaboración de resúmenes
• Elija el texto que se va a resumir y léalo con el grupo.
• Solicite participaciones a partir de las preguntas: ¿cuál consideran que es la idea principal de
cada párrafo?, ¿cuáles serán las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los
alumnos, escriba algunas en el pizarrón o con el procesador de textos y después proponga
usted sus respuestas a las mismas preguntas.
• A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrón cómo retomar la idea principal de cada
párrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario técnico y ejemplos del texto.
• De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resúmenes elaborados por usted o por
otros estudiantes.
Para hacer uso del diccionario
• Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden.
• Búsquenlas en el diccionario en orden alfabético.
• Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. También pueden hacer uso de
sinónimos.
• Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente.
• Si aún quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.

Bloque1
SECUENCIASESIÓN
RECURSOSTECNOLÓGICOS
VideosInteractivosAulademedios
1. Multiplicaciónydivisióndenúmerosconsigno.
Resolverproblemasqueimpliquenmultiplicacionesy
divisionesdenúmerosconsigno.
1.1 LosnúmerosconsignoLosnúmerosconsignoMuchasmanerasdehacerlomismo1y2(Logo)
¿Cómorestamosnúmerosconsigno?(Calculadora)
1.2 MultiplicacionesdenúmerosconsignoMultiplicaciónydivisióndenúmerosconsigno
1.3 Másmultiplicacionesdenúmerosconsigno
1.4 Laregladelossignos1Multiplicaciónydivisióndenúmerosconsigno
1.5 Laregladelossignos2Multiplicaciónydivisióndenúmerosconsigno
2. Problemasaditivosconexpresionesalgebraicas.
Resolverproblemasqueimpliquen adiciónysustracciónde
expresionesalgebraicas.
2.1 LosgallinerosSumayrestadeexpresionesalgebraicasRectángulosdediferentestamaños(Logo)
2.2 AmedircontornosSumaconpolinomios(Calculadora)
2.3 LatablanuméricaSumayrestadeexpresionesalgebraicas
2.4 CuadradosmágicosynúmerosconsecutivosLamagiadeloschinosSumayrestadeexpresionesalgebraicas
3. Expresionesalgebraicasymodelosgeométricos.
Reconoceryobtenerexpresionesalgebraicasequivalentesa
partirdelempleodemodelosgeométricos.
3.1 ExpresionesequivalentesModelosgeométricosdeexpresionesalgebraicas
3.2 MásexpresionesequivalentesMásexpresionesequivalentesModelosgeométricosdeexpresionesalgebraicas
4. Ángulos.
Resolverproblemasqueimpliquenreconocer,estimar
ymedirángulos,utilizandoelgradocomounidaddemedida.
4.1 MedidasdeángulosElgradocomounidaddemedidaReconocer,estimarymedirángulosClasificacióndeángulos(Geometríadinámica)
4.2 ÁngulosinternosdetriángulosReconocer,estimarymedirángulosSumadelosángulosinterioresdeuntriángulo
(Geometríadinámica)
4.3 Deduccióndemedidasdeángulos
5. Rectasyángulos.
Determinarmediante construccioneslasposicionesrelativas
dedosrectasenelplanoyelaborardefinicionesderectas
paralelas,perpendicularesyoblicuas.
Establecerrelacionesentrelosángulosqueseformanal
cortarsedosrectasenelplano,reconocerángulosopuestos
porelvérticeyadyacentes.
5.1 RectasquenosecortanRectasyángulosTrazodeunaparalela(Geometríadinámica)
5.2 RectasquesecortanRectasyángulosPosicionesdedosrectasquesecortan
5.3 RelacionesentreángulosParejasderectasRectasyángulosÁngulosformadosporlainterseccióndedosrectas
6. Ángulosentreparalelas.
Establecerlasrelacionesentrelosángulosqueseforman
entredosrectasparalelascortadasporunatransversal.
Justificarlasrelacionesentrelasmedidasdelosángulos
interioresdelostriángulosyparalelogramos.
6.1 ÁnguloscorrespondientesÁngulosyparalelasParalelasysecante(Logo)
6.2 ÁngulosalternosinternosRelacionesdelosángulosentreparalelas
6.3 LosángulosenlosparalelogramosyeneltriánguloRelacionesimportantesReconocer,estimarymedirángulos
7. Larelacióninversadeunarelacióndeproporcionalidad
directa.
Determinarelfactorinversodadaunarelaciónde
proporcionalidadyelfactordeproporcionalidadfraccionario.
7.1 ElpesoenotrosplanetasElpesoenotrosplanetas¿CuántopesosiestoyenSaturno?(Calculadora)
7.2 EuropayPlutón
7.3 ProblemasFactoresdeproporcionalidad
ProporcionalidadconLogo
8. Proporcionalidadmúltiple.
Elaboraryutilizarprocedimientospararesolverproblemasde
proporcionalidadmúltiple.
8.1 ElvolumenLaproporcionalidadmúltipleProporcionalidadmúltiple
8.2 Laexcursión
8.3 Másproblemas
9. Problemasdeconteo.
Anticiparresultadosenproblemasdeconteo,conbaseenla
identificaciónderegularidades.Verificarlosresultados
mediantearreglosrectangulares,diagramasdeárboluotros
recursos.
9.1 ¿Cómonosestacionamos?¿Decuántasformas?Diagramadeárbol
9.2 Lacasadecultura
9.3 RepartodedulcesDiagramadeárbol
Anticiparresultadosenproblemasdeconteo
10. Polígonosdefrecuencias.
Interpretar ycomunicarinformaciónmediante polígonosde
frecuencia.
10.1 Rezagoeducativoygráficas
10.2 AnemiaenlapoblacióninfantilmexicanaPolígonosdefrecuenciasenlosreportesdeinvestigación
10.3 ¿Quégráficautilizar?Polígonodefrecuencias
EVALUACIÓN

Bloque2
SECUENCIASESIÓN
11. Lajerarquíadelasoperaciones.
Utilizarlajerarquíadelasoperacionesylosparéntesis
sifueranecesario,enproblemasycálculos.
11.1 ElconcursodelateleElconcursodelateleJerarquíadelasoperaciones
yusodeparéntesis
AprendeacalcularconLogo(Logo)
11.2 MásreglasConstruccióndeprogramasVII(Calculadora)
12. Multiplicaciónydivisióndepolinomios.
Resolverproblemasmultiplicativosqueimpliquenel
usodeexpresionesalgebraicas.
12.1 LosbloquesalgebraicosLosbloquesalgebraicosMultiplicaciónydivisióndeexpresiones
algebraicas
12.2 AcubrirrectángulosMultiplicaciónydivisióndeexpresiones
algebraicas
12.3 ¿Cuántomidelabase?
13. Cubos,prismasypirámides.
Describirlascaracterísticasdecubos,prismasy
pirámides.Construirdesarrollosplanosdecubos,
prismasypirámidesrectos.Anticipardiferentesvistas
deuncuerpogeométrico.
13.1 DesarrollatuimaginaciónLageometríaatualrededorCubos,prismasypirámides
13.2 MásdesarrollosplanosCubos,prismasypirámides
13.3 Elcuerpoescondido
13.4 Patronesyregularidades
13.5 DiferentespuntosdevistaConstruccionesconcubos
14. Volumendeprismasypirámides.
Justificarlasfórmulasparacalcularelvolumende
cubos, prismasypirámidesrectos.
14.1 LascajasVolumendecubos,prismasypirámides
14.2 MásvolúmenesdeprismasVolumendecubos,prismasypirámides
14.3 Arroz yvolumenUnasfórmulasseobtienendeotrasEstimaciónycálculodevolúmenes
15. Aplicacióndevolúmenes.
Estimarycalcularelvolumendecubos,prismasy
pirámidesrectos.
Calculardatosdesconocidos,dadosotrosrelacionados
conlasfórmulasdelcálculodevolumen.
Establecerrelacionesdevariaciónentrediferentes
medidasdeprismasypirámides.
Realizarconversionesdemedidasdevolumenyde
capacidadyanalizarlarelaciónentreellas.
15.1 EldecímetrocúbicoEstimaciónycálculodevolúmenes
15.2 CapacidadesyvolúmenesProblemasprácticos
15.3 VariacionesEstimaciónycálculodevolúmenes
16. Comparacióndesituacionesdeproporcionalidad.
Resolverproblemasdecomparaciónderazones,con
baseenlanocióndeequivalencia.
16.1 ElrendimientoconstanteComparaciónderazones
16.2 LaconcentracióndepinturaComparacióndecocientesComparaciónderazones
17. Medidasdetendenciacentral.
Interpretarycalcular lasmedidasdetendencia
central deunconjuntodedatosagrupados,
considerandodemaneraespeciallaspropiedadesde
lamediaaritmética.
17.1 Elpromediodelgrupoenelexamen1
17.2 Elpromediodelgrupoenelexamen2Medidasdetendenciacentral
17.3 LascaloríasqueconsumenlosjóvenesEstadísticas,alimentosyotrassituacionesMedidasdetendenciacentral
EVALUACIÓN

