ejercicios propuestos sobre derivada de varias funciones, derivada diireccional, aplicación

1. UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
VICE-RECTORADO ACADEMICO
Facultad de Ingeniería
Matemática III
Soluciones asignación N° 1
PARTICIPANTE:
Manuel V. Marval Hernández
C.I. 23.835.263
PROFESOR:
José Linarez
SAIA C
OCTUBRE 2014

2. Ejercicio N° 1
Calcular la derivada parcial implícita
푑푧
푑푥
푦 푑푧
푑푦
de la siguiente ecuación
3푥 2푦2 + 푥 2푧 + 2푧3 + 3푦푧2 − 5푥푦푧 + 10 = 0
Solución:
a) Calculo de
푑푧
푑푥
3푥 2푦2 + 푥 2푧 + 2푧3 + 3푦푧2 − 5푥푦푧 + 10 = 0
6푥푦2 + 2푥푧 + 푥 2 푑푧
푑푥
+ 6푧2 푑푧
푑푥
+ 6푦푧
푑푧
푑푥
− 5푦푧 − 5푥푦
푑푧
푑푥
= 0
Agrupando y separando términos
푥 2 푑푧
푑푥
+ 6푧2 푑푧
푑푥
+ 6푦푧
푑푧
푑푥
− 5푥푦
푑푧
푑푥
= −6푥푦2 − 2푥푧 + 5푦푧
Sacando factor común
(푥 2 + 6푧2 + 6푦푧 − 5푥푦)
푑푧
푑푥
= −6푥푦2 − 2푥푧 + 5푦푧
Despejando
푑푧
푑푥
=
−6푥푦2 − 2푥푧 + 5푦푧
푥 2 + 6푧2 + 6푦푧 − 5푥푦
b) Calculo de
푑푧
푑푦
3푥 2푦2 + 푥 2푧 + 2푧3 + 3푦푧2 − 5푥푦푧 + 10 = 0
6푥 2푦 + 푥 2 푑푧
푑푦
+ 6푧2 푑푧
푑푦
+ 3푧2 + 6푦푧
푑푧
푑푦
− 5푥푧 − 5푥푦
푑푧
푑푦
= 0
Agrupando y separando términos
푥 2 푑푧
푑푦
+ 6푧2 푑푧
푑푦
+ 6푦푧
푑푧
푑푦
− 5푥푦
푑푧
푑푦
= 5푥푧 − 6푥 2푦 − 3푧2
Sacando factor común
(푥 2 + 6푧2 + 6푦푧 − 5푥푦)
푑푧
푑푦
= 5푥푧 − 6푥 2푦 − 3푧2

3. Despejando
푑푧
푑푦
=
5푥푧 − 6푥 2푦 − 3푧2
푥 2 + 6푧2 + 6푦푧 − 5푥푦
Ejercicio N° 2
Encontrar la derivada direccional de 푓(푥, 푦) = 푙푛(푥 2 + 푦3) en p(1,-3) en la
dirección de 푢⃗ = 2푖 − 3푗
Solución:
Derivando parcialmente
푓(푥, 푦) = 푙푛(푥 2 + 푦3) →
{
휕푓(푥, 푦)
휕푥
=
2푥
푥 2 + 푦3
휕푓(푥, 푦)
휕푦
=
3푦
푥 2 + 푦3
Evaluando las derivadas en el punto 푝(1, −3)
{
휕푓(1, −3)
휕푥
=
2(1)
(1)2 + (−3)3 →
휕푓(1, −3)
휕푥
= −
1
13
휕푓(1, −3)
휕푦
=
3(−3)
(1)2 + (−3)3 →
휕푓(1, −3)
휕푦
=
9
26
La derivada direccional respecto al vector dirección 푢⃗ = 2푖 − 3푗
퐷푢⃗⃗ 푓 = 푢푥
휕푓
휕푥
+ 푢푦
휕푓
휕푦
퐷푢⃗⃗ 푓 = 2 (−
1
13
) + (−3)
9
26
퐷푢⃗⃗ 푓 = −
31
26

