vibraciones

1. 1
Cabeza
Parte superior del torso
Abdomen
Fuerza ejercida al sujeto
sentado
Fuerza ejercida al sujeto paradoPies
Piernas
Columna
Brazos
Caderas
Por I.C. Luis Gonzalo Mejía C.
de Luis Gonzalo Mejía C. y Cía. Ltda.
lgm@une.net.co
Medellín – Colombia
Septiembre 2006
1. Introducción
Con el diseño de estructuras cada vez más esbeltas y con mayores luces, pueden presentarse
vibraciones incómodas para los usuarios y dañinas para la estructura. El cuerpo humano es
sumamente sensible a las vibraciones y puede representarse, como cualquier estructura mecánica,
como una serie de masas interconectadas por resortes y amortiguadores (figura 1). De forma muy
acertada, el Instituto de Desarrollo Urbano de Bogotá IDU, ha comenzado a medir la frecuencia de
los puentes peatonales, con el fin de determinar su cumplimiento con los requerimientos de las
“Guide specifications for design of pedestrian bridges”2. Como consideramos que esta guía y sus
comentarios son relativamente escuetos, preparamos éste artículo con el fin de aclarar la razón por
la cual se requiere que la frecuencia de los puentes no este por debajo de 3.0 Hz.
2. Normatividad
El Código Colombiano de Puentes3, no da ninguna indicación acerca de las frecuencias mínimas que
puede presentar un punte peatonal, por lo cual debe tomarse como criterio la norma AASHTO para
puentes peatonales, la cual en su numeral 1.3.2 especifica lo siguiente: “La frecuencia fundamental
de un puente peatonal sin carga viva, debe ser mayor de 3.0 Hz para evitar el primer armónico”. A su
vez, en los comentarios aclara lo siguiente: “El rango del primer al tercer armónico que pueden ser
excitados por personas que caminan o trotan en el puente peatonal, está entre 2 y 8 Hz, con una
frecuencia fundamental entre 1.6 y 2.4 Hz. Por ésta razón, los puentes con frecuencias
fundamentales menores de 3 Hz, se deben evitar”.
FIGURA 11
Una representación simplificada del cuerpo humano como una serie de sistemas vibratorios acoplados1

2. 2
3. Breve Reseña Histórica
Como seguramente algunos de los lectores no son especialistas en estructuras, consideramos
conveniente hacer una breve referencia histórica sobre el tema de las vibraciones y acerca de los
modos de vibración explicados con base en una cuerda tensa que se pone a vibrar.
El problema de la cuerda vibrante era conocido desde la antigüedad. El matemático y filósofo griego
Pitágoras (582-507 A.C.) efectuó experimentos (figura 2), encontrando entre otras cosas que “si dos
cuerdas iguales se sujetan a igual tensión y una de ellas tiene la mitad de la longitud de la otra, los
tonos que ellos producen se diferencian en una octava”4. La figura 35 nos muestra la serie de
ensayos efectuados por Pitágoras, que representan quizás la primera formulación matemática de
una ley física. En palabras de hoy, Pitágoras descubrió que la frecuencia de una cuerda, sujeta a
una tensión T, es inversamente proporcional a su longitud .
FIGURA 24
El monocordio inventado por Pitágoras para sus estudios de una cuerda vibrante. Los apoyos a y c son fijos y
el apoyo b es móvil. El peso garantiza una tensión uniforme en la cuerda.
FIGURA 35
240 vibraciones por segundo
Relación de
luces
1:1 a
480 vibraciones por segundo
2:1 b
3:2 c
4:3 d
360 vibraciones por segundo
320 vibraciones por segundo
Una octava
Una Quinta
Una Cuarta

