calculo integral

1. Grupo N° 5
GUIA N°4 de Calculo integral
Nombre:FERNANDO ARCOS
1.-ACTIVIDADES PREVIAS (EXTRACLASE)
1. Grafiquelassiguientesfunciones
Grafica1
Grafica2

2. Grupo N° 5
2. Encontrar lospuntos deintersecciónde lassiguientesfunciones.
a)
𝑥 = 2 − 𝑥2
0 = 2 + 𝑥 − 𝑥2
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 1)
𝑥 = −2
𝑥 = 1
*(1,1)
*(-2,-2)
b)
𝑥 − 1 = 3 − 4𝑥 + 𝑥2
0 = 4 − 5𝑥 + 𝑥2
( 𝑥 − 4)( 𝑥 − 1)
𝑥 = 4
𝑥 = 1
*(4,3)
*(1,0)

3. Grupo N° 5
3. Indiquela ecuacióndela siguientefigura
x² + (y - 2)² = 4
4. De la gráfica contestar
a. La basedel cuadrado(segmentoAB) dela figura formadopor las rectas x=2 y x=5 es:
Segmento B=5
Segmento A=2
BASE AB5-2=3
b. La alturadelcuadrado(segmentoCB o DA) de la figuraformada porlas rectas y=8 y y=5 es:
altura=8-5=3

4. Grupo N° 5
c. Grafiqueunrectánguloverticalen elinterior delcuadradoy determinesu área
área=bxh
b=1,h=3
A=3*1=4
d. Grafiqueun rectángulohorizontalenelinteriordel cuadradoydeterminesuárea
área=bxh
b=3,h=1
A=1*3=
5. De la gráficacontestar

5. Grupo N° 5
a) La alturadel rectánguloinscritoentrelas dos funcionesestaría dadapor h = f(x)-g(x)
b) Si al hacergirar enel ejede las abscisasel rectángulodela figurase forma una arandela.Propongauna
Fórmula paraobtenerel volumendela arandela.
V=𝝅(𝒓 𝟐
𝒆− 𝒓 𝟐
𝒊)
V=Area *Espesor
AV= 𝝅 (𝐟(𝐱) 𝟐 − 𝐆(𝐱) 𝟐)𝚫𝑿
c) Bosquejarunagráfica delsólidoquese formaría alhacer giraren el eje x, laregiónlimitadapor las
funcionesy = f(x), y = g(x) y x = 0
d) Si al hacergirar elrectánguloalrededordelejede lasordenadasse forma elcilindro,propongauna

6. Grupo N° 5
fórmulapara obtenersu volumen.
V=Area*Espesor
AV=𝝅(𝐅( 𝐲)) 𝟐 𝚫𝒚
V=𝝅(𝒓 𝟐
𝒆− 𝒓 𝟐
𝒊)
6. De la gráficacontestar
a) La alturadel rectángulo inscritoentrelas dos funcionesestaría dadapor h = g(y)-h(y)

7. Grupo N° 5
b) Si al hacergirar enel ejede las ordenadaselrectángulodela figurase forma una arandela.Proponga una
fórmulapara obtenerel volumendela arandela.
AV= 𝝅 (𝐟(𝐲) 𝟐 − 𝐆(𝐲) 𝟐)𝚫𝒚
V=𝝅(𝒓 𝟐
𝒆− 𝒓 𝟐
𝒊)
c) Bosquejarunagráfica delsólidoquese formaría alhacer giraren el eje y, laregiónlimitadapor las
funcionesy = f(x), y = g(x) y x = 0
d) Si al hacergirar elrectánguloalrededordelejede lasabscisas se forma el cilindro,propongaunaFórmula
paraobtener su volumen.

