TEORIA LIMITES DE LA CONTINUIDAD

1. TEMA III: LÍMITES y CONTINUIDAD
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)

2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
 Cuando 𝑥 se acerca a 1 por la derecha, 𝑓(𝑥) se acerca a – 2
 Cuando 𝑥 se acerca a 1 por la izquierda, 𝑓(𝑥) se acerca a – 2
x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1
f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333
Una función 𝑓(𝑥) tiene un límite 𝐿 en el punto 𝑥0, si la variable independiente 𝑥 toma valores próximos al número
𝑥0, los correspondientes valores de 𝑓(𝑥) se aproximan a 𝐿.
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙) = 𝑳
Límites laterales, son los valores hallados al estudiar la tendencia de la función a la izquierda y a la derecha del
punto, 𝑥0
+
y 𝑥0
−
. Si lo límites laterales son distintos, la función no tiene límite en él; si los límites laterales son
iguales, la función tiene límite.
Ejemplo: La función no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta cuando 𝑥 toma valores cada vez
más próximos a 1?
IMPORTANTE: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un número y único.
Se escribe lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥2−3𝑥+2
= −2
2
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3. Ejemplo: La función 𝑥 = “mayor número entero menor o igual a x”, tiene la siguiente una gráfica:
Como los límites laterales no coinciden la función no tiene
límite cuando 𝑥3.
3
Se dice que el número 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiene a 𝑥0 por la derecha (izquierda), si al
tomar valores 𝑥 estrictamente mayores (menores) próximos a 𝑥0, los correspondientes de 𝑓(𝑥) se
aproximan al número 𝐿.
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙𝟎
+
𝒇(𝒙) = 𝑳 𝑜 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙𝟎
−
𝒇(𝒙) = 𝑳
lim
𝑥→3+
𝑥 = 3
lim
𝑥→3−
𝑥 = 2
LIMITES LATERALES
3
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4. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE FUNCIONES
Sean 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) dos funciones tales que: lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑦 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑞
1. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 ± 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 ± 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈 𝒙 = 𝒑 ± 𝒒
2. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒌. 𝒇 𝒙 = 𝒌. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒌. 𝒑; 𝒌 ∈ ℝ
3. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 . 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 . 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈 𝒙 = 𝒑. 𝒒
4. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙
𝒈(𝒙)
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙)
=
𝒑
𝒒
; 𝒒 ≠ 𝟎
5. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈(𝒙)
= 𝒑𝒒
; 𝒑𝒒
∈ ℝ
6. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) 𝒏
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝒏
= 𝒑𝒏
7. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝟏
𝒏 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝟏
𝒏
; 𝒑 ≥ 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 𝒑𝒂𝒓
8. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒆𝒇(𝒙)
= 𝒆
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
= 𝒆𝒑
9. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒔𝒆𝒏𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒑
11. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒌 = 𝒌 ; 𝒌 ∈ ℝ ; 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒙 = 𝒂
12. Si 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) ≤ 𝒉 𝒙 y 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒃
𝒇 𝒙 = 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒃
𝒉 𝒙 ,
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒃
𝒈 𝒙 = 𝑳
10. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒍𝒏𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝒑 ; 𝒑 > 𝟎
4
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5. El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia el punto “𝑎” es mas infinito, si la función 𝑓(𝑥) se hace tan
grande positivamente (demasiado grande), siempre que se tomen valores de 𝑥 suficientemente próximos
al número a, pero distintos de él
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = +∞
El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia el punto “𝑎” es menos infinito, si la función 𝑓(𝑥) se hace tan
grande negativamente (demasiado grande), siempre que se tomen valores de 𝑥 suficientemente
