Teoria de limites

1. CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL
15. TEORIA DE LIMITES.-
Variables y constantes.-
Una variable es un símbolo al cual se le puede asignar en un problema diversos valores,
generalmente se lo designan por las últimas letras del alfabeto, o por las letras del alfabeto
griego así;
w, x, y, z , , , , etc.
Las constantes pueden ser numéricas o absolutas, cuando conservan el mismo valor en
todos los problemas así;
e , -7 , 2, 2, etc.
y, constantes o aleatorias cuando mantienen un valor fijo para un problema en particular, como
por ejemplo: la aceleración de la gravedad, el módulo de elasticidad, etc. Se lo representa
generalmente por las primeras letras del alfabeto así;
a , b, c, d, e, g, E, etc.
Intervalos.-
Se llama intervalo al conjunto de todos los valores numéricos de X, comprendidos entre 2
números arbitrarios a y b.
a b
- +
Si el intervalo no considera los extremos, es un intervalo abierto.
Intervalo :  a, b  ; a < x < b
Si el intervalo incluye a los valores extremos a y b, el intervalo cerrado
( a, b ) a  X  b
Y si el intervalo incluye a un solo valor extremo a ó b, el intervalo es semi cerrado
( a , b ( a  X < b
) a , b ) a < X  b
Si los intervalos extremos no están definidos los intervalos se denominan infinitos
[ a , +  ) a  X < +
( - , a ) -  < X  a
Función de una variable.-

2. Tenemos una función cuando para cada valor de esta variable independiente X, le
corresponde un único valor de la variable dependiente Y, las funciones pueden representarse
en forma analítica, tabular o gráfica así;
forma analítica
y = 5x + 2
f(x) = 5x + 2 x = variable independiente
y = variable dependiente
5 , 2 = constantes
forma tabular
X Y
-1 -3
0 2
1 7
2 12
forma gráfica
Las funciones pueden ser continuas como por ejemplo Y = X2
, que corresponden a una
parábola, en la cual el valor de X puede tomar cualquier valor numérico así;
Los valores que puede tomar x se denominan DOMINIO de la función
Df = ( - , + )
Los valores de la función f(x) se denominan CODOMINIO o recorrido de la función
Cf = (- +  )

y
       





3. Las funciones también pueden ser Discontinuas, por ejemplo Y = 2 / x , que corresponde a
una hipérbola cuadrada en la cual el valor de X no puede tomar el valor igual a cero, toda vez
que la división para 0 no está definida así;
Dominio de la función ( en el eje x ): Df = (- , 0) ( 0, + )
Codominio de la función (en el eje y): Cf = (-  ,0)  (0, + )
16. Límites y continuidad
Límites: Cuando se habla de la velocidad límite, el límite de la resistencia, el estirar un resorte
hasta su límite, nos lleva a pensar que el límite es una medida que a veces puede
no ser alcanzable y otras puede ser superable.
Analizaremos la siguiente función: y = 2x + 3 ó f(x) = 2x + 3
Si establecemos una tabla para conocer el comportamiento de f(x) cuando x tiende a cero (xo
=0 valor escogido al azar para fines explicativos) se observa que para valores de x, tanto
mayores y menores que cero el valor f(x) se aproxima a 3, por tanto decimos que el límite de
f(x) cuando x tiende a cero (0) es igual a 3, para el efecto hemos utilizado valores  menores
y mayores al valor xo escogido para el análisis.

x F(x)
xo  xo xo 
f(x)  f(k)    f (k)  f (x)
-0.5 2
-0.1 2.8
-0.01 2.98
-0.001 2.998
0.000 3.000
0.001 2.998
0.01 2.98
0.1 2.8
0.5 4
Sí f(x) = 2x + 3 lim f (x)  3
x0
En los límites queda excluida la división para 0, por no estar definida, así:

4. f (x) 
x2
 9
x2
 5x  6
Reemplazando x=3, se obtiene 0 / 0 que es una indeterminación
Solución:
f (x) 
(x  3)(x  3)

(x  3)(x  2)
x  3
 6
x  2
17. Teoremas sobre límites.-
En el cálculo de límites se aplicarán los siguientes teoremas, donde u, v, w, son funciones
de una variable x y c es una constante:
a) Límite de un polinomio.
Si f(x) es un polinomio, su límite se calcula por sustitución directa. lim f (x) 
xc
f (c)
b) Límite de una constante. Siendo f(x) = K, lim f (x)  k
xc
c) Limite de una suma algebraica
El límite de la suma algebraica de funciones es igual a la suma de sus límites
lim (u+v+w) = lim u + lim v + lim w
d) Límite del producto de funciones
El límite del producto de funciones es igual al producto de sus límites
lim (u*v*w) = lim u * lim v * lim w
e) Limite de una constante por una función
lim (c*v) = c * lim v, lim (v+c) = lim v + c
f) Límite del cociente de dos funciones
lim
v lim v
 x0 queda excluida la división para cero
x0 u
lim
c

x0 u
limu
u 0
c
limu
u 0
queda excluida la división para cero
g) Límite de la Potencia
El límite de la función elevada a un exponente n es igual al límite de la función
“todo” elevado a la n.

