Movimiento Armónico Simple

Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico
Simple
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180

7) Movimiento Armónico
Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.
Movimiento ← Armónico: sen, cos
Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.
Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para
descripción de movimiento periódicos complejos.
7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.
i) Descripción Cinemática del MAS
τ:,, avr

Fenomenología del MAS
Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación esta
confinada para –A ≤ x ≤ A,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
µ=0
PE

x≡-A 0 x≡+A x
181

¿Cómo debería ser x (t) ≡?
→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +
Donde,
w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.
w = w{k,m}
A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.
c.i.:{x (0) ∧ v (0)}
Para la velocidad, { }cos
dx
v A t
dt
ω ω δ≡ ≡ +
→ ( ) { }cosv t Aw wt δ≡ +
Para la aceleración, { }2dv
a Aw sen wt
dt
δ= ≡ − +
→ ( ) { }2
a t Aw sen wt δ≡− +
Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento
circular uniforme (MCU).
La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando
un comportamiento cinemático idéntico al MAS.
ii) Descripción Dinámica del MAS

La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de
la posición, esto es,
( )F x cx=− , c: depende del sistema
Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma →
MAS.
F = FR = Fs → FRes = FR → 2da
ley, FR ≡ ma
a ≡ √ → v ≡ √ → x ≡ √
FR ≡ F = -k x ≡ m x
m x +kx ≡ 0
x +
k
x
m
≡ 0
x + w2
x ≡ 0,
2
w
m
k
=
→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +
k
w
m
¬ =
W: frecuencia angular →
2 1
( ) ( ) 2T periodo frecuencialineal
w T
π
ν ω πν→ →= = =
A,δ: c.i.
X: Posición
→ Elongación
A: Amplitud
δ: Desfasaje
F(x)
• x
-A 0 x A
183

7.2) Casos especiales de MAS
i) Sistema m-k
1)
1)
PE
m
k µ =0
184

3)
Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con
w2
= k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en
PE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.
PE
2) k
d
m PE’
PE
PE’
k
o
m
d o’
α
185

Las Ec
del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).
ii) Sistema l–g
wt ≡ w senθ
→ FRes ≡ wt ≡ -mg senθ
θ: pequeño→ senθ ∼θ
→ F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cx
FR,t ≡ mat
mg− mθ = lθ
2
0
g
l
g
w
l
θ θ+ ≡ ¬ =
→ θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ,
g
w
l
≡
k
m
  
 
  
. δ : desfasaje
O O
g
t
g θ
l
wt θ
PE w

n
PE
θ: describe la posición
186

Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,
→ ( ) { }ms t s sen wt δ≡ + ; m s ms A lθ≡ = ,
g
w
l
≡
iii) Péndulo Físico
Es un CR pendular,
w
r
produce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE,
τ ≡ - r w senθ, w ≡ mg
θ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θ
rw Iθ θ⇒ − ≡ &&← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),
CR
0
PE
0 r
r
C
θ
PE w
r
187

⇒ 0
dmg
I
θ θ
 
+ = 
 
&& , 2 dmg
w
I
=
→θ (t) ≡ θm sen {wt + δ}
2
2
dmg I
w T T
I w dmg
π
π≡ → = → =
iv) Péndulo de Torsión
A
0 0
P θ
P
PE PE
188

Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un
torque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que:
τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ
↑
k: constante de torsión (de la varilla)
Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx}
Res kτ τ θ≡ ≡ −
,Reext s Iτ τ α= ≡ ← O: punto fijo.
Res k Iτ τ θ θ≡ ≡ − ≡ &&
→ 0
k
I
θ θ+ ≡&& ; var , 0:disco
illaI I punto fijoξ =≡
→θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ←
k
w
I
= , 2
I
T
k
π=
7.3) Energía en el MAS
i) Energía Cinética, Ek
21
:
2
km E mv=
Si x(t) ≡ A sen {wt + δ}
v(t) ≡ x& (t) ≡ Aw cos{wt + δ}
{ }2 2 21
cos
2
kE mA w wt δ= +

ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el
2
,
1
2
p elE kx≡ ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE
{ }2 2
,
1
2
p elE kA sen wt δ≡ +
iii) Energía Mecánica, EM
EM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS,
{ } { }2 2 2 2 21 1
cos
2 2
ME mA w wt kA sen wtδ δ≡ + + + ←mw2
= k
21
2
mE kA≡ ← En particular sistema m–k
Gráficos:
i) Ek
Ek
21
2
kA
0 T t
190

ii) Ep
¿?
21
2
kA Ek
-A 0 +A x
Ep
0 T t
Ep
x
0
191

¿?
Observaciones:
En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional,
la EM deberá considerarse,
EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PE
EM ≡ Ek + Ep,el ← PE’
7.4) Oscilaciones amortiguadas
Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad,
esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto
se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos
como aire, agua, aceites, etc.
f: fuerza de fricción
f ≡ a + bv + cv2
+ …
0
x
192

