Árbol Extensión Mínima

1. MODELO DE REDES
FRANCISCO VARGAS
INGENIERO DE SISTEMAS
ESPECIALISTA EN GERENCIA DE SISTEMAS INFORMÁTICOS
MAGÍSTER EN CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN Y LAS COMUNICACIONES CON ÉNFASIS EN TELEINFORMÁTICA
CANDIDATO A DOCTOR EN CIENCIA Y TECNOLOGÍA INFORMÁTICA
2015

2. MODELO DE REDES
2. MODELO DEL ARBOL DE EXTENSIÓN MINIMA
2.1 Escenario: Crear una red de caminos pavimentados para conectar x # de
poblaciones rurales.
Limitaciones: Presupuestales, # de km de caminos por construirse debe ser el mínimo
absoluto que permita la conexión directa o indirecta del tráfico entre las poblaciones.
Representar por una red donde las poblaciones representan nodos y los caminos
propuestos representan ramas.
Situación
Modelo resultante es característico del problema del árbol de extensión mínima, donde
se desea determinar el árbol extenso que proporciona la suma mínima de ramas
conectoras.

3. MODELO DE REDES
2. PROBLEMA DEL ARBOL DE EXTENSIÓN MINIMA
Inicio
Comenzar con cualquier nodo y conectar a éste con el más cercano de la red
Los dos nodos resultantes forman un conjunto conectado C y los nodos restantes constituyen el conjunto no
conectado C
2.2 El algoritmo del árbol de extensión mínima necesita:
A continuación, se escoge un nodo del conjunto no conectado que sea el más cercano (que tenga la rama de
longitud más corta) a cualquier nodo del conjunto conectado.
conj
unto
cone
ctad
o
conjunto no
conectado
vacío?
El nodo escogido se elimina del conjunto no conectado y se une al conjunto conectado
No
Fin
Nota: Un empate puede
romperse arbitrariamente . Sin
embargo , los empates
evidencian que existen
soluciones alternativas.

4. MODELO DE REDES
2.3 Ejemplos de Aplicación.
Una TV Cable Company, está planeando una red para dar servicio de TV por cable a cinco
nuevas áreas de desarrollo habitacional. La red del sistema de cable se resume en la figura
2. Los números asociados con cada rama representan la longitud de cable (en millas) que
se necesita para conectar dos sitios. El nodo 1 representa la estación de TV por cable y los
nodos restantes (2 a 6) representan las cinco áreas de desarrollo. Una rama faltante entre
dos nodos implica que es prohitivamente costoso o físicamente imposible conectar las
áreas de desarrollo asociadas. Se necesita determinar los enlaces que originarán el uso
mínimo de cable a la vez que se garantiza que todas las áreas se conecten (directa o
indirectamente) a la estación de TV por cable.
La solución gráfica se resume en la figura 2 mediante iteraciones. El procedimiento puede
iniciarse desde cualquier nodo, terminando siempre con la misma solución óptima. En el
ejemplo de la TV por cable, es lógico empezar a realizar los cálculos con el nodo 1.
4
1
2
3
5
6
1 4
9
5
7
6
3 (millas)
10
8
3
5
Figura 2

5. MODELO DE REDES
2.4 Iteraciones
Por lo tanto, el nodo 1 representa el conjunto de nodos conectados. El conjunto de nodos
no conectados lo representan los nodos 2,3,4,5 y 6. En forma simbólica escribimos esto
como :
Iteración 1: El nodo 1 debe conectarse al nodo 2, que es el nodo más próximo en
C = 2,3,4,5,6 tanto, la iteración 1 de la figura 3 muestra que:
Iteración 2: Los nodos 1 y 2 ahora están unidos permanentemente. En la iteración 2
seleccionamos un nodo en C = 3,4,5,6 que esté más próximo a un nodo en C = 1,2 .
Como la distancia más corta ocurre entre 2 y 5, tenemos:
C = 1 C = 2,3,4,5,6
C = 1,2
C = 3,4,6C = 1,2,5
C = 3,4,5,6
Iteración 3: Los nodos 2 y 4 están conectados , lo q produce
C = 1,2,4,5 C = 3,6
Iteración 4: Los nodos 4 y 6 deben estar conectados. Por lo tanto obtenemos
C = 1,2,4,5,6 C = 3

6. MODELO DE REDES
Iteración 5: En esta iteración se tiene un empate que se puede romper arbitrariamente.
Esto quiere decir que ponemos conectar 1 y 3 o 4 y 3, ambas soluciones nos
conducen a:
C = 1,2,3,4,5,6 C = O
Como todos los nodos están conectados , el procedimiento está completo . La
longitud mínima (en millas) de cable que se utiliza para conectar las áreas de
desarrollo habitacional a la estación de TV es igual a 1+3+4+3+5=16 milla
2.4 Iteraciones

7. MODELO DE REDES

8. MODELO DE REDES
2.5 Ejercicios de Aplicación.
a. Ejercicio 1: Resuelva el ejemplo 1 mediante el uso del nodo 4 como el conjunto
conectado inicial; es decir, C inicial = 4 . Siga el procedimiento gráfico explicado.
b. Ejercicio 2: EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO
La ciudad de Tunja esta planificando el desarrollo de una nueva línea en sistemas de
tránsito, dentro de los requisitos a tener en cuenta, se tienen:
• El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales
• El distrito metropolitano de tránsito necesita seleccionar un conjunto de líneas que
conecten todos los centros a un mínimo costo.
• La red seleccionada debe permitir: Factibilidad de las líneas que deban ser
construidas, mínimo costo posible por línea

9. EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO

10. c. Ejercicio 3

11. d. Ejercicio 4

12. e. Ejercicio 5: Problema para resolver Caminos en el Parque
La administrador del parque del Chicamocha necesita determinar los caminos bajo los
cuales se deben tender comunicaciones para conectar todas las estaciones con una
longitud total mínima de cable. Dada la red indicada en la siguiente figura, se selecciona
O como nodo inicial.