AUTOR: ERNESTO MENDOZA

1. EDITORIAL

2. Índice
1- INTRODUCCION……………………………………………………........Pag. 1
2- INTRODUCCION AL ANALISIS
NUMERICO……………………….……………………………………………….Pag. 2
2.1- ALGUNOS CONCEPTOS………………………………………..………Pag. 5
2.2-DEFINICION……………………………………………..………………....Pag. 6
2.3- ORIGEN…………………………………………………………………......Pag. 7
2.4- METODOS NUMERICOS………………..…………………………..Pag. 11
2.5-TIPOS DE METODOS……………….….………………………………Pag. 13
3- LA INTERPOLACION……………………………………………………..Pag. 14
4- DIFERENCIACION NUMERICA………………………….…………..Pag. 16
4.1- CONOCIENDO UN POCO DE HISTORIA……………………..Pag. 19

3. Introducción
Los métodos numéricos son
procedimientos lógicos que se realizan a
partir de los problemas planteados
matemáticamente y de manera
aritmética. Estos métodos son
herramientas poderosas que se usan en
la formulación de problemas complejos
que requieren un conocimiento básico
en matemáticas e ingeniería.
Si conocemos bien los métodos
numéricos podemos diseñar programas
propios y así no comprar el software
costoso.
Las soluciones que ofrecen los métodos
numéricos son aproximaciones de los
valores reales y, por tanto se tendrá un
cierto grado de error que se tiene que
determinar.
Los errores numéricos se generan con el
uso de aproximaciones para representar
las operaciones y cantidades
matemáticas. Esto incluye errores de
truncamiento que resultan de
representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto, y los
errores de redondeo, que resultan de
presentar aproximadamente números
exactos.
DEFINICION:
El análisis numérico o cálculo
numérico es la rama de
las matemáticas encargada de
diseñar algoritmos para, a través
de números y reglas
matemáticas simples, simular
procesos matemáticos más
complejos aplicados a procesos
del mundo real.
El análisis numérico cobra
especial importancia con la
llegada de los ordenadores.
Los ordenadores son útiles para
cálculos matemáticos
extremadamente complejos,
pero en última instancia operan
con números
binarios y operaciones
matemáticas simples.

4. Introducción al
Análisis Numérico
Las Matemáticas, la ciencia
más antigua, constituyendo
un edificio doctrinal cuyo
potencial aumenta día a día.
Aunque la esencia de las
Matemáticas es abstracta,
es un hecho que las
Matemáticas han sido
concebidas en el esfuerzo
del ser humano para
entender la Naturaleza (y
actuar sobre ella) y que son
de importancia capital para
la sociedad moderna.
Es importante destacar, la
relación de las Matemáticas
con las Ciencias y las
Tecnologías es hoy en día un
camino de ida y vuelta. En
realidad, la historia de las
Matemáticas muestra que
esto ha sido siempre así.
A esto podemos añadir que
una de las disciplinas más
relevantes fruto de esta
interacción es la del Análisis
Numérico a la que
dedicaremos este ciclo de
conferencias. El Análisis
Numérico es sin duda uno
de los legados más
importantes de las
Matemáticas del Siglo XX en
el que la irrupción y
posterior desarrollo de las
computadoras hizo
necesario traducir las
Matemáticas a un lenguaje
comprensible para la
máquina a la vez que ésta
hacía posible el sueño de
realizar cálculos que en
volumen y complejidad
escapaban al ser humano.

5. Esta disciplina, surgida en
sus inicios como bifurcación
del Análisis Matemático es
hoy en día una de las más
vigorosas y versátiles de las
Matemáticas.
De este modo, se podría
deducirse que la disciplina
del Análisis Numérico data
de hace medio siglo. Pero
un análisis un poco más
detallado de la historia de
las Matemáticas indica que
cuando los grandes
científicos de la época (siglo
XVIII esencialmente)
desarrollaban el programa
de Newton y establecían los
principios y herramientas
fundamentales del Análisis y
del Cálculo Diferencial,
estaban ya estableciendo los
cimientos del Análisis
Numérico. Esto fue primero
con el objeto de construir el
complejo edificio del Cálculo
Diferencial a partir de la más
simple aritmética, para
después, ya en siglo XX,
deshacer ese camino
traduciendo las
Matemáticas al lenguaje del
ordenador.
En concordancia, en el
ámbito del área de
ingeniería, se busca dar
soluciones exactas a un
determinado problema,
mediante la aplicación de
métodos numéricos, dando
con ellos una aproximación
pero con la precisión
requerida, o sea, con un
error lo suficientemente
pequeño y próximo a cero,
de ahí la utilidad de los
métodos numéricos.
De ahí que, se considera
importante el tiempo
empleado en obtener la
solución y en esto ha
jugado un papel importante
el enorme desarrollo de la
tecnología computarizada,
ya que la enorme velocidad
actual de los medios
computarizados de
cómputo ha reducido
considerablemente el
tiempo de obtención de la
solución, lo que ha
motivado la popularidad, el
enorme uso y aceptación
que hoy tienen los métodos
numéricos. Sumémosle a
ello que las computadoras
son capaces de dar solución
con la precisión requerida.

