taller #3 UNIVERSIDAD EL MAGDALENA

1. 1- Encontrar el volumen del solido que se genera al hacer girar,
entorno al eje x, la región acotada por la recta 풙 − 풚 = ퟎ y la
parábola 풚ퟐ = 풙
Solución:
풙 − 풚 = ퟎ
풚ퟐ = 풙
DESPEJEMOS
풙 − 풚 = ퟎ 풚ퟐ = 풙
풙 = 풚 풚 = √풙
IGUALAMOS
푥 = √푥
푥 2 = (√푥)2
푥 2 = 푥
푥 2 − 푥 = 0
푥(푥 − 1) = 0
푥 = 1 푥 = 0
REEMPLAZAMOS EN LA FUNCION X-Y=0

2. PUNTOS:
P1( 1,1) P2(0,0)
Método: Arandelas
Intervalos a=0 y b=1
Funciones 푅(푥) = √푥 푦 푟(푥) = 푥
Formula:
푽 = 흅 ∫ ([푹(풙)]ퟐ − [풓(풙)]ퟐ ) 풅풙 풃
풂
1
푉 = 휋 ∫ (√푥)2 − (푥)2푑푥
0
1
푉 = 휋 ∫ 푥 − 푥 2푑푥
0
푉 = 휋(
푥 2
2
−
푥 3
3
)
1
0
푉 = 휋 (
1
2
−
1
3
) − (0)
푉 = π
6
푢3

3. 2- Encuentre el volumen del solido que se genera al hacer girar, en
torno a la recta 풚 = ퟐ la región en el primer cuadrante acotada por
las parábolas ퟑ풙ퟐ − ퟏퟔ풚 + ퟒퟖ = ퟎ 풀 풙ퟐ − ퟏퟔ풚 + ퟖퟎ = ퟎ y el eje y.
DESPEJAMOS
3푥 2 − 16푦 + 48 = 0
푥 2 +
16푦
3
+ 16 = 0
푦 =
3푥 2
16
+ 3

4. 푥 2 − 16푦 + 80 = 0
푦 =
1푥 2
16
+ 5
IGUALAMOS
3푥 2
16
+ 3 =
1푥 2
16
+ 5
3푥 2 + 48 = 푥 2 + 80
2푥 2 = 32
푥 = √16
푥 = ±4
ECUACION:
푉 = 휋 ∫ [(
1푥 2
16
2
− (
+ 5 − 2)
3푥 2
16
2
] 푑푥
+ 3 − 2)
4
0
푉 = 휋 ∫ [(
1푥4
256
−
3푥 2
8
2
− (
+ 9)
9푥 4
256
−
3푥 2
8
2
] 푑푥
+ 1)
4
0
푉 = 휋 ∫ [8 −
1푥 4
32
]
4
0
푑푥
푉 = 휋 [32 −
32
5
]
푉 =
128휋
5
푢3

5. 3- Calcule el volumen del solido generado al girar alrededor de la
recta x=2 la región acotada por la gráfica de 풚 = ퟒ풙 − ퟏ
ퟖ
풙ퟒ , el eje x
y la recta x=2.
REEMPLAZAMOS 풙 = ퟐ 풆풏 풍풂 풇풖풏풄풊풐풏
푦 = 4(2) −
1
8
(2)4
푦 = 8 −
1
8
(16)
푦 = 8 − 2
푦 = 4
Punto de intercepcion es (2,4)

6. METODO: CAPAS CILINDRICAS
INTERVALOS: a=0 b =2
푝(푥) = 푥 − 2 y ℎ(푥) = 2 − (4푥 − 1
8
푥 4)
FORMULA
풃
푽 = ퟐ흅 ∫ 풑(풙)풉(풙) 풅풙
풂
REEMPLAZAMOS
푉 = 2휋 ∫ (푥 − 2)[2 − (4푥 −
1
8
푥 4)]푑푥
2
0
푉 = 2휋 ∫ (푥 − 2)[2 − 4푥 +
1
8
푥 4]푑푥
2
0
푉 = 2휋 ∫ [10푥 −
푥 4
4
+
푥 5
8
− 4푥 2 − 4]푑푥
2
0
푉 = 2휋[5푥 2 − 푥5
20
+ 푥6
48
− 4푥3
3
− 4푥] 2
0
푉 = 2휋 [5(2)2 −
(2)5
20
+
(2)6
48
− 4(2)3
3
− 4(2)] − [0]
푉 = 2휋[20 + 4
3
− 8
5
− 32
3
− 8]
푉 = 2휋
16
15