8. Grupo N° 5
7. Sin la utilizacióndetablasde integraciónrealizarlassiguientes:
6 ∫ 𝑒−𝑥 =
−6𝑒−𝑥 =
∫xln( 𝑥) − 1 =
U=𝑥2-1
∫
1
𝑢
Lnu
Ln(𝑥2-1)
AC1. Determinar el área de la región, limitada por las curvas:
∫ (2𝑠𝑖𝑛𝑥− 𝑡𝑎𝑛𝑥)
𝜋/3
−𝜋/3
𝑑𝑥
2 ∫ (2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥)
𝜋/3
0
𝑑𝑥
2(−2𝑐𝑜𝑠𝑥 − ln⁡( 𝑠𝑒𝑐𝑥)

9. Grupo N° 5
2[(−1 − 𝑙𝑛2)− (−2)]
[(2 − 2𝑙𝑛2)] 𝑢2
AC2. Calcular el área de la región acotada por las tres curvas:
 𝑥 =
1
𝑥
1 = 𝑥2
( 𝑥 − 4)( 𝑥 − 1)

10. Grupo N° 5
𝑥 = 1

1
4
𝑥 =
1
𝑥
4 = 𝑥2
𝑥 = 2
A=∫ (𝑥 −
1
4
𝑥)
1
0 𝑑𝑥+∫ (
1
𝑥
−
1
4
𝑥)
2
1 𝑑𝑥
A=∫ (
3
4
𝑥)
1
0 𝑑𝑥+∫ (𝑙𝑛𝑥−
1
8
𝑥2)
2
1 𝑑𝑥
A=3/8+(ln2-1/2)-(0-1/8)
A=𝑙𝑛2𝑢2
AC3. Dada la siguiente gráfica
a) Las ecuacionesdelascurvas. x2;(x-2)2; x=3

11. Grupo N° 5
b) Gráfiqueconsoftware matemático solamentelaregiónindicada
b) El áreade las curvas R=8u2
A=∫ [ 𝑥2 − (𝑥 − 2)2]
3
1 𝑑𝑥
A=∫ [ 𝑥2 − (𝑥2 − 4𝑥 + 4)]
3
1 𝑑𝑥
A=∫ [4𝑥 − 4]
3
1 𝑑𝑥
A=[
4
2
𝑥2 − 4𝑥] 3
1
𝐴 = [
4
2
32 − 4 ∗ 3]-[
4
2
12 − 4 ∗ 1]
A=8𝑢2
AC4. Determine el área de la región sombreada
AT=A1+A2

12. Grupo N° 5
A1=∫ [(−𝑋 + 3) − √ 𝑋 + 3]
3
0 𝑑𝑥
A1=∫ [(−𝑋 + 6) − √ 𝑋]
3
0 𝑑𝑥
A1=[
−𝑥2
2
+ 6𝑥 −
−2𝑥3/2
3
]3
0
A1=[−
9
2
+ 18 − 3.46]
A1=10.04𝑢2
A2=∫ [−( 𝑥 − 3)2 + √ 𝑋 + 3]
5
3 𝑑𝑥
A2=∫ [−𝑥2 + 6𝑥 − 9 + √ 𝑋 + 3]
5
3 𝑑𝑥
A2=[
2𝑥3/2
3
+ 6𝑥 −
𝑥3
3
+ 3𝑥2] 3
0
A2=[7.45 −
125
3
+ 75 − 30 − 3.46 + 9 −
27
2
+ 18]
A1=22.73𝑢2
AT=10.04𝑢2 +22.73𝑢2
AT=32.77𝑢2
AC5.Encuentreel volumen del sólidoobtenidoal hacergirarlaregión delimitada porlascurvasdadas
alrededor delarectaespecificada.Grafiquelaregión,el sólido yun disco o arandelarepresentativos.
Ri=1-√ 𝑥 Re=1-x
A=𝜋(1 − x)2 − 𝜋(1 − √ 𝑥)2
A=𝜋[(1 − x)2 − 𝜋(1 − √ 𝑥)2]
A=𝜋[ 𝑥2 + 2𝑥 − 1 − (1 − 2√ 𝑥 + 𝑥)]
A=𝜋[ 𝑥2 − 3𝑥 + 2√ 𝑥]
V=∫ 𝐴(𝑥)
1
0 𝑑𝑥
V=∫ 𝜋[ 𝑥2 − 3𝑥 + 2√ 𝑥]
1
0 𝑑𝑥
v=𝜋[
−3𝑥2
2
+
1𝑥3
3
+
4𝑥3/2
3
]1
0

