El documento introduce el concepto de límite de una función y provee ejemplos para ilustrar la definición formal de límite utilizando los valores ε y δ. Explica cómo determinar el límite de funciones racionales al aproximar el valor de la variable independiente x al número dado y comprobar que el valor de la función se aproxima a un único número real L.

1. Lic. Jesús E. Alarcón Samplini Mg.
Matemática II - Agronomía
Tema: Límite de una Función.
*) Introducción.
*) Definición formal de Límite  - .

2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
INTRODUCCIÓN:
En matemática, el límite es un número real es decir puede ser: un número natural, un número entero,
un número racional: fracción, decimal exacto, decimal periódico puro, decimal periódico mixto o un
número irracional: raíz inexacta, , e; cuya variable independiente “x” toma valores muy próximos o
cercanos, donde la función no está definida, sin llegar a alcanzarlo, así tenemos la siguiente función:
𝑓 𝑥 =
0.75𝑥3
+ 0.25𝑥2
− 1
𝑥 − 1
; 𝑥 ≠ 1
Se dan valores a la variable “x”, menores y mayores que 1, pero qué sucede cuando x = 1 ¿Cómo es el
comportamiento de 𝑓 𝑥 ?
La función 𝑓 𝑥 , no está definido en x = 1 (vea el pequeño agujero) observe que cuando “x” toma
valores cercanos a uno, sin importan si “x” se aproxima por la izquierda (x < 1) o por la derecha (x>1),
el valor único de la función 𝑓 𝑥 , se aproxima a 2.75; en conclusión el límite de 𝑓 𝑥 , cuando “x” se
aproxima a 1 es el número real 2.75. En notación de límites, tenemos:
lim
𝑥→1
0.75𝑥3+0.25𝑥2−1
𝑥−1
= 2.7522

3. Comprobaremos el resultado 2.75 con el procedimiento del tema anterior sobre las
fracciones racionales.
Procedimiento:
1) Seleccionamos cinco números con cifras decimales lo más cercano al número 1 por la
izquierda y por la derecha. Tener en cuenta la posición de los números en la recta
numérica. Así:
2) Reemplazamos cada valor de “x” en la función f(x). Así:

4. 3) Respondemos a la pregunta.
*) Cuando los valores de “x” se acercan al número 1 por la izquierda es decir desde 0.9
hasta 0.99999; entonces los valores del rango “f(x)” se acercan por la izquierda desde el
2.5075 hasta el 2.749975000075. Por lo tanto el valor del rango “f(x)” irá aproximándose
cada vez más al 2.75 cuando el valor de “x” se acerca cada vez más al número central 1 por
la izquierda.
*) Pero cuando los valores de “x” se acercan al número 1 por la derecha es decir desde 1.1
hasta 1.00001; entonces los valores del rango “f(x)” se acercan por la derecha desde el
3.0075 hasta el 2.750025000075. Por lo tanto el valor del rango “f(x)” irá aproximándose
cada vez más al 2.75 cuando el valor de “x” se acerca cada vez más al número central 1 por
la derecha.
Por lo tanto el valor de la función f(x) se aproxima cada vez más por la izquierda y por la
derecha al número 2.75.

5. 4) Gráfica de la función f(x), la función f(x) no está definido en x = 1 (vea el pequeño
agujero de color rojo

6. 2. DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE   
El límite de 𝑓 𝑥 cuando “x” se acerca a “b”, es el número real “L”, cuya notación se
demuestra en:
lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = 𝐿, dónde:  𝑓(𝑥)  L <  y 0 < x – b < 
Nota: El valor de “” (épsilon) es un número muy pequeño que se acerca mucho al cero.
Eso quiere decir que  𝑓(𝑥)  L es un número positivo menor que “”, y donde el valor
de “” (delta) depende de “”.
La letra griega épsilon “” es un número positivo arbitrario que constituye la medida de
proximidad al número “L”. y la letra griega delta “”, es un número positivo, y está en
función de “”.
Entonces:  𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < .
El límite “L” debe ser independiente de la manera en que “x” se aproxima a “b”, es decir
el límite debe ser el mismo si “x”, se aproxima a “b” por la izquierda o por la derecha.

7. Ejemplo 1: Aplicando la definición formal de límite   . Demuestre que:
lim
𝑥→2
(4𝑥 − 2) = 6
Procedimiento:
1) Identificamos los elementos en: lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑓 𝑥 = (4𝑥 − 2) ; L = 6 ; b = 2
2) Reemplazar los valores en la expresión:  𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < :
(4x – 2)  6 <  siempre que 0 < x – 2 < .
3) Relacionamos la ordenada f(x) con la abscisa “x”:
4x – 2  6 <  siempre que 0 < x – 2 < .
4x – 8 <  siempre que 0 < x – 2 < .
4(x – 2) <  siempre que 0 < x – 2 < .
4x – 2 <  siempre que 0 < x – 2 < .
x – 2 <
𝜀
4
siempre que 0 < x – 2 < .

