Regla l hopital

1. Regla de
L´Hopital
Calculo diferencial
Profa. Dra. Z Flores Unidad 5
Integrantes:
• Rodríguez Hernández Flor Xiomara
• Seimandi González Humberto
• Tapia García Jesús Gadiel
• Varillas Juárez Alexis
• Vizcarra Fraire Ángel Iván

2. Indeterminaciones
son llamadas indeterminaciones, porque no garantiza que un límite exista.
¿Qué hemos hecho cuanto encontramos una de estas formas indeterminaciones?
Se intenta volver a escribir la expresión usando varias técnicas algebraicas, como la
factorización o la racionalización.
Por ejemplo, el lim
𝑥→2
2𝑥2−3𝑥−2
𝑥2−𝑥−2
que sustituyendo resulta en la indeterminación
0
0
, pero se
puede reinscribir en la forma lim
𝑥→2
2𝑥+1 (𝑥−2)
(𝑥+1)(𝑥−2)
= lim
𝑥→2
2𝑥+1
𝑥−2
=
5
2
𝟎
𝟎
∞
∞
𝟎 ∗ ∞ 𝟎𝟎 ∞𝟎 𝟏𝟎 ∞ ± ∞

3. Regla de L´Hopital
Sin embargo, no todas las formas indeterminadas pueden ser evaluadas por la
manipulación algebraica. Esto a menudo es verdad cuando funciones algebraicas
y trascendentes están mezcladas.
Para encontrar el límite, se puede usar el teorema llamado la Regla de L´Hopital.
Este método nos permite calcular ciertos límites que los procedimientos
mencionados anteriormente no pueden resolver. Se podría aplicar el teorema
para el límite de un cociente, es decir, al evaluar límites de la forma:
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)

4. Regla de L´Hopital
Sin embargo existen límites como lim
𝑥→2
𝐼𝑛(𝑥−1)
(𝑥+2)
en los que
tanto el numerador como el denominador tienden a 0
o ∞, para los que no hemos dado un procedimiento
que permita determinar su valor, ni por factorización
ni por racionalización.
La regla de L´Hopital se va aplicar en estos casos
para evaluar el limite.
(1661-1704)
Guillaume François
de L'Hopital

5. Regla de L´Hopital
La regla de L'Hopital
nos ayuda a evaluar
límites de las formas
indeterminadas
0
0
𝑦
∞
∞
.
Mediante el uso de
las derivadas.
En otras palabras,
nos ayuda a
encontrar un limite
en su forma 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Sean f y g dos funciones continuas definidas en el
intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente
a (a,b) tal que f(c) = g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de
𝑓´
𝑔´
en c, entonces existe el límite
de
𝑓
𝑔
(en c) y es igual a L.
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)
= L
Regla de L'Hopital

6. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
´
Observaciones
Tenemos que derivar por
separado el denominador
y el numerador.
Seria un error derivar toda la
función como la derivada del
cociente.

7. 1. Esta regla también se puede utilizar cuando la x tiende a infinito
(x→∞)
2. La regla de L’Hopital se puede aplicar tantas veces como sea necesario
mientras sigan cumpliéndose las condiciones del enunciado, hasta hallar
el valor del límite.
3. Esta regla también se puede aplicar para otro tipo de
indeterminaciones, siempre y cuando hallamos realizado las
transformaciones necesarias para convertir la indeterminación en una
del tipo necesario para aplicar L’Hopital: 0/0 o la de ∞/∞.
Observaciones

8. lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥2 − 3𝑥 + 2
lim
𝑥→𝑎
𝑓´ 𝑥
𝑔´(𝑥)
=
L'Hopital
Paso 3: Volver a evaluar
Paso 1: Evaluar la función
Indeterminada
Paso 2: Utilizamos L'Hopital
Recuerda derivar el
numerador y el
denominador por
separado.
Ejemplo 1: Indeterminación
0
0
lim
𝑥→1
12 − 1
12 − 3(1) + 2
=
0
0
lim
𝑥→1
2𝑥
2𝑥 − 3
lim
𝑥→1
2𝑥
2𝑥 − 3
=
2(1)
2 1 − 3
=
2
−1
= −2