13. Grupo N° 5
v=⁡
𝜋
6
𝑢3
v=𝜋(y2 − 1)2 𝑑𝑦
V=𝜋∫ (y4 − 2y2 + 1)𝑑𝑦
1
−1
v=𝜋[
𝑦5
5
−
2𝑦3
3
+ 𝑥] 1
−1
v=⁡
16
15
𝜋⁡⁡𝑢3

14. Grupo N° 5
v=𝜋(⁡(x)2 − (x3)2)𝑑𝑥
V=𝜋∫ ⁡(x2 − x6)𝑑𝑥
1
0
v=𝜋[⁡
x
3
3
− ⁡
x
7
7
]1
0
v=⁡
4
21
𝜋⁡⁡𝑢3

15. Grupo N° 5
v=2𝜋 ∗ 𝑒−𝑥2
V=𝜋∫ 𝑒−𝑥2
𝑑𝑥
1
0
U=𝑥2

16. Grupo N° 5
Dx=2x dx
V=𝜋∫ 𝑒−𝑢 𝑑𝑥
1
0
v=𝜋[−𝑒−𝑢]1
0
v=𝜋[1 −
1
𝑒
]
AC6. Determineeláreade la superficieobtenidaalhacergirarlacurvarespectoaleje x.
u=1 + 9𝑥4
Du=x+36𝑥3dx
U1=1 + 9(2)4
U1=145
U2=1 + 9(1)4
U2=10

17. Grupo N° 5
A= 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑋)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
A= 2𝜋 ∫ (𝑥3)√(𝑥 + 3𝑥2)2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
A= 2𝜋 ∫ (𝑥3)√1 + 9𝑥4 𝑑𝑥
2
1
A= 2𝜋 ∫ ( 𝑥3) 𝑢
1
2
𝑑𝑢
36
2
1
A=
2𝜋
36
[+
𝑥4
4
+
2𝑢3/2
3
] 145
10
A=2.45⁡𝑢2
A= 2𝜋 ∫ 𝑦⁡⁡𝑑𝑦
𝑏
𝑎
A= 2𝜋 ∫ (1 + 2𝑥2)√1+ 2𝑥2 𝑑𝑦
𝑏
𝑎
A= 2𝜋 ∫ 1 + 2𝑥2(1 + 4𝑥) 𝑑𝑦
3
1
A= 2𝜋 ∫ 1 + 4𝑥 + 2𝑥2 + 8𝑥3 𝑑𝑦
3
1
A=2𝜋 [𝑥 +
4𝑥2
2
+
2𝑥3
3
+
8𝑥4
4
]3
1
A=2𝜋[16]

18. Grupo N° 5
A=32𝜋⁡⁡⁡⁡⁡𝑢2
AC7. Determine el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva respecto al eje y.
X=√𝑎2 − 𝑦2
X=(𝑎2 − 𝑦2)1/2
X=
1
2
(𝑎2 − 𝑦2)1/2(2y)
A= 2𝜋 ∫ 𝑥⁡𝑑𝑥
𝑎/2
0
A= 2𝜋 ∫ √𝑎2 − 𝑦2
√1 + (
𝑦
√𝑎2−𝑦2
)2 𝑑𝑥
𝑎/2
0
A= 2𝜋 [
𝑎2
2
−
2𝑦2
2
]
A= 𝜋. 𝑎[ 𝑎2 − 𝜋2]

19. Grupo N° 5
A= 2𝜋 ∫ 𝑦⁡⁡𝑑𝑦
𝑏
𝑎
A= 2𝜋 ∫ (1 + 𝑥2)√1 + (−2𝑥)2 𝑑𝑦
1
0
A= 2𝜋 ∫ 1 + 𝑥2(1 + 4𝑥) 𝑑𝑦
1
0
A= 2𝜋 ∫ 1 + 2𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥3 𝑑𝑦
1
01
A=2𝜋 [𝑥 + 𝑥2 −
𝑥3
3
−
2𝑥4
4
] 1
0
A=2𝜋[1.17] 𝑢2
⁡⁡⁡⁡
AC8. La densidad lineal, de una varilla de 8 mts. De longitud es
𝟏𝟐
√𝒙+𝟏
(kg/m) , donde x se mide
en metros desde un extremo de la varilla. Determine la densidad promedio de la varilla.

