El documento presenta una introducción a los límites laterales e infinitos. Explica que los límites laterales determinan el comportamiento de una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor desde la izquierda y la derecha. También define límites infinitos como aquellos donde la variable tiende a valores muy grandes o pequeños. A continuación, presenta algunos ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de límites laterales y al infinito.

1. Lic. Jesús E. Alarcón Samplini Mg.
Matemática II - Agronomía
Tema: LÍMITES LATERALES, INFINITOS Y AL INFINITO.

2. 4.1. Límites Laterales:
Son límites que se determinan en dos sentidos: por la izquierda y por la derecha del punto a
analizar. El límite de una función cuando xb es independiente de la manera en que “x” se
aproxima al número “b”. Por lo tanto, si el límite por la izquierda y por la derecha, existen y son
iguales se denomina “límite bilateral”.
lim
𝑥→𝑏−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑏+
𝑓 𝑥 = 𝐿

3. Ejemplo 1: Sea: f x =
x2 − 3, si x > 1
1, si x = 1
−1 − x, si x < 1
, calcula lim
x→1
f x , si existe, y trace su gráfica
Procedimiento:
a) Calculado los límites laterales:
∗) para x > 1, lim
x→1+
f x = lim
x→1+
x2 − 3 = 12 − 3 = (1 − 3) = −2
∗) para x < 1, lim
x→1−
f x = lim
x→1−
−1 − x = −1 − 1 = −2
b) Comparación:
Si: lim
x→1+
f x = − 2  lim
x→1−
f x = − 2 → lim
x→1+
f x = lim
x→1−
f x = − 2
Por lo tanto: lim
x→1
f x = −2, si existe.

4. c) Gráfica de la función: f x =
x2
− 3, si x > 1
1, si x = 1
−1 − x, si x < 1

5. Ejemplo 2: Sea: 𝑓 x =
x + 3
6 + 2x
a) Halle: lim
x→−3−
𝑓 x
b) Halle: lim
x→−3+
𝑓 x
c) Trace la gráfica de f(x).
Procedimiento:
𝑆𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑥 + 3 =
x + 3, si x ≥ −3
− x + 3 , si x < −3
a) Calculado los límites laterales:
∗) para x  − 3, lim
x→−3+
𝑓 x = lim
x→−3+
𝑥 + 3
6 + 2𝑥
= lim
x→−3+
𝑥 + 3
2(3 + 𝑥)
= lim
x→−3+
1
2
=
1
2
∗) para x < −3, lim
x→−3−
𝑓 x = lim
x→−3−
−(𝑥 + 3)
6 + 2𝑥
= lim
x→−3−
−(𝑥 + 3)
2(3 + 𝑥)
= lim
x→−3−
−1
2
=
−1
2

6. b) Comparación:
Si: lim
x→−3+
𝑓 x =
1
2
 lim
x→−3−
𝑓 x =
−1
2
→ lim
x→−3+
𝑓 x ≠ lim
x→−3−
𝑓 x
Por lo tanto: lim
x→−3
f x 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.
c) Gráfica de la función: 𝑓 x =
x+3
6+2x

7. Ejemplo 3: Sea g x =
4 − x2, si x ≤ 2
2, si 2 < x ≤ 5
𝑥 − 5 , si x > 5
,
calcula lim
x→2
g x 𝑦 lim
x→5
g x , si existen, y trace su gráfica
Procedimiento:
a) Calculado los límites laterales:
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎: lim
x→2
g x :
∗) para x > 2, lim
x→2+
g x = lim
x→2+
2 = 2
∗) para x ≤ 2, lim
x→2−
g x = lim
x→2−
4 − x2 = 4 − 22 = 4 − 4 = 0

8. 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎: lim
x→5
g x :
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 − 5 , si x > 5 se utilizará: x − 5
Entonces:
∗) para x > 5, lim
x→5+
g x = lim
x→5+
𝑥 − 5 = (5 − 5) = 0
∗) para x ≤ 5, lim
x→5−
g x = lim
x→5−
2 = 2
b) Comparación:
Si: lim
x→2+
𝑔 x = 2  lim
x→2−
𝑔 x = 0 → lim
x→2+
𝑔 x ≠ lim
x→2−
𝑓 x
Por lo tanto: lim
x→2
g x 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.
Luego, Si: lim
x→5+
𝑔 x = 0  lim
x→5−
𝑔 x = 2 → lim
x→5+
𝑔 x ≠ lim
x→5−
𝑓 x
Por lo tanto: lim
x→5
g x no existe puesto que los limites laterales son diferentes.