7. 푉 = 32
15
휋 푢3
4- Determina el volumen del solido generado al girar alrededor del
eje y la región exterior a la y=x2 y entre las rectas y=2x-1 y Y=x+2

8. 푏
푉 = 휋 ∫ [(푅)2 − (푟)2]
푎
푑푦
푉 = 휋 ∫ [(
푦
2
+ 1)
2
− (푦 − 2 − √푦)
2
]
3
0
푑푦
푉 = 휋 ∫ [(
푦
4
2
+ 푦 + 1) − (푦2 − 2푦 + 1 − 2√푦3 + 4√푦 + 푦)]
3
0
푑푦
푉 = 휋 ∫ [(−
3푦
4
2
+ 2푦 + 2√푦3 − 4√푦)]
3
0
푑푦
푉 = 휋 [1
4
푦3 + 푦2 + 4
5
푦
5
⁄2 − 8
3
푦
3
⁄2]0-3
−27
4
푉 = [
+ 9 +
486
5
−
103
3
]
푉 = 63.4휋 푢3

9. 5- Un toro se forma al girar la región acotada por la circunferencia
(풙 − ퟐ)ퟐ − 풚ퟐ = ퟏ. Utilice los dos métodos distintos para demostrar
que el volumen del toro es ퟒ흅ퟐ.
휋 ∫ [(2 − 푥)2√1 − 푥2] 1
−1
dx
1
휋∫ 22√1 − 푥2 푑푥 − 2휋√푥 − 푥 2푑푥
−1
Aplicando sustitución trigonométrica (1) y (2)
X=sin 휃 dx=cos 휃
1
4휋∫ 2√1 − sin 휃2 cos 휃푑휃 − 2휋 ∫ sin 휃
−1
√1 − sin 휃 2 cos 휃 푑휃
1
− 1
1
4휋 ∫ 푐표푠2 휃푑휃 − 2휋 ∫ sin 휃
−1
푐표푠2 휃 푑휃
1
− 1
Resolviendo (1) y aplicando sustitución en (2)
‖4휋 1
2
(휃 + sin 휃 cos 휃)‖
1
−1
+[2휋 ∫ 푢2 푑푢 1
−1
]
‖2휋(휃 + sin 휃 cos 휃)‖ 1
−1
+[2휋 ∫ 푢2 푑푢 1
−1
]
푢 = cos 휃 푑푢 = − sin 휃
2휋[휃 + sin 휃 cos 휃]
1
−1
+2휋 [cos 휃
3
3
]
1
−1

10. Por el triangulo
2휋 [푎푟푐표푠푒푛휃 + 푥√1 − 푥 2 +
( √1 − 푥 2) 2
3
3
]
1
−1
Cuando el valor de x=1
휋 [휋
2
+ 0 + 0]=휋 2
Cuando el valor de x=-1
휋 [− 휋
2
+ 0 + 0]=−휋 2
Al restarse quedara
휋 2 + 휋 2 = 2휋 2
Como la ecuación salió de una semicircunferencia entonces el volumen se
multiplica por 2
R=4휋 2
METODO DE ARANDELAS
푏
휋 ∫ [(푅)2 − (푟)2]
푎
푑푦
(푋 − 2)2 = 1 − 푌 2
X-2=∓√1 − 푋2
1 2
휋 ∫ (2 + √1 − 푌 2)
−1
− (−√1 − 푌 2)
2
푑푦
1 1
휋 ∫ (4 + 2√1 − 푦2 + 1 − 푦2)
−1
− [2(1 − 푦2) − 2√1 − 푦2 + 4]
1
푑푦
1
휋 ∫ (4 + 2√1 − 푦2 + 1 − 푦2 − 1 + 푦2 + 2√1 − 푦2 − 4)
−1
푑푦

11. 휋 ∫ (2√1 − 푦2 + 2√1 − 푦2 ) 1
−1
dy
4휋 ∫ (√1 − 푦2 ) 1
−1
dy
Aplicando sustitución trigonométrica:
1
4휋∫ 2√1 − sin휃2 cos 휃푑휃
− 1
X=sin 휃 dx=cos 휃
‖4휋
1
2
(휃 + sin 휃 cos 휃)‖
1
−1
1
−1
‖2휋(휃 + sin 휃 cos 휃)‖
1
y
2√1 − 푦2
1
−1
2휋(푎푟푐표푠푒푛휃 + 푥√1 − 푥 2)
Cuando el valor de x=1
휋 [휋
2
+ 0]=휋 2
Cuando el valor de x=-1
휋 [− 휋
2
+ 0]=−휋 2
Al restarse quedara
휋 2 + 휋 2 = 2휋 2