20. Grupo N° 5
DENSIDAD
1
8
∫
12
√ 𝑥 + 1
8
0
12
8
∫
1
√ 𝑥 + 1
8
0
3
2
∫ (𝑥 + 1)−
1
2
8
0
[3√𝑥 + 1]
8
0
6 Kg/m
AC9. Una taza de café tiene una temperatura de 95°C y le toma 30 minutos enfriarse a 61°C en
una habitación con una temperatura de 20°C. Utilice la ley del enfriamiento de Newton, para
demostrar que la temperatura del café después de t minutos es:
𝑇( 𝑓) = 20 + 75𝑒−𝑘𝑡
Datos
𝑇(0) = 95°𝐶
𝑇 = 20°𝐶
𝑇(30) = 61°𝐶
𝑇(20) = 20 + 75𝑒−0.02(20)
𝑇(20) = 20 + 75𝑒−0.4
𝑇(20) = 70.27
𝑇( 𝑡) = 20 + 75𝑒−𝑘𝑡
𝑇( 𝑡) = 20 + 75𝑒−0.02(60)
𝑇( 𝑡) = 25.48
AC10. Se deja caer un balón desde una altura de 98m. Calcule la velocidad promedio que
tiene el balón durante
los primeros 4,4 s.

21. Grupo N° 5
Coordenadasiniciales
v=0⁡ 𝑚
𝑠⁄
t =4.4s
s(t)=98
g=9.81 𝑚
𝑠2⁄
v(t)=9.81t
-98=⁡
9.81(0)2
2
+ 𝑐
C=48
𝑠( 𝑡) =
9.81(0)2
2
− 48
𝑡 = √
9.81
4.96
𝑡 = 4.45
V(4.45) = 9.81(4.45)
V=43.164 𝑚
𝑠⁄
Ejerciciosyproblemasderefuerzo JAMESSTEWART
1.-Determineel áreade laregiónsombreada
A=∫ [ 𝑔( 𝑦) − 𝑓(𝑦)]
1
−1 𝑑𝑦
A=∫ [ 𝑒 𝑦 − (𝑦2 − 2)]
1
−1 𝑑𝑦
A=∫ [ 𝑒 𝑦 − 𝑦2 + 2]
1
−1 𝑑𝑦

22. Grupo N° 5
A=[𝑒 𝑦 −
𝑦3
3
+ 2𝑦] 1
−1
A=5.683 𝑢2
2.-Dibujelasregionesdefinidasporlas curvasintegre conrespecto a x o y indiquesuanchuray altura,
determinela región.
A=∫ [ 𝑔( 𝑥) − 𝑓(𝑥)]
4
−1 𝑑𝑥
A=∫ [ 𝑥 + 4 − (𝑥2 − 2𝑥)]
4
−1 𝑑𝑥
A=∫ [−𝑥2 + 3𝑥 + 4]
4
−1 𝑑𝑥
A=[
3𝑥2
2
−
𝑥3
3
+ 4𝑥] 4
−1
A=28.33 𝑢2
A=∫ [ 𝑔( 𝑥) − 𝑓(𝑥)]
2
0 𝑑𝑥
A=∫ [4𝑥 − 𝑥2 − (𝑥2)]
2
0 𝑑𝑥

23. Grupo N° 5
A=∫ [4𝑥 − 2𝑥2]
2
0 𝑑𝑥
A=[
4𝑥2
2
−
2𝑥3
3
] 2
0
A=8-
16
3
A=
8
3
𝑢2
A=∫ [ 𝑔( 𝑥) − 𝑓(𝑥)]
1
0 𝑑𝑥
A=∫ [2⁡/⁡(𝑥²⁡ + ⁡1) − (𝑥2)]
1
0 𝑑𝑥
A=[2𝑡𝑎𝑛𝑥−1 −
𝑥3
3
] 1
0
A=2.47⁡𝑢2
3.-Encuentreel volumendelsolidoobtenidoalgirar la regióndelimitadaporlas curvas alrededordelarecta
Grafiquey represente

24. Grupo N° 5
𝐴(𝑌) = (2√ 𝑦)2
V=𝜋 ∫ 𝐴(𝑦)𝑑𝑦
9
0
V=4𝜋 ∫ (√ 𝑦)2 𝑑𝑦
9
0
V=4𝜋 ∫ 𝑦⁡𝑑𝑦
9
0
V=[4𝜋 −
𝑌2
2
] 9
0
V=162⁡𝜋 𝑢3

25. Grupo N° 5
𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴⁡𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑁𝐴 = 2√ 𝑦
𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴⁡𝐸𝑋𝑇𝐸𝑅𝑁𝐴 = 2
𝐴(𝑦) = 𝜋[4 − (2√ 𝑦)2] 𝑑𝑦
𝐴(𝑦) = 𝜋[4 − 4𝑦]dy
𝐴(𝑦) = 4𝜋[1 − 𝑦]dy
V=∫ 4𝜋[1 − 𝑦]
1
0 dy
V=4𝜋 [𝑦 −
𝑦2
2
]1
0
V=2⁡𝜋⁡𝑢3