9. c) Gráfica de la función: g x =
4 − x2
, si x ≤ 2
2, si 2 < x ≤ 5
𝑥 − 5 , si x > 5

10. 4.2. Límites al Infinito:
Son límites que se caracterizan porque la variable independiente “x” tiende a valores muy grandes o muy
pequeños (sin cota), es decir, tienden al infinito positivo (x+), o al infinito negativo (x),
respectivamente, de tal forma que el límite generalmente, si existe.
Además: Cuanto más grande es el valor de “x”, la diferencia entre f(x) y L es cada vez más pequeña. Es
decir f(x) se aproxima a L cuando x se aleja hacia la derecha. Y también f(x) se aproxima a L cuando x se
aleja hacia la izquierda.
∗) lim
x→+∞
1
xn =
1
+∞ 𝑛 = 0 , "n" es un entero positivo cualquiera.
∗) lim
x→−∞
1
xn
=
1
−∞ 𝑛
= 0 , "n" es un entero positivo cualquiera.

11. Propiedades de los límites al Infinitos:
Si: lim
x→+∞
f x = L y lim
x→+∞
𝑔 x = M
a) Múltiplo escalar:
lim
x→+∞
c ∙ f x = c ∙ lim
x→+∞
f x = c ∙ L
b) Suma o diferencia:
lim
x→+∞
f x ± g(x) = lim
x→+∞
f(x) ± lim
x→+∞
g(x) = L ± M
c) Producto:
lim
x→+∞
f x ∙ g x = lim
x→+∞
f x ∙ lim
x→+∞
g x = L ∙ M
d) Cociente:
lim
x→+∞
f x
g(x)
=
lim
x→+∞
f x
lim
x→+∞
g x
=
L
M
Ahora, cuando x, se obtiene propiedades similares.

12. Ejemplo 1: A continuación, analicemos el límite de la función:
h x =
3
x
, cuando x → ±∞
Procedimiento:
Paso1: Nos piden calcular:
lim
𝑥→−∞
3
𝑥
𝑦 lim
𝑥→+∞
3
𝑥
Paso2: El límite de la función cuando “x” tiende a  o + (x ; x +) es:
∗) lim
x→−∞
3
x
=
3
−∞
y lim
x→+∞
3
x
=
3
+∞
Por propiedad:
3
−∞
= 0 y
3
+∞
= 0
Entonces: lim
x→−∞
3
x
= 0 y lim
x→+∞
3
x
= 0
por lo tanto: lim
x→−∞
3
x
= lim
x→+∞
3
x
= 0 , el límite sí existe y es cero.

13. Paso3: Gráfica de la función lim
𝑥→±∞
3
𝑥
= 0
Como x , entonces la
función se acerca cada vez
más a cero por la
izquierda (negativo).
Como x +, entonces la
función se acerca cada vez
más a cero por la derecha
(positivo).

14. Ejemplo 2: A continuación calculemos el límite (si existe) de:
lim
x→+∞
5
x − 3 2
Paso1: Nos piden calcula:
lim
x→+∞
5
x − 3 2
, cuando “x” toma valores cada vez más grandes (x + ).
Paso2: El límite de la función cuando “x” tiende a + (x+) es:
∗) lim
x→+∞
5
x − 3 2 =
5
+∞ − 3 2
Por propiedad:
5
+∞ − 3 2 =
5
∞ 2 =
5
∞
= 0
Por lo tanto: lim
x→+∞
5
x − 3 2
= 0, si existe y es cero.

15. Paso3: Gráfica de la función lim
𝑥→+∞
5
𝑥 − 3 2 = 0
Como x +, entonces la
función se acerca cada vez
más a cero por la derecha
(positivo).

16. Ejemplo 3: Calcule el límite (si existe) de:
lim
𝑥→−∞
6 − 𝑥
Paso1: Nos piden calcula:
lim
𝑥→−∞
6 − 𝑥 , cuando “x” toma valores cada vez más pequeños.
Paso2: El límite de la función cuando “x” tiende a  (x ) es:
*) lim
x→−∞
6 − x = 6 − (−∞) = 6 + ∞
Por propiedad: 6 + ∞ = ∞ = +∞
por lo tanto: lim
x→−∞
6 − x = +∞, es decir no existe.

17. Paso3: Gráfica de la función lim
𝑥→−∞
6 − x = +∞
Como x , entonces la
función aumenta su valor,
es decir tiende al positivo
infinito.

