1. Instituto Agrícola Pascual Baburizza
Función Educacional Luksic
Guía Evaluada Primero Medio
Unidad 1: Números
Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz
Objetivos:
• Resolver problemas y ejercicios que involucren propiedades de sistemas numéricos.
Números Racionales
Al dividir dos números enteros, no siempre resulta otro número entero. Esto llevó a la
necesidad de ampliar el conjunto Z y dar paso a un nuevo conjunto, llamado de los Números
Racionales y simbolizado por Q. Este conjunto incluye a Z y IN. Su definición es:
a
, siendo a y b números enteros, con b
b
distinto de 0.
Q es el conjunto de los números de la forma
Obvio que b debe ser distinto de cero, ya habíamos visto que la división por 0 no está definida.
Analicemos el elemento 3/8 perteneciente al conjunto Q
Esta fracción indica que un entero ha sido dividido en 8 partes equivalentes y que se han
considerado 3 partes de ella. (Ver figura)
En la fracción 3/8 el 3 recibe el nombre de numerador y el 8 de denominador
Si efectuamos la división 3: 8, obtenemos como resultado exactamente 0,375
3: 8 = 0,375
0//
y los nombres al efectuar esta operación son: el 3 se llama dividendo, el 8 divisor, el 0,375
cuociente y el 0 resto.
Número Mixto
La fracción 5/3 se puede escribir como un número mixto, o sea un número con una parte entera y
otra fraccionaria.
5
2
=1 , esto resulta de efectuar la división 5:3 = 1 con resto 2.
3
3
4
19
Si queremos transformar, por ejemplo, 3 , debemos multiplicar 5•3 y sumarle 4, resultando
5
5
.
Fracción propia
Son aquellas cuyo numerador en menor que el denominador. En la recta numérica se ubican entre
el 0 y el 1.
Por ejemplo, 2/3; 5/7; 12/37
Fracción impropia
Son aquellas cuyo numerador en mayor que el denominador, por lo tanto son mayores que 1. Para
ubicarlas en la recta numérica se necesita transformarlas a número mixto.
Amplificación
Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y denominador por un mismo número natural.
La fracción obtenida es equivalente a la original.
Ejemplo: Amplifiquemos 2/5 por 7. Entonces debemos multiplicar el numerador y el denominador
por 7 quedando la fracción como 14/35. Luego 2/5 y 14/35 son fracciones equivalentes.
Simplificación
2. Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo
número natural, para lo cual el numerador y el denominador deben ser múltiplos de ese número.
De lo contrario, no se puede simplificar la fracción.
Si una fracción no se puede simplificar, decimos que se trata de una fracción irreductible. Como
ser 3/7.
Ejemplo: 30/42 la podemos simplificar por 2, por 3, por 6. Lo más conveniente es por 6 así queda
de inmediato irreductible. Al simplificarla se obtiene 5/7
Orden en Q
Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elemento.
Aquí se nos presentan dos casos:
a) Si los denominadores son iguales, resulta fácil, será mayor la fracción que tenga el
numerador mayor.
Por ejemplo: 8/25, 3/25, 16/25
Ordenadas de menor a mayor quedan así: 3/25 < 8/25 < 16/25
b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Primero determinamos el m.c.m. y
luego se amplifica para que todos tengan el mismo denominador.
Por ejemplo, ordenar de menor a mayor 2/3, 1/6 y 5/8
El m.c.m. es 24. Amplificamos cada fracción de modo que queden con denominador 24, resultando
4/24 < 15/24 < 16/24. O sea 1/6 < 5/8 < 2/3
Otro método es el de los productos cruzados ¿Cuál fracción es menor
7
11
o´
?
9
7
Se efectúa el producto 7•7 = 49 y 9•11 = 99, como 49 es menor que 99, se concluye que
7 11
<
9
7
OPERATORIA EN Q
Siempre antes de operar, debemos revisar si todas las fracciones son irreductibles, si no lo son es
conveniente simplificar.
Suma y Resta:
a) Fracciones con el mismo denominador: se suman (o restan) los numeradores y se conserva el
denominador.
Ejemplo: 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3
b) Fracciones con distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados en
el mcm de los denominadores y luego resolver como en la situación anterior.
Ejemplo: 2/3 + 1/4 - 5/8 =
El m.c.m. entre 3, 4 y 8 es 24, por la tanto las fracciones equivalentes son:
16/24 + 6/24 - 15/24 = 37/24
Multiplicación: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí.
Ejemplo:
3 5 15
• =
4 7 28
División: Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por el inverso multiplicativo de la
segunda fracción.
Ejemplo:
2 3 2 4 8
: = • =
3 4 3 3 9
Otro método para dividir fracciones es multiplicando en forma cruzada.
