Algrebra aplicada

1. Secretaria de la Marina
Armada de México
Centro de Estudios Superiores Navales
Especialidad: Análisis de Operaciones
Curso: Algebra aplicada
Agosto del 2021 “aún con covid 19”
Cuarta semana
Profesor : Dr Javier Fuentes Maya

2. Definición 3.22 (Punto de equilibrio). Un punto de equilibrio en
una ecuación en diferencia o diferencial es donde el cambio es
0.
Ejemplo 3.23. Considere la ecuación diferencial dy/dt = -1/2 (y-
4). Si establecemos el cambio igual a cero, entonces tenemos
que:
0 = -1/2 (yequil - 4) yequi = 4
El equilibrio está en y = 4. Además, si tenemos un valor de y un
poco menor que 4, vemos que dy/dt es positivo, por lo que y se
subirá. Además, si tenemos un valor de y que es un poco más
de 4, entonces dy/dt es negativo, por lo que y bajará (consulte la
Figura 3.3). Llamamos este tipo de punto de equilibrio estable
x Cx d

4. Example 3.24. Considere la ecuación diferencial dy/dt = ½(y-4). Si igualamos el
cambio igual a cero, entonces encontramos que:
0 = ½ ( y – 4 )
(ver figura 3 .4) =) Este equilibrio es
y equil = 4: El equilibrio esta en y = 4.
Ademas, ponemos un valor más
pequeño que cuatro, vemos que
de dy/dt es negative, así que y
es negativo y se dirige hacia
abajo. También, si tenemos que y
tiene un valor que es un poco
mayor qye 4, entonces dy/dt es
positivo y y se dirigirirá hacia
arriba ( ver figura 3.4) nosotros
llamarremos a esto tipo un punto
de equilibrio inestable.

5. Problema 3.25 Tarea. Encuentre y clasifique los puntos de equilibrio para
cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias o ecuaciones
diferenciales.
Problema 3.26. Tarea. Encuentre y clasifique el punto de equilibrio para el
modelado de ecuaciones en diferencias los tres problemas de nacimiento,
muerte e inmigración. (ver página 68-72 del libro de Sullivan en inglés)

6. 3.5 Método de Euler: soluciones numéricas para diferencial
Ecuaciones
Una de las formas más rápidas de obtener una solución aproximada a una
ecuación en diferencia o diferencia es utilizar tecnología. Ya ha utilizado
tecnología como MS Excel para construir soluciones numéricas para
ecuaciones en diferencias, pero ¿qué pasa con las ecuaciones
diferenciales?
Veamos los dos en paralelo. Considere las ecuaciones en diferencias y las
diferenciales.
Ecuación en diferencia : an+1 – an = -0.5y + 0.1 y (3.2)
Ecuación diferencial: dy/dx = -0.5y + 0.1 (3.3)
Podemos convertir la ecuación diferencial (3.3) en una ecuación en
diferencias recordando de Cálculo que:

7. Tomando ∆𝑦 = 𝑦 𝑛 + 1 – yn , nosotros llegamos a una forma aproximada
de la ecuación diferencial (3.3)
(yn+1 – yn )/ Δt ≈ −0.5𝑦𝑛 + 0.1 (3.4)
En 3.4 , nosotros podemos re-arreglarlo algebraicamente para obtener
𝑦𝑛+1 ≈ 𝑦𝑛 + ∆𝑡(−0.5𝑦𝑛 + 0.1) (3.5)
Todo lo que hemos hecho en este punto es aproximar a la derivada dy/dt
Problema 3.27. En MS Excel vamos a resolver la ecuación en diferencias
(3.2) junto la ecuación diferencial (3.3). Para ambos usaremos la
condición inicial a0 = y (0) = 1
Observe que estas dos ecuaciones modelan el mismo comportamiento
con la diferencia de que los modelos de ecuaciones en diferencia en
tiempo discreto y los modelos de ecuaciones diferenciales en tiempo
continuo.

8. (a) En MS Excel, etiquete la columna A “Tiempo discreto” y etiquete la columna B
“Ecuación de diferencia”. Complete los tiempos comenzando en 0 y aumentando en
1 en la columna A. Ponga la condición inicial en la celda B2 y construya la ecuación
de diferencia comenzando en la celda B3. Ver el lado a la izquierda de la Tabla 3.1.
(b) En la misma hoja de cálculo de Excel, etiquete la columna D "Tiempo continuo" y
la columna de etiqueta E “Ecuación diferencial”. Ingrese "0" para el tiempo inicial y
con un intervalo de tiempo progresivo, y complete en la columna D con los tiempos
que progresan en ese intervalo de tiempo. Pon la condición inicial en la celda E2 y
construya la aproximación a la ecuación diferencial (3.5) comenzando en la celda
E3. Consulte el lado derecho de la Tabla 3.1.
(c) Llene ambas soluciones numéricas de modo que terminen al mismo tiempo (el
tiempo continuo obviamente, el modelo será 10 veces más largo si usa ∆t = 0.1).
(d) Haga una gráfica que muestre ambas soluciones una encima de la otra.