18. Cuando se calcula los límites al infinito de una función racional (fracción), se divide el numerador y el
denominador entre la mayor potencia de “x”.
Ejemplo 4: A continuación calculemos el límite (si existe) de:
lim
x→+∞
8x2 − 5
9x2 − 7x + 6
Paso1: Nos piden calcula:
lim
x→+∞
8x2 − 5
9x2 − 7x + 6
, Cuando “x” toma valores cada vez más grandes (x → +∞).
Paso2: La mayor potencia de “x” es “x2”, entonces dividimos cada término de la función entre “x2”, y el límite de
la función cuando “x” tiende a + (x+) es:
lim
x→+∞
8x2 − 5
9x2 − 7x + 6
= lim
x→+∞
8x2
x2 −
5
x2
9x2
x2 −
7x
x2 +
6
x2
= lim
x→+∞
8 −
5
x2
9 −
7
x
+
6
x2
=
8 −
5
+∞ 2
9 −
7
+∞
+
6
+∞ 2
por propiedad: =
8 −
5
+∞ 2
9 −
7
+∞
+
6
+∞ 2
=
8 −
5
∞
9 −
7
∞
+
6
∞
=
8 − 0
9 − 0 + 0
=
8
9

19. por lo tanto: lim
x→+∞
8x2 − 5
9x2 − 7x + 6
=
8
9
, si existe.
Paso3: Gráfica de la función lim
x→+∞
8x2 − 5
9x2 − 7x + 6
=
8
9
Como x +, entonces la
función se acerca a 8/9
que es 0.8888...

20. Ejemplo 5: Determine el límite (si existe) de:
lim
x→−∞
2x
5x − 3 2
Paso1: Nos piden calcula:
lim
x→−∞
2x
5x − 3 2
Cuando “x” toma valores cada vez más pequeños.
Paso2: La mayor potencia de “x” es “x2”, entonces dividimos cada término de la función entre “x2”, y el límite de la
función cuando “x” tiende a  (x ) es:
lim
x→−∞
2x
5x − 3 2
= lim
x→−∞
2x
25x2 − 30x + 9
= lim
x→−∞
2x
x2
25x2
x2 −
30x
x2 +
9
x2
=
= lim
x→−∞
2
x
25 −
30
x
+
9
x2
=
2
−∞
25 −
30
−∞
+
9
(−∞)2
=
2
−∞
25 −
30
−∞
+
9
∞
por propiedad:
2
−∞
25 −
30
−∞
+
9
∞
=
0
25 + 0 + 0
=
0
25
= 0

21. por lo tanto: lim
x→−∞
2x
5x − 3 2
= 0, si existe.
Paso3: Gráfica de la función lim
x→−∞
2x
5x − 3 2
= 0
Como x , entonces la
función se acerca a cero.

22. 4.3. Límites Infinitos:
Cuando decimos que el límite existe, es porque el límite por la izquierda y por la derecha deben coincidir en
un número real, es decir, ser iguales. Pero si existe solo uno de los límites laterales, no existe el límite, y si
el límite no tiene cota, es decir, es infinito entonces, el límite tampoco existe. No tiene el mismo significado:
lim
x→b
f x = ∞ que lim
x→b
f x = L, porque , no es símbolo para representar un número real, como sí lo es L.
En los límites infinitos la función es racional, en la cual sólo se analiza el denominador, donde se
encuentra la variable independiente “x”.
Si “n” es un entero positivo, entonces:
a) lim
x→0+
1
xn
= +∞ b) lim
x→0−
1
xn
=
−∞, 𝑠𝑖 "n" 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.
+∞, 𝑠𝑖 "n" 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟.
Propiedades de los límites Infinitos:
Si: lim
x→b
f x =  y lim
x→b
g x = L
a) Múltiplo escalar:
lim
x→b
k ∙ f x = k ∙ lim
x→b
f x = k ∙ ∞ = ∞