Bloque3
SECUENCIASESIÓN
18. Sucesionesdenúmerosconsigno [28-39]
Construirsucesionesdenúmerosconsignoapartirdeuna
regladada.Obtenerlareglaquegeneraunasucesiónde
númerosconsigno.
18.1 ¿Cuáleslaregla?SucesionesdenúmerosSucesionesdenúmerosconsignoDescripcióndeprogramas(Calculadora)
18.2 NúmerosquecrecenSucesionesdenúmerosconsigno
18.3 DemayoramenorSucesionesgeométricasconLogo
19. Ecuacionesdeprimergrado [40-55]
Resolverproblemasqueimpliquenelplanteamientoyla
resolucióndeecuacionesdeprimergradodelaforma:
ax+bx+c=dx+ex+f yconparéntesisenunooen
ambosmiembrosdelaecuación,utilizandocoeficientes
enterosofraccionarios,positivosonegativos.
19.1 PiensaunnúmeroEcuaciones(2)(Hojadecálculo)
19.2 ElmodelodelabalanzaLabalanzaResolucióndeecuacionesdeprimergradoNúmerosperdidos(Calculadora)
19.3 Másalládelmodelode labalanza
19.4 Misceláneadeproblemas
20. Relaciónfuncional [56-75]
Reconocerensituacionesproblemáticasasociadasa
fenómenosdelafísica,labiología,laeconomíayotras
disciplinas,lapresenciadecantidadesquevaríanunaen
funcióndelaotrayrepresentarestarelaciónmedianteuna
tablaounaexpresiónalgebraicadelaforma:y=ax+b.
Construir,interpretaryutilizargráficasderelacioneslineales
asociadasadiversosfenómenos.
20.1 LacoladelastortillasDescripcióndefenómenos conrectas
20.2 ¡Cómohablanporteléfono!Variaciónlinea(2)(Hojadecálculo)
20.3 EltaxiDescripcióndefenómenos conrectasGráficasdefunciones(Logo)
20.4 ElresorteDescripcióndefenómenos conrectas¿GradosFahrenheitocentígrados?
(Calculadora)
20.5 ElplanperfectoLoscelularesDescripcióndefenómenos conrectas
21. Lospolígonosysusángulosinternos [76-85]
Establecerunafórmulaquepermitacalcularlasumadelos
ángulosinterioresdecualquierpolígono.
21.1 TriángulosenpolígonosTriangulacionessimplesdelos
polígonosconvexos
Ángulosinterioresdeunpolígono
21.2 Unafórmulaparalasumadelos
ángulosinternos
ÁngulosinterioresdeunpolígonoMedicióndeperímetrosyángulos
22. Mosaicosyrecubrimientos [86-97]
Conocerlascaracterísticasdelospolígonosquepermiten
cubrirelplanoyrealizarrecubrimientosdelplano.
22.1 RecubrimientosdelplanoQuenoquedenadasincubrirCubrimientosdelplanoRecubrimientodelplanoconpolígonos
regulares(Geometríadinámica)
22.2 Losrecubrimientosconpolígonos
irregulares
Cubrimientosdelplano
22.3 AlgunascombinacionesCubrimientosdelplano
23. Lascaracterísticasdelalínearecta [98-115]
Anticiparelcomportamientodegráficaslinealesdelaforma
y=mx+b,cuandosemodificaelvalordebmientraselvalor
dempermanececonstante.
Analizarelcomportamientodegráficaslinealesdelaforma
y=mx+b,cuandocambiaelvalordem,mientraselvalor
debpermanececonstante.
23.1 PendienteyproporcionalidadRectasque“crecen”(Calculadora)
¿Quégráficas“crecen”másrápido?
(Calculadora)
23.2 LaspendientesnegativasEcuacióndelarectay=mx+bGráficasque“decrecen”(Calculadora)
23.3 LaordenadaalorigenRectasparalelasEcuacióndelarectay=mx+bAnalizandográficasderectas
(Hojadecálculo)
Unpuntoimportanteenunarecta
(Calculadora)
23.4 Misceláneadeproblemasyalgomás
EVALUACIÓN

SECUENCIASESIÓN
24. Potenciasynotacióncientífica [118-137]
Elaborar,utilizaryjustificarprocedimientosparacalcular
productosycocientesdepotenciasenteraspositivasdela
mismabaseypotenciasdeunapotencia.
Interpretarelsignificadodeelevarunnúmeronaturalauna
potenciadeexponentenegativo.
Utilizarlanotacióncientíficapararealizarcálculosenlosque
intervienencantidadesmuygrandesomuypequeñas.
24.1 ProductodepotenciasPotenciasyexponentesLeyesdelosexponentesI(Calculadora)
24.2 PotenciasdepotenciasPotenciasyexponentes
24.3 CocientesdepotenciasPotenciasyexponentesLeyesdelosexponentesIII(Calculadora)
24.4 ExponentesnegativosPotenciasyexponentesLeyesdelosexponentesIIyIV
(Calculadora)
24.5 NotacióncientíficaNúmerosmuygrandes
ymuypequeños
Potenciasyexponentes
25. Triánguloscongruentes [138-147]
Determinarloscriteriosdecongruenciadetriángulosapartir
deconstruccionesconinformacióndeterminada.
25.1 TresladosigualesFigurascongruentesCongruenciadetriángulos
25.2 UnánguloydosladoscorrespondientesigualesCongruenciadetriángulos
25.3 UnladoydosánguloscorrespondientesigualesCongruenciadetriángulos
26. Puntosyrectasnotablesdeltriángulo [148-165]
Explorarlaspropiedadesdelasalturas,medianas,mediatrices
ybisectricesenuntriángulo.
26.1 MediatricesRectasypuntosnotablesdeltriángulo
26.2 AlturasRectasypuntosnotablesdeltriángulo
26.3 MedianasRectasypuntosnotablesdeltriánguloBisectriz,altura,medianaymediatrizdeun
triángulocualquiera(Geometríadinámica)
26.4 BisectricesPuntosyrectasnotablesdel
triángulo
RectasypuntosnotablesdeltriánguloTrazarelincírculodeuntriángulo
27. Eventosindependientes [166-183]
Distinguir endiversassituacionesdeazareventosqueson
independientes.
Determinarlaformaenque sepuedecalcular laprobabilidad
deocurrenciadedosomáseventosindependientes.
27.1 ¿Cuálessonloseventosindependientes?¿Cuándodoseventosson
independientes?
Diagramadeárbol
27.2 DosomáseventosindependientesDiagramadeárbol
27.3 EventosindependientesydependientesDiagramadeárbol
Probabilidad.Eventosindependientes
FrecuenciayprobabilidadconLogo
28. Gráficasdelínea [184-199]
Interpretaryutilizardosomásgráficasdelíneaque
representancaracterísticasdistintas deunfenómenoo
situaciónparatenerinformaciónmáscompletayensucaso
tomardecisiones.
28.1 Turismo,empleosygráficasdelíneaElturismo:unaocupación
interesante
Gráficasdelíneaenlaestadística
28.2 ¿Sabescuántaspersonasvisitanelestadoen
quevives?
Gráficasdelíneaenlaestadística
28.3 ¿Cuántosextranjerosnosvisitaron?
29. Gráficasformadasporrectas [200-209]
Interpretaryelaborargráficasformadasporsegmentosde
rectaquemodelansituacionesrelacionadasconmovimiento,
llenadoderecipientes,etcétera.
29.1 AlbercasparachicosygrandesLlenadoderecipientesGráficasformadasporsegmentos
derecta
29.2 Deaquíparaalláydealláparaacá
29.3 CaminoalaescuelaGráficasformadasporsegmentos
derecta
EVALUACIÓN
Bloque4

