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1. TEMA 3
LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.1 DEFINICIÓN.- El límite de una función f(x) cuando “x” tiende al número real “a”, es igual a
“L”; si y solo si para todo épsilon “∈ “ mayor que cero, existe un delta “𝛿”, también mayor que
cero, talque verifica la siguiente desigualdad.
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = L ↔ ∀𝜖 >0; ∃ 𝛿 >0 : 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹
Donde: “𝝐" : Épsilon, representa una constante tan pequeño pero mayor que cero.
“𝛿” : Delta, representa una constante tan pequeño pero mayor que cero.
EJEMPLO.- Aplicando la definición de límite demostrar que:
lim
𝑥→1
(7𝑥 + 3)= 10
SOLUCIÓN.- Datos: f(x) = 7x + 3, a = 1, L = 10. Sustituir:
lim
𝑥→1
(7𝑥 + 3) = 10 ↔ ∀𝜖 >0; ∃ 𝛿 >0 : 𝟕𝒙 + 𝟑 − 𝟏𝟎 < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝟏 < 𝜹
Operaciones en la desigualdad: 𝟕𝒙 + 𝟑 − 𝟏𝟎 < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝟏 < 𝜹

2. 𝟕𝒙 − 𝟕 < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝟏 < 𝜹
𝟕(𝒙 − 𝟏) < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝟏 < 𝜹
𝟕 𝒙 − 𝟏) < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝟏 < 𝜹
𝒙 − 𝟏 <
𝜺
𝟕
siempre que 0 < 𝒙 − 𝟏 < 𝜹
Por analogía:
𝜺
𝟕
= 𝜹. Este valor demuestra el límite.
Prueba: Si 𝜺 = 0.1 (valor tan pequeño y mayor que cero) → 𝛿 =
𝜺
𝟕
=
𝟎.𝟏
𝟕
= 0.014 → 𝛿 = 0.014
Valor tan pequeño pero mayor de cero, lo cual satisface la demostración.

3. EJEMPLO 2.- lim
𝑋→3
𝑥2
+ 3𝑥 − 10 = 8
SOLUCIÓN.- Datos: f(x) = 𝑥2
+ 3𝑥 − 10, a = 3, L = 8. Sustituir:
lim
𝑥→3
(𝑥2
+ 3𝑥 − 10) = 8 ↔ ∀𝜖 >0; ∃ 𝛿 >0 : 𝑥2
+ 3𝑥 − 1𝟎 − 𝟖 < 𝜺 sq. 0 < 𝒙 − 𝟑 < 𝜹
Operaciones en la desigualdad: 𝑥2
+ 3𝑥 − 1𝟖 < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝟑 < 𝜹
(𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟑) < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝟑 < 𝜹
𝑥 + 6 𝑥 − 3 < 𝜺 siempre que 0 < 𝒙 − 𝟑 < 𝜹
Despejando: 𝑥 − 3 <
𝜖
𝑥+6
( * ), siempre que 0 < 𝒙 − 𝟑 < 𝜹
Para que el segundo miembro de (*) sea número real, debemos acotar, es decir transformar en
un número. Para ello:
𝛿 = 1. A resolver:
𝒙 − 𝟑 < 𝟏
–1 < 𝑥 − 3 < 1.
–1+3 < 𝑥 − 3 + 3 < 1+3
2 < 𝑥 < 4. Si remplazamos x = 4 en el segundo miembro de (*). Es decir:

4. 𝜖
4+6
=
𝜖
10
=
𝜀
10
En este caso elegimos este valor para que el segundo miembro de (*) sea pequeño.
Entonces: Los valores de Delta “𝜹“ que demuestran el límite es: 𝜹 = mínimo 𝟏,
𝜺
𝟏𝟎
.
Sin embargo: se puede verificar con x = 4 ( el extremo derecho)
Si 𝜀 = 0.1 →
𝜀
10
=
0.1
10
= 0.01 (número tan pequeño pero mayor que cero)
Si elegimos x = 2, el denominador de (*), no satisface puesto que:
𝜀
2+6
=
𝜀
8
Si 𝜀 = 0.1 →
𝜀
8
=
0.1
8
= 0.0125 (número tan pequeño pero mayor que el anterior).
3.2 LÍMITES LATERALES
i) El límite de f(x) cuando “x” tiende a “a” por izquierda se representa: lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿1
ii) El límite de f(x) cuando “x” tiende a “a” por derecha se representa: lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿2

5. Por tanto, existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺ existen los límites laterales y además son iguales ( 𝐿1=𝐿2)
3.3 TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE
Dada la función real de variable real f(x), el límite lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 existe si y solamente si, se
verifica: lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥). (principio de existencia).
3.4 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
Sean f(x) y g(x) funciones tales que: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ∧ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀
Se tiene:
1) LÍMITE DE UNA CONSTANTE.- lim
𝑥→𝑎
𝑘= k, Ejemplo lim
𝑥→2
5= 5
2) lim
𝑥→𝑎
𝑘𝑓(𝑥) = k lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = k L
3) LÍMITE DE SUMA O DIFERENCIA.- lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = L + M
4) LÍMITE DE UN PRODUCTO.- lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∗ 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∗ lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = L * M

6. 5) LIMITE DE UN COCIENTE.- lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
=
𝐿
𝑀
( M ≠ 0)
6) LÍMITE DE UNA POTENCIA.- lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑛
= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑛
= 𝐿𝑛
7) LÍMITE DE UNA RAÍZ.- lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓(𝑥) = 𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =
𝑛
𝐿
3.5 FORMAS INDETERMINADAS
En la evaluación de un límite puede presentarse una forma indeterminada, en este caso es preciso
transformar la función usando artificios con el propósito de “evitar” (levantar) la indeterminación.
Las formas más usuales que se presentan son:
𝟎
𝟎
;
∞
∞
; ∞ − ∞ ; 0*∞ ; 𝟎𝟎
; 𝟏∞
: ∞∞
; 𝟎∞