26. Grupo N° 5
𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴⁡𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑁𝐴⁡⁡⁡⁡𝑥 = −1⁡⁡⁡,⁡⁡⁡⁡𝑥 = √ 𝑦
𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴⁡𝐸𝑋𝑇𝐸𝑅𝑁𝐴𝑥 = −1⁡⁡⁡, 𝑥 = 𝑦2⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑣 = ∫ 𝜋{[√ 𝑦 + 1]
2
− [ 𝑦2 + 1]2} 𝑑𝑦
1
0
𝑣 = ∫ 𝜋{ 𝑦 + 2√ 𝑦 + 1 − 𝑦4 − 2𝑦2 − 1} 𝑑𝑦
1
0
𝑣 = ∫ 𝜋{ 𝑦 + 2√ 𝑦 + 1 − 𝑦4 − 2𝑦2 − 1} 𝑑𝑦
1
0
𝑣 = 𝜋∫ { } 𝑑𝑦
1
0 }
𝑣 = 𝜋[ 𝑦2 +
4𝑦3/2
3
−
𝑦5
5
−
2𝑦3
3
]
1
0
𝑣 =
29
30
⁡𝜋⁡⁡𝑢3

27. Grupo N° 5
𝑣 = ∫ 2𝜋𝑥
1
𝑥
𝑑𝑥
2
1
𝑣 = ∫ 2𝜋⁡𝑑𝑥
2
1
𝑣 = ∫ 2𝜋𝑑𝑥
2
1
𝑣 = 2𝜋[ 𝑥]
2
1
𝑣 = 2𝜋⁡𝑢3

28. Grupo N° 5
v=2𝜋 ∗ 𝑒−𝑥2
V=𝜋∫ 𝑒−𝑥2
𝑑𝑥
1
0
U=𝑥2
Dx=2x dx
V=𝜋∫ 𝑒−𝑢 𝑑𝑥
1
0
v=𝜋[−𝑒−𝑢]1
0
v=𝜋[1 −
1
𝑒
]

29. Grupo N° 5
𝑣 = ∫ 2𝜋𝑦(1 + 𝑦2)𝑑𝑦
2
1
𝑣 = 2𝜋∫ (𝑦 + 𝑦3)⁡𝑑𝑦
2
1
𝑣 = 2𝜋[(
𝑦2
2
+
𝑦4
4
)]
2
1
𝑣 =
21
2
𝜋⁡𝑢3

30. Grupo N° 5
4.-Determinela longituddela curva
Y=1+6x3/2,⁡[0,1]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=9𝑥1/2 ;1+(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)2
𝐿 = ∫ √1 + 81𝑥
1
0
𝑑𝑥
𝑢 = √1 + 81𝑥
𝑑𝑢 = 81𝑥
𝐿 = ∫ 𝑢
1
2(
1
81
𝑑𝑢)
82
1
𝐿 =
1
81
∗
2
3
[ 𝑢2/3]
82
1
𝐿 = 6.103⁡𝑢
 X=
1
3
√ 𝑦(𝑦 − 3), [1,9]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−1
2
𝑦1/2 −
1
2
𝑦−1/2;
1+(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)2,
1+
𝑦
4
−
1
2
+
𝑦−1
4
=
𝑦
4
+
1
2
+
𝑦−1
4
𝐿 = ∫ (
1
2
𝑦1/2 +⁡
1
2
𝑦−1/2)2
9
1
𝑑𝑦