3. 3
Con el monocordio (figura 2) Pitágoras encontró que los sonidos armónicos se producen cuando las longitudes de
las cuerdas están en relaciones numéricas sencillas: esta es la llamada Ley Pitagórica de cuerdas.
FIGURA 46
Esta figura muestra parte de los estudios efectuados por Daniel Bernoulli, publicados en “Reflexions et Eclaircissemens
sur les nouvelles vibrations des cordes”6, acerca de los modos de vibrar de una cuerda tensa.
La investigación sistemática de las propiedades físicas de la cuerda vibrante, comenzó realmente hace unos
350 años, luego de que el descubrimiento del cálculo diferencial e integral efectuado por Leibniz y Newton y
desarrollado por Jacob y Johann Bernoulli, dio nuevas posibilidades no solo para el estudio de la geometría
de cuerdas, superficies y volúmenes, sino también para la mecánica. En 1636 Marin Mersenne (1588 - 1648)
llegó a la conclusión de que la frecuencia era inversamente proporcional a la longitud de la cuerda y a su
diámetro y directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión. Joseph Saveur (1653 - 1716) fue quien
en 1701 llamó “fundamental” a la frecuencia menor y “armónicas”a a las frecuencias superiores.
Posteriormente el filósofo y matemático ingles Brook Taylor (1685 - 1731) fue el primero que trato de formular
una teoría matemática de la cuerda vibrante en su libro De Motu Nervi Tensi publicado en 1713 y tras él
vinieron los trabajos de Johann Bernoulli (1710 - 1790), Jean Baptiste Le Rond D´Alembertb (1717 - 1783)
y Leonhard Euler (1707 - 1783), pero fue el pensamiento revolucionario de Daniel Bernoulli (1700 - 1782)
quien planteó la solución general del problema por medio de la superposición de soluciones parciales. En su
trabajo “Reflexions et Eclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes”, presentado a la academia de
a Nótese que armónicos significa que las frecuencias superiores están relacionadas por números enteros sencillos con la frecuencia
fundamental. En el estudio de barras o placas se encuentra que las frecuencias de los modos no están relacionadas con la frecuencia
fundamental por números enteros y se llaman entonces discordantes ó disonantes. El estudio de placas y membranas llegó mas
tarde y fue realizado por Gustav Robert Kirchhoff (1824 - 1887), Simeon - Denis Poisson (1781 - 1840) y a Aurel Stodola
(1859 - 1942).
b D’Alembert en 1747 publicó el libro “Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration” siendo el primero
que planteo la “ecuación diferencial de la onda” como 22222
s/yct/y  con m/sc2
 , s= tensión en la cuerda y m = masa
por unidad de longitud. Es interesante mencionar que D’Alembert, no utilizó el símbolo  para derivadas parciales, pues solo fue
introducido en 1768 por Adrien Marie Legendre en su "Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul
des Variations". Finalmente fue Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851) quien en 1841 lo adoptó definitivamente en su obra "De
determinantibus Functionalibus".

4. 4
historia de Berlin en 1753, demostró que una cuerda podría vibrar de muchas maneras, dependiendo del
número de “vientres” que se formaran en la cuerda durante la vibración, como se desprende de la figura 4.
Así, para igual tensión y masa, si solo hay un vientre, las vibraciones son más lentas y la cuerda da el tono
fundamental. Si la cuerda exhibe dos vientres con un nodo en la mitad, se duplica la frecuencia, la cual
corresponde a una octava del tono fundamental. Para terminar debemos mencionar que Jean Louis Lagrange
(1736 - 1813) se opuso a la teoría de Daniel Bernoulli en dos escritos publicados en 1759 y 1762 y que
entre 1807 y 1811 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) publicó en la academia de París su Theorie
de la Chaleur, en la cual expresó que cualquier función se puede expresar como una serie de funciones
trigonométricas, con lo cual se confirmó la idea genial de Daniel Bernoulli.
Luego de esta reseña histórica y basándonos en la excelente y sencilla discusión que sobre el tema hace
Zetlin7, con ayuda de la figura 5 podemos resumir lo más importante sobre este tema: Si tomamos una cuerda
en reposo sujeta a una tensión T (figura 5a) luego la halamos sacándola de su posición de equilibrio (figura
5b) y la soltamos, ella empieza a vibrar asumiendo varias configuraciones. En un instante cualquiera, la
cuerda puede tener la forma indicada en la figura 5c, la cual obviamente varía en cada instante dependiendo
de las propiedades del cable, la tensión inicial y la amplitud inicial con la que la hayamos excitado. Por la
descripción de los aspectos históricos de este tema, ya conocemos que cada configuración, en cada instante,
puede ser obtenido por la suma de un infinito número de curvas armónicas de las cuales se indican las tres
primeras en las figuras 5d, 5e y 5f.
FIGURA 57
Determinación de la configuración de una cuerda que vibra en un instante cualquiera como sumatoria de tres
de sus curvas armónicas (modos de vibrar).