Bloque5
EJE1:Sentidonuméricoypensamientoalgebraico
EJE2:Forma,espacioymedida
EJE3:Manejodelainformación
SECUENCIASESIÓN
30. Sistemasdeecuaciones [212-229]
Representarconliteraleslosvaloresdesconocidosdeun
problemayusarlasparaplantearyresolverunsistemade
ecuacionesconcoeficientesenteros.
30.1 LasvacasyloschivosDeDiofantoalsigloXXISistemasdeecuaciones
30.2 LaedaddeDonMatiasSistemasdeecuaciones
30.3 Comprasenelmercado
30.4 Laigualación
30.5 Loqueaprendimosdesistemasdeecuaciones
31. Traslación,rotaciónysimetríacentral [230-245]
Determinarlaspropiedadesdelarotaciónydelatraslaciónde
figuras.Construiryreconocerdiseñosquecombinanla
simetríaaxialycentral,larotaciónylatraslacióndefiguras.
31.1 ¿Haciadóndememuevo?Conceptodetraslación(Geometríadinámica)
31.2 RotacionesConceptoderotación(Geometríadinámica)
Molinosyrehiletes1y2(Logo)
31.3 SimetríacentralMovimientosenelplanoUsodelasimetríacentral(Geometríadinámica)
31.4 Algomássobresimetrías,rotacionesy
traslaciones
Movimientosenelplano
32. Eventosmutuamenteexcluyentes [246-259]
Distinguirendiversassituacionesdeazareventosqueson
mutuamenteexcluyentes.
Determinarlaformaenquesepuedecalcularlaprobabilidad
deocurrencia.
32.1 ¿Cuándodoseventossonmutuamente
excluyentes?
¿Cuándodoseventosson
mutuamenteexcluyentes?
Probabilidad.Eventosmutuamente
excluyentes
32.2 Cálculodelaprobabilidaddeeventos
mutuamenteexcluyentesynoexcluyentes
32.3 MásproblemasdeprobabilidadProbabilidad.Eventosmutuamente
excluyentes
AzaryprobabilidadconLogo
33. Representacióngráficadesistemasdeecuaciones [260-273]
Representargráficamenteunsistemadeecuacioneslineales
concoeficientesenteroseinterpretarlainterseccióndesus
gráficascomolasolucióndelsistema.
33.1 LaferiaganaderaSolucióndeunsistemadeecuaciones
comointersecciónderectas
33.2 ¿Dóndeestálasolución?Movimientorectilíneo
uniforme
Solucióndeunsistemadeecuaciones
comointersecciónderectas
Sistemasdedosecuaciones
(Hojadecálculo)
33.3 Solucionesmúltiples
EVALUACIÓN

Clave de logos
Trabajo individual
En parejas
En equipos
Todo el grupo
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Glosario
Consulta otros materiales
CD de recursos
Sitios de Internet
Bibliotecas Escolares y de Aula
Video
Programa integrador Edusat
Interactivo
Audiotexto
Aula de Medios
Otros Textos

y=
x= -8.000
y=
4x - 5y =
2x + 10y
y=
x= -8.000
y=
4x - 5y =
2x + 10y

45
90
135
= 4.500
-7.000
= 3
= 29
45
90
135
= 4.500
-7.000
= 3
= 29
BLOQUE 3

12
secuencia 18
En esta secuencia construirás sucesiones de números con signo a
partir de una regla dada y obtendrás la regla que genera una sucesión
de números con signo.
¿CUÁL ES LA REGLA?
Para empezar
Sucesiones de números
En la secuencia 3 de tu libro Matemáticas i, volumen i trabajaste con sucesiones de
figuras y con sucesiones de números. En esta secuencia, continuarás estudiando las su-
cesiones de números y las reglas que permiten obtener cada uno de sus términos.
Consideremos lo siguiente
Completa los términos que faltan en la siguiente sucesión de números:
–5, –2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, , …
a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión.
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?
c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión?
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla.
Manos a la obra
i. Señala cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla su-
mar tres al término anterior.
• –15, –11, –7, –3, 1, 5, …
• 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
• –4, –1, 2, 5, 8, 11, …
• –8, –3, 2, 7, 12, 17, …
• –7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, …
• –14, –6, 2, 10, 18, 26, …
• –12, –9, –6, –3, 0, 3, …
SESión 1
Sucesiones de
números con signo
MAT2 B3 S18.indd 12 9/10/07 12:28:21 PM
Propósitos de la sesión. Obtener la regla
verbal que genera una sucesión de números
con signo en la que el valor de los términos va
aumentando; en la regla se dice cuánto hay que
sumar a cada término para obtener el siguiente
y cuál es el primer término de la sucesión.
Obtener la sucesión a partir de una regla de
ese tipo.
Sugerencia didáctica. Si lo considera
conveniente recuerde a los alumnos a qué se
refieren las expresiones “término” y “lugar del
término”. Puede preguntarles ¿Cuál es el primer
término de la sucesión… y el segundo?, ¿En qué
lugar de la sucesión está el término 7 y el 25?
Descripción del video. Se hace una introduc-
ción al tema con la presentación y descripción
de sucesiones famosas a lo largo de la historia
tales como la sucesión de Fibonacci y la dada
por Gauss para obtener la suma de los primeros
100 números naturales.
Propósito de la sesión en el aula de medios.
Hallar los números que faltan para completar
una tabla que contiene números con signo.
Si se dispone de aula de medios, esta actividad
puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Propósito de la actividad. La sucesión es
parecida a las que se trabajaron en primero, la
diferencia es que ahora se incluyen términos
negativos. Se espera que los alumnos logren
expresar la regla de manera verbal.
Posibles procedimientos. Es relativamente
sencillo que los alumnos logren identificar que
los términos van aumentando de 3 en 3; es
posible que identifiquen esta regularidad
primero con los números positivos y que después
la apliquen a los números negativos con los que
inicia la sucesión.
Para formular la regla general es probable que
la expresen verbalmente por ejemplo: “van de
tres en tres”, “aumenta de tres en tres y
empieza en –5” , “Se suma tres al término
anterior”. La regla algebraica es 3n – 8, sin
embargo es poco probable que los alumnos la
expresen de esa manera; en caso de que alguno
llegara a formularla, invítelo a que la compare
con las reglas verbales de otros compañeros.
Para encontrar el término en el lugar 30 pueden
hacer la lista con los primeros 30 términos.
También es probable que algunos alumnos
continúen la lista hasta los primeros 43 términos
para determinar que lugar ocupa el número 121.
Durante el intercambio grupal motive a los
alumnos para que identifiquen una o más reglas
que permitan obtener la sucesión.
Propósito del interactivo. Explorar diferentes
sucesiones numéricas. Que los alumnos analicen
y completen diferentes sucesiones numéricas.
Propósito de las actividades I y II. Se espera
que los alumnos identifiquen que, con una regla
verbal del tipo sumar tres al término anterior o
sumar cinco al término anterior, se pueden
obtener muchas sucesiones distintas, pero si se
indica cuál es el primer término, entonces sólo
se obtiene una sucesión.
Respuestas.
3, 6, 9, 12, 15, 18, …
–4, –1, 2, 5, 8, 11, …
–7, –4, –1, 2, 5, 8, 11, …
–12, –9, –6, –3, 0, 3, …
1 13 19 22 34 40
“Van de tres en tres”, “Aumenta de tres en tres y empieza en -5”
82
El lugar 43

