![[4-4]
𝑨( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝒂 𝑧̂
𝜇𝐼0
4𝜋𝑟
𝑒−𝑗𝑘𝑟 ∫ 𝑑𝑧′
1/2
−𝑡/2
𝑨( 𝒙,𝒚, 𝒛) = 𝒂 𝒛̂
𝝁𝑰 𝟎 𝒍
𝟒𝝅𝒓
𝒆−𝒋𝒌𝒓
Una vez obtenido 𝑨se puedeencontrar 𝑯 𝐴 , 𝑬 𝐴 yJ utilizandolassiguientesecuaciones
[3-2]
𝑯 𝑨 =
𝟏
𝝁
𝛁 × 𝑨
[3-10]
𝛁 × 𝑯 𝑨 = 𝑱 + 𝒋𝝎𝝐𝑬 𝑨
𝑬 𝑨 = −𝛁𝝋 𝒆 − 𝒋𝝎𝑨 = −𝒋𝝎𝑨 − 𝒋
𝟏
𝝎𝝁𝝐
𝛁(𝛁 ∙ 𝑨)
Transformar 𝑨 encoordenadasesféricasutilizandoestastresecuaciones.
[4-5]
[
𝐴 𝑟
𝐴 𝜃
𝐴 𝜑
] = [
sin 𝜃 cos 𝜑 sin 𝜃 sin 𝜑 cos 𝜃
cos 𝜃 cos 𝜑 cos 𝜃 sin 𝜑 sin 𝜃
−sin 𝜑 cos 𝜑 0
] [
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦
𝐴 𝑧
]
𝐴 𝑥 = 𝐴 𝑦 = 0
[4-6]
𝐴 𝑟 = 𝐴 𝑧 cos 𝜃 =
𝜇𝐼0 𝑙𝑒−𝑗𝑘𝑟
4𝜋𝑟
cos 𝜃
𝐴 𝜃 = −𝐴 𝑧 sin 𝜃 = −
𝜇𝐼0 𝑙𝑒−𝑗𝑘𝑟
4𝜋𝑟
sin 𝜃
𝐴 𝜑 = 0
Transformarla ecuación[3.2] a coordenadasesféricas
[4-7]
𝐻 = 𝑎̂ 𝜑
1
𝜇𝑟
[
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝐴 𝜃) −
𝜕𝐴 𝑟
𝜕𝜃
]
Sustituyendolasecuaciones(4-6a) y (4-6c) en(4-7)
𝐻𝑟 = 𝐻0 = 0
𝐻 𝜑 = 𝑗
𝜇𝐼0 𝑙
4𝜋𝑟
sin 𝜃 [1 +
1
𝑗𝑘𝑟
] 𝑒−𝑗𝑘𝑟](https://image.slidesharecdn.com/antenas-200422141050/85/Antenas-1-320.jpg)
![Encontrar 𝑬 utilizandolasecuaciones con 𝑱 = 𝟎
[4-9]
𝐸 = 𝐸 𝐴 = −𝑗𝜔𝐴 − 𝑗
1
𝜔𝜇𝜖
∇(∇∙ 𝐴)
𝑬 𝑨 =
𝟏
𝒋𝝎𝝐
𝛁 × 𝑯
Sustituyendolasecuaciones(4-8a) y(4-8b) en(4-9)
𝐸 𝑟 = 𝜂
𝐼0 𝑙
2𝜋𝑟2 cos 𝜃 [1 +
1
𝑗𝑘𝑟
] 𝑒−𝑗𝑘𝑟
𝐸 𝜃 = 𝑗𝜂
𝑘𝐼0 𝑙
4𝜋𝑟
sin 𝜃 [1 +
1
𝑗𝑘𝑟
−
1
( 𝑘𝑟)2
] 𝑒−𝑗𝑘𝑟
𝐸 𝜑 = 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. [4-4] 𝑨( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝒂 𝑧̂ 𝜇𝐼0 4𝜋𝑟 𝑒−𝑗𝑘𝑟 ∫ 𝑑𝑧′ 1/2 −𝑡/2 𝑨( 𝒙,𝒚, 𝒛) = 𝒂 𝒛̂ 𝝁𝑰 𝟎 𝒍 𝟒𝝅𝒓 𝒆−𝒋𝒌𝒓 Una vez obtenido 𝑨se puedeencontrar 𝑯 𝐴 , 𝑬 𝐴 yJ utilizandolassiguientesecuaciones [3-2] 𝑯 𝑨 = 𝟏 𝝁 𝛁 × 𝑨 [3-10] 𝛁 × 𝑯 𝑨 = 𝑱 + 𝒋𝝎𝝐𝑬 𝑨 𝑬 𝑨 = −𝛁𝝋 𝒆 − 𝒋𝝎𝑨 = −𝒋𝝎𝑨 − 𝒋 𝟏 𝝎𝝁𝝐 𝛁(𝛁 ∙ 𝑨) Transformar 𝑨 encoordenadasesféricasutilizandoestastresecuaciones. [4-5] [ 𝐴 𝑟 𝐴 𝜃 𝐴 𝜑 ] = [ sin 𝜃 cos 𝜑 sin 𝜃 sin 𝜑 cos 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜑 cos 𝜃 sin 𝜑 sin 𝜃 −sin 𝜑 cos 𝜑 0 ] [ 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 ] 𝐴 𝑥 = 𝐴 𝑦 = 0 [4-6] 𝐴 𝑟 = 𝐴 𝑧 cos 𝜃 = 𝜇𝐼0 𝑙𝑒−𝑗𝑘𝑟 4𝜋𝑟 cos 𝜃 𝐴 𝜃 = −𝐴 𝑧 sin 𝜃 = − 𝜇𝐼0 𝑙𝑒−𝑗𝑘𝑟 4𝜋𝑟 sin 𝜃 𝐴 𝜑 = 0 Transformarla ecuación[3.2] a coordenadasesféricas [4-7] 𝐻 = 𝑎̂ 𝜑 1 𝜇𝑟 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝐴 𝜃) − 𝜕𝐴 𝑟 𝜕𝜃 ] Sustituyendolasecuaciones(4-6a) y (4-6c) en(4-7) 𝐻𝑟 = 𝐻0 = 0 𝐻 𝜑 = 𝑗 𝜇𝐼0 𝑙 4𝜋𝑟 sin 𝜃 [1 + 1 𝑗𝑘𝑟 ] 𝑒−𝑗𝑘𝑟
- 2. Encontrar 𝑬 utilizandolasecuaciones con 𝑱 = 𝟎 [4-9] 𝐸 = 𝐸 𝐴 = −𝑗𝜔𝐴 − 𝑗 1 𝜔𝜇𝜖 ∇(∇∙ 𝐴) 𝑬 𝑨 = 𝟏 𝒋𝝎𝝐 𝛁 × 𝑯 Sustituyendolasecuaciones(4-8a) y(4-8b) en(4-9) 𝐸 𝑟 = 𝜂 𝐼0 𝑙 2𝜋𝑟2 cos 𝜃 [1 + 1 𝑗𝑘𝑟 ] 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝐸 𝜃 = 𝑗𝜂 𝑘𝐼0 𝑙 4𝜋𝑟 sin 𝜃 [1 + 1 𝑗𝑘𝑟 − 1 ( 𝑘𝑟)2 ] 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝐸 𝜑 = 0