5. 5
Cada curva armónica es llamada un modo de vibración y su amplitud varía al vibrar el cable, por lo
cual un cable puede tener un número infinito de frecuencias naturales. Debe notarse que mientras
mayor número de ondas tenga un modo de vibrar, menor es su amplitud y mayor es su frecuencia y
por lo tanto, usualmente, solo se requieren los primeros modos para representar el cable vibrando.
El primer armónico se llama el modo fundamental de vibración y su frecuencia la frecuencia natural.
La frecuencia W de cualquier modo esta dada por la siguiente expresión:
g/q
Tn
Wn



4. Excitación vertical y resonancia
En este punto tal vez nos preguntamos y no tengamos completa claridad acerca de cual es la real
importancia de la frecuencia fundamental y sus armónicos. Lo que sí sabemos es que normalmente
una estructura, vibra de una forma que es la sumatoria de sus formas modales y que cada una de
estas formas modales tiene una frecuencia normal de vibración que puede ser excitada y que
dependiendo de la frecuencia de excitación puede causar daños en la estructura como lo veremos a
continuaciónc.
Para aclarar este aspecto, examinemos la figura 610 en la cual se indica el modelo simplificado del
sistema vibratorio “persona - estructura”. Dado que no se presenta una reacción de la estructura
hacía las personas, debe modelarse la persona que camina ó corre como una fuerza actuante sobre
la estructura y no como un sistema de resorte-masa acoplado a ésta. De ésta forma la excitación
rítmica producida por las personas en la estructura al caminar puede expresarse por una función
armónica con un perfil de onda simple:
c Como ya se dijo fue Daniel Bernoulli el primero que logro comprender que la cuerda, por así decirlo, se puede considerar
separada en dos, tres o mas partes iguales y que esas partes vibran, como si cada parte fuera una cuerda completa. Es
tal la importancia de éste concepto, que consideramos pertinente transcribir a Bishop12: ”Las formas modales de un
sistema, a las cuales les corresponde una frecuencia propia tienen propiedades sumamente importantes. Ellas constituyen,
en cierta forma, los elementos a partir de los cuales, por superposición, se puede determinar cualquier deformación del
sistema. Sí de alguna forma sacamos de su posición de reposo un sistema y lo liberamos, comienza a vibrar libremente, de
tal forma que estas vibraciones corresponden a las formas modales que por superposición dan la forma de vibrar que
hemos excitado. Las formas modales son independientes entre sí y transcurren a un ritmo que corresponde a su
frecuencia propia”. Dicho de otra forma, cualquier movimiento aparentemente caótico y complicado puede obtenerse como
una combinación de las formas modales, es decir, hay un orden en ese aparente caos. En palabras de Mandelbrot13 es: “La
simple complejidad de la naturaleza”.
En la cual:
n = 1, 2, 3........ 
 =Distancia horizontal entre apoyos
T = Tensión en el cable
q = Peso del cable por unidad de longitud, supuesto uniforme
g = Aceleración de la gravedad
Wn =Frecuencia de vibración de un armónico.
(7)