13
IIMATEMÁTICAS
II. Responde las preguntas:
a) ¿Con la regla sumar cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesio-
nes o una sola sucesión?
b) Encuentra una sucesión que se obtenga con esta regla.
c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que escribiste es sumar cinco al
término anterior y el primer término es
d) ¿Por qué crees que esta regla sea más precisa?
Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre dos términos consecuti-
vos de una sucesión se obtiene al restar a un término el término anterior. ¿Cuál es la
diferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontraron en el
inciso b)? . Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dos
términos consecutivos sea 7.
III. Completa lo que falta en las siguientes expresiones y responde las preguntas:
a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35, … es sumar seis al tér-
mino anterior y el primer término es
b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
c) Una regla para obtener la sucesión –12, –10, –8, –6, –4, –2, … es sumar
al término anterior y el primer término es
d) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
e) Escribe la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y
el primer término es –14:
f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esa sucesión?
A lo que llegamos
En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante,
cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término anterior.
La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto
hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término.
Por ejemplo:
En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …
MAT2 B3 S18.indd 13 9/10/07 12:28:22 PM
Sugerencia didáctica. Comente con sus
alumnos a qué se refiere la expresión “La
diferencia entre dos términos consecutivos de
una sucesión”; si lo considera conveniente pida
a algunos alumnos que pasen al pizarrón a hacer
la resta para encontrar la diferencia en una
sucesión. La diferencia entre dos términos les
servirá, posteriormente, para encontrar las reglas
algebraicas y para distinguir si una sucesión es
creciente o decreciente.
Propósitos de la actividad. Que obtengan la
diferencia entre dos términos consecutivos de
cada sucesión; identifiquen la regla verbal que
sirve para obtener de manera única una
sucesión, y que obtengan una sucesión a partir
de la regla verbal.
Respuestas:
a) Sumar seis al término anterior y el primer
término es 5.
b) La diferencia es 6.
c) Sumar dos al término anterior y el primer
término es –12.
d) La diferencia es 2.
e) –14, –9, –4, 1 , 6, 11,…
f) La diferencia es 5.
Sugerencia didáctica. Lea esta información
junto con sus alumnos apoyándose en el ejemplo
que se muestra. Posteriormente puede pedir a
los alumnos que propongan otra sucesión
numérica como ejemplo y que den la regla
verbal para obtener esta sucesión.
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema
Significado y uso de las literales.
Antecedentes
En la secuencia 3 de Matemáticas I,
volumen I, los alumnos aprendieron a
representar sucesiones numéricas o con
figuras a partir de una regla dada y viceversa;
en la secuencia 4 del mismo libro aprendieron
a interpretar las letras como números
generales con los que es posible operar.
En Matemáticas II se retoman las sucesiones
numéricas con la finalidad de que los alumnos
continúen buscando regularidades, y de que
aprendan a formularlas, y a argumentar su
validez. En esta ocasión las sucesiones incluyen
números con signo.
Propósitos de la secuencia
Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.
Sesión Propósitos de la sesión Recursos
1
¿Cuál es la regla?
Obtener la regla verbal que genera una sucesión de
números con signo en la que el valor de los términos
va aumentando; en la regla se dice cuánto hay que
sumar a cada término para obtener el siguiente y
cuál es el primer término de la sucesión. Obtener la
sucesión a partir de una regla de ese tipo.
Video
Interactivo
con signo
Aula de medios
Descripción de programas
(Calculadora)
2
Números que crecen
Construir sucesiones de números con signo a partir
de una regla de la forma an + b, con a 0.
Obtener la regla algebraica que genera una sucesión
de números con signo de este tipo.
Interactivo
con signo
3
De mayor a menor
Construir sucesiones de números con signo a partir
de una regla de la forma an + b, con a 0.
Obtener la regla algebraica que genera una sucesión
de números con signo de este tipo.
Interactivo
Sucesiones geométricas
con Logo
Programa integrador 13

14
secuencia 18
La diferencia entre dos términos consecutivos se calcula al restar a un término el térmi-
no anterior, por ejemplo: 7 – 2 = 5.
La regla verbal es: sumar 5 al término anterior y el primer término es –8.
Si no se indica cuál es el primer término, se pueden obtener muchas sucesiones utilizan-
do la misma regla.
iV. Una regla para obtener la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, 10, … (es la misma que está en el
apartado Consideremos lo siguiente) es sumar al término anterior y el
primer término es
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
b) Completa la siguiente tabla con algunos de los términos de la sucesión.
Lugar del término Término de la sucesión
1 –5
2 –2
3 1
4 4
5 7
10
15
20
30
40
c) Para pasar del término en el lugar 30 al término en el lugar 40, se avanza 10 lu-
gares. ¿Cuánto cambia el valor del término?
d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 50?
e) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?
Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar todos los términos.
MAT2 B3 S18.indd 14 9/10/07 12:28:24 PM
Propósito de la actividad. Que amplíen la
sucesión que trabajaron en el apartado
Consideremos lo siguiente con la finalidad de
que identifiquen la dificultad de encontrar
cualquier término utilizando sólo una regla
verbal.
Posibles procedimientos. Pueden observar
que, si se avanza 5 lugares, por ejemplo del
término en el lugar 5 al término en el lugar 10,
el valor del término aumenta 15 y si se avanza
10 lugares, el valor del término aumenta 30.
Respuestas.
c) Aumenta 30.
d) 142.
e) 292.
22
37
52
82
112
3
3
–5

Propósito de la actividad. Que los alumnos
identifiquen que con distintas reglas, se obtienen
sucesiones en las que la diferencia entre dos
términos consecutivos es la misma.
15
IIMATEMÁTICAS
Lo que aprendimos
Responde las preguntas para la siguiente sucesión:
–23, –16, –9, –2, 5, 12,19, ...
b) ¿Cuál es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los términos de la suce-
sión?
nÚMEROS QUE CRECEn
Para empezar
En la sesión anterior encontraste la regla verbal para una sucesión de números con signo
diciendo cuánto hay que sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el
primer término. En esta sesión obtendrás la regla algebraica utilizando el lugar que ocu-
pa cada término.
Para la siguiente sucesión de números:
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, …
b) Señalen con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener
los términos de la sucesión. La n indica el lugar del término.
• 2n + 4.
• Sumar cuatro al término anterior y el primer término es 2.
• 4n + 2.
• 4n – 2.
c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son equivalentes.
Completa la siguiente tabla para encontrar los términos que se indican en cada sucesión:
Lugar del
término
Reglas algebraicas
3n 3n + 1 3n – 7 3n – 10 3n – 16
1
2
3
4
10
100
115
Recuerden que:
• La diferencia entre dos términos
consecutivos se calcula al restar
a un término el término anterior.
• Cuando hay varias reglas para
obtener la misma sucesión de
números, se dice que son reglas
equivalentes.
SESión 2
MAT2 B3 S18.indd 15 9/10/07 12:28:26 PM
Respuestas.
a) La diferencia es 7.
b) La regla verbal es: sumar 7 al término
anterior y el primer término es –23.
Propósitos de la sesión. Construir sucesiones
de números con signo a partir de una regla de la
forma an + b, con a 0. Obtener la regla
algebraica que genera una sucesión de números
con signo de este tipo.
Propósito de la actividad. Proponer reglas
verbales y algebraicas en las que utilizan el
lugar del término .
Respuestas.
b) Hay dos respuestas correctas: 4n – 2 y sumar
cuatro al término anterior y el primer término
es 2.
c) Las reglas equivalentes son sumar cuatro
al término anterior y el primer término
es 2 y 4n – 2.
Sugerencia didáctica. En el inciso b) se espera
que los alumnos identifiquen las dos reglas
correctas, en caso de que sólo identifiquen una
de ellas usted puede animarlos a buscar si hay
otra más. Si eligen una regla incorrecta, durante
la confrontación grupal pídales que identifiquen
los primeros términos de la sucesión que se
obtienen con esa regla.
Para el inciso c) invítelos a que justifiquen por
qué consideran que tales reglas son equivalentes.
Propósito del Interactivo. Que los alumnos
identifiquen que con distintas reglas, se obtienen
sucesiones en las que la diferencia entre dos
términos consecutivos es la misma.
3 4 –4 –7 –13
6 7 –1 –4 –10
9 10 2 –1 –7
12 13 5 2 –4
30 31 23 20 14
300 301 293 290 284
345 346 338 335 329