5. lim f (x)n
 lim f (x)n
xc xc
h) Límite de la radicación.-
i) Limite de funciones logarítmicas
lim 
xc
lim ln f(x) = ln (lim f(x))
j) Límites de funciones trigonométricas
Si C es un número real, entonces:
lim sen x  sen C
x c
lim cos x  cos C
x c
lim tagx  tagC
x c
lim csc x  csc C
x c
lim sec x  sec C
x c
lim c tg x  c tg C
x c
Si c no está definida en el dominio de la función, el límite no existe.
18. Límites laterales.-
Son útiles al tratar funciones con radicales ó para investigar el comportamiento de funciones
escalón.
lim
xc 
lim
xc
f (x)  L
f (x)  L
límite
límite
por la
por la
derecha
izquierda
19. Límites infinitos y límites al infinito .-
Si el valor numérico de una variable u cuando x tiende a cero (0) permanece mayor que
cualquier número positivo signado de antemano, por grande que sea decimos que u se vuelve
infinita.
Si u toma solo valores positivos, se hace infinita positivamente y si solo toma valores
negativos, se hace infinita negativamente, así: lim u = +  , lim u = - 
Por ejemplo: lim
1

1
 
x0 x 0
X y gráfico
0.1 10

y
xc

6. 0.001 100



x
       




7. 0.001 1000
0.0001 10000
0 
Pero, en el ejemplo anterior puede observarse que cuando x tiende al infinito, la
función se acerca a cero, de lo que, en resumen:
lim f (x)  
X C 
lim f (x)  L
X 
límites
límites
infinito s
al inf inito
20. Límites particulares.-
Son ciertos límites útiles para hallar el limite del cociente de 2 polinomios, cuando la variable
sea infinita o cero.
En los siguientes límites x es la variable independiente y c una constante diferente de cero
(0).
FORMA DE LIMITE FORMA ABREVIADA
lim
c
 
x 0 x
c
 
0
lim
c
 0
x  x
c
 0

lim cx  
x 
c *  
lim
x
 
x  c

 
c
Se debe tomar en cuenta también que:
cuando a1 a

 
c u a n 0d oa  1  a

 0 y,
Indeterminaciones: Cuando no es factible realizar una operación convencional, se dice
que existe una indeterminación, produciéndose los siguientes casos:
1
,  *  , 0*  , a*  , 0 / 0 ,  /  , 0 
,  + ,  - 
21. Formas de levantar la indeterminación:
Se sugieren las siguientes formas de levantar una indeterminación
a) Técnicas de cancelación (Factoreo previo a la simplificación)
b) Racionalización
c) Cuando x0 y no es posible factorar, SE RECOMIENDA DIVIDIR CADA TERMINO DE

8. LA FUNCION PARA EL TERMINO DE MENOR EXPONENTE.

9. 1
x a
d) Cuando x y no es posible factorar, SE RECOMIENDA DIVIDIR CADA TERMINO DE
LA FUNCION PÁRA EL TERMINO DE MAYOR EXPONENTE
Para resolver ciertos tipos de límites , se aplicaran los siguientes límites fundamentales:
a) lim
sen x
 1 lim
sen x
0
x0 x x x
b) lim
1 cos x
 0
x0 x
 k 
x
c) lim1 
x x 
 ek
e  2.71828
d) lim1 xx  e
x0
e) lim f (x)g ()
 lim f (x)
lim g (x)
xa xa
Cálculo de límites con cambio de variable:
Permite visualizar la factorización. En ocasiones es difícil racionalizar la expresión, o
simplemente no es posible efectuarla por lo que se recomienda utilizar un cambio de variable
para obtener un limite, así;
lim 1 x 1 1  x  y6
x0 3
1 x 1
lim y3
1

( y 1)( y2
 y 1)

