Límite

1. Cruz servio
Portugal Marvin

2. OObbjjeettiivvooss aa TTrraattaarr
Conjunto de Numero Reales
Definición de Función
Intervalos
Definición de Limite en una Función
Propiedades de Limites
Calculo de Limites

3. Para adentrarnos en el tema tenemos que saber que son los números reales
Conjunto de los números reales
Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e
irracionales, y lo denotaremos como R ; gráficamente el conjunto de los
números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un
origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un
número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta
recta la denominamos la recta real
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4. Función :
Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de
forma que a determinados elementos del primer conjunto se
asocian elementos del segundo conjunto de manera
unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no
le podemos asociar más de un elemento del segundo
conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo
representamos con la letra x, que denominamos variable
independiente y al único elemento que le corresponde en el
segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que
denominamos variable dependiente. A la relación la
representamos por la letra f y escribimos y = f (x).

5. PPrriimmeerr CCaassoo
En el primer caso a cada
valor de x le corresponde un
único valor de y. En el
segundo caso, hay valores
de x que no están
únicamente determinados
SSeegguunnddoo CCaassoo

6. Intervalos
Definamos sobre la recta real :
El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se
llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se
llama longitud del intervalo.

7. Ahora podemos pasar al análisis del limite de variables
continuas.
Sea f: R R
Diremos que la función f tiende hacia el limite L
Perteneciente a R, cuando x tiende hacia el valor a
perteneciente a R y lo anotaremos como:
lim f (x) = L ssi:
x a
ع > 0 , δ > 0 tal que si x – a < δ Þ f (x) – L < ع
lim f (x) = L
x a

8. Esto nos quiere decir que:
Para todo ع tan pequeño como se quiera mayor que cero,
existe un δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y
a es menor que δ (x pertenece ] a – δ, δ + a[), se cumple
que la distancia entre las imágenes y el limite es menor
que .ع
Ejemplo: Demostrar que lim 3x + 5 = 1
x 2
Solución:
Sea ع > 0 , por demostrar δ > 0 tal que si x – a < δ
→ 3x + 5 – ع > 11

9. 3x + 5 – ع > 11
3x – ع > 6
3 (x - ع > ( 2
3  x – ع > 2
3  x – ع > 2
x – 2 < ع / 3
Luego si ع > 0 dado, δ = 0< ع/ 3 tal que x – a < δ= ع/ 3 Þ
3 x – ع > 2
3 (x - ع > ( 2
3x – ع > 6
3x + 5 – ع > 11  f (x) – L < ع

10. -Si existe lim f (x) = L este es único
x →a
-Si existe lim f (x) = L y lim g (x)= M ( es decir ambos
limites existen)
- Entonces:
-lim f (x) + g (x) = lim f (x) + lim g (x)
x → a x → a x → a
lim f (x) – g (x) = lim f (x) – lim g (x)
x → a x → a x →a

11. lim f (x)  g (x) = lim f (x)  lim g (x)
x → a x → a x→ a
lim f (x) lim f (x)
x → a g (x) x → a si g (x) = 0 y
lim g (x) lim g (x) = 0
x → a x → a
lim c f (x) = c lim f (x)
x → a x → a

12. CCAALLCCUULLOO DDEE LLIIMMIITTEESS
Suele ocurrir que en el calculo de limites se produzcan
algunas “ indeterminaciones” evitables.
Para evitar indeterminaciones se recurre frecuentemente a las
factorizaciones, las racionalizaciones y los cambios de
variables.
Ejemplos:
1.- Calcular lim x2 – 4 = lim (x - 2) (x + 2)
x → a x – 2 x → 2 (x - 2)
Þ lim x + 2 = 4
x → 2

13. 2.- lim 1/x =1/2
x → 2
3.- lim 2 + x2 – 3 + ex = lim 2 + lim x2 – 3 + lim ex
x→1 x→1 x→1 x→1
Þ lim 2 + lim x2 - 3 + lim ex 2 – 2 + e1
x→1 x→1 x + 2 x→1 3