16
secuencia 18
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en cada una de estas sucesiones?
b) Para la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, … ¿Cuál es la regla algebraica que nos permite en-
contrar el término que está en el lugar n?
c) ¿Aparece en esta sucesión el número 278?
Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrar la regla.
Manos a la obra
i. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n – 7.
a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar al término
anterior y el primer término es
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40?
c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término?
ii. Responde las preguntas sobre la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?
b) Observa las dos sucesiones
3, 6, 9, 12, 15, 18, …
1, 4, 7, 10, 13, 16, …
¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión (3, 6, 9, 12,
15, 18, …)?
c) Subraya la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-
ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión:
• Restar 2
• Sumar 2
d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …?
MAT2 B3 S18.indd 16 9/10/07 12:28:28 PM
Respuestas.
b) 3n –8.
c) El número 278 no aparece en la sucesión.
Sugerencia didáctica. Si observa que algunos
alumnos tienen dificultades para encontrar la
regla de la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, ... puede
sugerirles que intenten encontrar los términos
de otras sucesiones que tengan reglas en las
que la n se multiplica por 3.
Si tienen dificultades para determinar si el
número 278 está en la sucesión, usted puede
sugerirles que obtengan algunos términos de la
sucesión que se acerquen a 300. Un buen
procedimiento es encontrar el término en el
lugar 100 (es 292) y observar que 289, 286,
283, 280 y 277 sí están en la sucesión, pero
278 no.
Otra forma de resolver, es explorar si 278
resulta de la aplicación de la regla 3n – 8: a
278 se le suma 8, y el resultado se divide entre
3. Este procedimiento implica despejar a n; no
se espera que los alumnos lo resuelvan de esta
manera, pero si algunos de ellos se acercan a
este procedimiento, usted puede ayudarles
precisando las relaciones entre los datos.
Sugerencia didáctica. Es importante que los
alumnos comenten cómo cambian las sucesiones
cuando cambia la regla, para ello usted puede
preguntar cómo cambia el valor del primer
término en cada una de las sucesiones.
Propósito de la actividad. Que comparen la
utilidad de los dos tipos de reglas (la verbal y la
algebraica) para encontrar cualquier término en
la sucesión.
Respuestas.
a) Sumar 3 al término anterior y el primer
término es –4.
b) 113.
d) 137.
Sugerencia didáctica. Es probable que algunos
alumnos consideren que la regla algebraica es
más difícil de utilizar que la regla verbal; si fuera
el caso usted puede preguntarles cómo
utilizarían cada una de las reglas para encontrar
el término que está en el lugar 1 350. Con este
ejemplo se espera que los alumnos identifiquen
la utilidad de la regla algebraica.
conozcan una forma de establecer la regla
algebraica de una sucesión.
Se comparan los términos de la sucesión que se
obtiene con la regla 3n con los de la otra
sucesión (1, 4, 7, 10, 13, 16, …), esto se hace
con la finalidad de establecer la operación que
permite pasar de un término de la primera
sucesión, al término que le corresponde en la
segunda sucesión y de esta manera encontrar la
regla algebraica para obtener la segunda
sucesión. En este caso la operación que se debe
hacer es restar 2 y entonces la regla algebraica
para obtener la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, …
es 3n – 2.
Es posible que algunos alumnos hayan
encontrado sus propios procedimientos para
obtener la regla algebraica. Se sugiere que pida
a esos alumnos que pasen al pizarrón a explicar
sus procedimientos.
Respuestas.
b) 3n.
c) Restar 2.
d) 3n – 2.

17
IIMATEMÁTICAS
III. Observa el diagrama y responde las preguntas.
5, 10, 15, 20, 25, 30, …
6, 11, 16, 21, 26, 31, …
a) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la primera sucesión?
b) ¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-
ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión?
c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 6, 11, 16, 21, 26, 31, …?
d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión –15, –10, –5, 0, 5, 10, …?
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar las reglas algebraicas
y encuentren la regla verbal y la regla algebraica para obtener la sucesión –11, –6, –1,
4, 9, 14, …
A lo que llegamos
En las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecu-
tivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplican-
do el lugar del término por la diferencia de los términos consecutivos
y sumando o restando una constante adecuada.
Por ejemplo:
En la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …,
la diferencia es de 5.
Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término
en la sucesión que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente
término en la sucesión –8, –3, 2, 7, 12, 17, …, debemos restar 13.
Entonces la regla para obtener la sucesión
–8, –3, 2, 7, 12, 17, … es 5n – 13.
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comparen la sucesión que se obtiene con la
regla 5n con dos sucesiones en las que la
diferencia entre dos términos consecutivos es 5,
de esta manera lograrán obtener la regla
algebraica de cada sucesión.
En la confrontación grupal usted puede pedir a
un alumno que pase al pizarrón a hacer el
diagrama para comparar la sucesión que se
obtiene con la regla 5n con la sucesión –11, –6,
–1, 4, 9, 14, …
Respuestas.
a) 5n.
b) Sumar 1.
c) 5n + 1.
d) 5n –20.
Sugerencia didáctica. Lea y comente esta
información con sus alumnos apoyándose en el
ejemplo que se muestra. Posteriormente usted
puede proponer otra sucesión para que
identifiquen la diferencia entre los términos
consecutivos y para que establezcan la regla
algebraica.

Respuestas.
a) 492.
b) No.
c) Sí.
d) 142.
e) Está en el lugar 28.
Una forma de averiguar si un número está en una
sucesión determinada, es por medio de estimacio-
nes: a partir de un término que ya se conoce de la
sucesión y que sea cercano al término propuesto.
Para obtener el lugar de un término, se puede
proceder también por aproximaciones; otra forma
es recurrir a la misma regla para despejar a n, por
ejemplo, para encontrar el lugar del término del
número 132 a partir de la regla 5n – 8, se suma
8 y luego se divide entre 5.
Sugerencia didáctica. La sucesión que se
obtiene con la regla del inciso c) tiene números
decimales; es importante que los alumnos
practiquen el manejo de estos números al
obtener la sucesión.
Respuestas.
a) –19, –11, –3, 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53,…
b) –18, –11, –4, 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45,…
c) –2.5, –0.5, 1.5, 3.5, 5.5, 7.5, 9.5, 11.5,
13.5, 15.5,…
18
secuencia 18
iV. Para la sucesión que se obtiene con la regla 5n – 8:
a) ¿Cuál es el término que está en el lugar 100?
b) ¿El número 500 está en la sucesión?
c) ¿El número 497 está en la sucesión?
e) ¿En que lugar de término está el número 132?
Comparen sus respuestas.
Lo que aprendimos
1. Encuentra los primeros 10 términos de las sucesiones que se obtienen con las si-
guientes reglas:
a) Sumar 8 al término anterior y el primer término es –19
b) 7n – 25
c) 2n – 4.5
2. Responde las preguntas para la sucesión –23, –16, –9, –2, 5, 12,19, …
b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?
c) La regla verbal para obtener esta sucesión es sumar al término an-
terior y el primer término es
d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 78?
e) ¿En qué lugar de término está el número 201?
3. Responde a las preguntas sobre la siguiente sucesión:
–2.5, –1.5, –0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, …
b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesión.
c) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 25 en la sucesión?
d) ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 278?
e) ¿Qué lugar ocupa el número 101.5 en esta sucesión?
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trabajen con sucesiones en las que la diferencia
entre dos términos sucesivos es 1, por lo que en
la regla algebraica la n aparece sin coeficiente,
al estar multiplicada por 1.
Respuestas.
b) n – 3.5
c) 21.5
d) 274.5
e) El lugar 105.
Respuestas.
b) 7n – 30.
c) Sumar 7 al término anterior y el primer
término es –23.
d) 516.
e) En el lugar 37.

19
IIMATEMÁTICAS
4. En la columna de la izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesio-
nes y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas.
Términos de la sucesión Reglas
( ) –10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, …
( ) –7, –3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, …
( ) –13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, …
( ) –11, –7 –3, 1, 5, 9, 13, 17, …
( ) –11, –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, …
( ) –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, …
(a) 5n – 13
(b) 2n – 12
(c) 4n – 15
(d) 2n – 8
(e) 4n – 7
(f) 5n – 16
(g) 4n – 11
(h) 5n – 18
(i) 2n – 10
DE MAYOR A MEnOR
Para empezar
En la sesión anterior, encontraste reglas para sucesiones en las que los términos iban au-
mentando. Ahora trabajarás con sucesiones en las que los términos van disminuyendo.
Encuentren los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –4n.
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
Completa la siguiente sucesión de números:
6, 2, , , –10, , –18, –22, , , , …
b) Escribe una regla para encontrar el término en el lugar n.
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar la regla y la diferen-
cia entre dos términos consecutivos.
SESión 3
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Propósitos de la sesión. Construir sucesiones
de números con signo a partir de una regla de la
forma an + b, con a 0. Obtener la regla
algebraica que genera una sucesión de números
con signo de este tipo.
exploren una regla algebraica en la que la n está
multiplicada por un número negativo. Se espera
que los alumnos generen la sucesión numérica
que se obtiene al aplicar la regla –4n; esta
sucesión será importante para elaborar,
posteriormente, la regla que permite encontrar
el término en el lugar n.
Sugerencia didáctica. Para obtener la
diferencia usted puede pedir a un alumno que
pase al pizarrón a realizar la operación:
(–8) – (–4) = (–8) + 4 = –4
De esta manera, además, podrán recordar cómo
se hace una resta de números negativos.
b
g
h
c
f
i
Propósito de la actividad. Proponer la regla
algebraica para obtener una sucesión en la que
los términos van disminuyendo.
Posible respuesta. Algunos alumnos podrían
escribir Restar 4 al término anterior y el primer
término es 6. Si bien esta regla es correcta, lo
que se pide es el término en el lugar n y esto
debe hacerse con una regla algebraica; no
obstante esa regla verbal es aceptable por el
momento.
Posibles errores. Algunos alumnos podrían
considerar que la diferencia es de 4 y que la
regla es 4n + 2. Otros más podrían considerar
que la diferencia es de –4, pero pueden
proponer reglas incorrectas: –4n + 2 o –4n –2.
Durante la confrontación grupal puede pedirles
que pasen al pizarrón a escribir los primeros
términos de la sucesión que se obtienen con
estas reglas e invitarlos a que discutan cuáles
reglas son válidas y cuáles no.
Respuestas.
6, 2, –2, –6, –10, –14, –18, –22, –26, –30,
–34, …
a) –4.
b) –4n + 10.
–4, –8, –12, –16, –20, –24, –28, –32, –36, –40
–4

