Material para uso educativo

1. REGLA DE L´HOPITAL

2. La forma
∞
∞
la escribiremos para abreviar los siguiente cuatros casos:
+∞
+∞
,
+∞
−∞
,
−∞
−∞
,
−∞
+∞
El teorema también es válido para límites laterales o infinitos. Es decir,
𝑥 → 𝑎+
, 𝑥 → 𝑎−
, 𝑥 → +∞, 𝑥 → −∞
PRODUCTO INDETERMINADO
La indeterminación 0. ∞ se transforma en
0
0
ó
∞
∞
cambiando el
producto en cociente.
Ejemplo 1: Hallar lim
𝑥→0+
𝑥. ln(𝑥)
Solución: lim
𝑥→0+
𝑥 = 0 y lim
𝑥→0+
ln(𝑥) = −∞. El límite presenta forma
indeterminada 0. ∞.
Si
a) 𝑓 y 𝑔 son funciones diferenciables y 𝑔(𝑥) ≠ 0 cerca de a, excepto
posiblemente en a.
b) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 ó lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ±∞
c) Existe lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
Entonces lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)

3. lim
𝑥→0+
𝑥. ln(𝑥) = lim
𝑥→0+
ln(𝑥)
1
𝑥
Presenta forma indeterminada
∞
∞
= lim
𝑥→0+
1
𝑥
−
1
𝑥2
L’ hopital
= lim
𝑥→0+
−𝑥
= 0
Así,
lim
𝑥→0+
𝑥. ln(𝑥) = 0
DIFERENCIA INDETERMINADA
La indeterminación ∞ − ∞ se convierte en la forma
0
0
ó
∞
∞
transformando la diferencia en un cociente de funciones.
Ejemplo 2: Hallar lim
𝑥→0+
[
1
𝑥
−
1
𝑆𝑒𝑛(𝑥)
]
Solución:
lim
𝑥→0+
1
𝑥
= ∞ y lim
𝑥→0+
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= ∞ , el lim
𝑥→0+
[
1
𝑥
−
1
𝑆𝑒𝑛(𝑥)
] presenta forma
indeterminada ∞ − ∞.
lim
𝑥→0+
[
1
𝑥
−
1
𝑆𝑒𝑛(𝑥)
] = lim
𝑥→0+
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑥
𝑥.𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Presenta forma indeterminada
0
0
= lim
𝑥→0+
𝑐𝑜𝑠(𝑥)−1
𝑥.𝑐𝑜𝑠(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
L’ hospital. Presenta F.I.
0
0
= lim
𝑥→0+
−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
−𝑥.𝑠𝑒𝑛(𝑥)+2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
L’ hospital
=
0
2
= 0
Por lo tanto, lim
𝑥→0+
[
1
𝑥
−
1
𝑆𝑒𝑛(𝑥)
] = 0.

4. POTENCIAS INDETERMINADAS
Se calcula lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥)
, se obtienen las siguientes formas
indeterminadas 00
, ∞0
, 1∞
.
Para resolver se procede a los siguientes pasos:
1) Se hace 𝑦 = [𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥)
2) Se aplica logaritmo 𝑙 𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥)
⟹ 𝑙 𝑛(𝑦) = 𝑔(𝑥). 𝑙𝑛𝑓(𝑥)
3) Se calcula 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥). 𝑙𝑛𝑓(𝑥) = 𝑙
4) Se aplica exponencial 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥)
= [𝑒]𝑙
Ejemplo 3: Hallar lim
𝑥→0+
(𝑥 + 1)cot(𝑥)
Solución:
1) 𝑦 = (𝑥 + 1)cot(𝑥)
2) Aplicamos logaritmo
𝑙 𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)cot(𝑥)
⟹ 𝑙 𝑛(𝑦) = cot(𝑥) . 𝑙𝑛(𝑥 + 1)
3) Calculamos el límite.
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
cot(𝑥) . 𝑙𝑛(𝑥 + 1)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑙𝑛(𝑥+1)
tan(𝑥)
Presenta F.I.
0
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
1
𝑥+1
sec(𝑥)2
L’hopital
=
1
0 + 1
sec(0)2
= 1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑙𝑛(𝑦) = 1
4) Aplicamos exponencial 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
(𝑥 + 1)cot(𝑥)
= 𝑒1
= 𝑒

5. Por lo tanto, lim
𝑥→0+
(𝑥 + 1)cot(𝑥)
= 𝑒.
REFERENCIAS
L., Leithold (2009). El Cálculo 7ma edición. Editorial Mexicana.
S., Jorge (2005). Calculo diferencial con funciones trascendentes
tempranas para ciencias e ingeniería. 2da edición. Editorial Hipotenusa.
Barquisimeto, Venezuela.