Descripción de los números autoreferidos.

1. 123: el más conocido, pero no el único
autoreferido.
José Acevedo Jiménez.
Tengo de todo menos de nada y, al faltarme
Nada no tengo de todo.
Y, si intento complementar el todo, consiguiendo la nada,
me quedo sin nada.
Por eso prefiero complementar la nada para tenerlo todo.
Tomemos un número natural cualquiera de tres o más cifras. A ver, por ejemplo:
234563215638903.
Ahora, del número escogido, vamos a contar cuántos dígitos son pares y cuántos son
impares, luego tomamos el total de dígitos. Con estos datos formaremos un nuevo número
de la siguiente manera:
Tomamos la cantidad de dígitos pares, a este valor le concatenamos la cantidad de dígitos
impares y finalmente completamos el nuevo número concatenando la cantidad total de
dígitos del número original. Así, tenemos que:
234563215638903, tiene: 7 dígitos pares (0 es considerado par, no entraremos en detalles);
8 dígitos o cifras impares; 15 dígitos en total. Concatenando los resultados en el orden: par,
impar, total, nuestro nuevo número es: 7815. Con el nuevo número, volvemos a repetir el
proceso, una y otra vez, al final llegaremos, sin remedio, al número: 123. Llegado a este
número, caeremos en un bucle del que no podremos salir y 123 se repetirá, se repetirá y
volverá a repetir sin fin. Vamos a verlo:
El número dado es: 234563215638903. Al iniciar el proceso, el primer resultado es: 7815.
Al repetir el proceso, obtenemos: una cifra par, tres impares y cuatro en total, así
conseguimos el número: 134. Repitiendo el proceso una vez más, obtenemos: una cifra
par, dos impares y tres en total, es decir: 123. Este último número (123) tiene: una cifra par,
dos cifras impares y tres en total. Como pueden ver, 123 se vuelve a repetir.
Por esta propiedad, muchos dicen que el número 123 es un agujero negro y en este caso se
ha tragado al 234563215638903. En este escrito preferimos llamar al 123 un número
autoincluido, más adelante veremos el porqué de nuestra denominación.
Siempre que se cumplan las reglas establecidas, obtendremos el número 123. No es difícil
demostrar, pero la misma la dejamos abierta al lector. En internet hay mucha literatura

2. sobre el tema. Para encontrarla, entre otras, es suficiente con googlear: propiedades del
número 123.
Pero bien, nuestro objetivo no es hablar de las propiedades del número 123, más bien
queremos incluirlo en un conjunto (números autoreferido) en el cual dicho número es solo
uno de sus elementos.
Es evidente que si cambiamos el orden establecido (par, impar, total) por: impar, par y
total, obtendríamos 213, en tal caso, este sería el número que se repetiría y no el 123.
Los números naturales de solo un dígito son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. A partir de estos
diez números se forman todos los demás. De este total, cinco son pares (se incluye el cero)
y cinco son impares, pero no son las únicas maneras en que pueden clasificarse estos
números de solo una cifra, entre estos diez tenemos: cuatro primos (2, 3, 5, 7), dos
especiales (0, 1) y cuatro compuestos (4, 6, 8, 9), así hemos hecho otra clasificación, y
podemos seguir, solo hay que usar la imaginación. Otras clasificaciones serían estas:
números menores que 2 (0, 1); números pares menores que 6 (2, 4); números pares mayores
que 4 (6, 8); números impares mayores que cinco (7, 9); números impares mayores que 1 y
menores que 7 (3, 5).
Para las clasificaciones: primos, especiales, compuesto, total (el orden bien podría ser otro,
pero eso poco nos importa), vamos a dar un ejemplo para ver qué sucede. Tomemos el
número: 125678304569876.
primos = 6, especiales = 2, compuestos = 7, total = 15. Siguiendo el orden: primo, especial,
compuesto, total, obtenemos el número: 62715, repitiendo el proceso obtenemos: 3115,
volvemos a repetir el proceso una vez más obtenemos el número: 2204, repetimos otra vez
para obtener: 2114, y finalmente obtenemos el número: 1214; este se repite sin fin, auto
incluyéndose en sus propias clasificaciones, es decir: un primo, dos especiales, un
compuesto y, claro está, el total. Si hacemos varios ejemplos, veremos que existen otros
números de cuatro dígitos que al igual que el 1214 se auto refieren, entre estos tenemos:
4004 y 323. Incluso es fácil demostrar que existe una cantidad finita de “números
autoreferidos”. En el caso del número 4004, podemos decir que tenemos: 4 impares, 0
impares, 0 primos y 4 en total; del 323, podemos decir que tenemos: 3 primos, 2 impares y
3 en total. Obsérvese que dado un número autoreferido es posible calcular las
clasificaciones, es decir: clasificaciones = total dígitos – 1. Así los dígitos del número 323
tienen dos clasificaciones: primos e impares.
El 22 es el menor de los números autoreferidos, ¿pueden demostrarlo?
* Autoreferidos ha sido el nombre dado por el autor de este escrito a los números descritos.