8. 4) Ahora igualamos ambas expresiones:
(x – 2 <
𝜀
4
) = ( 0 < x – 2 <  )
Y se concluye que:
𝜀
4
= 𝛿
5) Luego si  = 0.01 (es decir, la medida de aproximación al límite L=6 es de una centésima “0,01”; puede ser
más pequeño “cercano” si se desea), entonces:
δ =
ε
4
=
0.01
4
= 0.0025, quedando finalmente:
 𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < 
  < 𝑓(𝑥)  L <  siempre que   < x – b < 
L   < 𝑓(𝑥) < L +  siempre que b   < x < b + 
6  0.01 < 𝑓(𝑥) < 6 + 0.01 siempre que 2  0.0025 < x < 2 + 0.0025
5.99 < 𝑓(𝑥) < 6.01 siempre que 1.9975 < x < 2.0025
Por lo tanto: X 1.9975 2 2.0025
f(x) 5.99 --- 6.01

9. 6) Gráfica de: lim
𝑥→2
(4𝑥 − 2) = 6 (vea el pequeño agujero de color rojo

10. Ejemplo 2: Aplicando la definición formal de límites con los números  y . Demuestre que:
lim
x→3
x2
= 9
Procedimiento:
1) Identificamos los elementos en: lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑓 𝑥 = 𝑥2
; L = 9 ; b = 3
2) Reemplazar los valores en la expresión:  𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < :
x2  9 <  siempre que 0 < x – 3 < .
3) Relacionamos la ordenada f(x) con la abscisa “x”:
(x + 3)(x  3) <  siempre que 0 < x – 3 < .
x + 3x  3 <  siempre que 0 < x – 3 < .

11. 4) Como “x” tiende a 3 (x3), entonces el 3 se encuentra entre el 2 y el 4 para:x + 3x  3
2 < x < 4 y 2 < x < 4
2 + 3 < x + 3 < 4 + 3 y 2  3 < x  3 < 4  3
5 < x + 3 < 7 y 1 < x  3 < 1
5 < x + 3 < 7 y 1 < x  3 < 1
5 < x + 3 < 7 y 1 < x  3 < 1
5 < x + 3 < 7 y x  3 < 1
x + 3 < 7 y  = 1
5) Multiplicamos por x + 3 < 7 a la abscisa, así:
(x + 3 < 7 )(0 < x – 3 < )
= 0 < x + 3x – 3 < 7

12. 6) Ahora igualamos ambas expresiones:
x + 3x  3 <  = 0 < x + 3x – 3 < 7
Y se concluye que: ε = 7 ∙ δ ,
ε
7
= δ → δ = mínimo 𝛿1 = 1, 𝛿2 =
𝜀
7
7) Luego si  = 0.01 (es decir, la medida de aproximación al límite L=9 es de una centésima “0,01”;
puede ser más pequeño “cercano” si se desea), entonces:
δ =
ε
7
=
0.01
7
= 0.0014 aproximadamente, quedando finalmente:
 𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < 
  < 𝑓(𝑥)  L <  siempre que   < x – b < 
L   < 𝑓(𝑥) < L +  siempre que b   < x < b + 
9  0.01 < 𝑓(𝑥) < 9 + 0.01 siempre que 3  0.0014 < x < 3 + 0.0014
8.99 < 𝑓(𝑥) < 9.01 siempre que 2.9986 < x < 3.0014

13. Por lo tanto:
X 2.9986 3 3.0014
f(x) 8.99 --- 9.01

14. 8) Gráfica de: lim
x→3
x2 = 9 (vea el pequeño agujero de color rojo

15. Ejemplo 3: Aplicando la definición formal de límites con los números  y . Demuestre que:
lim
x→1
3x2
+ 2x + 1 = 6
Procedimiento:
1) Identificamos los elementos en: lim
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥) = 𝐿
f x = 3x2 + 2x + 1 ; L = 6 ; b = 1
2) Reemplazar los valores en la expresión:  𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < :
3x2 + 2x + 1  6 <  siempre que 0 < x – 1 < .
3) Relacionamos la ordenada f(x) con la abscisa “x”:
3x2 + 2x  5 <  siempre que 0 < x – 1 < .
(3x + 5)(x – 1) <  Siempre que 0 < x – 1 < .
3x + 5x – 1 <  siempre que 0 < x – 1 < .