31. Grupo N° 5
𝐿 =
1
2
[
2
3
𝑦3/2 +⁡
1
2
𝑦1/2]
9
1
𝐿 =
1
2
[24 −⁡
8
3
]⁡
𝐿 = 10.66⁡𝑢
5.Use laregla desimpsoncon n=10 paraestimar la longuituddelacurva comparecon el valorobtenidocon
calculadora .
Y=sec(x) [0,
𝜋
3
]
F(x)=√1 + 𝑠𝑒𝑐𝑥2 + 𝑡𝑎𝑛𝑥2
Respuestade lacalculadora:1.569259
Y=sec(x)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
𝐿 = ∫ F(x)
𝜋
3
0
𝑑𝑥
N=10
∆𝑥 =
𝜋
3
− 0
10
=
𝜋
30
𝐿 =
𝜋
30
3
[ 𝑓(0) + 4𝑓 (
𝜋
30
) + 2𝑓 (
2𝜋
30
) + 4𝑓 (
3𝜋
30
) + 2𝑓 (
4𝜋
30
) + 4𝑓 (
5𝜋
30
) + +2𝑓 (
6𝜋
30
) + 4𝑓 (
7𝜋
30
)
+ 2𝑓 (
8𝜋
30
) + 4𝑓 (
9𝜋
30
) + 𝑓(
𝜋
30
)] = 1.569419
6.Un halcónvuelaa15𝑚/𝑠 a unaaltitud de180m de jacaer su presa accidentalmente.Latrayectoriala
trayectoria parabólicadelapresaen descensose describemediantey=180 −
𝑥2
45
Hasta quechoca conel suelo, donde y es su alturasobre elsuelo y x esta distante horizontal
-calculela distanciaquerecorrela presa desdeel momentoen quees dejadacaer hastaque chocacon el
suelo
Y=0 cuando está en elpiso
y=180 −
𝑥2
45
𝑥2 = 180 ∗ 45

32. Grupo N° 5
𝑥 = √81000
𝑥 = √90
Conx(t)*f´(x)=⁡−
2
45
𝑥
1+𝑓´(𝑥)2 = 1 +
4𝑥2
452
𝐿 = ∫ √1 +
4𝑥2
452
90
0
𝑑𝑥
𝐿 = ∫ √1 + 𝑢2(
45
2
90
0
𝑑𝑢)
U=−
2
45
𝑥
Du==−
2
45
𝑑𝑥
𝐿 =
45
2
[√1 + 𝑢2 +
1
2
ln⁡( 𝑢 + √1 + 𝑢2)]
4
0
𝐿 =
45
2
[2√17 +
1
2
ln⁡(4 + √17]
𝐿 = 209.1𝑚⁡
7. 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐸⁡𝐸𝐿⁡𝐴𝑅𝐸𝐴⁡𝐷𝐸⁡𝐿𝐴⁡𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐹𝐶𝐼𝐸⁡𝑂𝐵𝑇𝐸𝑁𝐼𝐷𝐴⁡𝐴𝐿⁡𝐻𝐴𝐶𝐸𝑅⁡𝐺𝐼𝑅𝐴𝑅⁡𝐿𝐴⁡𝐶𝑈𝑅𝑉𝐴⁡𝑅𝐸𝑆𝑃𝐸𝐶𝑇𝑂⁡𝐴𝐿⁡𝐸𝐽𝐸⁡𝑋
Y=√1 + 4𝑥⁡;⁡[1,5]
y’=
1
2
1 + 4𝑥−
1
2(4)
y’=
2
√1+4𝑥
=√1 + (y’)2
=√1 + (
2
√1+4𝑥
)
2
=√1 +
4
1+4𝑥
√
5 + 4𝑥
1 + 4𝑥

33. Grupo N° 5
S=∫ 2𝜋𝑦
5
1 √1 + (y’)2dx
S=∫ 2𝜋√1 + 4𝑥
5
1
√
5+4𝑥
1+4𝑥
dx
S=2𝜋 ∫ √4𝑥 + 5
5
1 ⁡dx
U=4𝑥 + 5
Du=4dx
S=2𝜋 ∫ √4
25
9 ⁡(
1
4
du)
S=
2
4
𝜋[
2𝑢
3
2
3
] 25
9
S=
98
3
𝜋
8.La curva dada se hace girar respecto al eje y, encuentre la superficie de área
Y=1 − 𝑥2 ; [0,1]
1+(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)2=1+4𝑥2
S=2𝜋 ∫ 𝑥√1 + 4𝑥21
0 ⁡dx
S=
𝜋
4
[
2(1+4𝑥2)
3
2
3
]1
0
S=5.854
9.Use unacas a la tablede integrals
Y=
1
𝑥
; [1,2]