≡ f (v)
Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,
{ {R
resorte medio
F kx bv mx≡ − − ≡ &&
0
k b
x x x
m m
+ + ≡→ && & ← MAA
Comparaciones: { }2
0x w x+ ≡&& ← MAS
m – k :
k
w
m
=
l – g : w
l
δ
=
PF :
mgd
w
I
=
PT :
k
w
I
=

1) Caso de interés: wb < wr
( ) { }2
cos
b
t
m
x t Ae wt φ
−
≡ + Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)
A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial
2
2
k b
w
m m
 
≡ −  
 
: Frecuencia de oscilación
La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la
oscilación dada por el factor exponencial.
r
k
w
m
≡ → w del resorte,
2
b
b
w
m
≡ → “w” del medio
X
A 2
b
t
m
e
−
0 t
194

2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado,
3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,
x
t
x
t
195

S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k = 180
N/m y m = 0,310 kg,
a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?
b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil.
c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud
de 0,5 m.
SOLUCION:
λ = 0, 11 kg/s (=b) MAA
k = 180 N/m
m= 0, 31 kg
Oscilador armónico amortiguado
Wb < w0 ≡ wk
Oscilador críticamente amortiguado
Wb ≡ w0
Oscilador sobreamortiguado
Wb > w0
( ) ( )2
cos
b
t
m
x t Ae tω φ
−
→ = + en donde
2
2
k b
m m
ω
 
= − ÷
 
a)
2
b
b
w
m
→ =
0,11
2 2 0,31
b
b
w w
m
λ
λ≡
→ = ≡ =
×
0,11
2 2 0,31
b
b
w w
m
λ
λ≡
→ = ≡ =
×
∼0,18; 0
180
0
24
1
,
,3
1k
k
w w
m
→ = = = =
→ wb < w0 ≡ wk :MAA
b) 0 ; ?
2
b
b k
w w b
m m
→ = → ≡ ≡
2 2 180 0,31b kmλ→ ≡ ≡ ≡ × ∼2 55,8 ∼15

c) ( ) { }2
cos
b
t
m
x t Ae wt φ
−
≡ +
x(0) = 0,5
( ) { }
0,11
2 0,31
0,5 cos 581 0,03
t
x t e t
−
×
≡ −
X
A 2
b
t
m
e
−
0 t
197

S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En
t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:
a) El desplazamiento en función del tiempo.
b) La velocidad cuando x = +A/2.
c) La aceleración cuando x = + A/2.
d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s?
SOLUCIÓN:
200 200
10
2 2
k
w
k
m m
= 
= =
=
=

( )
( )
0 0,05
. .
0 0
x m
c i
v
= +

=
a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05
v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0
De la última Ec
φ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05
→ x(t) = 0,05 sen (10t + π/2)
→ v(t) = 0,5 cos (10t + π/2)
Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π/2: satisface las ci y lo
que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v.
¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π/2?
b) Recordando la relación v-x
2 2
1
x v
A Aw
   
+ = ÷  ÷
   

{ }
2 2
2
0,5
1
3 3
0,5 4
3
44
A v
A Aw
v
v mv x−
   
+ = ÷  ÷
   
 
= −→ = → = ± → → ÷
 
c) Recordando la relación a-x
2
a w x= −
{ }2 0,05
10
2
2,5aa m x
 
= − → → −
 
= −÷
d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=?
15
t
π
= ←
2 2
5
T
w w
π π π
= = = → F (+)! veamos
FR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5
S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia
angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja
de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador)
conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La
caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la
partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula?
(Elija la dirección hacia arriba como positiva).
SOLUCIÓN:

Nos proporcionan directamente la 2w ≡ , las condiciones iniciales son,
0: (0) 0 (0) 1,5t x v≡ ≡ ∧ ≡ −
Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),
( ) { }
( ) { }cos
x t A sen wt
v t Aw wt
δ
δ
≡ +
≡ +
a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular
para t=0,
( ){ }
( )
2
2 0
0
v
A x
w
 
≡ +  
 
Reemplazando datos, { }
2
2 1,5
0 0,75
2
A
− 
≡ + ≡ 
 
0,75A ≡
b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),
g
k
v(0)
m
t =0 X
x(0)=0 v(0)v(0)
200