Propósito de la actividad. Identificar que hay
tres reglas posibles para obtener esta sucesión:
dos reglas verbales y la regla algebraica.
Durante la sesión se utilizan reglas verbales del
tipo sumar (–4) al término anterior y el primer
término es, para que identifique que, en estas
sucesiones, la diferencia entre dos términos
consecutivos es –4 y en la regla algebraica se
multiplica la n por –4.
Respuestas.
Restar 4 al término anterior y el primer
término es 6.
–4n + 10.
Sumar (–4) al término anterior y el primer
término es 6.
expresen la regla verbal para obtener una
sucesión en la que los términos van disminuyen-
do y que encuentren la diferencia entre dos
términos consecutivos de esa sucesión.
Respuestas.
a) Van aumentando.
b) 4.
c) Van disminuyendo.
d) Restar 4 al término anterior y el primer
término es 14.
e) Sumar –4 al término anterior y el primer
término es 14.
f) 10 – 14 = –4.
•
•
•
20
secuencia 18
Manos a la obra
i. Señala con cuáles de las siguientes reglas podemos obtener cada uno de los términos
de la sucesión.
• Sumar 4 al término anterior y el primer término es 6.
• Restar 4 al término anterior y el primer término es 6.
• –4n – 2
• –4n + 10
• 4n + 2
• Sumar (–4) al término anterior y el primer término es 6.
ii. Responde las preguntas:
a) En la sucesión –7, –3, 1, 5, 9, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo?
b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?
c) En la sucesión 14, 10, 6, 2, –2, … ¿los términos van aumentando o disminuyendo?
d) Una regla verbal para obtener esta última sucesión es restar al
e) La sucesión también la podemos obtener con la regla sumar al
f) Para calcular la diferencia entre dos términos consecutivos, haz la resta del segun-
do término menos el primer término: – =
iii. Encuentra los primeros diez términos de las sucesiones que se obtienen con las reglas
indicadas.
Lugar del
término
Regla algebraica
–4n + 6 –4n – 2 –4n – 5
1 (–4) × 1 + 6 = (–4) × 1 − 2 = (–4) × 1 − 5 =
2 (–4) × 2 + 6 = (–4) × 2 − 2 = (–4) × 2 − 5 =
3
4
5
6
7
8
9
10
Recuerda que:
Las multiplicaciones
y divisiones se
hacen antes que las
sumas y restas.
MAT2 B3 S18.indd 20 9/10/07 12:28:35 PM
2 –6 –9
–2 –10 –13
–6 –14 –17
–10 –18 –21
–14 –22 –25
–18 –26 –29
–22 –30 –33
–26 –34 –37
–30 –38 –41
–34 –42 –45
apliquen reglas algebraicas en las que la n está
multiplicada por un número negativo.

21
IIMATEMÁTICAS
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de estas sucesiones?
b) En estas sucesiones, ¿los términos van aumentando o disminuyendo?
Comparen sus respuestas.
IV. Responde las preguntas sobre la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, …
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?
b) En la regla algebraica para obtener cada uno de los términos de la sucesión, debe-
mos multiplicar la n por
c) Observa las dos sucesiones:
–4, –8, –12, –16, –20, –24, …
7, 3, –1, –5, –9, –13, …
¿Cuál es la operación que debemos hacer para pasar de cada término en la prime-
ra sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión?
d) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13, …?
Comparen sus respuestas. Encuentren la regla algebraica para obtener la sucesión
–11, –15, –19, –23, –27, –31, …
A lo que llegamos
Para las sucesiones en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante:
• Si la constante es positiva, los términos van aumentando.
• Si la constante es negativa, los términos van disminuyendo.
En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica multiplicando el lugar del término
por la diferencia de los términos consecutivos y sumando o restando una constante
adecuada.
Por ejemplo:
En la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, …., la diferencia es de –3.
Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada término en la sucesión que se
obtiene con la regla –3n, a su correspondiente término en la sucesión –2, –5, –8, –11,
–14, –17, –20, …, debemos sumar 1.
Entonces la regla para obtener la sucesión –2, –5, –8, –11, –14, –17, –20, … es –3n + 1.
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Respuestas.
a) La diferencia es –4.
b) Van disminuyendo.
comparen la sucesión que se obtiene con la
regla –4n con la sucesión 7, 3, –1, –5, –9, –13,
..., para obtener la regla algebraica de la
sucesión que se les presenta.
Respuestas.
a) –4.
b) –4.
c) Sumar 11.
d) –4n + 11.
Respuesta.
La regla es –4n –7.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que
regresen al problema del apartado Considere-
mos lo siguiente y que apliquen el mismo
procedimiento que se plantea en la actividad IV
para verificar si la regla que propusieron es
correcta o no.
Sugerencia didáctica. Lea y comente esta
información con los alumnos, posteriormente
puede pedirles que escriban en sus cuadernos
otras sucesiones y sus reglas algebraicas en las
que la diferencia sea negativa.

Respuestas.
a) 23, 17, 11, 5, –1, –7, –13, –19, –25, –31.
b) –6n + 29.
c) 7, 2, –3, –8, –13, –18, –23, –28, –33, –38.
d) Sí son equivalentes.
Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen
dificultades usted puede pedirles que obtengan
los primeros términos de cada sucesión. Una
manera algebraica de ver que son equivalente
es transformando la segunda expresión en una
suma: 23 – 6n = 23 + (–6n) = –6n + 23.
Respuesta.
Son equivalentes.
Sugerencia didáctica. Usted puede pedirles a
dos alumnos que pasen al pizarrón a obtener
los primeros términos de cada sucesión. Otra
manera de verlo es:
7 – n = 7 + (–n) = –n + 7.
Respuestas.
a) Van aumentando.
b) 5.
c) 5n – 17.
d) Sumar 5 al término anterior y el primer
término es –12.
e) Van disminuyendo.
f) –5.
g) –5n.
h) Sumar –5 al término anterior y el primer
término es –5.
22
secuencia 18
V. Responde las preguntas.
a) Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla
sumar (–6) al término anterior y el primer término es 23.
b) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?
c) ¿Cuáles son los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla
–5n + 12?
d) ¿Son equivalentes las reglas –6n + 23 y 23 – 6n? Explica tu respuesta:
Comparen sus respuestas. Comenten si son equivalentes las reglas 7 – n y –n + 7.
Lo que aprendimos
1. Responde las preguntas.
a) ¿En la sucesión –12, –7, –2, 3, 8, 13, … los términos van aumentando o disminu-
yendo?
b) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión?
c) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?
d) Otra regla para obtener la sucesión es sumar al término anterior y
el primer término es
e) ¿En la sucesión –5, –10, –15, –20, –25, –30, … los términos van aumentando o
disminuyendo?
f) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos en la sucesión?
g) ¿Cuál es la regla algebraica para obtener la sucesión?
h) Otra regla para obtener la sucesión es sumar al término anterior y
el primer término es
2. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión que se obtiene con la regla –n – 18.
Indica la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión.
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Integrar al portafolios. Considere los
problemas 2, 3 y 4 para evaluar los aprendizajes
de los alumnos.
Respuestas problema 2.
Primeros 10 términos de la sucesión: –19, –20,
–21, –22, –23, –24, –25, –26, –27, –28.
La diferencia entre dos términos sucesivos es –1.