próximos al número a, pero distintos de él
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = −∞
LÍMITES INFINITOS
Ejemplo: A partir de la gráfica de la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
, se
tiene que:
lim
𝑥→0−
1
𝑥
= ∞ lim
𝑥→0+
1
𝑥
= ∞ , Así lim
𝑥→0
1
𝑥
= ∞
5
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6. LÍMITES EN EL INFINITO
x 10 102
103
104
 + 
f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001  1
Ejemplo: En la medida en que x se hace muy grande con valores positivos, ¿a dónde se aproxima
𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
?
L es el límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende a infinito (menos infinito), si la distancia |𝑓(𝑥) – 𝐿| se hace
tan pequeña siempre que se tomen valores de 𝒙 suficientemente grande en sentido positivo (en
sentido negativo).
𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 = 𝑳
lim
𝑥→∞
𝑥 + 1
𝑥
= 1
6
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7. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO
x+ 
lim x2
= + 
Ejemplo: En la medida en que 𝑥 se hace muy grande, con valores positivos ¿a dónde se
aproxima 𝑓 𝑥 = 𝑥2
?
x 10 102
103
104
 + 
f(x) = x2
102
104
106
108
 + 
Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
El límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙 tiende a infinito es infinito, si para todo número real 𝑴 se puede
encontrar otro número real 𝑲 tal que 𝒇(𝒙) > 𝑴, si 𝒙 > 𝑲, donde 𝐾 = 𝐾(𝑀).
7
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8. La recta 𝒙 = 𝒂 es una asíntota vertical de la función 𝑓 , si:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂±
𝒇 𝒙 = ±∞
Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas 𝑥 = 𝑎, donde “𝑎” no forma parte del dominio de las
funciones racionales
Ejemplo: Para la función 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−2
, se
tiene que: lim
𝑥→2±
1
𝑥−2
= ∞.
Así, la recta 𝑥 = 2 es una asíntota vertical.
ASÍNTOTAS VERTICALES
8
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9. La recta 𝒚 = 𝒃 es una asíntota horizontal de la función 𝑓(𝑥), si:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 = 𝒃
En la práctica, si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, se puede
descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas.
Ejemplo: Para la función 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥+3
, se tiene
que: lim
𝑥→∞
𝑥+1
𝑥+3
= 1.
Así la recta 𝑦 = 1 es una asíntota horizontal.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
9
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10. La recta 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 es una asíntota oblicua de la función 𝑓, si:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇(𝒙)
𝒙
= 𝒎 ≠ 𝟎 y 𝒍𝒊𝒎
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 − 𝒎𝒙 = 𝒃 ∈ ℝ
En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales se debe
suponer que existen asíntotas oblicuas.
Ejemplo: Para la función 𝑓 𝑥 =
2𝑥2
𝑥+3
, se tiene
que: lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥+3
𝑥
= lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥2+3𝑥
= 2 y
lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥+3
− 2𝑥 = −6.
Así la recta 𝑦 = 2𝑥 − 6 es una asíntota oblicua.
ASÍNTOTAS OBLICUAS
10
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11. CÁLCULO DE LÍMITES
Límites simples, Cuando las funciones verifican lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 , se pueden obtener directamente por el
procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable 𝒙 por el de 𝒂.
Límites particulares (típicos o especiales)
1. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒙
= 𝟎
3. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒙𝟐 =
𝟏
𝟐
4. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
5. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
6. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝟏 + 𝒙
𝟏
𝒙 = 𝒆
7. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝟏 +
𝟏
𝒙
𝒙
= 𝒆
8. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒆𝒙
𝒙𝒑 = ∞ ;
9. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒍𝒏𝒙
𝒙𝒑 = 𝟎 ; 𝒑 > 𝟎
11. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒂𝒙−𝟏
𝒙
= 𝒍𝒏 𝒂 ; 𝒂 > 𝟎
12. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏
10. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝒆𝒙−𝟏
𝒙
= 𝟏
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒙𝒑
𝒆−𝒙
= 𝟎 ; 𝒑 ∈ ℝ
11
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12. EJEMPLOS
x0
lim
x2
cos x + e2x
ln (x + 1) + x3
+ 1 =
0 .
1 + e0
ln 1 + 0 + 1 = 1
x1
lim