9. Ejemplo 1a: Indeterminación
0
0
lim
𝑥→0
𝑥 ∗ 𝑒𝑥
− 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
=
0 ∗ 1 − 0
0
=
0
0
Paso 1- Evaluar la función
Paso 2: Utilizamos L'Hopital
lim
𝑥→0
1( 𝑒𝑥
) + 𝑥(𝑒𝑥
) − 𝐶𝑜𝑠 𝑥
2𝑥
=
1 𝑒0
+ 1(𝑒0
) − 𝐶𝑜𝑠 0
2(0)
=
1 + 0 − 1
0
=
0
0
Paso 3: Volvemos a utilizar la regla de L'Hopital
lim
𝑥→0
𝑒𝑥
+ 𝑥(𝑒𝑥
) + 𝑥 𝑒𝑥
+ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
2
Paso 4- Evaluar la función
lim
𝑥→0
𝑒𝑥
+ 𝑥(𝑒𝑥
) + 𝑥 𝑒𝑥
+ 𝑆𝑒𝑛 𝑥
2
=
𝑒0
+ 0(𝑒0
) + 0 𝑒0
+ 𝑆𝑒𝑛 0
2
=
1 + 1 + 0 + 0
2
=
2
2
= 1

10. lim
𝑥→∞
6𝑥2 + 4𝑥
𝑒𝑥 + 2
lim
𝑥→∞
12𝑥 + 4
𝑒𝑥
=
∞
∞
lim
𝑥→∞
12
𝑒𝑥 =
12
∞
= 0
L'Hopital
Paso 3: Volver a usar L'Hôpital
Paso 1: Evaluar la función
lim
𝑥→∞
6𝑥2 + 4𝑥
𝑒𝑥 + 2
=
∞
∞
Indeterminada
Paso 2: Utilizamos L'Hopital
Ejemplo 2: Indeterminación
∞
∞
La regla de L’Hopital se puede
aplicar tantas veces como sea
necesario mientras sigan
cumpliéndose las condiciones
del enunciado, hasta hallar el
valor del límite.

11. Ejemplo 2a: Indeterminación
∞
∞
lim
𝑥→∞
8𝑥4 + 2𝑥3
𝑒𝑥 − 5𝑥2
Paso 1- Evaluar la función
lim
𝑥→∞
8𝑥4
+ 2𝑥3
𝑒𝑥 − 5𝑥2 =
∞
∞
Paso 2 - Utilizamos L'Hopital
lim
𝑥→∞
32𝑥3
+ 6𝑥2
𝑒𝑥 − 10𝑥
=
∞
∞
Paso 3- Volver a usar L'Hopital
lim
𝑥→∞
96𝑥2
+ 12𝑥
𝑒𝑥 − 10
=
∞
∞
Paso 4- Volver a usar L'Hôpital
lim
𝑥→∞
192𝑥 + 12
𝑒𝑥
=
∞
∞
Paso 5- Volver a usar L'Hôpital
lim
𝑥→∞
192
𝑒𝑥
=
192
∞
= 0

12. Ejemplo 2b: Indeterminación
∞
∞
Paso 1- Evaluar la función
Paso 2 - Utilizamos L'Hopital
Paso 3- Reescribimos
Paso 4-
Paso 5
lim
𝑥→∞
𝑥
𝑒𝑥
lim
𝑥→∞
1
2 (𝑥)−
1
2
𝑒𝑥
lim
𝑥→∞
𝑥
𝑒𝑥 =
∞
∞ lim
𝑥→∞
1
2
∗
1
𝑥
𝑒𝑥
lim
𝑥→∞
1
2 𝑥
𝑒𝑥
lim
𝑥→∞
1
2𝑥
𝑒𝑥
1
lim
𝑥→∞
1
2 𝑥𝑒𝑥
=
1
∞
= 0
Paso 6- Evaluar el limite
El 0 no es una
indeterminación, es
un numero real.

13. Ejemplo 3: Indeterminación 0 ∗ ∞

14. Tarea
1- lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑒𝑥−𝐶𝑜𝑠 𝑥
Determina si el limite presenta una indeterminación, si es así resuélvelo por medio de la
Regla de L´Hopital.