Recomendados
Más contenido relacionado
Similar a 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico - copia.pdf
Similar a 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico - copia.pdf (20)
Último
Último (20)
11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico - copia.pdf
- 1. 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Lic. R. Choque Miercoles, Marzo 16 de 2022 Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 1 / 10
- 2. Leyes de Kepler del movimiento de los planetas θ F Fr Fθ ur uθ r M m ur = i cos θ + j sin θ uθ = −i sin θ + j cos θ dur dθ = uθ duθ dθ = −ur Vector posición ~ r = rur Vector velocidad v = d~ r dt = r · dur dθ dθ dt + ur dr dt = ruθ dθ dt + ur dr dt Vector aceleración a = dv dt = dr dt uθ dθ dt − rur dθ dt 2 + ruθ d2θ dt2 + uθ dθ dt dr dt + ur d2r dt2 = uθ 2 dr dt dθ dt + r d2θ dt2 + ur d2r dt2 − r dθ dt 2 ! Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 2 / 10
- 3. a = 2 dr dt dθ dt + r d2θ dt2 uθ + d2r dt2 − r dθ dt 2 ! ur de la segunda ley de Newton ma = F = Fθuθ + Fr ur Entonces 2 dr dt dθ dt + r d2θ dt2 = Fθ/m (1) d2r dt2 − r dθ dt 2 = Fr /m (2) Una fuerza F es central si Fθ = 0. Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 3 / 10
- 4. de la ecuación (1) 2 dr dt dθ dt + r d2θ dt2 = 0 multiplicando por r r2 d2θ dt2 + 2r dr dt dθ dt = 0 d dt r2 dθ dt = 0 r2 dθ dt = h (3) rdθ r dA r2 dθ = hdt dA = 1 2 hdt Integrando de t1 hasta t2, resulta A(t2) − A(t1) = 1 2 h(t2 − t1) que es la segunda ley de Kepler: El radio vector r del sol a un planeta barre áreas iguales en intervalos iguales de tiempo. Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 4 / 10
- 5. (Ley de gravitación universal, Newton) La fuerza central F = Fr ur + 0uθ donde Fr = −G Mm r2 = − km r2 es atractiva, es tal que lim r→∞ Fr = 0 y lim r→0 Fr = −∞. r M m Ello en (2) d2r dt2 − r dθ dt 2 = − k r2 (4) es una ecuación diferencial no lineal. De (3) r2 dθ dt = h en (4) d2r dt2 − h2 r3 = − k r2 Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 5 / 10
- 6. d2r dt2 − h2 r3 = − k r2 (5) Sea z = 1/r, entonces dr dt = d dt (1/z) = − 1 z2 dz dt = − 1 z2 dz dθ dθ dt = − 1 z2 dz dθ h r2 = −h dz dθ d2r dt2 = −h d dt ( dz dθ ) = −h d dθ ( dz dθ ) · dθ dt = −h d dθ ( dz dθ ) · h r2 = −h2 z2 d2z dθ2 insertando en (5) −h2 z2 d2z dθ2 − h2 z3 = −kz2 d2z dθ2 + z = k h2 es una ecuación lineal no homogénea en z = z(θ) Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 6 / 10
- 7. d2z dθ2 + z = k h2 ecuación caracterı́stica r2 + 1 = 0, zp = k h2 . z = A cos θ + B sin θ + k h2 (6) Inicialmente, escogemos el sistema de coordenadas con m cerca del origen, esto es r mı́nimo y θ = 0. Entonces z = 1/r es máximo, luego dz dθ (0) = 0. Ello en (6), es B = 0. Ası́ 1 r = A cos θ + k h2 . r = 1 A cos θ + k h2 = h2/k 1 + (Ah2/k) cos θ = h2/k 1 + e cos θ es una sección cónica (elipse, parábola o hiperbola). Esa sección cónica debe ser una elipse, que es la primera ley de Kepler: La órbita de cualquier planeta es una elipse con uno de sus focos en el sol. Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 7 / 10
- 8. El oscilador armónico θ ` 0 m x k m 0 • x −kx −kx x 0 Un oscilador armónico es un movimiento rectilı́neo de una partı́cula sujeta a una fuerza −kx atractora al origen. Por la segunda ley de Newton mx00 = −kx mx00 + kx = 0 llamado movimiento armónico simple. Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 8 / 10
- 9. Si hay una fuerza resistiva (proporcional a la velocidad) mx00 = −kx − µx0 mx00 + µx0 + kx = 0 denominado movimiento armónico amortiguado. Si además hay una fuerza F(t) actuando sobre la partı́cula mx00 = −kx − µx0 + F(t) mx00 + µx0 + kx = F(t) es un oscilador armónico amortiguado forzado. Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 9 / 10
- 10. Oscilador armónico simple x00 + ω2 x = 0 donde ω2 = k/m. La sulución general es x(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt Si la posición inicial es x0 = x(0) = c1 y su velocidad inicial, v0 = x0(0) = c2ω, entonces x(t) = x0 cos ωt + v0 ω sin ωt Podemos escribir en la forma x0 cos ωt + v0 ω sin ωt = A cos(ωt − φ) = A cos ωt · cos φ + A sin ωt · sin φ para todo t. En particular con t = 0, luego con t = π/2ω x0 = A cos φ, v0 ω = A sin φ x2 0 + (v0/ω)2 =A2 Lic. R. Choque 11 Aplicaciones a leyes de Kepler, oscilador armónico Miercoles, Marzo 16 de 2022 10 / 10