3 2x3
– 2x + 1
x3
–x + 1
(x2
– 2x + 1)
=








3 2 .
13
–2 .
1 + 1
13
– 1 + 1
(12
–2.
1+1)
= 10
= 1
x3
lim
–2x2
+ 3
x3
– 2x + 5 =
–2 .
32
+ 3
33
– 2 .
3 + 5
= –
15
16
x0
lim








x2
– 100 +
x3
+ x – 1
x2
– 1 = –100 + 1 = – 99
12
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13. INDETERMINACIONES
Cuando se puede calcular el límite que da como resultado un valor numérico, se dice que el límite
es determinado. En caso de que no se pueda aplicar ninguna propiedad que permita calcular el
límite, se dirá que es indeterminado.
 No depende de las funciones f y g.
El límite es determinado.
 El límite depende de las funciones f y g. El
límite es indeterminado.
xa
lim f(x) = 2
xa
lim g(x) = 3
Entonces
xa
lim
f(x)
g(x) =
2
3
x a
lim f (x) = 0
x a
lim g (x) = 0
No es posible obtener
x a
lim
f(x)
g(x)
Tipos de
indeterminaciones
L
0 , L 0 0
0

 0 .   –  0
00
1

 Para poder salvar la indeterminación se debe
conocer f y g
13
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14. EJEMPLOS: TIPO L/0, CON L  0
En estos casos el límite si existe es + o – dependiendo del signo de la función a izquierda y
derecha del valor al cual tiende la variable

x2–
lim
1
x – 2
= – 

x2+
lim
1
x – 2
= + 

x2
lim
1
x – 2 no existe

x2–
lim
1
(x – 2)2 = + 

x2+
lim
1
(x – 2)2 = + 

x2
lim
1
(x – 2)2 = + 
14
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15. EJEMPLOS: TIPO 0/0

x3
lim
–18+ 21x– 8x2
+ x3
x2
– 9
=
x3
lim
(x – 3)2
(x – 2)
(x– 3)(x+ 3)
=
x3
lim
(x – 3)(x– 2)
(x + 3)
=
0
6 = 0

x
3
2
lim
–18+ 33 x – 20 x2
+ 4 x3
9 – 12x + 4 x2 =
x
3
2
lim
(x – 2)(2x– 3)2
(2x– 3)2 =
x
3
2
lim (x– 2)=
–1
2
Cuando el lim
𝑥→𝑎
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
es una indeterminación
0
0
siendo 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) polinomios, se puede superar la
indeterminación factorizando el factor 𝑥 − 𝑎
15
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16. EJEMPLOS: TIPO 0 . 
= 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0
1/x = y
Recordando que
x
lim xp
e–x
= 0

x
lim (x3
+ 5x2
+ 7x)e–x
=
Recordando que x
x
x
ln
lim

 = 0

x0
+
lim x ln x =
x0+
lim ln x
1
x
= 0
y
lim
– ln y
y =
5
x
lim x2
e–x
+
x
lim x3
e–x
+ 7
x
lim xe–x
=
Esta indeterminación se resuelve a veces operando previamente para obtener una expresión
más sencilla o reduciéndola a otras del tipo
0
0
,
∞
∞
.
16
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17. EJEMPLOS: TIPO  /
En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.
ln x = y
x
lim
–2x3
+ 3x– 5
–x3
– 2x + 5 =
x
lim
–2 +
3
x2 –
5
x3
–1 –
2
x2 +
5
x3
=
–2
–1 = 2
x
lim
ln (ln x)
ln x =
y
lim
ln y
y = 0
Cuando el lim
𝑥→∞
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
es una indeterminación
∞
∞
siendo 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) polinomios, se puede superar
la indeterminación dividiendo tanto el numerador y denominador por la potencia más alta de 𝑥
que aparece en ambos.
17
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18. EJEMPLOS: TIPO  – 
x
lim (x3
– x2
) = x
lim x2(x– 1)= 
 .
 =
x
lim [ x2
+ 1 – x2
– 1] =
x
lim
[ x2
+ 1 – x2
– 1] [ x2
+ 1+ x2
– 1]
[ x2
+ 1+ x2
– 1]
=
=
x
lim
(x2
+ 1) – (x2
– 1)
[ x2
+ 1 + x2
– 1]
=
x
lim
2
x2
+ 1 + x2
– 1
=
2
 = 0
En estos casos es recomienda operar previamente para simplificar la expresión, si es posible
antes de tomar el límite.
Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multiplicar y
dividir por la expresión conjugada.
18
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19. EJEMPLOS: TIPOS 0, 00
ln
0
lim 1
x
x
x
e e

  
e0 = 1
Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y expresando la
función inicial como «la exponencial de su logaritmo».
x0+
lim xx
=
x0+
lim eln (x
x
)
=
x0
+
lim ex ln x
=
( )
1
lim x
x
x

1
ln
lim
x
x
x
e


19
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20. EJEMPLOS: TIPO 𝟏∞
1
2x2
+ x4 = y
e8
x
lim








1 +
1
x
2x
=
x
lim














1+
1
x
x 2
=








x
lim 





1+
1
x
x 2
= e2
x0
lim(1 + 2x
2
+ x4
)
4
x2
=
x0
lim






1 +
1
1
2x2
+ x4
4
x2
=
x0
lim














1 +
1
1
2x2
+ x4
1
2x2
+ x4 (2x2
+ x4
)
4
x2
=
=
y
lim 











1 +
1
y
y x0
lim
4(2x2
+ x4
)
x2
=
y
lim 











1 +
1
y
y x0
lim (8 + 4x2
)
=
Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión de 𝑒𝑎
como límite, combinada con un cambio de variable.
 Una manera simplificada de calcular el limite de este tipo de indeterminación es:
𝒍𝒊𝒎
𝒙⟶𝒂
𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
= 𝒆
𝒍𝒊𝒎
𝒙⟶𝒂
𝒈(𝒙) 𝒇 𝒙 −𝟏
20
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)