12. Como la ecuación salió de una semicircunferencia entonces el volumen se
multiplica por 2
R=4휋 2
6- un sólido g se genera al girar la región acotada por 풚 = 풙ퟐ
ퟐ
풚 풚 = ퟐ
alrededor del eje y. un hueco, centrado a lo largo del eje de
revolución, se taladra a través de este solido tal que se pierde un
cuarto de su volumen. Encontrar el diámetro del hueco.
Primero se hallara los puntos de corte:

13. Y-2=y-0,5x2
-2=-0,5x2
2
= 푥 2
0.5
√ 2
0.5
=x
∓2 = 푥
Luego para ser mas agiles en el cálculo, se halla el volumen entorno al
eje y así:
Y=푥2
2
2y=푥 2
√2푦=x
Luego aplicamos el método de disco para obtener el volumen:
휋 ∫ [√2푦]
2
2
0
푑푦
2
휋 ∫ 2푦
0
푑푦
2휋 ∫ 푦 2
0
푑푦
Integrando
푦2
2
2휋 [
]
2
0
= 4휋
Bueno, para rallar el radio de perforación tenemos en cuenta que una
perforación genera un orificio en el eje para ello se utiliza el método de la
arandela:

14. 휋 ∫ {[√2푦]
2
− (푟)2}
2
푟2
2
푑푦
2
휋 ∫ {2푦 − (푟)2}
푟2
2
푑푦
Integrando:
휋[푦2 − 푦푟]
2
푟2
2
푟
4
휋[22 − 2푟] − 휋 [
4
−
푟2
2
푟]
휋 [4 − 2푟2 +
푟4
4
]
Pero como un cuarto del volumen original es π, entonces:
-
휋 [4 − 2푟2 +
푟4
4
] = 3휋
1 − 2푟2 + 푟4
4
=0
4-8r2+r4=0
Aplicando la ecuación cuadrática para obtener el radio:
푟2 =
8 ± √82 − 16
2푎
r
1=2,73
r2=0.73
Pero como nos piden el diámetro multiplicamos los radios por 2
D: 5,46 O D: 1,46

15. 7- Calcule la longitud de arco de la curva ퟖ풚 = 풙ퟒ + ퟐ풙−ퟐ desde el
punto 풙 = ퟏ hasta 풙 = ퟐ.
8푦 = 푥 4 + 2푥 −2
8푦 = 푥 4 +
2
푥 2
8푦 = 4푥 3 −
4
푥 3
8푦 =
4푥 6 − 4
푥 3 = 푦′ =
4푥 6 − 4
8푥 3
∫ √1 + (
푥 6 − 1
2푥3
2
1
)²푑푥
푥 2 − 2푥 6 + 1
∫ √1 + (
4푥 6 ) 푑푥
2
1
4푥 6 + 푥 2 − 2푥 6 + 1
∫ √
4푥 6 푑푥
2
1
푥 12 + 2푥 6 + 1
∫ √
4푥 6
2
1
푑푥
(푥 6 + 1)²
∫ √
2푥 6
2
1
푑푥
∫
푥 6 + 1
2푥 3
2
1
푑푥
=
1
2
푥 6
푥 3 +
∫ (
1
푥 3) 푑푥
2
1
=
1
2
(
푥 4
4
−
1
2푥 2) |1 2

16. = [(4 −
1
8
) − (
1
4
−
1
2
)]
=
1
2
31
8
[
+
1
4
]
=
1
2
(
33
8
) ⇒
33
16
8- Determine la longitud de arco de la curva 풚 = 퐥퐧 퐬퐞퐜 풙 desde 풙 =
ퟎ y 풙 = ퟏ
ퟒ
흅
푥 =
푦4
16
+
1
2푦2
푥 ′ =
푦3
4
−
1
푦3
푥 ′ =
푦6 − 4
4푦3
푦4 − 4
4푦3 )
− 2
= ∫ √1 + (
−3
²푑푦
푦12 − 8푦6 + 16
= ∫ √1 + (
16푦6 )
− 2
−3
푑푦
16푦6 + 푦12 − 8푦6 + 16
= ∫ √
16푦6
− 2
−3
푑푦
푦12 + 8푦6 + 16
= ∫ √
16푦6
− 2
−3
푑푦
(푦6 + 4)²
16푦6
−2
= ∫ √
−3
푑푦
= ∫
푦6 + 4
푦3
−2
−3
푑푦
푦6
4푦3 +
= ∫ (
4
4푦3) 푑푦
−2
−3
푦3
4
= ∫ (
+
1
푦3) 푑푦
−2
−3
=
1
4
푦4
4
[
−
1
] |−−2
2푦23
= −
1
4
[4 −
1
8
−
81
4
+
1
18
]
= −
1
4
−1157
72
[
] =
1157
288
9- Halle el perimetro de la region acotada por las graficas de las
funciones 풇(풙) = 풙ퟐ , 풚 품(풙) = 풙 + ퟏ.
푥 2 = 푥 + 1
푥 2 − 푥 − 1 = 0