23. Por ejemplo:
lim
x→1
4 ∙
3
x − 1
= 4 ∙ lim
x→1
3
x − 1
= 4 ∙
3
1 − 1
= 4 ∙
3
0
= 4 ∙ ∞ = ∞
b) Suma o diferencia:
lim
x→b
f x ± g(x) = lim
x→b
f(x) ± lim
x→b
g(x) = ∞ ± L = ∞
Por ejemplo:
lim
x→−1
2𝑥3 +
5
𝑥 + 1
= lim
x→−1
2𝑥3 + lim
x→−1
5
𝑥 + 1
= 2(−1)3+
5
−1 + 1
= 2 −1 +
5
0
= −2 + ∞ = ∞
c) Producto:
lim
x→b
f x ∙ g x = lim
x→b
f x ∙ lim
x→b
g x = ∞ ∙ L = ∞, L > 0 (𝐿 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜)
lim
x→b
f x ∙ g x = lim
x→b
f x ∙ lim
x→b
g x = ∞ ∙ L = − ∞, L < 0 (𝐿 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)

24. Por ejemplo:
lim
x→−3
x − 2 ∙
4
3 + x
= lim
x→−3
x − 2 ∙ lim
x→−3
4
3 + x
= −3 − 2 ∙
4
3 + (−3)
= −5 ∙
4
0
= −5 ∙ ∞ = −∞
d) Cociente:
lim
x→b
g x
𝑓(𝑥)
=
lim
x→b
g x
lim
x→b
f x
=
𝐿
∞
= 0
Por ejemplo:
lim
x→2
1 + x
7
3𝑥 − 6
=
lim
x→2
1 + x
lim
x→2
7
3𝑥 − 6
=
1 + 2
7
3(2) − 6
=
3
7
6 − 6
=
3
7
0
=
3
∞
= 0

25. Ejemplo 1: A continuación, analicemos si límite de la función existe:
g x =
2
x2
, cuando x → 0
Procedimiento:
Paso1: Nos piden calcular:
lim
x→0−
2
x2 𝑦 lim
x→0+
2
x2
Paso2: Por propiedad el límite de la función cuando “x” tiende a 0 (x 0) es:
∗) lim
x→0−
2
x2
=
2
0− 2
=
2
0
= +∞ y lim
x→0+
2
x2
=
2
0+ 2
=
2
0
= +∞
Entonces: lim
x→0−
2
x2
= +∞ 𝑦 lim
x→0+
2
x2
= +∞
por lo tanto: lim
x→0
2
x2 = ∞, el límite no existe por ser indeterminado (∞).

26. Paso3: Gráfica de la función lim
x→0
2
x2
= +∞
Como x0 por la izquierda
y por la derecha, entonces
la función tiene valores
cada vez más grandes.

27. Ejemplo 2: A continuación, analicemos si límite de la función existe:
h x =
4
𝑥 + 1
, cuando x → −1−
Procedimiento:
Paso1: Nos piden calcular:
lim
x→−1−
4
x + 1
Paso2: Por propiedad el límite de la función cuando “x” tiende a 1 por la izquierda (x 1) es:
∗) lim
x→−1−
4
x + 1
=
4
−1− + 1
=
4
0−
= −∞
Por lo tanto: lim
x→−1−
4
x + 1
= −∞, el límite no existe por ser indeterminado (−∞).

28. Paso3: Gráfica de la función lim
x→−1−
4
x + 1
= −∞
Como x −1− (por la
izquierda de 1), entonces
la función tiene valores
hacia el .

29. Ejemplo 3: A continuación, analicemos si límite de la función existe:
f x =
7x − 3
x2 + x − 12
, cuando x → 3
Procedimiento:
Paso1: Nos piden calcular:
lim
x→3−
7x − 3
x2 + x − 12
𝑦 lim
x→3+
7x − 3
x2 + x − 12
Paso2: Por propiedad el límite de la función cuando “x” tiende a 3 (x 3) es:
∗) lim
x→3−
7x − 3
x2 + x − 12
= lim
x→3−
7x − 3
(x + 4)(x − 3)
=
7 3− − 3
(3− + 4)(3− − 3)
=
18
(7)(0−)
=
18
0−
= −∞
∗) lim
x→3+
7x − 3
x2 + x − 12
= lim
x→3+
7x − 3
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
=
7 3+
− 3
(3+ + 4)(3+ − 3)
=
18
(7)(0+)
=
18
0+
= +∞
Entonces: lim
x→3−
7x − 3
x2 + x − 12
= −∞ 𝑦 lim
x→3+
7x − 3
x2 + x − 12
= +∞

30. por lo tanto: lim
x→3
7x − 3
x2 + x − 12
= ∞ , el límite no existe por ser indeterminado (∞).
Paso3: Gráfica de la función lim
x→3
7x − 3
x2 + x − 12
= ∞
Como x3 por la izquierda
y por la derecha, entonces
la función tiene valores
infinitos.