En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de geometría en el espacio. Aprenderás a estudiar cuando tres vectores son coplanarios, así como a hallar un vector perpendicular a otros dos dados. Calcularemos también el valor de un determinado parámetro para que el volumen del tetraedro que forman tres vectores dependientes de un parámetro sea una cantidad determinada.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: geometría en el espacio
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En este vídeo vas a aprender:
• Cuando tres vectores en el espacio son coplanarios
• Cómo obtener un vector perpendicular a otros dos.
• El volumen del tetraedro que tiene como aristas a tres
vectores conocidos

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Enunciado:
Sean los vectores 𝑢(1, −1,0), 𝑣(0,1,2) , 𝑤(1 + 𝛼, 2𝛼, 2 − 3𝛼)
Halla los valores de 𝛼 en cada caso:
a) 𝑢, 𝑣 y 𝑤 están en un mismo plano.
b) 𝑤 es perpendicular a 𝑢 y 𝑣
c) El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores 𝑢, 𝑣 y 𝑤 es 1/6.

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Comenzamos a resolver el ejercicio:
a) Si los vectores 𝑢, 𝑣 y 𝑤 están en un mismo plano, entonces 𝑢, 𝑣 , 𝑤 son
linealmente dependientes, es decir, el determinante de la matriz cuyas filas son
los vectores 𝑢, 𝑣 y 𝑤 es cero.
Por lo tanto tenemos que:
1 −1 0
0 1 2
1 + 𝛼 2𝛼 2 − 3𝛼
= 0
De aquí al hacer el determinante tenemos:
𝛼 = 0
Y por lo tanto 𝑤(1,0,2)

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b) Nos piden que hallemos el valor de 𝛼 para que el vector 𝑤 sea perpendicular a
𝑢 y 𝑣.
Vamos a resolver este apartado de dos formas distintas:
Forma 1:
En primer lugar observamos que si 𝑤 es perpendicular a 𝑢 entonces tenemos que
su producto escalar será cero, y por lo tanto:
𝑤. 𝑢 = 0 1 + 𝛼, 2𝛼, 2 − 3𝛼 1, −1,0 = 0
De donde obtenemos que 1 − 𝛼 = 0
Y por lo tanto 𝛼 = 1

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Por otro lado, si 𝑤 es perpendicular a 𝑣 entonces tenemos que su producto escalar
será cero, y por lo tanto:
𝑤. 𝑣 = 0 1 + 𝛼, 2𝛼, 2 − 3𝛼 0,1,2 = 0
De donde obtenemos que 4 − 4𝛼 = 0
Y por lo tanto 𝛼 = 1, y 𝑤 = (2,2, −1)
Como obtenemos que 𝛼 = 1 en ambos casos se tiene que éste es el valor que
hace que 𝑤 sea perpendicular a 𝑢 y a 𝑣.
Veamos a continuación otra forma de realizar este apartado.

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Forma 2:
Sabemos que el producto vectorial, 𝑢 × 𝑣 es un vector perpendicular a 𝑢 y a 𝑣 por
lo tanto si 𝑤 también es perpendicular a 𝑢 y a 𝑣, se tiene que 𝑤 será proporcional
a 𝑢 × 𝑣.
Calculamos a continuación el producto vectorial 𝑢 × 𝑣
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 −1 0
0 1 2
= −2 𝑖 − 2 𝑗 + 𝑘 = (−2, −2,1)
Por lo tanto 𝑤 = (1 + 𝛼, 2𝛼, 2 − 3𝛼) es proporcional al vector (−2, −2,1)

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De esta forma tenemos que:
1 + 𝛼
−2
=
2𝛼
−2
=
2 − 3𝛼
1
De donde tomando cualquiera de las igualdades y despejando obtenemos que
𝛼 = 1
De esta forma 𝑤 = (2,2, −1)

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c) Calculamos a continuación el volumen del tetraedro formado por los vectores
𝑢, 𝑣 y 𝑤.
Recordemos que el volumen del tetraedro venía dado por la fórmula
𝑉 =
1
6
| 𝑢, 𝑣, 𝑤 |
Donde [𝑢, 𝑣, 𝑤] representa el producto mixto de los tres vectores.
Por lo tanto tenemos que:
𝑢, 𝑣, 𝑤
1 −1 0
0 1 2
1 + 𝛼 2𝛼 2 − 3𝛼
= −𝛼

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Como el volumen vale
1
6
, igualando la expresión anterior a este valor obtenemos
que:
1
6
−𝛼 =
1
6
Por lo que 𝛼 = 1
Y en consecuencia 𝛼 = ±1
De esta forma tenemos dos posibles soluciones
𝑤(2,2, −1) ó 𝑤(0, −2,5)