Practico

1. 14-4-2017
PAEZ
FERNANDA

2. ORIGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
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FERNANDA PAEZ
Índice
........................................................ 0
ORIGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS................................................................... 1
. Babilonios yegipcios....................................................................................................... 1
Grecia.............................................................................................................................. 2
De la India a Europa......................................................................................................... 2
Aporte a las funciones trigonométricas.............................................................................. 2
Leonard Euler................................................................................................................... 3
ORIGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
as funciones trigonométricas, anteriormente llamadas razones trigonométricas 1han
sido la base del desarrollo histórico de esta rama de las matemáticas. Han sido una herramienta
utilizadadesde laantigüedad paramedirde formaindirectadistanciasyángulos,elementosusadospor
ciencias como la astronomía, la física y la ingeniería para el diseño de modelos y teorías basados en la
comparaciónde magnitudesmediante laproporcionalidadyla semejanza.Posteriormente se darán a conocer
las diferentes regiones y personas que contribuyeron al origen de las funciones trigonométricas.
Babilonios y egipcios
abilonios y Egipcios hacen 3000 años fueron los primeros en utilizar razones
trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides.
Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los
ladosde los triángulosrectángulos.Variastablasgrabadassobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo,
una tablilla babilónica escrita en cuneiforme2, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra
quince ternaspitagóricas yunacolumnade númerosque puede serinterpretadacomounatabla de funciones
trigonométricas; sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla
trigonométrica.
En el caso de losegipciosel problemaen la construcción de las pirámides y querer mantener
la pendiente constante (enel contextode avance vs subida) en cada cara y la misma en las cuatro caras, pudo
haber llevado a estos, a introducir un concepto equivalente a la cotangente de un ángulo, encontrado en el
problema 56 del papiro.3
4 5
1 Es fundamental enseñarles a alumnos del secundario la distinción entre estos dos conceptos.
2 es algo que tiene forma de cuña. Una cuña, por otra parte, es una pieza que termina en un ángulo
diedro muy agudo.
3 Papiro:es un soporte de escritura, su utilización era habitual en el Antiguo Egipto.
4 Fig.1 extraída de https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/babilonia/tablillasbabilonicas.htm
5 Fig.2 extraída de http://www.bdigital.unal.edu.co/8560/1/186391.2012.pdf.
L
B
Fig.1
F
Fig.2

3. ORIGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
2
FERNANDA PAEZ
Grecia
l estudio de la trigonometría en general pasó a Grecia, en donde se destaca el
matemático y astrónomo griego Hiparco Nicea por haber desarrollado las “tablas de cuerdas”
que construyó una para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con
incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central
dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó, estas fueron
las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
6
De la India a Europa
os astrónomos de la India habían desarrollado un sistema trigonométrico basado
en la función seno.Los matemáticos de la India empezaron a estudiar el movimiento de una
recta que gira en sentido contrario a las de las manecillas del reloj, alrededor de un punto fijo, y al
medir las longitudes de las semicuerdas estas se les asocio al ángulo originado por el giro de la recta.
Los hindúes dieron el nombre de jva a dicha semicuerda, nombre que en hindú significa cuerda. La
palabra paso al árabe. Pese a ello estos se acostumbraron a llamar a la semicuerda como jaib, palabra
que tiene más relación con curva o doblez. Por ese tiempo los matemáticos europeos se
familiarizaron con la palabra árabe referente a semicuerda y tradujeron la palabra jaib por la palabra
sinus que significa doblez o curva. Entonces, dicho error se ha perpetuado en nuestra palabra seno.
Así pues originalmente el seno de un ángulo representaba la longitud de una semicuerda de una
circunferencia de radio uno.
7
Aporte a las funciones trigonométricas
l trabajo de Newton sobre la función trigonométrica entra al análisis
matemático cuando obtiene la serie infinita para el seno, aunque su papel no sea como
función a la cual aplica su método. Este método consiste en la asociación de las series8 infinitas con el
estudio de las velocidades de cambio, de las que a su vez servía para determinar la fluente, lo que
fluye. Sin embargo, Según Katz (1987)” asume que la función trigonométrica entra al análisis
matemático cuando se hace explícito un estudio de sus propiedades y en tanto se opere para obtener
6 Fig.3extraída de http://www.bdigital.unal.edu.co/8560/1/186391.2012.pdf.
7 Fig 4 http://mattrigonometria.blogspot.com.ar/2008/11/historia-de-las-razones.html
8 una serie es la generalización dela noción de suma aplicadaa los términos deuna sucesión
matemática.
E
L
E
Fig. 4
Fig.3

4. ORIGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
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FERNANDA PAEZ
sus derivadas e integrales, por lo tanto la ubica ya como una función, en los trabajos de Euler”
(GARZÓN, 2012).
Árabes
os astrónomos árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo del siglo
X ya habían completado las otras cincos funciones. Los matemáticos sugirieron el uso del valor
r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones .trigonométricas. El
occidente 9 latino se habituó con la trigonometría Árabe por las traducciones de sus libros sobre
astronomía que aparecieron en el siglo XII.
Leonard Euler
or ultimo en el siglo XVIII, el matemático Leonard Euler hizo el estudio de las
funciones en 1967, en “Introductio in analysin infinitorum”, 10donde reconoce a las cantidades
trigonométricas como relaciones funcionales trascendentes como el logaritmo y la exponencial, en
consecuencia demostró y dijo “que las propiedades de la trigonometría eran producto de la
aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando
expresiones con exponenciales de números complejos “ (GARZÓN, 2012).
11. 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑒 𝑥𝑖
−𝑒 𝑥𝑖
2𝑖
. 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑒 𝑥𝑖
−𝑒−𝑥𝑖
2
. 𝑡𝑎𝑛𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
𝑒 𝑥𝑖−𝑒−𝑥𝑖
2𝑖
𝑒 𝑥𝑖+𝑒−𝑥𝑖
2
12
9 Fig 6https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
10 Introductio in analysin infinitorum(Introducción deanálisisinfinito)
11 Funciones trigonométricas expresadas con números complejos
12 Fig 7 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Leonhard_Euler
L
P
F
Fig.6
Fig.7