Mitad de un racional
En múltiples ocasiones hemos tenido que utilizar el término mitad. Todos tenemos claro que su
significado es dividir algo en dos partes iguales, pero cuando trabajemos con fracciones,
especialmente en los problemas verbales, lo anotaremos de otro modo. Veamos:
3. La mitad de 3/7 es 3/7: 2, que al resolver resulta 3/7 · 1/2 = 3/14.
MITAD: Multiplicar por 1/2
Luego, la mitad de la mitad de 7/13 es 1/2 · 1/2 · 7/13 = 7/52.
Doble de un racional
El doble de 5/7 es dos veces 5/7, o sea 5/7 + 5/7, pero es mucho mejor traducirlo a 5/7 · 2 = 10/7
O sea, el doble nos indica que debemos multiplicar por 2.
DOBLE: Multiplicar por 2
Luego el doble de 1/3 es 1/3 · 2 = 2/3
Fracción de Fracción
Ya estamos claros con la mitad y el doble, pero ¿qué debemos hacer si nos piden, por ejemplo, las
tres cuartas partes de 2/5?
La fracción de una fracción corresponde al producto entre ellas.
Ejemplos:
1. Determinar los 6/5 de 3/7
6/5 · 3/7 = 30/21, simplificando por 3 resulta 10/7
2. Determinar los 2/3 de los 5/9 de 4/7
2/3 · 5/9 · 4/7 = 40/189
Fracciones a decimales
Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador.
Así si queremos convertir a decimal tenemos que efectuar la división 1: 8
1: 8 = 0,125 o sea un decimal exacto
Efectuemos ahora la transformación de a forma decimal.
_
2: 3 = 0,66666...= 0,6 o sea un decimal periódico
Convirtamos a decimal la fracción
_
1: 6 = 0,166666...= 0,16 o sea un decimal semi periódico
Decimales a fracción
Decimal exacto: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 10; dependiendo la
cantidad de ceros, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.
Ejemplo: 0,4 = 4/10 = 2/5
0,36 = 36/100 = 9/25
3,2 = 32/10 = 16/5
Decimal Periódico: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 9; dependiendo
la cantidad de nueves, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.
_
Ejemplo: 0,4 = 4/9
__
0,17 = 17/99
Caso especial es cuando la parte entera no es cero, en ese caso se debe restar a todo el número
la parte entera como lo indican los siguientes ejemplos:
_
2,7 = (27 - 2) / 9 = 25/9
_
12,3 = (123 - 12) / 9 = 111/9
Si el decimal es semiperiódico, se procede similarmente al caso anterior.
_
Ejemplo: 2,53 = (253-25)/90 = 228/90 =114/45 = 38/15
4. NÚMEROS IRRACIONALES
Corresponde al conjunto de los números que no pueden expresarse en forma fraccionaria, como
decimales infinitos no periódicos, raíces inexactas y algunas constantes.
Ejemplo:
3 ,π, e
NÚMEROS REALES
Es el conjunto determinado por la unión de los conjuntos Racionales e Irracionales.
EJERCICIOS
1. ¿Cuál de los siguientes números es mayor que 3 pero menor o igual que 4?
a)
b) 3/4
9
c) 4/3
d)
c) Irracional
d) Entero positivo
3,5
e)
10
2. Π + 7 es un número:
a) Racional
3. Si x =
b) Entero
e) Periódico
3 . ¿Cuál de los números siguientes no posee inverso multiplicativo?
a) x2
b) x2 -
3
c) x2 +
3
d) x2 + 3
e) x2 - 3
d) 10/15
e) 1/6
4. 0,06 equivale a:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1/15
5. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) racional(es)?
II) 1 + 3
I) 3,1415
a) Sólo I
b) Sólo II
6. ¿Para qué valor de p, la expresión
a) 5
c) Sólo III
d) Sólo I y II
e) Sólo I y III
5 − p es un número irracional?
b) 4
7. 0,13 +
a) 0,9
8.
III) 2, 3
c) 1
d) -1
e) -4
b) 0,99
c) 0,26
d) 1
e) 26/15
c) b = -1/a
d) a = 1/b
e) a=5 y b=4
d) 7
e) 8
13
=
15
ab es racional si:
a) a = 2b
b) b = 2a
9. El número 1a42 es divisible por 6, entonces a=
a) 0
b) 3
10. ¿Qué valor debe tener x para que
a) 362
b) 36
c) 6
x2 = 6 ?
c) 12
d) 6
e) 3
1 1 1
+ + : 2,5 es:
2 3 6
11. El cuociente de
a) 2,5
b) 0,8
c) 4
d) 0,4
e) 25/6
12. En una división, el dividendo es 8/9 y el cuociente 10/3. ¿Cuál es el divisor?
a) 10/3
b) 4/15
c) 3/10
d) 3,75
GUÍA DE POTENCIAS
POTENCIAS: El producto de factores iguales se puede escribir como potencia.