3
y 1 y2
1 (y 1)(y 1) 2
22. Límites que no existen.
1. Demostrar que el siguiente límite no existe: lim
x
x0 x
Como la función tiende a valores diferentes según se acerque a cero
por la izquierda o por la derecha, entonces este límite no existe.
2. Calcular siguiente el límite: lim
1
x  1 x  1
Como la función Y = 1 / (X +1) tiende a valores diferentes según se
acerque a cero por la izquierda o se acerque a cero por la derecha,
entonces este límite no existe.
3. Analizar el límite de : lim
1
x 0 x2
El factor que contiene a los dos radicales
es 6, por lo tanto:
cuando X tiende a cero, Y tiende a 1

10. Como la función y  1 x2
tiende a valores diferentes según se
acerque a cero por la izquierda o por la derecha, entonces este límite
no existe o podríamos asumir que:
23. Ejercicios sobre límites
lim
1

x0 x2
x 2
 x
1. lim Re sp. 1
x0 x 3
 x
x 2
 7x 10
2. lim Re sp.  5
x0 x 2
 x  2
x 2
 2x 1
3. lim Re sp.  25/ 7
x4 x 2
 2x 1
x 2
 3x
4. lim Re sp.  
x3 x 2
 6x  9
x 3
 3x  2
5. lim Re sp. 1/ 2
x1 x 4
 4x  3
(x  2) 2
6. lim Re sp. 1
x x 2
1
(3x 1) 2
(3x 1) 2
7. lim Re sp  9
x x 4
4
8. lim
3x 1
Re sp  3
x x  5
x
4
x 3
1
9. lim Re sp  0
x x 1
10. lim
sen4x
Re sp  4 /5
x0 5x
11. lim
senx sen5
Re sp  cos5
x5 x 5
12. lim
 3 x  x
Re sp 1
 
x0
 4  x 
1
2 x
13. lim 1 sen2x Re sp  e
x0
14. lim
x 5
Re sp 1/10
x5 x 2
 25
15. lim
4  x 2
Re sp 1/ 4
x0 x
16. lim
1 x  2
Re sp 1/ 4
x3 x 3
3
x 1
17. lim Re sp  0
x1 4
x 1
18. lim
1 cos x
Re sp 1/ 4
x0 x2
3x
19. lim
 1 x1
Re sp  0
 
x  x 2

20. lim
 x  x
Re sp 1
 
x  x  3 
Se sugiere que el ejercicio 19 se lo resuelva con límite al exponente y el ejercicio 20 con
logaritmos
24. Continuidad y discontinuidad de una función.
Una función f(x) es continua si cumple las siguientes condiciones:
1. f (c) está definido
2. lim f (x)
xc
3. lim f (x) 
xc
existe
f (c)
Una función f(x) es discontinua en el punto xo, quer pertenece al campo de existencia de dicha
función o que es punto frontera de dicho campo, si en este punto no se verifica la condición

11. de continuidad de la función, tal es el caso de la función 1/(x-1) que no está definida en x=1.

12. 25. Variación
Introducción. Vamos a analizar el valor de una f(x) al variar. El problema fundamental del
cálculo diferencial es el establecer con toda precisión una medida de esta variación. La
investigación de problemas de este tipo llevó a Newton al descubrimiento de los principios
fundamentales del Cálculo Infinitesimal, constituyéndose este en el instrumento científico más
poderoso del matemático moderno.
El incremento i de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se
obtiene restando el valor inicial del valor final. El incremento de la variable x se la representa
con el signo x que se lee delta x, el incremento y si en y = f (x) la variable independiente x
toma un incremento y, entonces y iniciará el incremento correspondiente de la función f
(x).
Ejemplo 35: Sea y = x , calcular el incremento y para, x=5, y=5, x = 1, x = 5 , x = 10
y + y = x + x
y = x + x - y
con x = 1 y = 5+1-5 = 1
con x = 5 y = 5+5 – 5 = 5
con x = 10 y = 5+10 – 5 = 10
Comparación de incrementos
Considerando la función y = x2
, si a la variable x le incrementamos valores pequeños x, se
concluye que la función f (x) se altera en un incremento y, por lo tanto si vamos a dar valores
a x, es factible calcular y de acuerdo al siguiente análisis:
Si : y = x2
calcular y al incrementar x en la función planteada
y +y = ( x + x )2
y = 2xx +x2
Si y = x2
+4x – 2, calcular y al incrementar x en la función planteada
y + y = (x+x)2
+ 4(x+x) -2
y + y = x2
+ 2xx + x2
+ 4x +4x -2
y = 2x x +x2
+ 4x
Incrementos: Del análisis anterior sobre comparación de incrementos, se observa que el
incremento de una variable que pasa de un punto a otro es la diferencia entre el valor final y
el valor inicial, así:
(x1,y1)

