Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales del análisis matemático I, incluyendo la introducción a los límites, definición de límite, cálculo de límites algebraicos y trigonométricos, y definición de continuidad. También incluye una bibliografía de 5 libros de referencia sobre el tema.

1. FACULTADDEINGENIERÍAELECTRONICAE
INFORMATICA
CCESA
ANALISISMATEMATICOI

2. SUMARIO
BIBLIOGRAFÍA
1. ESPINOZA RAMOS, E. : Análisis Matemático I 1ra Edición Lima (1995)
2. LEITHOLD, Louis: Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla México (1992)
3. PISKUNOV, N. : Calculo Diferencial e Integral Tomo I Editorial Mir Moscú (1978)
4. HAASER – LASALLE, Sullivan: Análisis Matemático Vol. I. Editorial Trillas México (1970)
5. HELFGOTT, Michel & NUÑEZ, Tomás: Cálculo Diferencial de una Variable
1. INTRODUCCION A LOS LIMITES.NOCION INTUITIVA
2. DEFINICION DE LIMITE. TEOREMAS BÁSICOS SOBRE LÍMITES. DEFINICION Y
CÁLCULO DE LÍMITES ALGEBRAICOS. LIMITES LATERALES. TEOREMA DEL
SANDWICH
3. LIMITES LATERALES LIMITES TRIGONOMÉTRICOS. LIMITES INFINITOS.
TEOREMAS ADICIONALES SOBRE LIMITES
4. ASINTOTAS A LA GRÁFICA DE LA CURVA. DEFINICION DE CONTINUIDAD EN
UN PUNTO PARA UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
5. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO.
TEOREMA DE VALOR CERO
LIMITES Y CONTINUIDAD

3. Introduccióna los límites
Noción intuitiva
Sea la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-1).
Analizando la gráfica de la función; se tabula:
x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1
y +1 0.75 1  7 f(-½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/-3/2=+0.75
f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado
Graficando lo tabulado:
¿Qué pasa de 0 a 2?

4. Tabulemos mas dentro de ese
intervalo, sin tocar el uno.
x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7
y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59
La grafica se interrumpe en el punto (1,3);
en donde no existe. Pero, tratando de
analizar la gráfica, podemos pensar que
cuando x=1, su imagen (y)=3.
Podemos concluir que el límite de
f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;
Pero, ésta conclusión es errónea.
Necesitamos aplicar el límite, en el punto
donde la función no existe.
Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)
x -> 1 x -> 1
=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1)
x -> 1
=lim (x2+x+1) = 12+1+1
x -> 1
= 3
Significado intuitivo de límite
Def.: Decir que lim f(x)=L significa que
cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x)
está cerca de L.
=> Decir que lim f(x)=3, significa que
cuando x está cerca de uno, pero no es
uno, f(x) está cerca de 3, pero no es 3.
0
1
2
3
4
5
6
7
-2.0000
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
0.7000
0.9000
0.9990
0.9999
1.0000
1.0010
1.5000
1.7000
1.9000

5. Ejemplos:
Encuentre:
Lim(4x-5)=4(3)-5= 12-5 = 7
x3
Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3)
x3 =[(9-9)]/(3-3)
= 0 / 0 = 
Como el resultado dió infinito, no se debe
resolver así. Debemos factorizar el
numerador.
Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim(x+2)(x-3)/(x-3)
x3 x3
= lim (x+2) = 3+2 = 5
x3
Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.
Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1))
x1
= 0/0 = 0/0 = 
Para resolver esta función, necesitamos
conocer las propiedades de la raíz.
Propiedadesde la raíz.
(a*b) = a * b a/b = a / b
(a+b)  a + b a-b  a - b
a* a = (a*a) = a2 = a
  Lim (x-1)/((x-1))=
x1
Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-1))=
x1
Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0
x1

6. Definición de límite
Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0.
Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos
si, para cada número e > 0, existe un número correspondiented > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < d  | f(x) – L | < e
  Lxf
xx

 0
lim
Para hallar una d > 0 tal que para toda x; 0 < | x – x0 | < d  | f(x) –L | < e, se debe
seguir los siguientes pasos:
Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < e para encontrar un intervalo abierto (a, b)
alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.
Paso 2. Hallar un valor d > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – d, x0 + d) con centro
en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < e se cumplirá para toda
x ≠ x0 en este intervalo determinado por d.

7. Definición
Consideremos un intervalo abierto que contenga al número a. Sea f una función definida en
todos los números del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un número real. Entonces:
Significa que para todo ε > 0 existe una δ > 0 tal que: Si 0 < | x – a | < δ, entonces | f (x) – L | < ε
Lxf
ax


)(lím
L + ε
a - δ
L
ε
ε
a - δ
a
δ δ
L - ε

8. Ejemplo:
1. Sea la función f definidapor f (x) = 4x – 7. Suponiendoque
a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3
| < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0 tal que si
0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Solución a):
5)(lím
3


xf
x
5.01
4.99
5
3
x1 x2
f (x) =4 x - 7
9975.2
4
99.11
1
x 0025.3
4
01.12
2
x
4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01
Como 3 – 2.9975 =0.0025, y 3.0025 –3 = 0.0025
Se elige δ = 0.0025, de tal forma que 0 < | x-3| <
0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Lo cual es verdadero.