21. CONTINUIDAD EN UN PUNTO E INTERVALO
 Una función es continua en un intervalo cerrado [𝒂, 𝒃], si es continua en cada uno de los puntos
del intervalo (𝑎, 𝑏), y además es continua en 𝑎 por la derecha y en 𝑏 por la izquierda.
f(x) = 1 – x2
es continua en
[–1, 1]
f(x) =
1
x no es continua en
[–1, 1], porque no está
definida en 0.
f(x) =




x2
si x < 1
2 si x  1
No es continua en [–1, 2], porque
no existe el límite en 1
 Una función es continua en un intervalo abierto (𝒂, 𝒃), si es continua en cada uno de sus puntos.
 Una función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑎 por la derecha, si lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
 Una función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑏 por la izquierda, si lim
𝑥→𝑏−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
 Una función 𝑓(𝑥), definida en 𝒙 = 𝒂, es continua en dicho punto cuando: 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂)
21
−1
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22. 3
FUNCIÓN DISCONTINUA EN UN PUNTO
Cuando una función no cumple la definición de función continua en un punto, se dice que es
discontinua.
Estas funciones no son
continuas en el punto 1
Esta función no es
continua en los puntos 1 y
– 1
Función discontinua en 0
4
22
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)

23. DISCONTINUIDAD EVITABLE
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y
no coincide con el valor de la función en el mismo.
f(x) =




x2
– 1
x – 1
si x  1
3 si x = 1
x1
lim f(x) =
x1
lim
x2
– 1
x – 1 =
x1
lim
(x – 1)(x + 1)
x – 1 =
x1
lim (x + 1) = 2  3 = f(1)
Por tanto 𝑓(𝑥) presenta una discontinuidad evitable en el punto 1.
Estudiamos el comportamiento de 𝑓(𝑥) en el punto 1:
23
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)

24. EVITANDO UNA DISCONTINUIDAD EVITABLE
El valor que se asigna a una función en un punto, en el que la función presenta discontinuidad
evitable) para que dicha función se vuelva continua
Ejemplo: La siguiente función 𝑔(𝑥), evita la discontinuidad que presenta 𝑓(𝑥) en el punto 1:
• El verdadero valor de f(x) en el
punto 1 es 2.
• La función g(x) es continua en el
punto 1.
g(x) =




x2
– 1
x – 1
si x  1
2 si x = 1
=




(x – 1)( x + 1)
x – 1
si x  1
2 si x = 1
= x + 1
24
MAT-101 CÁLCULO I ING. PROCESOS (JCFR)

25. DISCONTINUIDAD INEVITABLE
y = sig(x) presenta discontinuidad
inevitable en el punto 0 de salto 2.
y =




x + 1
x
si x  0
0 si x = 0
y = sig(x)
Esta función presenta discontinuidad
inevitable de salto infinito en el punto 0.
• Una función tiene en un punto una discontinuidad inevitable, cuando existen los
límites laterales en él y son distintos.
• Si 𝑓(𝑥) es discontinua en el punto 𝑥 = 𝑎, la diferencia entre los dos límites se llama
salto de la función en dicho punto.
• Si alguno de los límites laterales en el punto 𝑎 es infinito, se dice que el salto es
infinito.
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26. 26
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27. 27
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28. 28
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29. TEOREMA DE BOLZANO
Sea 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], que toma en 𝑎 y 𝑏 valores de
signo opuesto (es decir 𝑓(𝑎) · 𝑓(𝑏) < 0), entonces  al menos un punto 𝑐 interior al
intervalo en el que 𝑓(𝑐) = 0.
c
𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏]
𝑓(𝑎) < 0
𝑓(𝑏) > 0
Entonces  c  (𝑎, 𝑏) / f(c) = 0
𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏]
𝑓(𝑎) > 0
𝑓(𝑏) < 0
Entonces  c  (𝑎, 𝑏) / f(c) = 0
c
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30. Toda función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], alcanza en dicho intervalo al menos
un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
x1
M
x2
m
Esta función, continua en [𝑎, 𝑏], presenta en
x1 un máximo absoluto de valor M y en x2
un mínimo absoluto de valor m.
x1
M
x2
m
Esta función, continua en [𝑎, 𝑏], presenta en
x1 un máximo absoluto de valor M y en x2
un mínimo absoluto de valor m.
TEOREMA DEL MÁXIMO – MÍNIMO (TEOREMA DE WEIERSTRASS)
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31. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO O DE DARBOUX
Sea 𝑓(𝑥) una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y 𝐾 un número real tal que:
𝑓(𝑎) < 𝐾 < 𝑓(𝑏) o 𝑓(𝑏) < 𝐾 < 𝑓(𝑎),
entonces existe al menos un punto c en el intervalo tal que 𝑓(𝑐) = 𝐾.
𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏] y 𝑓(𝑎) < 𝐾 < 𝑓(𝑏)
Entonces  c  (𝑎, 𝑏) / 𝑓(𝑐) = 𝐾
𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏] y 𝑓(𝑏) < 𝐾 < 𝑓(𝑎)
Entonces  c  (𝑎, 𝑏) / 𝑓(𝑐) = 𝐾
c
K
c
K
 La demostración se hace comprobando que la función 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) – 𝐾 cumple el
teorema de Bolzano luego 𝑔(𝑐) = 0 por lo que 𝑓(𝑐) = 𝐾.
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