4. Ejercicio N° 3
Si la temperatura es de &T grado (푥, 푦, 푧) en cualquier punto del espacio
tridimensional y 푇(푥, 푦, 푧) = 60
. Encontrar la rapidez de cambio de temperatura
푥2+푦2 +푧2 +3
en el punto (3,-2,2) en la dirección del vector 푢⃗ = −2푖 + 3푗 − 6푘
Solución:
Derivando parcialmente
푇(푥, 푦, 푧) =
60
푥 2 + 푦2 + 푧2 + 3
→
{
휕푓(푥, 푦, 푧)
휕푥
= −
120푥
(푥 2 + 푦2 + 푧2 + 3)2
휕푓(푥, 푦, 푧)
휕푦
= −
120푦
(푥 2 + 푦2 + 푧2 + 3)2
휕푓(푥, 푦, 푧)
휕푦
= −
120푧
(푥 2 + 푦2 + 푧2 + 3)2
Evaluando las derivadas en el punto 푝(3, −2,2)
{
휕푓(3, −2,2)
휕푥
= −
120(3)
[(3)2 + (−2)2 + (2)2 + 3]2 →
휕푓(3, −2,2)
휕푥
= −
9
10
휕푓(3, −2,2)
휕푦
= −
120(−2)
[(3)2 + (−2)2 + (2)2 + 3]2 →
휕푓(3, −2,2)
휕푦
=
3
5
휕푓(3, −2,2)
휕푦
= −
120(2)
[(3)2 + (−2)2 + (2)2 + 3]2 →
휕푓(3, −2,2)
휕푦
= −
3
5
La derivada direccional respecto al vector dirección 푢⃗ = −2푖 + 3푗 − 6푘
퐷푢⃗⃗ 푓 = 푢푥
휕푓
휕푥
+ 푢푦
휕푓
휕푦
+ 푢푧
휕푓
휕푧
퐷푢⃗⃗ 푓 = (−2) (−
9
10
) + 3 (
3
5
) + (−6) (−
3
5
)
퐷푢⃗⃗ 푓 =
36
5
La rapidez de cambio de temperatura en el punto (3,-2,2)
en la dirección del vector 푢⃗ = −2푖 + 3푗 − 6푘
Es de
36
5
°
푠
∎

5. Ejercicio N° 4
Encontrar los extremos relativos de la función
푓(푥, 푦) = 푥 2 + 푦2 − 6푥푦 + 9푥 + 5푦 + 2
Solución:
 Puntos críticos
휕푓(푥, 푦)
휕푥
= 0
휕푓(푥, 푦)
휕푥
= 2푥 − 6푦 + 9 ⟹ 2푥 − 6푦 + 9 = 0 ⟹ 2푥 − 6푦 = −9 (1)
휕푓(푥, 푦)
휕푦
= 0
휕푓(푥, 푦)
휕푦
= 2푦 − 6푥 + 5 ⟹ 2푦 − 6푥 + 5 = 0 ⟹ −6푥 + 2푦 = −5 (2)
Combinando las dos ecuaciones
(3 ∗)
2푥 − 6푦 = −9
−6푥 + 2푦 = −5
{
{
6푥 − 18푦 = −27
−6푥 + 2푦 = −5
−16푦 = −32 → 푦 = 2
Sustituyendo en (1)
2푥 − 6(2) = −9 → 푥 =
−9 + 12
2
→ 푥 =
3
2
Punto crítico (
3
2
, 2)
Sustituyendo en la función
푓(푥, 푦) = 푥 2 + 푦2 − 6푥푦 + 9푥 + 5푦 + 2

6. 푓(
3
2
, 2) = (
3
2
)
2
+ (2)2 − 6 (
3
2
) (2) + 9 (
3
2
) + 5(2) + 2
푓 (
3
2
, 2) =
55
4
> 0 푚í푛푖푚표 푟푒푙푎푡푖푣표
Geométricamente (3
2
, 2, 55
4
) es el mínimo relativo ∎