6. Es por ello, que el desarrollo
del Análisis numérico como
disciplina con entidad
propia ha ido
indisolublemente ligado a la
vertiginosa evolución que
los ordenadores han
experimentado desde su
aparición en la década de
los años cuarenta. No en
vano, los ordenadores son
herramientas
imprescindibles para aplicar
con eficacia la inmensa
mayoría de los métodos que
el Análisis numérico
propone, dado el
considerable volumen de
cálculos y manipulaciones
de datos que suelen llevar
aparejados.
Por consiguiente, los
problemas que trata el
Análisis numérico se pueden
clasificar en dos grandes
grupos, según tengan
naturaleza numérica (o
finito–dimensional) o
naturaleza funcional (o
infinito–dimensional).
Pertenecen al primer grupo
los problemas relativos a la
resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, cálculo
de valores y vectores
propios, y resolución de
ecuaciones y sistemas de
ecuaciones no lineales. Son
del segundo tipo, por el
contrario, los problemas de
interpolación y aproximación
de funciones, la derivación e
integración numérica, los
problemas de valor inicial y
de contorno para ecuaciones
diferenciales ordinarias, y los
problemas de contorno para
ecuaciones en derivadas
parciales.

7. Algunos Conceptos
Problema numérico: Descripción
precisa de la relación funcional entre
un conjunto finito de datos de entrada
y un conjunto finito de datos de
salida.
Algoritmo: secuencia ordenada y
finita de pasos, excenta de
ambigüedades, que seguidas en su
orden lógico nos conduce a la solución
de un problema específico
Método numérico: Procedimiento
para transformar un problema
matemático en numérico y resolver
este último
El análisis numérico se utiliza
generalmente cuando no se puede
resolver el problema matemático, es
decir hallar una relación funcional
entre el conjunto de entrada y el de
salida. Los pasos a seguir son:
1. Estudio teórico del problema:
existencia y unicidad de la solución.
2. Aproximación: Crear una solución
para un número finito de valores:
Existencia y unicidad.
Estabilidad y convergencia
3. Resolución: Elección de un
algoritmo numérico
Elección del algoritmo: Costo y
estabilidad
Codificación del algoritmo
Ejecución del programa

8. Definición
El Análisis Numérico es la rama de
las matemáticas que se encarga de
diseñar algoritmos para, a través de
números y reglas matemáticas
simples, simular procesos
matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo
real.
Análisis Numérico, es definido por
Henrici (citado por Álvarez y
Martínez, 2004) como “la disciplina
que se ocupa de la descripción y
análisis de los algoritmos numéricos
para la obtención de la solución de
un problema matemático, en el que
intervienen números, ya sea de
manera exacta o aproximada” (p. 3)
De ahí que, con ésta técnica es
posible formular problemas de tal
forma que puedan resolverse
usando operaciones aritméticas, es
por ello que la computación es una
herramienta que nos facilita el uso y
desarrollo de ellos