23
IIMATEMÁTICAS
3. Encuentra una regla para las siguientes sucesiones:
a) Que el segundo término sea 7 y el cuarto término sea 19.
b) Que el tercer término sea 1 y el sexto término sea –14.
4. En la columna de la izquierda se presentan algunas reglas algebraicas y en la colum-
na de la derecha, algunas reglas verbales. Relaciona las columnas con las reglas equi-
valentes.
Regla algebraicas Reglas verbales
( ) 4n – 12
( ) –4n – 8
( ) –7n + 10
( ) 7n – 10
( ) –4n – 12
( ) 7n – 4
(a) Sumar (–7) al término anterior
y el primer término es 10
(b) Sumar 4 al término anterior
y el primer término es –12
(c) Sumar 7 al término anterior
(d) Sumar (–4) al término anterior
(e) Sumar (–7) al término anterior
(f) Sumar 7 al término anterior
(g) Sumar 4 al término anterior y el
primer término es −8
(h) Sumar (−4) al término anterior
y el primer término es −12
5. Para conocer más sucesiones de números con signo pueden ver el programa Sucesio-
nes de números con signo.
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Ruiz, Concepción y Sergio de Régules. El piropo matemático, de los números a las estrellas. México: SEP/Edi-
torial Lectorum, Libros del Rincón, 2003.
Sobre las sucesiones de números con signo consulta:
http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_
aritmeticas.htm
[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].
Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.
Explora las actividades del interactivo Sucesiones geométricas con Logo.
MAT2 B3 S18.indd 23 9/10/07 12:28:39 PM
Propósito de la actividad. Este problema
presenta un grado de dificultad mayor, pues no
se conocen dos términos consecutivos; este tipo
de problemas permite que los alumnos exploren
otros aspectos de las sucesiones numéricas y de
las reglas que las determinan; en este caso, les
permite indagar sobre las condiciones presenta-
das que establecen la diferencia entre dos
términos consecutivos.
Posibles procedimientos. Una estrategia para
resolver es calcular cuánto cambió el valor de
los términos considerando el número de lugares
entre un término y otro: en la primera sucesión,
la diferencia entre 7 y 19 es 12 unidades, y hay
2 lugares entre ambos términos: 12 ÷ 2 = 6; la
diferencia entre dos términos consecutivos es 6.
La sucesión es 1, 7, 13, 19, 25, 31, … En la
segunda sucesión, entre 1 y –14 se disminuye
15 unidades, y hay 3 lugares entre esos dos
términos: –15 ÷ 3 = –5; la diferencia entre dos
términos consecutivos es –5. La sucesión es 11,
6, 1, –4, –9, –14, –19, …
Respuestas:
a) Regla verbal: sumar 6 al término anterior y el
primer término es 1. Regla algebraica: 6n – 5.
b) Regla verbal: sumar –5 al término anterior y
el primer término es 11. Regla algebraica:
–5n + 16.
Propósito del programa integrador 13.
Ejemplificar cómo se construye una sucesión de
números con signo a partir de una regla dada y
mostrar cómo se obtiene la regla que genera
una sucesión de este tipo.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar
la cartelera para saber horario y días de
transmisión.
g
h
e
c
d
f
Propósito del interactivo. Explorar y construir
sucesiones geométricas.

24
secuencia 19
Ecuaciones de
primer grado
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el plantea-
miento y resolución de ecuaciones con una incógnita.
Piensa un número
Para empezar
• El jugador A piensa un número y sin mostrarlo al jugador B, lo escribe en el cuadro
entrada. Después realiza las operaciones indicadas y le dice a B el número que obtu-
vo en el cuadro salida.
Entrada
Súmale 12
Salida
Multiplícalo por 10
Diagrama 1
• El jugador B tiene que encontrar el número que el jugador A escribió en la entrada y
decírselo.
• Cuando el jugador B acierte, cambian los papeles y juegan otro turno.
Los números de la siguiente tabla resultaron de aplicar las operaciones del diagrama
anterior. Escriban los números de entrada correspondientes.
Nombre Entrada Salida
Brenda 53 542
Saúl 69 702
Jesús 824.5
Raúl 4
Comparen sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.
sesión 1
MAT2 B3 S19.indd 24 9/10/07 12:29:11 PM
Propósito de la sesión. Resolver problemas
que impliquen el planteamiento y resolución de
ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo
las operaciones y el orden en que aparecen.
Sugerencia didáctica. Con la finalidad de que
las reglas queden claras, inicie usted el juego
“adivinando” los números que piensen dos o
tres de sus alumnos.
Primero puede pedir a los alumnos que piensen
números naturales de 1 o 2 cifras,
posteriormente puede indicarles que utilicen
números decimales y negativos.
Resolver ecuaciones de primer grado de la forma
ax + b = c.
Propósito de la actividad. Se espera que los
alumnos puedan identificar que, para obtener el
número de entrada, es necesario invertir las
operaciones: al número que se obtiene en la
salida, se le resta 12 y luego se divide entre 10.
Posibles dificultades. En caso de que algunos
alumnos hayan optado por un procedimiento
erróneo, ese procedimiento encontrará sus
limitaciones en el caso de Raúl, pues el número
de entrada es negativo.
Respuestas.
Jesús: 81.25
Raúl: –0.8
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema
Significado y uso de las literales.
Antecedentes
En Matemáticas I, los alumnos aprendieron
a resolver ecuaciones de la forma a + x = b,
ax = b y ax + b = c, con coeficientes
enteros positivos. En esta secuencia
aprenderán a plantear y resolver ecuaciones
de la forma ax + b = cx + d y con parénte-
sis, con coeficientes enteros o fraccionarios,
enteros y negativos.
Propósitos de la secuencia
Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones con una incógnita.
Sesión Propósitos de la sesión Recursos
1
Piensa un número
Resolver problemas que impliquen el planteamiento y
resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c,
invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen.
Aula de medios
Ecuaciones (2)
(Hoja de cálculo)
2
El modelo de la balanza
Resolver problemas que impliquen el planteamiento y reso-
lución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d,
utilizando las propiedades de la igualdad.
Video
La balanza
Interactivo
Resolución de ecuaciones
Aula de medios
Números perdidos
(Calculadora)
3
Más allá del modelo de la balanza
Resolver problemas que impliquen el planteamiento y
resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y
con paréntesis, con coeficientes enteros y fraccionarios,
positivos y negativos.
4
Miscelánea de problemas
Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante
la solución de problemas que impliquen el planteamiento y
resolución de ecuaciones de primer grado.
Programa integrador 14

25
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obra
I. Consideren que el número de Salida es 72. Escriban los números que deben ir en el
círculo azul y en el cuadro rojo.
72
Entrada
Súmale 12
Salida
Multiplícalo por 10
Diagrama 2
a) ¿Qué operación hicieron con el número 72 para encontrar el número que va en el
círculo azul?
b) ¿Qué operación hicieron con el número del círculo azul para encontrar el número
del cuadro de Entrada?
c) Completen el siguiente diagrama escribiendo las operaciones que hicieron para
encontrar los números faltantes.
824.5
Entrada Salida
Diagrama 3
II. Completen el siguiente diagrama.
8
Entrada Salida
Súmale 12Multiplícalo por 10
MAT2 B3 S19.indd 25 9/10/07 12:29:12 PM
identifiquen la regla que permite encontrar el
número de Entrada.
Respuestas.
a) Restar: 72 – 12 = 60
b) Dividir: 60 ÷ 10 = 6
Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que
las líneas punteadas indican el procedimiento
“de regreso” para encontrar el número inicial.
Divídelo entre 10 Réstale 12

26
secuencia 19
iii. Consideren la siguiente adivinanza:
Pensé un número. Lo llamé p, le resté 5, el resultado lo dividí entre 4 y obtuve 2.75.
a) ¿Cuál de los siguientes diagramas sirve para encontrar el valor de p?
Diagrama 1 p 2.75
Réstale 5Divídelo entre 4
Diagrama 2 p 2.75
Divídelo entre 4Réstale 5
Multiplícalo por 4Súmale 5
Diagrama 3 p 2.75
b) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subráyenla.
•
p
4
+ 5 = 2.75
•
p – 5
4
= 2.75
• (p − 5) 4 = 2.75
c) ¿Cuál es el valor de p?
Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.
Recuerden que:
Una ecuación es una igualdad donde hay
un valor desconocido llamado incógnita.
Resolver la ecuación significa encontrar el
valor de la incógnita.
MAT2 B3 S19.indd 26 9/10/07 12:29:13 PM
Respuestas.
a) Diagrama 2
b)
p – 5
4
= 2.75
c) 16
Sugerencia didáctica. Organice la comparación
de resultados empezando por pedir el valor de p
y revise con todo el grupo que, con las operacio-
nes indicadas, se obtenga 2.75. Para verificar que
la ecuación que señalaron es la correcta, puede
pedir a tres alumnos que pasen al pizarrón a
sustituir la p por el valor encontrado.
El valor de p es 16,
En la primera ecuación
p
4
+ 5 = 2.75, se
obtiene
16
4
+ 5 = 4 + 5 = 9. No es igual a 2.75
En la segunda ecuación
p – 5
4
= 2.75, se obtiene
16 – 5
4
=
11
4
= 2.75
En la tercera ecuación (p – 5) × 4 = 2.75, se
obtiene (16 – 5) × 4 = 11 × 4 = 44. No es
igual a 2.75
Aproveche este momento para precisar que es
necesario invertir las operaciones que se indican
en el diagrama 2; esto puede verse de manera
más clara en el apartado A lo que llegamos.

