Este documento describe la regla de L'Hôpital para calcular límites indeterminados. Explica que la regla puede aplicarse cuando el límite de una función dividida es de la forma 0/0 o ∞/∞. Establece que en esos casos, el límite es igual al límite de la razón de las derivadas de las funciones. Además, detalla cómo aplicar la regla a diferentes tipos de indeterminaciones como 0·∞, 00, ∞0 y 1∞.

1. REGLA DE L’HÔPITAL PARA LÍMITES
INDETERMINADOS

2. CONTENIDO
1 INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0
0 Ó ∞
∞
2 PRODUCTOS INDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
3 POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞

3. Regla de L’Hôpital para Lı́mites
Indeterminados
Introducción
La Regla de L’Hôpital es un método útil para calcular lı́mites in-
determinados que involucran cocientes de funciones y puede apli-
carse a varios tipos de indeterminaciones.

4. INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0
0 Ó ∞
∞
Regla de L’Hopital para Lı́mites
Indeterminados
Definición
La Regla de L’Hôpital establece que si f(x) y g(x) son funciones
diferenciables en un entorno de un punto x0 y se cumple alguna
de las siguientes condiciones:
lı́m
x→x0
f(x) = lı́m
x→x0
g(x) = 0
lı́m
x→x0
f(x) = ±∞ y lı́m
x→x0
g(x) = ±∞

5. INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0
0 Ó ∞
∞
Regla de L’Hôpital para Lı́mites
Indeterminados
entonces, si el lı́mite
lı́m
x→x0
f(x)
g(x)
es una indeterminación del tipo 0/0 o ∞/∞. Por tanto,
lı́m
x→x0
f(x)
g(x)
= lı́m
x→x0
f′(x)
g′(x)
siempre que el lı́mite a la derecha exista o sea ±∞.

6. INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0
0 Ó ∞
∞
Regla de L’Hôpital para Lı́mites
Indeterminados
En otras palabras, cada vez que
lı́m
x→x0
f(x)
g(x)
=
0
0
ó lı́m
x→x0
f(x)
g(x)
=
∞
∞
Entonces,
lı́m
x→x0
f(x)
g(x)
= lı́m
x→x0
f′(x)
g′(x)

7. INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0
0 Ó ∞
∞
Indeterminaciones Usuales
Tipo de Indeterminación Ejemplo
0
0
lı́m
x→0
sinx
x
∞
∞
lı́m
x→∞
x2
ex

8. INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0
0 Ó ∞
∞
Indeterminación −→ 0
0
Ejemplo
lı́m
x→0
sinx
x
=
0
0
Aplicando la regla de L’Hôpital
lı́m
x→0
sinx
x
= lı́m
x→0
cosx
1
= 1

9. INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0
0 Ó ∞
∞
Indeterminación −→ ∞
∞
Ejemplo
lı́m
x→∞
x2
ex
=
∞
∞
Aplicando la regla de L’Hôpital
lı́m
x→∞
x2
ex
= lı́m
x→∞
2x
ex
=
∞
∞
Aplicando la regla de L’Hôpital nuevamente
= lı́m
x→∞
2
ex
∞
= 0

10. PRODUCTOS INDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
Indeterminaciones Usuales
Tipo de Indeterminación Ejemplo
0·∞ lı́m
x→0+
(x·ln(x))
∞−∞ lı́m
x→0
(ex −(1−x))

11. PRODUCTOS INDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
Indeterminación −→ 0·∞

12. PRODUCTOS INDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
Nota
Si
lı́m
x→x0
(f(x)·g(x)) = 0·∞
Reescriba el producto de la forma
lı́m
x→x0
f(x)
1
g(x)
!
ó lı́m
x→x0
g(x)
1
f(x)
!