13. Es factible encontrar la razón y/x , así como el valor límite al cual se acercaría cuando
x tienda a cero, así:
y = x2
y
 2x  x
x
lim
x0
(2x  x)  2x
y
y = x2
+4x – 2  y = 2x x +x2
+ 4x
x
 2x  x  4
lim
x0
(2x  x  4)  2x  4
En la siguiente tabla tomamos para análisis el ejemplo y = x2
de donde y / x = 2x + x ,
si x = 4, el límite de la función f(x) = será 8, observemos el comportamiento de larazón
x / y cuando x  0 y el incremento es decreciente.
Xo Xf x yo yf y yx
4 5 1 16 25 9 9
4 4.8 0.8 16 23.04 7.04 8.8
4 4.6 0.6 16 21.16 5.16 8.6
4 4.5 0.5 16 20.25 4.25 8.5
4 4.4 0.4 16 19.36 3.36 8.4
4 4.3 0.3 16 18.49 2.49 8.3
4 4.2 0.2 16 17.64 1.64 8.2
4 4.1 0.1 16 16.81 0.81 8.1
lim
x0
f (x)  8
Bajo este criterio el análisis indicado nos lleva a concluir que podemos hacer que el valor de
la razón y/x sea tan próximo a 8 como deseemos, con solo tomar a x lo suficientemente
pequeño.
El desarrollo del cálculo infinitesimal surgió de 4 problemas básicos:
El problema de la tangente
El problema de la velocidad y aceleración
El problema de máximos y mínimos
El problema del área.
(x,y) (⧍x)
(⧍y

14. 26. El problema de la tangente:
Cuando se hable de la recta tangente a una curva en un punto, en un círculo se interpretaría
como la perpendicular al radio, así:
Pero en curvas más variables, el problema de definir la tangente se torna difícil, ejemplo:

Conceptualmente, el problema de hallar la tangente en un punto se reduce a hallar la
pendiente de la curva en dicho punto:
Se entiende que (y+y) = f(x+x)
Considerando que una recta secante pase por los puntos (x, f(x)) y ((x+x), f(x+x))
La línea secante tiene como pendiente: msec = y/ x
msec = f(x+x)) - f(x)
x
Si se desea obtener mayor aproximación a la tangente de un punto, se tendrá que aproximar
a cero el incremento x:
(x+⧍x,f(x+⧍x)
(x,f(x)) (⧍x)
(⧍y

15. 
s
De lo expuesto, tomando los conceptos de límites se define que la PENDIENTE DE LA
TANGENTE ES EL LIMITE DE LAS RECTAS SECANTES CUANDO x TIENDE A CERO.
mtag
 lim
x0
msec
 lim
x0
f (x  x)  f (x)
x
Ejemplo 36. Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = x2
en cualquier punto de la
curva, y la inclinación cuando x = 1.
m  lim
x0
(x  x)2
 x2
x
 lim
x0
x2
 2xx  x2
 x2
x
 lim
x0
2xx  x2
x
 2x
como m = tag =2*1 = 2
 = arc tg 2 = 63.40
27. El problema de la velocidad.
El movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene una velocidad promedio que
puede calcularse como la razón entre la distancia recorrida y el tiempo utilizado,
entendiéndose que, si el espacio recorrido depende del tiempo utilizado, s = f(t).
Pero, si registraríamos con un velocímetro veríamos que en el recorrido se marcó velocidades
diferentes (que no es precisamente la velocidad media), en forma más precisa, si un objeto
es dejado caer libremente, mientras más tiempo transcurre incrementa su velocidad.
De lo explicado, se puede deducir que la velocidad promedio o velocidad media es calculable
así:

vprom
t
Si deseamos conocer la velocidad en un instante de tiempo, es lógico pensar que cuando
más corto sea el tiempo, más nos acercamos a la velocidad al instante, por lo tanto:
v  velocidad
v  lim v
instantanea
 lim
s
t 0 prom t 0 t
Hemos visto que, pendiente de la recta tangente y velocidad instántanea parten de la misma
idea básica, aplicable también en otros campos como la utilidad marginal en economía, el
crecimiento de un organismo en Biología, la densidad de un cable en Física, entre otros, pero
para fines de entendimiento, utilicemos un término general que nos represente a todo este
análisis: LA DERIVADA.