9. Debería haber notado en el problema anterior que las soluciones a la ecuación
en diferencia y las ecuaciones diferenciales son ligeramente diferentes entre sí.
Esto no es ninguna sorpresa ya que estamos tomando pasos de tiempo de "1"
en la ecuación de diferencia y estamos tomando tiempos mucho más fino en la
ecuación diferencial. tome en cuenta además que la única forma de hacer una
aproximación más detallada de la ecuación diferencial y que retrata con mayor
precisión la dinámica real de la ecuación diferencial necesitaríamos tomar
∆𝑡 → 0. Hacerlo es claramente inviable en una computadora ya que
necesitaríamos una memoria infinita para hacerlo. Nos conformamos, en
cambio, con tomar ∆t sea pequeño (0.1 o 0.01 o menor).

10. Definición 3.28 (Método de Euler). Para aproximar numéricamente las soluciones a
la ecuación diferencial
Nosotros aproximamos la derivación como:
Y usamos la ecuación en diferencia como:
Y construimos una solución aproximada.

11. Recuerde que la única opción razonable para t es hacerlo muy
pequeño. El intercambio para elegir ∆ t pequeño es que se
necesitará más memoria de computadora para aproximar el
problema.
Una forma de pensar en el método de Euler es que en un punto
dado, la pendiente se aproxima por el valor del lado derecho de la
ecuación diferencial y luego damos un paso adelante ∆t unidades
en el tiempo siguiendo esa pendiente. La figura 3.5 muestra una
descripción de la idea. Note que en la figura que en regiones de
alta curvatura el método de Euler sobrepasará la solución exacta a
la ecuación diferencial. Sin embargo, tomar ∆t→ 0 teóricamente da
la solución exacta con el compromiso de necesitar recursos
computacionales infinitos.

13. En la Figura 3.6 vemos una descripción gráfica de cómo funciona el método de
Euler sobre la ecuación diferencial y´= y con ∆t = 1 y y (0) = 1. La solución
exacta de la ecuación diferencial es y (t) = et y en t = 1 la solución es
y (1) = e1 ≈2: 718 y se muestra en rojo en la figura. Podemos ver que para
tamaños de grandes intervalos, el método de Euler perderá drásticamente la
verdadera dinámica de la ecuación diferencial. En Excel, el proceso de
construcción de un solucionador de Euler es relativamente simple. En MATLAB
se necesita un poco más de trabajo la primera vez, pero confía en mí, ¡el
trabajo dará sus frutos a la larga!
Piense detenidamente en los recursos informáticos necesarios para capturar
realmente la dinámica. de una ecuación diferencial con el método de Euler:
intervalos muy muy pequeños y mucha memoria de computadora. En Excel,
esto significa muchos arrastres con el mouse, lo cual es lento, al cubo y
molesto. construyamos el mismo problema en Matlab.

14. x Cx d

15. Problema 3.29 (Método de Euler en Matlab. Abra Matlab y cree un nuevo
texto. El código que se proporciona a continuación establece y traza la
solución numérica del problema.
dy/dt = -0.5y + 0.1
Explique qué hace cada línea de código usando comentarios. Es probable
que algunas de las líneas de código son nuevas para ti, así que te sugiero
que uses el comando de ayuda o que hagas algunos experimentos básicos.

16. Problema 3.30. Experimente con diferentes valores de ∆t en su código
MATLAB. espero que se da cuenta de que este código ahora es MUCHO más
flexible que usar Excel, aunque se necesita un poco más de razonamiento
para configurar al principio.
Problema 3.31. Modifique el código MATLAB del método de Euler para obtener
una solución aproximada a la ecuación diferencial
y´= -y * (1-y/5) + 0.1t donde y(0) = 2
Problema 3.32. Modifique el código MATLAB del método de Euler para obtener
una solución aproximada a la ecuación diferencial para varias condiciones
iniciales diferentes. Guarde su parcela en un lugar apropiado con las
etiquetas y título.
Problema 3.33. Resuelva los dos problemas siguientes con MATLAB. Para la
ecuación de diferencias su código debe ser absolutamente idéntico al del
método de Euler con la excepción que t = 1. Coloque las gráficas una encima
de la otra para que pueda ver fácilmente las diferencias y similitudes.

29. https://www.youtube.com/watch?v=MPMdN_MvBMU Ver este video, por favor¡¡¡¡
https://www.youtube.com/watch?v=IsxVf_rX87U también este por favor¡¡¡
https://www.youtube.com/watch?v=xx6fBzYJi1E y este último también¡¡¡¡