9. Origen
Debido a la estrecha
relación existente entre las
diferentes ramas de la
Ciencia (y en particular de
las Matemáticas), no es fácil
determinar dónde acaba
una y empieza otra. Por ello
la extensión exacta del
Análisis Numérico no es
conocida. De hecho, el
concepto de Análisis
Numérico no fue creado
hasta 1947 en que se fundó
el Instituto de Análisis
Numérico en la Universidad
de California. Sin embargo,
el nombre parece estar
asociado a aquellos temas
que requieran unos
procesamientos de datos.
Como la extensión de estos
temas es considerable
(puede ir, por ejemplo,
desde la interpretación de
datos médicos hasta la
reserva automática de
plazas de avión o gestión de
una biblioteca), nos
limitaremos a ciertos
aspectos matemáticos de la
idea.
Al principio, la mayor
parte del trabajo que se
efectuaba en el campo de
las Matemáticas,
inspirado por cuestiones y
problemas concretos, se
basaba en métodos
constructivos para
determinar la solución
(predicciones sobre
eclipses, aparición de un
cometa, etc...).
El punto culminante de la
utilización de los
algoritmos está en Euler
(1707-1783), que en los
70 volúmenes que
comprenden sus trabajos
incluye gran número de
algoritmos y fórmulas. Los
algoritmos infinitos que
presenta, aparecen,
normalmente, como
desarrollos en serie.

10. Posteriormente, la
perfección de los
conocimientos
matemáticos y la
generalización de los
problemas hacen que se
sustituyan los
razonamientos
constructivos por otros de
Tipo lógico. Así, interesa
más determinar si existe la
solución a un determinado
problema, que calcularlo de
forma efectiva. Este
proceso sigue hasta
aproximadamente el año
1950.
La razón del proceso de
abstracción era que los
algoritmos para el cálculo
de las soluciones de los
problemas eran, aunque
finitos, irrealizables por la
gran cantidad de cálculos
que exigían. A partir de la
segunda mitad del siglo XX,
la aparición de las
computadoras libera al
algoritmo de la pesadez del
cálculo, lo que supone un
nuevo auge para los
métodos constructivos.
Podríamos decir que si
desde la antigüedad hasta
1945 la velocidad de cálculo
se había multiplicado por
10 mediante rudimentarios
artefactos (como el ábaco),
desde entonces hasta ahora
se ha multiplicado por un
millón o más. Esto supone
que 1 hora de trabajo de
ordenador equivale a 200
años de trabajo de una
persona, lo que permite
realizar tareas inalcanzables
en otros tiempos. Esto no
significa que todos los
algoritmos puedan ser
tratados por un ordenador,
pues algunos exigen más de
100 años de trabajo del
ordenador actual más
potente para poder ser
llevados a cabo.

11. Como la eficiencia de un
método depende de su
facilidad de
implementación, la
elección del método
apropiado para aproximar
la solución de un
problema está
influenciada
significativamente por los
cambios tecnológicos en
calculadoras y
computadoras. El factor
limitante en la actualidad
es generalmente la
capacidad de
almacenamiento de la
computadora, a pesar de
que el costo asociado con
los tiempos de cómputo
es, desde luego, también
un factor importante
Características
Suministra métodos
efectivos a fin de resolver
problemas.
Es un instrumento
esencial en los estudios
numéricos actuales.
Se consiguen soluciones
de modelos matemáticos
que representan
situaciones reales
concretas.
Aplicaciones
El análisis numéricos se
pueden utilizar en muy
diversos campos de la
Ingeniería, la Mecánica, la
Técnica, la Física y su
desarrollo está
íntimamente ligado al de
los ordenadores y medios
informáticos en general.

12. Ejemplo de aplicaciones
Grau y Loguera (2001) establecen los
siguientes ejemplos para las aplicaciones
de análisis numéricos:
Astrodinámica: cálculo de trayectoria de
satélites.
La mecánica celeste: estudio del
movimiento de los astros considerando las
perturbaciones creadas por sus vecinos.
Astrofísica: modelado de la evolución de
las estrellas.
Ingeniería Civil: estudio de las
características estructurales de grandes
construcciones (edificios, puentes, presas,
entre otras).
Biología: dinámica de poblaciones, flujo de
la sangre en el cuerpo humano.
Mecánica de fluidos: simulación del flujo
de aire alrededor de una nave y las
correspondientes presiones sobre la
estructura. Dispersión de contaminantes
en diferentes medios.

