Límites algebraicos

1. (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para resolver límites que involucran funciones circulares
directas, resulta conveniente conocer los límites de las
siguientes funciones:
0 0
lim 0 ; limcos 1
x x
senx x
→ →
= =
Ahora considérese el siguiente límite:
0
lim
x
senx
x→
tansenx x x< <
1cos 1
cos
senx
senx x xx
senx senx senx senx x
< < ⇒ < <
1 cos
senx
x
x
> >
( )0 0
lim 1 1 limcos
x x
x
→ →
= =
0
lim 1
x
senx
x→
∴ =
Con los tres límites, esto es:
0 0 0
lim 0 ; limcos 1 ; lim 1
x x x
senx
senx x
x→ → →
= = =
es posible resolver muchos límites de funciones
trigonométricas.
s x
1r = t

2. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:
0
tan
lim
5x
x
x→
Ejemplo. Calcular el siguiente límite:
2
0
lim
x
sen x
x→
Ejemplo. Obtener el valor numérico del siguiente límite:
4
1 tan
lim
cosx
x
senx xπ
→
−
−
Ejemplo. Calcular
2
20
2
lim
secx
sen x
x x→

3. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
Ejemplo. Determinar el valor de:
0
2
lim
3x
sen x
sen x→
Ejemplo. Resolver el límite siguiente:
20
1 cos
lim
x
x
x→
−
Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:
1
cos
2
lim
1x
x
x
π
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−

4. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
4
OTROS LÍMITES
Un límite de gran importancia en matemáticas es aquel cuyo
valor es el “famoso” número " "e y que se presentará
después de recordar el desarrollo del binomio de Newton
para el siguiente binomio, considerando a " "x como un
valor real:
( ) ( )( )2 3
1 2 3
1 1 21 1 1 1
1 1 1 1 1
1! 2! 3!
x
x x x x
x x x x xx
x x x x
− − −
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 1 1 1 2
1 1
1! 2! 3!
x
x x x
x x x x
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1
1! 2! 3!
x
x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
+ = + + − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Ejemplo. Calcular el valor del siguiente límite:
1
lim 1
x
x x→∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo. Resolver el siguiente límite:
( )
1
0
lim 1 x
x
x
→
+

5. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
5
Ejemplo. Resolver el límite:
2
1
lim 1
x
x x→∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Definición. Una función es continua si al dibujar su gráfica no
hay necesidad de despegar del papel la punta del lápiz.
Considérense las gráficas de las funciones de la siguiente
figura:
x x
y y y
f
f
a
( )f a
a a
( )f a
f
( )
( )
( )
existe
lim no existe
no es cont en
x a
f a
f x
f x x a
→
=
( )
( )
no existe
no es cont en
f a
f x x a=
( )
( )
( ) ( )
( )
existe
lim existe
lim
no es cont en
x a
x a
f a
f x
f a f x
f x x a
→
→
≠
=
x

6. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
6
Definición. Una función f es continua en x a= sí y solo si se
cumplen las condiciones siguientes:
( )) Que existai f a
( )) Que lim exista
x a
ii f x
→
( ) ( )) Que lim
x a
iii f a f x
→
=
Como se vio en la figura y en la definición, de no cumplirse
una de las condiciones dadas, la función no es continua en
x a= .
Continuidad en un intervalo
Definición. Una función f es continua en un intervalo
cerrado ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦ si cumplen las siguientes condiciones:
)a Que f sea continua en todos los puntos del intervalo
abierto ( ),a b .
)b Que f sea continua por la derecha de " "a , lo que
implica el cumplimiento de las siguientes condiciones:
( )) Que existai f a
( )) Que lim exista
x a
ii f x+
→
( ) ( )) Que lim
x a
iii f a f x+
→
=
)c Que f sea continua por la izquierda de " "b , lo que
implica el cumplimiento de las siguientes condiciones:
( )) Que existai f b
( )) Que lim exista
x b
ii f x−
→
( ) ( )) Que lim
x b
iii f b f x−
→
=
Ahora se enunciarán algunos teoremas que son de gran
ayuda al estudiar la continuidad de una función, ya sea en
un punto o en un intervalo.

7. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
7
Teoremas sobre continuidad
)i La suma, resta, producto y cociente de dos funciones que
son continuas en un punto, también son funciones continuas
en dicho punto (con tal de que la función del divisor no se
anule en el punto).
)ii Toda función polinomial es continua en su dominio, esto
es, para todo valor real de la variable independiente.
)iii Toda función algebraica o trascendente es continua en
su dominio.
A continuación se presentarán varios ejemplos que ilustran el
concepto de continuidad en puntos e intervalos, así como
una aplicación práctica.
Ejemplo. Analizar la continuidad en el punto correspondiente
a 3x = para la siguiente función y hacer un trazo
aproximado de su gráfica:
( )
1
2 3
1
4 15
3 6
3
si x
x
f x
x
si x
⎧
− < <⎪⎪ −
= ⎨
−⎪ ≤ ≤
⎪⎩

8. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
8
Ejemplo. Estudiar la continuidad de la siguiente función en
0x = y trazar su gráfica:
( ) 2
cos 0
1 0 2
x si x
f x
x si x
π− < ≤⎧
= ⎨
+ < <⎩
Ejemplo. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
( ) ( )
3 2 3 2
3 cos 1 cos
) ; )
4cos 2 1
cos
sen x x x x x senx
i f x ii f x
x
senx
+ + +
= =
− ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Solución.
( )
3 2
3 cos 1
)
4cos 2
sen x x
i f x
x
+ +
=
−

9. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
9
Esta función es continua en su dominio, por lo que solo
experimenta discontinuidades en los puntos donde el
denominador se hace cero, esto es, en los puntos que son
raíces de la ecuación:
1
4cos 2 0 cos
2
x x− = ⇒ =
por lo que la función es continua en todos los valores reales
con excepción de los puntos donde la variable
independiente " "x es igual a:
( )2 0, 1, 2,
3
x n n
π
π= ± + = ± ± …
( )
3 2
cos
)
1
cos
x x x senx
ii f x
senx
+
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Esta función es continua, al igual que la anterior, en su
dominio, luego será continua en todos los reales excepto en
los puntos donde el denominador se cancele, es decir,
donde
1
cos 0
senx
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
y para ello, en primer término, para ( ), enterox k kπ= ,
0senx = que llevaría a una división entre cero que no existe.
Además,
1
cos 0
senx
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
en los puntos en que
( ) ( )
1
2 1 , entero
2
p p
senx
π
= + , o sea en
( )
2
2 1
senx
n π
=
+
. Por lo
tanto, la función es continua en todos los reales con
excepción de los puntos donde:
( )
( )
( )
2
1
2 1
, , 0, 1, 2,
n
x k y x angsen n
p
k p n
π π
π
= = − +
+
= ± ± …

10. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
10
Ejemplo. Estudiar la continuidad de la siguiente función,
tanto en puntos como en intervalos:
( )
2
3 5 2
3 4 2 0
cos 0
2
4 10
5
10 2
si x
x si x
f x x si x
x
si x
π
π π
π
− < ≤ −⎧
⎪
− − − < ≤⎪
⎪
= ⎨ < ≤
⎪
⎪ − −
⎪ < ≤
−⎩

11. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
11

12. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
12
Ejemplo. Determinar el valor de las constantes " " " "c y k
de tal forma que la función dada sea continua para todo
valor real de " "x . Hacer un trazo aproximado de la gráfica de
la función resultante.
( )
1
1 4
2 4
x si x
f x cx k si x
x si x
≤⎧
⎪
= + < <⎨
⎪ − ≤⎩

13. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
13
Ejemplo. Un ingeniero está trazando el perfil de un camino
y hay un tramo de 24 m en línea recta, en el que deberán
realizarse determinados trabajos por la presencia del cauce
de un río cuyo ancho es de 10 m. Con respecto a un cierto
sistema coordenado, este tramo de 24 m se sitúa de
acuerdo con los puntos
( ) ( ) ( ) ( )125,500 ; 131,499.5 ; 141,499 ; 149,500A B C D
de tal manera que el cauce del río está entre las abscisas
131 141y . ¿Cómo representaría el ingeniero dicho tramo a
partir de una función, qué diría de su continuidad y cómo
removería la discontinuidad, lo que en realidad sería hecho
con un puente para cruzar el río? ¿Cómo quedaría la función
con la discontinuidad removida?
Solución.
Lo primero que hace el ingeniero es una gráfica de la
función, que representa el perfil del camino. Los tramos de
a de C DA B y a los toma como rectas por simplicidad.
Así, la función y su gráfica serían:
Con la ecuación de la recta apoyada en dos puntos, esto es,
( )2 1
1 1
2 1
y y
y y x x
x x
−
− = −
−
496
495
497
498
499
500
501
125 130 135 140 145 150
y
x
río
A
B
C
D

14. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
14
se obtienen las dos reglas de correspondencia
correspondientes a los tramos de A a B y de C a D.
Luego el ingeniero puede escribir la función como sigue:
( )
6125
125 131
12
3851
141 149
8
x
si x
f x
x
si x
−⎧
≤ ≤⎪⎪
= ⎨
+⎪ ≤ ≤
⎪⎩
Al analizar la continuidad, el ingeniero sabría que las dos
reglas de correspondencia son rectas (funciones
polinomiales), por lo que al ser continuas en los reales, lo son
en sus respectivos intervalos. Además, sabe que la función,
en cada intervalo, es continua, por la derecha de
125 141y y por la izquierda de 131 149y , lo que escribe
como:
Por la derecha de 125x =
( ) ( )) 125 500 cumplei f =
( ) ( )125
) lim 500 cumple
x
ii f x+
→
=
( ) ( ) ( )125
) 125 lim cumple
x
iii f f x+
→
=
Por lo que ( )f x es continua por la derecha de 125x =
Por la izquierda de 131x =
( ) ( )) 131 499.5 cumplei f =
( ) ( )131
) lim 499.5 cumple
x
ii f x−
→
=
( ) ( ) ( )131
) 131 lim cumple
x
iii f f x−
→
=
Por lo que ( )f x es continua por la izquierda de 131x =
Por la derecha de 141x =
( ) ( )) 141 499 cumplei f =
( ) ( )141
) lim 499 cumple
x
ii f x+
→
=
( ) ( ) ( )141
) 141 lim cumple
x
iii f f x+
→
=
Por lo que ( )f x es continua por la derecha de 141x =

15. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
15
Por la izquierda de 149x =
( ) ( )) 149 500 cumplei f =
( ) ( )149
) lim 500 cumple
x
ii f x−
→
=
( ) ( ) ( )149
) 149 lim cumple
x
iii f f x−
→
=
Por lo que ( )f x es continua por la izquierda de 149x =
Al considerar el intervalo de 125x = a 149x = , concluye que
la función ( )f x es continua en 125,131 141,149y⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y
discontinua en ( )131,141 .
Para remover la discontinuidad, le basta con agregar a la
definición una regla de correspondencia que representa al
eje del perfil del puente que tendría que construir para salvar
el obstáculo representado en este caso por el río. Si el
ingeniero coloca una recta en el intervalo de discontinuidad,
que representaría el puente, entonces la función quedaría
como:
( )
6125
125 131
12
1021
131 141
20
3851
141 149
8
x
si x
x
f x si x
x
si x
−⎧
≤ ≤⎪
⎪
⎪ −
= < <⎨
⎪
⎪ +
≤ ≤⎪
⎩
Y así la función del perfil del tramo de camino considerado es
continua en el intervalo 125,149⎡ ⎤⎣ ⎦. Y la gráfica quedaría
como:

16. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
16
Forma alternativa para estudiar la continuidad
Definición. Si en una función la variable independiente " "x
experimenta un cambio de 0" "x a " "x , su incremento será
0x x xΔ = −
Y como la variable dependiente " "y está en función de la
variable independiente " "x , entonces, al experimentar esta
un incremento, es evidente que " "y tenga su
correspondiente incremento, que se define como:
( ) ( )0y f x f xΔ = −
y, como 0x x x= + Δ , entonces
( ) ( )0 0y f x x f xΔ = + Δ −
( )
( )
1 1 1
2 1
2 2 2
;
;
;
x y f x
y y y
x y f x
=
Δ = −
=
Considérense al respecto los siguientes ejemplos:
496
495
497
498
499
500
501
125 130 135 140 145 150
y
x
río
A B
C
D
puente

17. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
17
Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener su incremento:
3 2
2 5 1y x x x= − + −
Ejemplo. Supóngase una esfera metálica de radio 25r cm= ,
la que, por efecto de variaciones de temperatura, aumenta
su diámetro en 0.002 cm. ¿Cuál será la variación de su
volumen y de su superficie?

18. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
18
Teorema (Continuidad por incrementos). Una función f es
continua en un valor 0x x= si se cumple que
0
lim 0
x
y
Δ →
Δ =
Prueba.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
0
0
0
0 0
0
lim 0
lim 0
lim lim
lim
x
x x
x x x x
x x
y
f x x f x
f x x x f x
f x f x
Δ →
→
→ →
→
Δ =
⎡ ⎤+ Δ − =⎣ ⎦
+ − =
=
Ejemplo. Dada la función ( ) 2
2 1y f x x= = − , determinar el
incremento de la función cuando la variable independiente
cambia de 0 0.5x = a 0.7x = . Estudiar también si la función
es continua en 0 0.5x = a través del límite
0
lim 0
x
y
Δ →
Δ = . Mostrar
de manera explícita, con una tabla, cómo se cumple este
límite, es decir, cómo al tender a cero el incremento de " "x ,
lo mismo le sucede al incremento yΔ de la función.
Solución. El incremento de la variable independiente es:
0
0
0.7
; 0.7 0.5 0.2
0.5
x
x x x x x
x
=
Δ = − ⇒ Δ = − ∴ Δ =
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
0
0.7 1.428
;
0.5 1.732
f x x f
y f x x f x
f x f
+ Δ = =
Δ = + Δ −
= =
1.428 1.732 0.304y yΔ = − ∴ Δ = −
Continuidad en 0 0.5x =
( ) ( )0 0
0 0
lim 0 lim
x x
y f x x f x
Δ → Δ →
⎡ ⎤Δ = ⇒ + Δ −⎣ ⎦
( )
( )
2 2
0 0
2 2
2 1 2 1
2 1 0.5 2 1 0.5
y x x x
y x
Δ = − + Δ − −
Δ = − + Δ − −

19. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
19
( )
2 2
0 0
lim lim 2 1 0.5 2 1 0.5
x x
y x
Δ → Δ →
⎡ ⎤Δ = − + Δ − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2
0 0
lim 2 1 0.5 2 1 0.5 ; lim 0
x x
y y
Δ → Δ →
Δ = − − − Δ =
( )f x∴ es continua en 0.5x =
Finalmente, se construye una tabla para mostrar
explícitamente, mediante un cálculo numérico, como yΔ
tiende a cero conforme xΔ tiende a cero.
0x xΔ ( )0f x x+ Δ ( )0f x yΔ
0.5 0.2 1.428 1.732 0.304−
0.5 0.1 1.600 1.732 0.132−
0.5 0.01 1.720 1.732 0.012−
0.5 0.001 1.731 1.732 0.001−
0.5 0.0001 1.7319 1.732 0.0001−
0
↓
0
↓
Se observa que cuando xΔ se aproxima a cero, yΔ
también se aproxima a cero, es decir, que
0
lim 0
x
y
Δ →
Δ = y por
lo tanto la función ( ) 2
2 1f x x= − es continua en 0.5x = .
ASÍNTOTAS
Definición. Sea f una función algebraica cuyo límite no
existe cuando la variable independiente " "x tiende a un
cierto valor 0" "x , el cual anula el denominador de la función;
entonces, esta tiene una asíntota vertical, cuya ecuación es
0x x= .
Ejemplo. Determinar, si existen, las ecuaciones de las
asíntotas verticales para las siguientes funciones:
( ) ( )
3 2
2
5 1 6
) ; ) ; )
1 65 6
x x x x
i f x ii y iii f x
x xx x
+ −
= = =
− −− +

20. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
20
Las funciones “tangente” y “secante” tienen asíntotas
verticales cuyas ecuaciones son:
( )2 1 ;
2
x n n
π
= − ∀ ∈
mientras que las funciones “cotangente” y “cosecante”
tienen asíntotas verticales de ecuaciones:
;x n nπ= ∀ ∈
Definición. Sea f una función algebraica cuyo límite sí
existe cuando la variable independiente " "x tiende a ∞;
entonces, la función tiene una asíntota horizontal, cuya
ecuación es:
( )lim
x
y f x
→+∞
= o bien ( )lim
x
y f x
→−∞
=

21. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
21
Ejemplo. Determinar, si existen, las ecuaciones de las
asíntotas horizontales para las siguientes funciones:
( )
( )
2 4
2 2
4 1 4 2 4
) ; ) ; )
22 5 6
x x
i y ii f x iii y
x xx x x
+ +
= = =
−+ − −
Ejemplo. Determinar, si existen, las ecuaciones de las
asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función y
hacer un trazo aproximado de su gráfica en la cual se
señalen las asíntotas.
( )
2
2
1
2
x
f x
x x
−
=
+ −