6. 6
tsinKK)t(fF 1o  .
Cuando las personas en vez de caminar corren, la excitación es impulsiva y periódica, por lo cual es
conveniente utilizar la expresión para la fuerza en forma compleja:
ti
o e)(KK)t(fF 

 
FIGURA 610
Modelo simplificado del sistema vibratoriohombre - estructura
(con r = amortiguación y c = constante de resorte)
La ecuación diferencial que describe el movimiento de la estructura causado por esta fuerza F esta
dada por:
Mz+rz+cz=F
cuya solución particular corresponde a:
  222
e )c/r()/(1c
F
z
:con
)tcos(z)t(z



Es ampliamente conocido que la amortiguación viscosa es sumamente baja11, por lo cual z(t), la
amplitud de la vibración, depende prácticamente de la relación e/  (frecuencia de la fuerza
excitatriz/frecuencia propia), siendo evidente que para valores cercanos a 1 ó de 1 la amplitud de la
vibración se vuelve excesivamente grande o infinita produciendo severos daños en la estructura o
inclusive su colapso.
Hombre
Estructura
Terreno

7. 7
5. Frecuencias de la fuerza excitatriz debidas al tránsito peatonal
Introducción
De la discusión anterior es claro que en el diseño de estructuras debe evitarse que su frecuencia
fundamental y la de sus armónicos sean del mismo orden que la frecuencia de la fuerza aplicada. En
puentes peatonales, la frecuencia de la fuerza excitatriz varía en un rango relativamente amplio,
dependiendo, de si las personas caminan a paso normal, a paso rápido, brincan o corren, lo cual es
especialmente importante en la consideración de las vibraciones verticales. Seguidamente hacemos
un breve análisis de los rangos de frecuencia que deben evitarse, no solo para las vibraciones
verticales, sino para las horizontales, ya sean transversales o longitudinales.
Los estudios de Matsumoto y Schulze, citado en la referencia 9, coinciden en que la frecuencia de
las personas que caminan normalmente esta entre 1.6 y 2.4 Hz, con una media de 2.0 Hz como se
indica en la figura 79. Estas frecuencias están entre 2.4 y 2.7 Hz para trote normal y pueden llegar a
5.0 Hz para personas corriendo.
FIGURA 79
Distribución de frecuencias para el caso de caminado normal
En la figura 89 se indica el desarrollo en el tiempo de la carga dinámica debida a ambos pies. Es
importante notar que las solicitaciones de ambos pies se traslapan y que se pueden tener igualmente
contribuciones en el segundo y tercer armónico.
Distribución
según
mediciones
Distribución Normal
Frecuencia
observada

8. 8
Ambos pies
FIGURA 89
Historia de la carga dinámica producida por ambos pies al caminar
Frecuencias verticales
De acuerdo con la distribución de frecuencias indicada en la figura 7, en un puente peatonal pueden
presentarse excesivas vibraciones verticales si su frecuencia fundamental está entre 1.6 y 2.4 Hz y
por esto debe evitarse que la frecuencia fundamental del puente y sus armónicos estén en este
rango. Ésta condición puede expresarse como:
fi
Hz4.2
Hz6.1


Es importante anotar que tal como se desprende en la figura 8, puentes sometidos a vibraciones con
una frecuencia dominante de 2 Hz, pueden tener contribuciones en el segundo armónico y por esto,
especialmente en puentes metálicos, debe evitarse el rango entre 3.5 y 4.5 Hz, condición que
podemos expresar de la siguiente manera:
fi
Hz5.4
Hz5.3


Si se respetan los rangos indicados para la frecuencia del puente ya que la frecuencia excitatriz no
puede modificarse, puede descartarse que se presenten problemas de vibraciones molestas para los
usuarios y dañinos para la estructura.
Carga/peso
Pie
derecho
Pie
Izquierdo