13. Métodos Numéricos
Los métodos numéricos son
técnicas mediante las cuales
es posible formular
problemas matemáticos de
tal forma que puedan
resolverse usando
operaciones aritméticas.
De este modo, los métodos
numéricos vuelven aptos a los
individuos para entender
esquemas numéricos a fin de
resolver problemas
matemáticos, de ingeniería y
científicos en una
computadora, reducir
esquemas numéricos básicos,
escribir programas y
resolverlos en una
computadora y usar
correctamente el software
existente para dichos
métodos y no solo aumenta
nuestra habilidad para el uso
de computadoras sino que
también amplia la pericia
matemática y la comprensi6n
de los principios científicos
básicos.
El análisis numérico trata
de diseñar métodos para
“aproximar” de una
manera eficiente las
soluciones de problemas
expresados
matemáticamente.
El objetivo principal del
análisis numérico es
encontrar soluciones
“aproximadas” a
problemas complejos
utilizando sólo las
operaciones más simples
de la aritmética. Se
requiere de una
secuencia de operaciones
algebraicas y lógicas que
producen la aproximación
al problema matemático.
Según Luthe (1980) los
métodos numéricos son
adecuados para la
solución de problemas
comunes de ingeniería,
ciencias y administración,
utilizando computadoras
electrónicas.

14. En el proceso de solución de problemas por medio de
computadoras se requieren los pasos siguientes.
- Especificación del problema. Con esto se indica que se debe
identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las
variables que intervienen y los resultados deseados.
- Análisis. Es la formulación de la solución del problema
denominada también algoritmo, de manera que se tenga una
serie de pasos que resuelvan el problema y que sean
susceptibles de ejecutarse en la computadora.
- Programación. Este paso consiste en traducir el método de
análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie
detallada de operaciones.
- Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para
eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo
que desea los resultados de prueba se comparan con
soluciones conocidas de problemas ya resueltos.
- Documentación. Consiste en preparar un instructivo del
programa de manera que cualquier persona pueda conocer y
utilizar el programa.
- Producción. Es la última etapa en la que solo se
proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las
soluciones correspondientes.
De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un
conocimiento completo del problema, y de los campos de las
matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto
de los métodos numéricos para computadora.

15. Tipos de Métodos
-Series de McLaurin / Taylor
(Seno).
- Métodos de Bisección, Falsa
Posición, Newton-Raphston
- Métodos de Gauss-Jordan,
Gauss-Seidel y Montante Pardo
- Interpolación de Newton
AUTOR DEL ARTICULO:
DANA MARCIALES

16. La Interpolación
En numerosos fenómenos de la
naturaleza observamos una
cierta regularidad en la forma
de producirse, esto nos
permite sacar conclusiones de
la marcha de un fenómeno en
situaciones que no hemos
medido directamente.
La interpolación consiste en
hallar un dato dentro de un
intervalo en el que conocemos
los valores en los extremos.
ANTECEDENTES DE LA
INTERPOLACIÓN
Algunos estudios hablan de
que, las interpolaciones fueron
propuestas por los astrónomos
para “predecir “o ubicar los
cuerpos celestes en el espacio.
Otros afirman que la historia
de la interpolación comienza
con los matemáticos
babilónicos y sus trabajos en
las tablas exponenciales que,
aunque presentan grandes
huecos, no dudaban en
interpolar linealmente o
proporcionalmente para
conseguir una aproximación
a sus valores intermedios.
El desarrollo de la
interpolación se entrelazó
con los primeros desarrollos
de las diferencias finitas,
empezando por la
cuadratura del círculo de
Wallis en 1655, con la que
propuso el principio de
“intercálculo” o
interpolación.

17. Esto fue aceptado por
Newton en 1676, lo cual le
permitió la derivación de las
series binómicas, es decir, a
partir de un problema de
cuadraturas, Newton pudo
obtener el teorema binomial.
Luego se continúa con la
construcción de fórmulas
prácticas de interpolación.
Aunque “la historia de las
fórmulas de interpolación es
complicada y muy discutida”
(Bell, 1995, p. 421), se le
puede considerar como un
potente estímulo en los siglos
XVII y XVIII para la evolución
independiente de las
operaciones fundamentales
de la teoría clásica de las
diferencias finitas, las cuales
se desarrollaron
principalmente para facilitar
cálculos numéricos en
astronomía, la creación de
tablas y la cuadratura
mecánica.
TIPOS Y MÉTODOS
Interpolación Lineal
Interpolación Polinómica
Polinomio Interpolante
De Gauss
Interpolación De Hermite
Interpolación Usando
Splines
Polinomio Interpolante
De Lagrange
AUTOR DEL ARTICULO:
DARCY BLANCO 22198208