16. 4) Como “x” tiende a 1 (x1), entonces el 1 se encuentra entre el 0 y el 2 para: 3x + 5x – 1
0 < x < 2 y 0 < x < 2
30 < 3x < 32 y 0  1 < x  1 < 2  1
0 < 3x < 6 y 1 < x  1 < 1
0 + 5 < 3x + 5 < 6 + 5 y 1 < x  1 < 1
5 < 3x + 5 < 11 y 1 < x  1 < 1
5 < 3x + 5 < 11 y 1 < x  1 < 1
5 < 3x + 5 < 11 y 1 < x  1 < 1
5 < 3x + 5 < 11 y x  1 < 1
3x + 5 < 11 y  = 1

17. 5) Multiplicamos por 3x + 5 < 11 a la abscisa, así:
(3x + 5 < 11)(0 < x – 1 < )
= 0 < 3x + 5x – 1 < 11
6) Ahora igualamos ambas expresiones:
3x + 5x  1 <  = 0 < 3x + 5x – 1 < 11
Y se concluye que:
ε = 11 ∙ δ ,
ε
11
= δ → δ = mínimo 𝛿1 = 1, 𝛿2 =
𝜀
11

18. 7) Luego si  = 0.01 (es decir, la medida de aproximación al límite L=6 es de una centésima
“0,01”; puede ser más pequeño “cercano” si se desea), entonces:
δ =
ε
11
=
0.01
11
= 0.0009 aproximadamente, quedando finalmente:
 𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < 
  < 𝑓(𝑥)  L <  siempre que   < x – b < 
L   < 𝑓(𝑥) < L +  siempre que b   < x < b + 
6  0.01 < 𝑓(𝑥) < 6 + 0.01 siempre que 1  0.0009 < x < 1 + 0.0009
5.99 < 𝑓(𝑥) < 6.01 siempre que 0.9991 < x < 1.0009
Por lo tanto: X 0.9991 1 1.0009
f(x) 5.99 --- 6.01

19. 8) Gráfica de: lim
x→1
3x2 + 2x + 1 = 6 (vea el pequeño agujero de color rojo

20. Ejemplo 4: Aplicando la definición formal de límites con los números  y . Demuestre que:
lim
x→5
x + 3
x − 3
= 4
Procedimiento:
1) Identificamos los elementos en: lim
x→b
f(x) = L
f x =
x+3
x−3
; L = 4 ; b = 5
2) Reemplazar los valores en la expresión:  𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < :
x+3
x−3
− 4 <  siempre que 0 < x – 5 < .
3) Relacionamos la ordenada f(x) con la abscisa “x”:
x+3−4 x−3
x−3
<  siempre que 0 < x – 5 < .
x+3−4x+12
x−3
<  siempre que 0 < x – 5 < .
15−3x
x−3
<  siempre que 0 < x – 5 < .
−3 x−5
x−3
<  siempre que 0 < x – 5 < .
3 x−5
x−3
<  siempre que 0 < x – 5 < .

21. 4) Como “x” tiende a 5 (x5), entonces el 5 se encuentra entre el 4 y el 6 para:
3 x−5
x−3
4 < x < 6 y 4 < x < 6
4 – 3 < x – 3 < 6 – 3 y 4  5 < x  5 < 6  5
1 < x – 3 < 3 y 1 < x  5 < 1
1 < x – 3 < 3 y 1 < x  5 < 1
1 < x – 3< 3 y 1 < x  5< 1
1 <
1
x−3
<
1
3
y x  5< 1
1
3
<
1
x−3
< 1 y x  5< 1
3𝑥1
3
<
3𝑥1
x−3
< 3x1 y x  5< 1
1 <
3
x−3
< 3 y x  5< 1
3
x−3
< 3 y  = 1

22. 5) Multiplicamos por
3
x−3
< 3 a la abscisa, así:
(
3
x−3
< 3)(0 < x – 5 < )
= 0 <
3 x−5
x−3
< 3
6) Ahora igualamos ambas expresiones:
3 x−5
x−3
<  = 0 <
3 x−5
x−3
< 3
Y se concluye que:
ε = 3 ∙ δ ,
ε
3
= δ → δ = mínimo 𝛿1 = 1, 𝛿2 =
𝜀
3

23. 7) Luego si  = 0.01 (es decir, la medida de aproximación al límite L=4 es de una centésima
“0,01”; puede ser más pequeño “cercano” si se desea), entonces:
δ =
ε
3
=
0.01
3
= 0.0033 aproximadamente, quedando finalmente:
 𝑓(𝑥)  L <  siempre que 0 < x – b < 
  < 𝑓(𝑥)  L <  siempre que   < x – b < 
L   < 𝑓(𝑥) < L +  siempre que b   < x < b + 
4  0.01 < 𝑓(𝑥) < 4 + 0.01 siempre que 5  0.0033 < x < 5 + 0.0033
3.99 < 𝑓(𝑥) < 4.01 siempre que 4.9967 < x < 5.0033
Por lo tanto: x 4.9967 5 5.0033
f(x) 4.01 --- 3.99

24. 8) Gráfica de: lim
x→1
x+3
x−3
=4 (vea el pequeño agujero de color rojo