9. Solución b)
Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:
Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01
Entonces: 0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01
Tomando la segunda ecuación:
| (4x – 7) - 5 | < 0.01
| 4x – 7 - 5 | < 0.01
| 4x – 12 | < 0.01
| 4 (x – 3 ) | < 0.01
| 4 | | x – 3 | < 0.01
4 | x – 3 | < 0.01
ed  Lxfax )(0
4
01.0
3 x
Si tomamos entonces:
0 < |x - 3 | < δ si y solamente si | (4x – 7) - 3 | < ε
es verdadero!
Puesto que:
0 < | x - 3 | < 0.0025
4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 )
| 4 (x – 3) | < 0.01
| 4x - 12 | < 0.01
| ( 4x – 7) - 5 | < 0.01
| f (x) - 5 | < 0.01 QUEDA DEMOSTRADO!
0025.0
4
01.0
4

e
d

10. Acercamientos Laterales
Por izquierda Por derecha

11. Gráfica de un acercamiento por la izquierda y por la
derecha
Matemáticamente: x  3+
Cuando x se aproxima a 3 por
medio de valores mayores que el 3,
se dice que x se aproxima a 3 por la
derecha
3
5
x3
5
x
Matemáticamente: x  3
-
Cuando x se aproxima a 3 por
medio de valores menores que el
3, se dice que x se aproxima a 3
por la izquierda

12. Si se realizan ambas aproximaciones al mismo tiempo, se
obtiene:
3
5
x x
5)(
3


xfLím
x
5)(
3


xfLím
x
Para que el límite exista, cuando la variable tiende a un número “a” (en nuestro
ejemplo a = 3) tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a
adoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 5)

13. valor de f(x) cuando x  3
3
5
7
x x
 Se observa que cuando x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5,
mientras que si x tiende a 3 por derecha, la función tiende al valor de 7; entonces el límite
de f(x) cuando x tiende a 3, no existe.
 Una función f tiene límite L cuando x tiende a “a” por cualquier lado (derecha o izquierda);
y se escribe:
LxfLim
ax


)(

14. Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está
arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos
que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos
  Lxf
ax


lim
Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está
arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos
que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
  Mxf
ax


lim
Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la
derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:
Limx  c f (x) = L  Limx  c– f (x) = L y Limx  c+ f (x) = L

15. Límites de funciones
Analicemos la función:  
1
12



x
x
xf
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
     1
1
11
1
12






 x
x
xx
x
x
xf x  1
x
y
1
1
–1
0
 
1
12



x
x
xfy
2
x
y
1
1
–1
0
y = x + 1
2

16. Valores de x menores y
mayores que 1
0.9
1.1
0.99
1.01
0.999
1.001
0.999999
1.000001
1.9
2.1
1.99
2.01
1.999
2.001
1.999999
2.000001
  1
1
12



 x
x
x
xf x  1
Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
  2
1
1
lim2lim
2
11




 x
x
oxf
xx

17. Funciones sin límite en un punto






0,1
0,0
)
x
x
yb
La función salta
-3 -2 -1 0 1 2 3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y







0,0
0,
1
)
x
x
xyb
Crece demasiado
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1







0,
1
sen
0,0
)
x
x
x
yc
Oscila demasiado

18. Reglas para calcular límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son
números reales)
1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

19. Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del
denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

20. Eliminación de denominador cero
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos
casos simplificar la fracción y calcular el límite.
xx
xx
x 

 2
2
1
2
lim
h
h
h
22
lim
0



21. Teorema del emparedado
Supóngase que g(x)  f(x)  h(x) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c,
excepto posiblemente en x = c. Supóngase también que
    Lxhxg
cxcx


limlim
Entonces   Lxf
cx


lim
g
f
h
c
L
y
x

22. Uso del teorema del emparedado
Demostración del límite de sen(q)/q cuando q tiende a 0
1
P
T
tan q
sen q
cos q
q
1
A(1, 0)QO
arco de longitud q
De la figura se ve que:
sen q  q  tan q
Dividiendo entre sen q :
1  q /sen q  tan q / sen q = 1/cos q
Invirtiendo cada término
1  sen q / q  cos q
Tomando el límite
limq0 1  limq0 sen q / q  limq0 cos q
Pero limq0 cos q = 1
Por el teorema del emparedado limq0 sen q/q = 1

23. Límites infinitos
Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice
que la función tiende a un límite infinito positivo.
  