18. Diferenciación
Numérica
Las fórmulas de diferenciación
numérica tienen su aplicación más
importante en la solución numérica
de ecuaciones diferenciales; y la
integración numérica es el proceso
del cual se genera un valor numérico
para la integración de una función
sobre un conjunto.
Polinomio Interpolante Newton
Gregory
Se dice que los datos estén
uniformemente espaciados sixi+1 −
xi = Δx es constante para i =1, 2, 3. ...
Para el caso particular de datos
uniformemente espaciados, es
posible encontrar una forma más
sencilla del polinomio de Newton.
Esta forma mas sencilla se basa en
diferencias que se definen de la
siguiente manera: Diferencia de
orden 0: Δ0fi = fi Diferencia de orden
1: Δ1fi = fi+1 – fi Diferencia de orden
2: Δ2fi = Δ(Δfi) = Δ(fi+1 − fi) = Δfi+1 −
Δfi = fi+2 −2fi+1 + fi Diferencia de
orden 3: Δ3fi = Δ(Δ2fi) = Δ2fi+1 −
Δ2fi = fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1− fi

19. Cuando la función ha sido
tabulada, se comporta como
un polinomio, se le puede
aproximar al polinomio que se
le parece. Una forma sencilla
de escribir un polinomio que
pasa por un conjunto de
puntos equiespaciados, es la
fórmula del Polinomio
Interpolante de Newton-
Gregory (en avance y
retroceso).La fórmula usa la
notación, que es el número de
combinaciones de s cosas
tomadas de n a la vez, lo que
lleva a razones factoriales.
Donde s viene dada por: x es el
valor a interpolar el polinomio
obtenido; Xo viene a ser el
punto de partida para
seleccionar los valores, que
serán seleccionados de la tabla
de diferencias, formando una
fila diagonal hacia abajo en el
caso de la fórmula de avance;
en caso de la fórmula de
retroceso los valores forman
una fila diagonal hacia arriba y
a la derecha. Y viene a ser la
longitud o distancia entre los
valores de xi.
Extrapolación de
Richardson
El método de
extrapolación de
Richardson, desarrollado
por Lewis Fry Richardson
(1881-1953), permite
construir a partir de una
secuencia convergente
otra secuencia más
rápidamente
convergente. Esta técnica
se usa frecuentemente
para mejorar los
resultados de métodos
numéricos a partir de una
estimación previa, de
igual forma mejora la
precisión en el cálculo
numérico de la derivada
de una función, partiendo
de la base de la serie de
Taylor. Este proceso es
especialmente utilizado
para definir un método de
integración: el método de
Romberg.

20. Sirve para generar
resultados de gran
exactitud cuando se usan
fórmulas de bajo orden.
Puede aplicarse siempre
que sepamos que el
método de aproximación
tiene un término de error
de una forma previsible.
Encuentra un modo de
combinar las
aproximaciones
imprecisas para producir
formulas con un error de
truncamiento de orden
superior.
En la interpolación de
Richardson Denotamos
por I, cualquier fórmula
numérica para aproximar
I(f), e.g., la fórmula del
Trapezoide o la regla de
Simpson. La
correspondiente fórmula
asintótica del método nos
garantiza que para alguna
constante C
𝐼 𝑓 − 𝐼 𝑛 ≈
𝐶
𝑛 𝑝
= 𝐶ℎ 𝑝
Donde p es el orden de convergencia del
método, e.g., p=2 para el método del
Trapezoide y p=4 para el de Simpson.
Despejando para I(f) obtenemos que:
𝐼 𝑓 ≈
1
2 𝑝 − 1
2 𝑝
𝐼2𝑛 − 𝐼 𝑛 = 𝑅2𝑛
Lo cual se conoce como la fórmula de
extrapolación de Richardson y se puede
demostrar que:
𝐼 𝑓 − 𝑅2𝑛 = 𝑂(ℎ2𝑝
)

21. Conociendo un Poco de
Historia
Lewis Fry Richardson (11
de octubre de 1881 - 30
de septiembre de 1953)
fue un matemático,
físico, meteorólogo y
pacifista inglés. Fue
pionero en las modernas
técnicas matemáticas de
la predicción del tiempo
atmosférico y en la
aplicación de técnicas
similares para el estudio
de las causas de las
guerras y el cómo
prevenirlas. También
destacó por su trabajo
precursor de la teoría de
fractales y por el
desarrollo de un método
iterativo para resolver
sistemas de ecuaciones
lineales que lleva su
nombre. Fue miembro de
la Royal Society.
AUTOR DEL ARTICULO:
ERNESTO MENDOZA