TeoremasSobreLìmites aplicaion de formulas

1. TEOREMAS SOBRE LÍMITES
Si 𝑓( 𝑥) = 𝑐, constante, tendremos,
Si y resulta:
siendo k una constante.
siempre que 𝐵 ≠ 0
siempre que √ 𝐴𝑛
sea real
DERIVADAS (REGLA DE LOS 4 PASOS)
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Paso 1. Se incrementan ambas partes de la expresión:
Paso 2. Se despeja ∆𝑦 : ∆𝑦 = 𝑓( 𝑥 + ∆𝑥)− 𝑦 pero 𝑦 = 𝑓(𝑥) por
lo tanto: ∆𝑦 = 𝑓( 𝑥 + ∆𝑥)− 𝑓(𝑥)
Paso 3. El resultado se divide entre (∆𝑥):
Paso 4. Se aplica límite cuando ∆𝑥 → 0
Diferentes notaciones.
En lugar de: Leibniz utilizó: Lagrange utilizó: 𝑦′
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
FUNCIONES ALGEBRAICAS
1. siendo c una constante 2.
3. 4.
5. 6.
7. 6.
9. 10.
Derivada de una función inversa Derivada de una función de función
11. 12.
FUNCIONES TRIGOMETRICAS
13. 14.
15. 16.
17.
18.
Nota
A mayor número de problemas resueltos mayor entendimiento y destreza
tendrás para interpretar y resolver ecuaciones más complejas. Es
necesario que practiques constantemente, hacerlo así te brindará mayor
agilidad en la solución de problemas sobre Máximos y Mínimos.
FUNCIONES TRIGOMETRICAS INVERSAS
19.
20.
21.
22.
23.
24.
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
25.
26.
27.
28.
NOTAS IMPORTANTES.
La primera derivada representa la PENDIENTE de una
curva (o recta). Para saber cuáles su pendiente en un
punto específico es necesario sustituir la coordenada
correspondiente.
Cuando la pendiente es igual a cero, se tiene un punto
Máximo o Mínimo, para saber cuál de los dos es, se
sustituyen en la primera derivada valores un poco menores
a sus raíces y luego poco mayores, de los resultados se
extrae el signo. Si la pendiente cambia de –a + se tiene un
Mínimo. Si la pendiente cambia de +a – se tiene un
Máximo.
Otra forma de saber sila curva tiene un Máximo o Mínimo
es haciendo una doble derivación.
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝑐
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝐴 lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥) = 𝐵
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 𝐴
lim
𝑥→𝑎
{ 𝑓( 𝑥) ± 𝑔( 𝑥)} = lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥) = 𝐴 ± 𝐵
lim
𝑥→𝑎
{ 𝑓( 𝑥) ∙ 𝑔( 𝑥)} = lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥) = 𝐴 ∙ 𝐵
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥)
𝑔( 𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥)
=
𝐴
𝐵
lim
𝑥→𝑎
√𝑓( 𝑥)𝑛
= √lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥)𝑛
= √𝐴
𝑛
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓( 𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
lim
𝑥→𝑎
∆𝑦
∆𝑥
= lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
lim
𝑥→𝑎
∆𝑦
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑐) = 0
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥) = 1
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢 + 𝑣 + ⋯) =
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢) +
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑣) + ⋯
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑐𝑢) = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑣)+ 𝑣
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑢
𝑐
) =
1
𝑐
∙
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢) 𝑐 ≠ 0
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑐
𝑢
) = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑢
) = −
𝑐
𝑢2
∙
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢) 𝑑
𝑑𝑥
(
𝑢
𝑣
) =
𝑣
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)− 𝑢
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑣)
𝑣2
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥 𝑛) = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢 𝑛) = 𝑛𝑢 𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(sen_𝑢) = cos_𝑢 ∙
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑
𝑑𝑥
(cos_𝑢)= −sen _𝑢 ∙
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑
𝑑𝑥
(tag_𝑢) = sec2
_𝑢 ∙
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑
𝑑𝑥
(cos_𝑢) = −csc2
_𝑢 ∙
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑
𝑑𝑥
(sec_𝑢) = sec_𝑢 ∙ tag_𝑢 ∙
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑
𝑑𝑥
(csc_𝑢) = −csc_𝑢 ∙ ctg_𝑢 ∙
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛_𝑢) =
1
√1 − 𝑢2
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠_𝑢) = −
1
√1 − 𝑢2
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑔_𝑢) =
1
1 + 𝑢2
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡_𝑢) = −
1
1 + 𝑢2
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐_𝑢) = −
1
𝑢√𝑢2 − 1
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐_𝑢) =
1
𝑢√𝑢2 − 1
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(log 𝑎− 𝑢) =
1
𝑢
log 𝑎 𝑒
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢), ⇒ (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(In_𝑢) =
1
𝑢
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝑎 𝑢) = 𝑎 𝑢
In_𝑎
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢), ⇒ (𝑎 > 0)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
( 𝑒 𝑢 ) = 𝑒 𝑢
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑢)