Ángulos y sus generalidades, clasificación de ángulos

1. UNIDAD 1: Estudio general de los ángulos
ELEMENTOS DE UN ÁNGULO
a. Lado Inicial (li): Corresponde a la posición inicial de la semirrecta.
b. Lado Final (lf): Corresponde a la posición final de la semirrecta.
c. Vértice: Punto de rotación de la semirrecta.
d. Amplitud: corresponde a la abertura generada por la rotación de la semirrecta.
NOTACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Para denotar los ángulos utilizamos letras de nuestro alfabeto y también empleamos letras del alfabeto griego como
son:
Tarea: Consultar y escribir en su cuaderno el alfabeto griego.
Formas de nombrar un ángulo:
Clasificación de los ángulos
Los ángulos se clasifican en:
1. Ángulos según su medida.
2. Ángulos según la suma de sus medidas.
3. Ángulos según su sentido de rotación.
4. Ángulos según su posición en el plano cartesiano.
1. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA.
Los ángulos según su medida se clasifican en:
2. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS.
Los ángulos según la suma de sus medidas se clasifican en:
Ángulos Complementarios
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es
igual a 90°
Ángulos Suplementarios
Dos ángulos son Suplementarios cuando la suma de sus medidas es igual
a 180°
Nulo De Giro
Mide 0° Mide 360°
B
C
A
LADO INICIAL
Amplitud
Vértice
Amplitud
Vértice B
C
A
Semirrecta 1
2Semirrecta
ÁNGULO:
Espacio comprendido por la unión de
dos semirrectas que tienen el mismo
punto extremo en común.
Abertura generada por la rotación de
una semirrecta alrededor de su
extremo, desde una posición inicial
hasta una posición final
(Definición geométrica)
(Definición trigonométrica)
πψφ
λθβα
::::
::::
piOmegaPsiFi
LambdaThetaBetaAlfa
Ω
2. Con una letra griega en el
interior del ángulo
1. Con una letra mayúscula en el
vértice
3. Utilizando tres letras
mayúsculas
A ∧
∠ AóA
α
∧
∠ αα ó
B
ABCóCBA
∧∧
∠∠
A
C
0
360
0
0
AdelocomplementelesBEl
óBdelocomplementelesAEl
BA
∠∠
∠∠
°=∠+∠ 90
AdelSuplementoelesBEl
óBdelSuplementoelesAEl
BA
∠∠
∠∠
°=∠+∠ 180
A
B A B

2. 3. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU SENTIDO DE ROTACIÓN:
Los ángulos según su sentido de rotación se clasifican en:
- Ángulos positivos y ángulos negativos
Ángulos Positivos Ángulos Negativos
Un ángulo es positivo cuando la rotación de su lado inicial hasta el lado final se
realiza en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
Un ángulo es negativo cuando la rotación de su lado inicial hasta el lado final
se realiza en el mismo sentido al movimiento de las manecillas del reloj.
4. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN EN EL PLANO CARTESIANO.
Los ángulos según su posición en el plano cartesiano se clasifican en:
a. Ángulos en posición normal ó estándar
b. Ángulos cuadrantales
c. Ángulos coterminales
a. Ángulos en posición normal ó estándar
Un ángulo se encuentra en posición normal dentro de un sistema de coordenadas cartesianas cuando su vértice coincide con el origen del plano y su
lado inicial se encuentra sobre el semieje positivo de las x.
Dependiendo de donde se encuentre el lado final del ángulo se puede clasificar como ángulo perteneciente al I, II, III Y IV Cuadrante
b. Ángulos cuadrantales
Un ángulo es cuadrantal cuando se encuentra en posición normal y su lado final coincide con cualquiera de los semiejes del plano cartesiano.
Ej: Todos los múltiplos de 90°
c. Ángulos coterminales:
Dos ó más ángulos son coterminales cuando se encuentran en posición normal y sus lados finales coinciden
0
90=α
il
fl
0
90−=θ
il
fl
0
390=φ il
fl
0
470−=λ
fl
il
°−=°= 275380Graficar:Ejercicio βα y
0
70−
il
fl
il
fl
0
35 il
fl
0
135
il
fl
0
220
II III IV
il
fl
0
90
0
360
fi ll =ilfl
0
180
il
fl
0
270−
θ
β
α
coincidenfinalesladossusy
normalposiciónenencuentranse
porquealeserSon
ángulosLos
,mincot
60
660420
780300





°=
°−=°=
°=°−=
θ
λβ
φα
vueltasvueltasvueltakDondekCot
negativosaleserángulosypositivosaleseránguloshallarDadoEj
3,2,1360
mincot2mincot260:
±±±=+=∠
°=
θ
θ
( )
( )
°=
°=
°+=
+=
°=
°=
+=
+
+
+
+
+
780
780
72060
236060
420
420
136060
φ
β
Cot
Cot
Cot
Cot
Cot
( )
( )
°−=
°−=
°−=
−+=
°−=
°−=
−=
−+=
−
−
−
−
−
−
660
660
72060
236060
300
300
36060
136060
λ
α
Cot
Cot
Cot
Cot
Cot
Cot

3. RESUMEN DEL ESTUDIO GENERAL DE LOS ÁNGULOS
TALLER EN CLASE: GENERALIDADES DE LOS ÁNGULOS
1. Para cada rotación encuentre la medida del ángulo y represéntelo en posición normal. Diga en que cuadrante se encuentra
a. 5/9 de rotación en el sentido de las manecillas del reloj
b. 11/18 de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj
2. Para cada uno de los siguientes ángulos diga en que cuadrante se encuentra el lado final de cada ángulo dado en
posición normal
a. -390°
b. -4920°
3. Encuentre la medida de dos ángulos: uno positivo y uno negativo, que sean coterminales a los ángulos dados.
δ
β
α











°−=
°=
°−=
°=
°−=
coincidenfinalesladossusy
normalposiciónenencuentranseporquealeserSon
ángulosLos
,mincot
820
620
460
260
100
λ
φ
δ
β
α
°−=
°=
80.
300.
θ
α
b
a
vueltasvueltasvueltakDondekCot
negativosaleserángulosypositivosaleseránguloshallarDadoEj
3,2,1360
mincot2mincot2100:
±±±=+=∠
°−=
α
α
( )
( )
°=
°=
°+−=
+−=
°=
°=
+−=
+
+
+
+
+
620
620
720100
2360100
260
260
1360100
φ
β
Cot
Cot
Cot
Cot
Cot
( )
( )
°−=
°−=
°−−=
−+−=
°−=
°−=
−−=
−+−=
−
−
−
−
−
−
820
820
720100
2360100
460
460
360100
1360100
λ
δ
Cot
Cot
Cot
Cot
Cot
Cot
ÁNGULOS
DEFINICIÓN
Rotación de una semirrecta alrededor de su extremo
Clasificación
Según su medida Según su sentido
de rotación
Según la suma de
Sus medidas
Según su posición en
el plano cartesiano
Nulo 0°
Agudo 0°-90°
Recto 90°
Llano 180°
Obtuso 90°-180°
Giro 360°
Complementario
Suplementario
Positivo
Negativo
En posición normal
Cuadrantal
Coterminal

4. 4. Encuentre el valor positivo más pequeño para un ángulo coterminal al ángulo °= 410α