34. Grupo N° 5
Ds=√1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
dx
Ds=√1 + (
−1
𝑥2
)2 dx
Ds=√1 +
1
𝑥4
dx
S=2𝜋 ∫
1
𝑥
2
1 ∗⁡√1 +
1
𝑥4
dxEscriba⁡aquí⁡la⁡ecuación.
S=2𝜋 ∫
1
𝑥
2
1 ⁡√1 +
1
𝑥4
dx
S=2𝜋 ∫ [
√x4+1
𝑥3
]
2
1 ⁡
U=𝑥2
Du=2xdx
S=2𝜋 ∫ [
√𝑢2+1
𝑢2
]
2
1 (
1
2
⁡𝑑𝑢)
S=𝜋∫ [
√𝑢2+1
𝑢2
]
4
1 𝑑𝑢
S=𝜋[−
√𝑢2+1
𝑢
+ ln⁡(4 + √𝑢2 + 1)] 4
1
S=5.016
10.Determineelvalor promediodela función enel intervalo
F(x)=4x-𝑥2; [0,4]
Funciónpromedio=
1
𝑏−𝑎
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑓𝑝𝑟𝑜𝑚=
1
4 − 0
∫ 4x − 𝑥2 𝑑𝑥
4
0
𝑓𝑝𝑟𝑜𝑚=
1
4
[
4𝑥2
2
+
𝑥3
3
]
4
0
𝑓𝑝𝑟𝑜𝑚=
8
3
Trabajo

35. Grupo N° 5
11.Cuandoseinviertelevantar unabolsade arenade 40kgcon el h de1.5m?
W=Td=
mgd=
(40)(9.8)(1.5)=588N*m
12.Unapartícula se desplaza alo largodeleje x impulsadoporuna fuerzaque mide
10
(1+𝑥)2
en un puntox pies
delorigen.calculeel trabajorealizadoalmover la partículadesde elorigena una distanciade9 pies .
W=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎 =
W=∫
10
(1+𝑥)2
𝑑𝑥
10
0 =
W=10 ∫
1
(1+𝑥)2
𝑑𝑥
10
0 =
U=1 + 𝑥
Du=dx
W=10∫
1
𝑢2
10
0 𝑑𝑢
W=[−
1
𝑢
] 10
1
W=[−
1
10
+ 1]
W=9⁡𝑓𝑡/𝑙𝑏
13.Unapesadasogade 50ft delargo pesa 0.5 lb/ft y está colgandoporun ladode unedificiode 120ft se alto
a) cuanto trabajoefectuaral jalarla mitad dela soga porla parte superiordeledifico.
lim
𝑛→∞
∑
1
2
𝑥 𝑘∆𝑥 =
𝑛
𝑘=1
W = ∫
1
2
𝑥⁡𝑑𝑥
50
0 =
W=[
1
4
𝑥2] 50
0
W=625⁡𝑙𝑏/𝑓𝑡
b) cuanto trabajo efectúaal jalarla mitad dela soga porla parte posteriordeledifico.
W1 = ∫
1
2
𝑥⁡𝑑𝑥
25
0 =

36. Grupo N° 5
W1=[
1
4
𝑥2]25
0
W1=
625
4
⁡𝑙𝑏/𝑓𝑡
W2 = ∫
1
2
25⁡𝑑𝑥
50
25 =
W2=
25
2
[ 𝑥] 50
25
W2=
625
2
⁡𝑙𝑏/𝑓𝑡
W1+w2=
625
2
𝑙𝑏
𝑓𝑡
+
625
4
𝑙𝑏
𝑓𝑡
= 468.75𝑓𝑡
14.Untanque está llenocon agua. Determineeltrabajonecesarioparaque mediantebomba, el aguasalga
por el tubo de descarga.en los ejercicios23y 24 el pesodelagua es 62,5lb/𝑝𝑖𝑒𝑠3
n=x
V=8x∆𝑥⁡⁡𝑚3
P=(9.8*1000)(8x∆𝑥)𝑁
W=∫ (9.8 ∗ 1000)(5 − 𝑥)8𝑥⁡𝑑𝑥
3
0
W=9.8 ∗ 1000 ∫ (40𝑥 − 8𝑥2)8𝑥⁡𝑑𝑥
3
0
W=9.8 ∗ 1000 [
40
2
𝑥2 −
8
3
𝑥3]3
0
W=1.06 ∗ 106 𝑁. 𝑚

37. Grupo N° 5