27
IIMATEMÁTICAS
A lo que llegamos
La ecuación 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e invirtiendo las
operaciones de la siguiente manera.
Con lenguaje algebraico, se escribe: Haciendo un diagrama, se escribe:
10y + 12 = 4
y 10y + 12 = 4
+ 12× 10
10y
10y = 4 – 12
10y = –8
y 10y + 12 = 4
+ 12× 10
10y
– 12
y = (–8) ÷ 10
y = –0.8
y 10y + 12 = 4
+ 12× 10
10y
– 12÷ 10
IV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuación 6x + 22 = 4.
¿Cuál es el valor de x? x = x 4
Sumar 22Multiplícalo por 6
6x
Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el diagrama que escogieron.
Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente. Para cada renglón de la
tabla escriban la ecuación correspondiente considerando que x es el número de entrada.
Resuelvan la ecuación y verifiquen si es el resultado que habían obtenido.
MAT2 B3 S19.indd 27 9/10/07 12:29:14 PM
Respuestas.
Se resta 22 y después se divide entre 6. El valor
de x es –3.
Sugerencia didáctica. Durante la confronta-
ción, usted puede escribir los dos pasos para
resolver la ecuación
6x + 22 = 4
6x = 4–22 Primer paso
6x = –18
x = –18
6
Segundo paso
x = – 3
Sugerencia didáctica. Solicite a los alumnos
que realicen la verificación en sus cuadernos. Para
verificar pueden utilizar el diagrama o pueden
sustituir por el valor de y.
Verificación. En la ecuación 10y + 12 = 4, se
sustituye la y por −0.8.
10 (-0.8) + 12 = (−8) + 12 = 4.

28
secuencia 19
Lo que aprendimos
1. Planteen y resuelvan la ecuación que corresponde al siguiente diagrama:
a) Ecuación:
b) ¿Cuál es el valor de p? p =
2. Resuelvan la ecuación 7x + 18 = 31. Verifiquen las soluciones.
eL MODeLO De LA BALAnZA
Para empezar
La balanza
El modelo de la balanza nos permite representar y resolver ecuaciones. Para ello es nece-
sario que las acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan siempre
el equilibrio.
La siguiente balanza está en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas de
un gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los anillos pesan lo mismo.
=
Figura 1
¿Cuánto pesa cada anillo?
Comparen sus respuestas y comenten cómo encontraron el valor de cada anillo.
sesión 2
p 34.5
MAT2 B3 S19.indd 28 9/10/07 12:29:15 PM
Respuestas.
a)
p
4
– 5 = 34.5
b) 158
Sugerencia didáctica. En caso de que los
alumnos tengan dificultades para plantear la
ecuación, usted puede, con la participación de
todo el grupo, hacer el planteamiento:
p
4
– 5 = 34.5

p
4
= 34.5 +5 = 39.5
p = 4 x 39.5 = 158
Respuesta.
x =
13
7
Verificación:
7 ( 13
7
)+ 18 =
13 + 18 = 31
Sugerencia didáctica. La verificación se puede
hacer usando el diagrama.
Propósito de la sesión. Resolver problemas
que impliquen el planteamiento y resolución de
ecuaciones de la forma ax + b = cx + d,
utilizando las propiedades de la igualdad.
Descripción del video. Se muestra cómo en
una balanza pueden representarse ecuaciones
de primer grado y resolverlas manteniendo
siempre el equilibro. Conviene que se observe el
video antes de comenzar la actividad para que
los alumnos vean cómo funciona una balanza
para mantener el equilibrio y después trasladar
el ejemplo aplicando las propiedades de la
igualdad.
Resolver problemas que impliquen el plantea-
miento y resolución de ecuaciones de la forma
ax + b = cx + d, utilizando las propiedades de
la igualdad.
Propósito del interactivo. Que los alumnos
se familiaricen con el modelo de la balanza
para resolver ecuaciones.
Posibles procedimientos. Los alumnos pueden
resolver el problema si identifican que la
diferencia entre el lado izquierdo y el derecho de
la balanza es de 4 anillos, y si consideran las 2
pesas de un gramo de la balanza izquierda: El
peso de los 4 anillos equivale a las 22 pesas de
un gramo del lado derecho, menos las 2 pesas
de un gramo del lado izquierdo. Esto es cada
anillo pesa 5 gramos.
Un posible error es que dividan los 22 gramos
entre los 4 anillos sin considerar las 2 pesas que
ya están del lado izquierdo.
Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a
comentar cómo es y para qué sirve una balanza,
de ser posible lleve una balanza.
Comente también con los alumnos qué quiere
decir que la balanza se mantenga en equilibrio

29
IIMATEMÁTICAS
Manos a la obra
I. ¿Cuáles de las siguientes acciones mantendrían la balanza en equilibrio? Subráyenlas.
Pasar un anillo del lado izquierdo al lado derecho.
Quitar 1 anillo de ambos lados.
Cambiar un anillo por una pesa de 1 gramo en el lado derecho.
Quitar el mismo número de pesas de 1 gramo en ambos lados.
Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados.
Comparen sus respuestas y comenten porqué creen que mantienen el equilibrio de la
balanza.
II. A continuación se presenta una nueva situación con la balanza, completa lo que se te
pide para hallar el peso de estos otros anillos.
a) ¿Cuántas pesas de 1 gramo se pueden qui-
tar de cada lado sin que la balanza pierda el
equilibrio?
b) Ahora, ¿cuántos anillos del mismo peso pue-
den quitarse de cada lado sin que se altere el
equilibrio de la balanza?
Después de quitar las pesas de 1 gramo y los ani-
llos del mismo peso,
c) ¿cuántos anillos quedan del lado izquierdo de
la balanza?
d) ¿Cuántas pesas de 1 gramo quedan del lado
derecho?
e) Si dos anillos pesan 28 gramos, ¿cuántos gra-
mos pesa cada anillo?
•
•
•
•
•
MAT2 B3 S19.indd 29 9/10/07 12:29:17 PM
Respuesta. La segunda, cuarta y quinta
acciones son correctas.
Sugerencia didáctica. Propicie que los alumnos
concluyan que, para mantener el equilibrio de la
balanza, se tiene que hacer la misma acción en
ambos lados.
También puede ilustrar cómo se pierde el
equilibrio haciendo acciones diferentes en
ambos lados.
Respuestas.
a) 2
b) 1
c) 2
d) 28
e) 14 gramos

30
secuencia 19
Comparen sus respuestas. Verifíquenlas sustituyendo el peso de los anillos en la ba-
lanza. Después lean con ayuda de su profesor la siguiente información.
A lo que llegamos
Para encontrar un peso desconocido en el modelo de la balanza se
realizan las mismas acciones en ambos lados de la balanza de manera
que siempre se mantenga el equilibrio.
En la siguiente balanza se tiene representada la ecuación:
6x + 3 = 2x + 15
Donde x representa el peso de un cubo.
Para encontrar x se pueden
quitar de ambos lados 3
pesas de 1 gramo.
6x + 3 – 3 = 2x + 15 – 3
6x = 2x + 12
Después, se pueden quitar de
ambos lados 2 cubos.
6x – 2x = 2x + 12 – 2x
4x = 12
Al final, el peso de se
puede encontrar dividiendo
las 12 pesas de 1 gramo
entre 4.
x = 12
4
= 3
Cada cubo pesa 3 gramos.
MAT2 B3 S19.indd 30 9/10/07 12:29:19 PM
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos
por qué en este caso conviene quitar en ambos
lados 3 pesas de un gramo y por qué conviene
quitar 2 cubos en ambos lados. Esto se hace
para que de un lado de la balanza sólo queden
cubos y del otro lado sólo queden pesas.
Después de que revisen la información en este
apartado puede indicarles que, para verificar la
solución, es necesario sustituir la x por el valor
encontrado.
Verificación: El valor de x es 3, al hacer la
sustitución se obtiene, del lado izquierdo, 6(3) +
3 = 21, y del lado derecho, 2(3) + 15 = 21.
Como en ambos lados se obtiene el mismo
resultado, esto quiere decir que el valor de x
encontrado es la solución de la ecuación.
Solicite a los alumnos que realicen en sus
cuadernos la verificación de la solución de la
segunda ecuación.
Propósito del interactivo. Mostrar dinámica-
mente que, para mantener el equilibrio en la
balanza se necesitan realizar las mismas
acciones en ambos lados.

Matemáticas II vol. II

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