13. PRODUCTOS INDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
lı́m
x→0+
(x·ln(x)) = 0·∞
Reescribimos la función
lı́m
x→0+
(x·ln(x)) = lı́m
x→0‘+
ln(x)
1
x
!
Aplicando la regla de L’Hôpital
= lı́m
x→0+
1
x
− 1
x2
!
= lı́m
x→0+
(−x)
= 0

14. PRODUCTOS INDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
Ejemplo
Calcular el lı́mite de
lı́m
x→∞
(x·sin(π/x)) = ∞·0
En primer lugar, reescribimos la función
lı́m
x→∞
(x·sin(π/x)) = lı́m
x→∞
sin(π/x)
1
x
!

15. PRODUCTOS INDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
Aplicando la regla de L’Hôpital
lı́m
x→∞
sin(π/x)
1
x
!
= lı́m
x→∞
(cos(π/x))· −π/x2
− 1
x2
!
= lı́m
x→∞



cos(π/x)·(−π)
x2
−
1
x2




16. PRODUCTOS INDETERMINADOS DE LA FORMA 0·∞
lı́m
x→∞
sin(π/x)
1
x
!
= lı́m
x→∞



cos(π/x)·(−π)
x2
−
1
x2



= lı́m
x→∞




cos(π/x)·(−π)
x2
−
1
x2




Evaluando el lı́mite
= π

17. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
FIGURA 1: Potencias Indeterminadas

18. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Nota
Los lı́mites que llevan a las formas indeterminadas
00
, ∞0
, 1∞
en ocasiones pueden manejarse tomando primero el logaritmo de
la función. Utilizamos la regla de L’Hôpital para determinar el
lı́mite de la expresión logarı́tmica y luego exponenciamos el re-
sultado para determinar el lı́mite de la función original.

19. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Tenga en cuenta
Si
lı́m
x→a
(ln(f(x))) = L
entonces,
lı́m
x→a
(f(x)) = lı́m
x→a
eln(f(x))
= eL
donde a puede ser finito o infinito.

20. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Tenga en cuenta
Por tanto, si
f(x) = g(x)h(x)
Reescrı́balo de la forma
ln(f(x)) = h(x)·ln(g(x))

21. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Ejemplo
Calcule el
lı́m
x→0+
(1+x)1/x

22. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Solución
Suponga que
f(x) = (1+x)1/x
Reescribiéndolo de la forma
ln(f(x)) = h(x)·ln(g(x))
ln(f(x)) =
1
x
·ln(1+x)

23. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
lı́m
x→0+
ln(f(x)) = lı́m
x→0+
1
x
·ln(1+x)
= lı́m
x→0+
ln(1+x)
x
Aplicando la regla de L’Hôpital
= lı́m
x→0+



1
1+x
1



= 0

24. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Por tanto,
lı́m
x→0+
f(x) = (1+x)1/x
= lı́m
x→0+
f(x)
= lı́m
x→0+
eln(f(x))
= e1
= e

25. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Ejemplo
Calcule el
lı́m
x→∞
1+
a
x
bx

26. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Solución
Suponga que
f(x) =
1+
a
x
bx
Reescribiéndolo de la forma
ln(f(x)) = h(x)·ln(g(x))
ln(f(x)) = (bx)·ln
1+
a
x

27. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
lı́m
x→∞
ln(f(x)) = lı́m
x∞
(bx)·ln
1+
a
x
= lı́m
x→∞
ln 1+ a
x
1
bx
!
Aplicando la regla de L’Hôpital
= lı́m
x→∞


1
1+a
x
·
− a
x2
− 1
bx2



28. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
lı́m
x→∞
ln(f(x)) = lı́m
x→∞


1
1+a
x
·
− a
x2
− 1
bx2


= lı́m
x→∞


1
1+a
x
·
− a
x2
− 1
b
x2


= lı́m
x→∞
−ab
1+ a
x
!

29. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
lı́m
x→∞
ln(f(x)) = lı́m
x→∞
−ab
1+ a
x
!
Evaluando cuando x → ∞
= lı́m
x→∞








−ab

1+ a
x
0










= ab

30. POTENCIAS INDETERMINADAS DE LA FORMA: 00, ∞0, 1∞
Por tanto,
lı́m
x→∞
f(x) =
1+
a
x
bx
= lı́m
x→∞
f(x)
= lı́m
x→∞
eln(f(x))
= eab