17. (푥 −
1
2
)2 −
5
4
= (푥 −
1
2
) =
∓√5
4
푥 =
∓√5
4
+
1
2
푥 2 − 푥 − 1
(푥 −
1
2
)2 −
5
4
= 0
(푥 −
1
2
)2 =
5
4
푥 =
√5
2
+
1
2
푥 =
√5 + 1
2
푃 = 퐿1 + 퐿 2 + 퐿3
0
퐿√2
1 = ∫ 1 + 4푥 0,61
→ tan 휃 = 2푥 푦 푠푒푐2휃 = 푑푥
−
1
2
0
∫ √1 + 푡푎푛2 푥
−0,61
푠푒푐2휃 = −
1
2
0
∫ 푠푒푐3 휃
−0,61
푑휃
Resolvemos la integral
∫ 푠푒푐3휃푑휃 → 푢 = sec 휃 → 푑푢 = 푠푒푐휃 푡푎푛휃

18. 푑푉 = 푠푒푐2휃
푉 = 푡푎푛 휃
1
2
∫ 푠푒푐3 휃푑휃 = −
1
2
푠푒푐휃푡푎푛휃 −
1
2
∫ 푠푒푐휃 푡푎푛2휃푑휃
∫ 푠푒푐3휃푑휃 = 푠푒푐휃 tan − ∫ 푠푒푐3 휃 +
1
2
∫ 푠푠푒푛휃푑휃
∫ 푠푒푐3휃푑휃 =
1
2
푠푒푐휃푡푎푛휃 +
1
2
∫ 푠푒푐휃푑휃
=
1
2
푠푒푐휃 + 푡푎푛휃 +
1
2
ln(푠푒푐휃 + 푡푎푛휃)
0
∫ √1 + 4푥 2
−0,61
= (
1
2
2푥√1 + 4푥 2 +
1
2
0 = 1,508
ln (2푥 + √1 + 4푥 2))−0,61
1,62
퐿 2 = ∫ √1 + 4푥 2
0
= (푥√1 + 4푥 2 +
1
2
1,62 = 6,439
ln(2푥 + √1 + 4푥 2))0
1,62
퐿 3 = ∫ √1 + 12푑푥
−0,62
1,62
= √2 ∫ 푑푥
−0,62
1,62 = √2(1,62 − 0,62) = √2
= √2 푋`]−0,62
푃 = 퐿1 + 퐿2 + 퐿3 = 9,36
10- encontrar el área de la superficie formada al girar la porción del
ퟐ
ퟑ + 풀
primer cuadrante de la gráfica de 푿
ퟐ
ퟑ = ퟒ, 푶 ≤ 풀 ≤ ퟖ alrededor
del eje Y.

19. Solución
Si X=0, entonces Y = ퟒ
ퟑ
ퟐ, entonces Y = 8. De igual manera, si Y =0, entonces X
= ퟒ
ퟑ
ퟐ, entonces X= 8.
De manera que la gráfica resultante es un astroide, que de acuerdo con el
enunciado se analizara en el primer cuadrante, al hacerlo girar sobre el eje Y.
Despejando X tenemos 푿 = (ퟒ − 풚
ퟐ
ퟑ )
ퟑ
ퟐ , derivando la función tenemos X’ =
ퟑ
ퟐ
(ퟒ − 풚
ퟐ
ퟑ )
ퟏ
ퟐ ∗ (− ퟐ
ퟑ
ퟏ
ퟑ ); X’= (ퟒ−풙
풚−
ퟐ
ퟑ)
ퟏ
ퟐ
ퟏ
ퟑ
풙
.
ퟐ
풅풚 풅
풄
Para esta caso se utiliza la formula S=ퟐ흅 ∫ 풓(풚)√ퟏ + (품′ (풚))
, donde
r (y)= g (y)=(ퟒ − 풚
ퟐ
ퟑ)
ퟐ
ퟑ)
ퟑ
ퟐ y g’(y)= (ퟒ−풙
ퟏ
ퟐ
풙
ퟏ
ퟑ