( ) { }
( ) { }
0,75 2
1,5 cos 2
x t sen t
v t t
δ
δ
≡ +
≡ +
Para t=0 y vecindades,
( ) ( ){ } { }
( ) ( ){ } { }
0 0,75 2 0 0,75
0 1,5 cos 2 0 1,5 cos
x sen sen
v
δ δ
δ δ
≡ + ≡
≡ + ≡
Para satisfacer x(0)=0, 0δ ≡ ,π , el valor correcto es δ π≡ , con lo cual las
ecuaciones quedan,
( ) { } { }
( ) { } { }
0,75 2 0,75
1,5 cos 2 1,5 cos 2
2x t sen t sen t
v t t tπ
π
≡ −
≡ −
≡
≡ +
+
S6P4) En el sistema mostrado en la figura
Obtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de
tiempo t.
Si: X = A cos (w0 t + φ)
g: aceleración de la gravedad
SOLUCION:
g
k
+
X = 0 m
-
201

En :PE mg kd′ ≡
Desde 0: 'x d x≡ +
{ }'RF mg kx mg k d x≡ − ≡ − +
0 ' ' 'kx kx kx mx mxmg kd≡ − ≡ − ≡− − ≡ ≡&& &&
' ' 0
k
x x
m
+→ ≡&&
Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia
k
w
m
≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es 'RF kx≡ − , cuando se
escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,
como la 'RF kx≡ − , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada
una energía potencial elástica, por lo tanto,
M K peE E E≡ +
PE
0
d
PE’
0’ x
x’
X, X’
202

S6P32)
Una placa P hace un movimiento armónico simple
horizontal sobre una superficie sin fricción con una
frecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la
placa, como se muestra en la figura adjunta y el
coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa
es µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación
que puede tener el sistema sin que resbale el bloque
sobre la placa?
SOLUCIÓN:
( )
( )
( ),2 2
, ,: RES MAX
MAX MAS RES MAX
F
M m a A F M m A
M m
ω ω+ ≡ ≡ → ≡ +
+1442443
: SR
M
fF
M a
M M
−
≡ ≡ RES,MAXF
→ ,
SR
M MAX
mgF
a
M M
µ−
≡ ≡ RES,MAXF
DCL (M):
De las ecuaciones anteriores,
µs
B
k
P
a
m
Fres
M
0
a
fS,M ≡ µs mg
FRES
FR ≡ FRES -µs mg
203

2 RES S SF mg k mg
M M
µ µ
ω
− −
→ ≡ ≡ MAX
MAX
A
A ←
2
k =ω( M+m )
( )2 2
sM M m mgω ω µ→ ≡ + −MAX MAXA A
s mµ→ 2
g mω≡
( )2 2
0,6 10
2 1,5
s
MAX
g x
x
A
ω π
µ
→ ≡≡MAXA → 2
6
9
MAXA
π
≡
Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleración
máxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m.
Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de M
respecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)
S6P6)
En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para
pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda
sin deslizar, considere, M≡ masa del disco,
R ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte.
SOLUCIÓN:
x pequeño → MAS , w0 = ?
x = s = Rθ
P’
// CM : τ = I α
( ) [ ]
23
2
2 2 21 3
2 2
MR
kx R MR MR MR k R Rτ θ θ θ
 
= − = + = = − 
 
6447448
&& &&
k
R
M
t
M
k
0 FR
P
0 o’
204

0
2
0
3
2
3
kk
M
w
M
θ θ→ + ≡ =⇒&&
S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le
da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo
de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que
el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k.
Si el cilindro se gira un ángulo θ y se suelta, determine la frecuencia
natural del sistema.
SOLUCION:
k
r
θ
205

α) De la dinamica rotacional,
:O Okxr Tr Iτ α− ≡ −
Por la “rodadura”: x rθ≡
2
2
2
...1
mr
kr Tr W mgθ θ− ≡ − ¬ ≡&&
De la dinámica traslacional,
( )RF T kx W m x≡ − − + ≡ &&
Usando nuevamente la rodadura, T kr W mrθ θ− − + ≡ &&
2 2
...: 2xr Tr kr Wr mrθ θ− − + ≡ &&
De 1 y 2,
3
2
2
...3kr W mrθ θ− + ≡ &&
, 2 2Haciendo kr W krµ θ µ θ≡ − + → ≡ − &&&&
3
2
m rµ→ ≡
2k r
µ
× −
&& 4 4
3
0
3
k
m
kg
w
W
µ µ
 
→ + ≡ →÷ ≡
 
&&
P
x
P
0 O
T kx
x O’
X θ w
P’
P
206
{ }0)0 0 //β ′ ′

( ) ( ) ( ) 2
0'
3
: 2
2
kx r W r mrτ θ
 
− ≡ − 
 
&& 1)
De la rodadura: x rθ≡ 2)
2) → 1):
2
2kr W rθ − 23
2
mr≡ − θ&& 3)
Sea
3
2 2
2
kr W kr m rµ θ µ θ µ≡ − → ≡ → ≡ −&&&&
2k r
µ
×
&& 4
0
3
k
m
µ µ→ + ≡&&
4
3
kg
w
W
≡

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