xf
cx
lim
Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier
real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.
  

xf
cx
lim
-3 -2 -1 0 1 2 3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10

 xx
1
lim
0
x
y

 xx
1
lim
0
y = 1/x

24. -6
-4
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2 3


 1
1
lim
1 xx


 1
1
lim
1 xx
x
y
y = 1/(x – 1)
0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y


2
0
1
lim
xx


2
0
1
lim
xx
2
1
x
y 

25. Límites de funciones racionales
   
  
 
 
0
2
2
lim
22
2
lim
4
2
lim
2
2
22
2
2









 x
x
xx
x
x
x
xxx
     4
1
2
1
lim
22
2
lim
4
2
lim
2222








 xxx
x
x
x
xxx
  






 
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
  






 
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
  
existeno
xx
x
x
x
xx






 22
3
lim
4
3
lim
222
 
 
   









  22323
2 2
1
lim
2
2
lim
2
2
lim
xx
x
x
x
xxx

26. Continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si
   cfxf
cx


lim
En tal efecto, una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple
las tres condiciones siguientes:
1. f(c) existe (c está en el dominio de f)
2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)
3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
Continua
Discontinua

27. Tipos de discontinuidades
 xy  Discontinuidad escalonada
x
seny
1
 Discontinuidad oscilante
2
1


x
y Discontinuidad infinita
2
22



x
x
y Discontinuidad removible

28. Continuidad en los extremos
Una función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si
   afxf
ax


lim
Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si
   bfxf
bx


lim
y = f(x)
a c b

29. Reglas de continuidad
Teorema 6
Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son
continuas en:
1. f + g y f – g
2. f g
3. kf, donde k es cualquier número
4. f/g (si g(c) ≠ 0)
5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son
enteros)

30. Continuidad de polinomios
Teorema 7
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional
es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.
   
   25
20x4



xxxg
xf
xr
Ejemplo:
Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.
La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y
f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.

31. Continuidad de la composición
Teorema 8
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.
f g
g ° f
f (c) g(f (c))Continua en c Continua en f(c)
Continua en c

32. Teorema del valor intermedio
Teorema 9
Suponga que f(x) es continua en un intervalo I, y que a y b son dos puntos en I.
Entonces, si y0 es un número entre f(a) y f(b), existe un número c entre a y b tal que
f(c) = y0.
f(a)
f(b)
f(c)
a c b x
y
0

33. Consecuencias del teorema del valor intermedio
Conexidad
La gráfica de una función continua no debe tener salto, debe ser conexa, una curva
ininterrumpida.
Búsqueda de raíces
Una raíz es una solución a la ecuación f(x) = 0. Si el valor de la función f(x) cambia
de signo en algún intervalo, entonces debe tener una raíz dentro del intervalo.

34. Continuidad en un punto
Definición:
Decimos que una función f es continua en un punto x = a, si
se cumplen las siguientes condiciones:
( ) existaf a ( ) exista
x a
Lim f x

( ) ( )
x a
Lim f x f a


La función debe estar
definida en el punto donde se
requiere la continuidad, es
decir, f(a) debe ser un
número real.
Los valores de la función
deben aproximarse a un
único número real en la
medida de que x se
aproxime a a por la
izquierday por la derecha
Los valores de la función deben
aproximarse precisamente al
número real f(a) en la medida
de que x se aproxime a a por la
izquierday por la derecha

35.  Ejemplo: La función definidapor medio de
es continuaen
En efecto,
2
)( xxf 
3.x 
a)
b)
c)
93)3( 2
f
92
3


xLim
x
2
3
(3) 9
x
Lim x f

 

36.  En el gráfico siguiente vemos la continuidad de esta función en el
punto indicado:

37. Continuidad en un intervalo.
Definición:
Decimos que una función es
continua en un intervalo I, si es
continua en cada elemento del
interior del intervalo. Es decir, si se
cumplen las tres condiciones de
continuidad en un punto, para
cada punto c en int(I).
De la gráfica del ejemplo anterior
observamos que la función es
continua en cualquier intervalo
que no contengael número 1.

38. Función Continua.
Decimos que una función es continua, cuando ella es continua en todo punto de su
dominio.
Determinar si la función es continua.
Ya que el dominio de esta función es todo el conjunto de números reales, entonces,
debemos probar las tres condiciones de continuidad en cada número real. Para hacer
esto escogemos un número arbitrario, es decir, un número a cualquiera, y verificamos
las tres condiciones.
53)( 3
 xxf
( ) existaf a 3
( ) 3 5f a a 
( ) exista
x a
Lim f x

3 3
(3 5) 3 5
x a
Lim x a

  
( ) ( )
x a
Lim f x f a

 Obviamente los resultados
anteriores coinciden, y por lo
tanto esta condición se cumple

39. La gráfica de esta función es