20. reemplazando valores tenemos: S= 2흅 ∫(ퟒ − 풚
ퟐ
ퟑ )
ퟑ
ퟐ
√
ퟏ + [
(ퟒ−풙
ퟏ
ퟐ
ퟐ
ퟑ)
ퟐ
ퟑ
풙
]ퟐ dy, resolviendo
el radical tenemos 푺 = ퟐ흅
ퟑ
ퟐ ∫(ퟒ − 풚
ퟏ
ퟐ )
ퟑ
ퟐ√풚
ퟏ
ퟑ+ퟒ−풚
ퟏ
ퟑ
풚
ퟐ
ퟑ
풅풙 ퟖ
ퟎ
풅풚 푺 = ∫ (ퟒ − 풚
ퟏ
ퟐ )
ퟑ
ퟐ √
ퟒ
풚
ퟐ
ퟑ
S =
ퟐ흅 ∫ (ퟒ − 풚
ퟐ
ퟑ)
ퟑ
ퟐ
ퟐ
√풚
ퟐ
ퟑ
ퟖ
ퟎ
dy S = 4흅 ∫
(ퟒ−풚
ퟐ
ퟑ)
ퟑ
ퟐ
풚
ퟏ
ퟑ
ퟖ
ퟎ
풅풚 realizando una
sustitución, tenemos que. Z= ퟒ − 풚
ퟐ
ퟑ; dZ = − ퟐ
ퟑ
ퟏ
ퟑ dy; −
풚−
ퟑ
ퟐ 풅풁 = 풅풚
풚
ퟏ
ퟑ
S =
ퟑ
ퟐ
ퟒ
ퟎ
ퟒ흅 ∫ 풛
∗ −
ퟑ
ퟐ 풅풛 S = -6흅 ∫ 풛
ퟑ
ퟐ 풅풛 ퟒ
ퟎ
-6흅[ ퟐ
ퟓ
ퟓ
ퟐ ]ퟎퟒ
풛
- ퟏퟐ
ퟓ
ퟓ
ퟐ ]ퟎퟒ
흅[ 풛
- ퟏퟐ
ퟓ
흅[ ퟒ
ퟓ
ퟐ ] = ퟑퟖퟒ
ퟓ
흅 .
11- considere la gráfica de 풚ퟐ = ퟏ
ퟏퟐ
(ퟒ − 풙)ퟐencontrar el área de la
superficie formada cuando la arcada de esta grafica se gira
alrededor de x.
Solución:
Para hallar el área de la superficie pedida, utilizamos la formula 푆 =
2휋 ∫ 푟(푥) √1 + [푓´(푥)]2 푑푥 , retomando la función tenemos 푦2 = 1
12
(4 − 푥)2푦 =

21. √ 1
12
(4 − 푥)2 1
2√3
(4 − 푥) , derivando la función 푦′ = − 1
2√3
, reemplazando en la
(4 − 푥) 4
0
formula 푆 = 2휋 ∫
1
2√3
√1 + [− 1
2√3
]
2
푑푥 푆 = 휋
√3
∫ (4 − 4
0
푥)√1 + 1
12
푑푥 푆 = 휋
√3
∫ (4 − 푥) 4
0
√12 +1
12
푑푥 푆 =
휋
√3
∫ (4 − 푥) 4
0
√13
2√3
푑푥푆 = √13
6
휋 ∫ (4 − 푥) 4
0
푑푥
푆 = √13
6
휋 [4푥 − 1
2
푥 2]
4
푆 = √13
0
6
휋 [4(4) − 1
2
(4)2] = 4√13
3
휋unidades de área
12-
a.
∫
푑푥
√1 − 푥 2
1
0
→ lim
푥→1
∫
푑푥
√1 − 푥 2
푎
0
∫
푑푥
√1 − 푥 2
→
푥 = sin 휃
푑푥 = cos 휃 푑휃
∫
푐표푠휃푑휃
√1 − sin 휃
= ∫
푐표푠휃푑휃
푐표푠휃
= ∫ 푑휃
= 휗 + 퐶 = sin−1 푥
[sin−1 푎 − sin−1 0] =
lim
푥→1
휋
2
푢3
∫
푑푥
푥 2 + 2푥 + 2
= lim
푎→−∞
∫
푑푢
푢2 + 1
+ lim
푏→∞
∫
푑푥
푥 2 + 2푥 + 2
푏
0
0
푎
∞
−∞
∫ =
por lo tanto

22. Calculo Integral
Taller #3

23. Profesor:
Eudel Camargo
Integrantes:
Marvin Roldan
Andrea Guzmán
Breiner Eguis
José Bruges
Mayo Del 2014
Universidad del Magdalena
Santa Marta – Colombia
2014