9. 9
Frecuencias horizontales transversales
Rara vez y solo en puentes muy flexibles transversalmente, debe evitarse el rango de frecuencias
entre 0.8 y 1.2 Hz y en estos puentes ocasionalmente es conveniente evitar también el rango de
frecuencias entre 2.6 y 3.4 Hz.
Frecuencias horizontales longitudinales
Igualmente, pueden encontrarse excepcionalmente puentes muy flexibles longitudinalmente en los
cuales debe evitarse el mismo rango de frecuencias entre 0.8 y 1.2 Hz. En estos puentes
ocasionalmente es conveniente evitar también el rango de frecuencia entre 1.6 y 2.4 Hz.
6. Conclusión
En la tabla 19 se resume el rango de frecuencias producidas por las personas al caminar, o correr.
TABLA 19
Frecuencias (fs), velocidades (vs) y longitudes del paso (ls) al caminar y correr
 Hzfs  s/mvs  mls
Caminar despacio ~ 1.7 1.1 0.60
Caminar normal ~ 2.0 1.5 0.75
Caminar rápido ~ 2.3 2.2 1.00
Trotar ~ 2.5 3.3 1.30
Correr > 3.2 5.5 1.75
Es claro por lo tanto que la frecuencia inferior limitante de 3.0Hz fijada por la AASHTO2 busca evitar
vibraciones molestas para los peatones y dañinos para la estructura en su modo fundamental. Sin
embargo, para puentes metálicos con poca rigidez y amortiguamiento pueden presentarse cargas
que exciten el segundo armónico, por lo cual en general, salvo casos excepcionales, parece
conveniente que la estructura tenga una frecuencia fundamental superior a 5.0 Hz, para evitar
problemas de vibraciones en el segundo y tercer armónico.

10. 10
REFERENCIAS
1. Hussey Matthew, “Fundamentals of Mechanical Vibrations”, Macmillan Publishing Company, 1983,
New York
2. “Guide Specifications For Design of Pedestrian Bridges”, Prepared by Subcommittee on Bridges and
Structures of the Standing Committee on Highways, Published by the American Association of State
Highway and Transportation Officials, August 1997, Washington Dc
3. Ministerio de Transporte - Instituto Nacional de Vías, “Código Colombiano de diseño Sísmico de
Puentes”, Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, 2005, Tercera Edición, Bogotá
4. Burton Ralph, “Vibration and Impact”, Dover Publication Inc., 1968, Primera Edicion, New York.
5. Gamow George; “Biografía de la Física”; Salvat Editores S.A. - Alianza Editorial S.A. 1971; España.
6. Szabó István, “Geschichte der mechanischen Prinzipien, Birkhäuser Verlag Basel Boston Stuttgart,
1987, Germany
7. Section 22; Zetlin Lev; “Suspension Roofs”, P.P. 22-1 – 22-16; Gaylord, Edwin H; Gaylord Charles N;
”Structural Engineering Handbook“; Edit. McGrae Hill Inc, USA 1968.
8. Gimsing; Niels J., “Cable Supported Bridges Concept and Design“; Second Edition; Edit. John Wiley
& Sons; USA 1998.
9. Bachmann Hugo, Ammann Walter, “Schwingungsprobleme bei Bauwerken“, Edit. Internationale
Vereinigung für Brückenbau und Hochbau; Tercera Edición 1987, Switzerland.
10. Kramer H., Kebe, H-W.; “Durch Menschen erzwungene Bauwerksschwingungen“; Bauingenieur,
Zeitschrift für das gesamte Bauwesen; Pag.195 - 199 (1979).
11. Müller, F.P., “Baudynamik”; Verlag Von Wilhelm Ernst & Sohn; 1978 Germany.
12. Bishop Richard E. D.; „Schwingungen in Natur und Technik“; Ed. B.G. Teubner Stuttgart, Germany
1985.
13. Mandelbrot Benoit; “Los objetos fractales“; Tusquets Editores S.A., España 2006.