Ejemplos: 1) 8 · 8 · 8 · 8 · 8 = 85
e) 2/15
5. 4
3 3 3 3 3
2) · · · =
4 4 4 4 4
3) x · x · x · x · x · x · x = x7
bn = b · b · b · b ·............n veces ; con b ≠ 1
y b>0
Definición :
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
DESCRIPCIÓN
PROPIEDAD
OPERATORIA
Potencia de exponente A1 = A
1
Potencia
de A0 = 1
exponente 0
Multiplicación
de An · Am = An + m
potencias de igual base
División de potencias An : Am = An - m
de igual base
Multiplicación
de
potencias
de
igual An · Bn = (A · B)n
exponente
División de potencias An : Bn = (A : B)n
de igual exponente
Potencia
potencia
de
una (An)m = An · m
Potencia
de
A-n =
exponente negativo
1
An
Potencias de bases
iguales
An = Am
n=m
EJEMPLO
Exponente 1 no se
escribe
Toda potencia de
exponente 0 es igual
a1
Se conserva la base y
se
suman
los
exponentes
Se conserva la base
y
se
restan
los
exponentes
Se
conserva
el
exponente
y
se
multiplican las bases
Se
conserva
el
exponente
y
se
dividen las bases
Se conserva la base y
se
multiplican
los
exponentes
Es el reciproco de la
potencia,
con
el
exponente con signo
cambiado
Si las bases son
iguales, entonces sus
exponents
son
iguales
91 = 9
Potencias de 10
Exponente positivo
72 · 73 = 72 +3 = 75
57 : 53 = 57 – 3 = 54
65 · 55 = (6 ·5)5 = 305
85: 25 = (8:2)5 = 45
(43)5 = 43 · 5 = 415
4-2 =
1
1
=
2
4
16
2x = 2 5
x=5
Exponente negativo
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
104 = 10.000
105 = 100.000
Etc.
(5k)0 = 1
10-1 = 1/10 = 0,1
10-2 = 1/100 = 0,01
10-3 = 0,001
10-4 = 1/10.000 = 0,0001
10-5 = 1/100.000 = 0,00001
Etc.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica es una forma abreviada de expresar cantidades extremadamente
pequeñas, tal como 0,000000154, 0 muy grandes, tal como 7.850.000.000.000.
Esta notación consiste en expresar la cantidad por medio de un producto entre un decimal
con una cifra entera distinta de cero y una potencia de 10.
Ejemplos: 1) 0,000000154 = 1,54 · 10-7
2) 7.850.000.000.000 = 7,85 · 1012
EJERCICIOS
1) El valor numérico de: -62 – (43 – 92) + 2-3 es:
A) –25
B) –151/8
C) –423/8
D) 153/8
E) 425/8
2) El producto de 2,4 · 10-8 con 7,5 · 103 es:
6. A) 1,8 · 10-4
B) 18 · 10-4
C) 1,8 · 105
D) 1,8 · 104
E) 1,8 · 10-3
3) El valor de: -72 – (52 – 43) es:
A) 88
B) 10
C) –88
D) -10
E) -52
4) Respecto de las potencias se afirma lo siguiente:
I) an – bn = (a – b)n
Es(son) correctas:
II) xp + q = xp + xq
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) Sólo I y III
0, 29
5)
0, 029
A)
1
B) 10
C) 100
D)1000
E) 0,1
−3
2
6) :
7
III) yr – s = yr : ys
−3
(
2
1
9, 02
⋅
=
⋅
10
0, 0902
0
2
1 es igual a:
5
343
8
245
B)
8
A)
D)
8
329
E) N.A.
C) 0
7)
A)
(0,2)−1 + 4−1
2−3
40
3
D) 42
B) 10
C)
=
E)
1
42
1
10
8) En el rectángulo SRTQ de la figura , se tienen 3 triángulos con las dimensiones
indicadas. Entonces, la razón entre los perímetros de los tres triángulos es
A)
B)
C)
D)
E)
2:3:4
2:3:5
1:2:3
1:3:5
3:4:5
Q
T
16
12
S
R
25
d
9) El área del polígono de la figura , mide
c
a
b
7. A)
B)
C)
D)
E)
(a + b) (c + d)
ab + cd
cd + a (b – d)
ab + d (c – a)
ad + bc
10) Si el doble del área de un rectángulo es 2a2 - 16a + 30, entonces su perímetro es:
A)
B)
C)
a–8
2a – 8
a-4
D)
E)
0,08 · 16000000
11) La expresión
A)
B)
C)
2a - 16
4a - 16
0,0004 · 0,064
2 · 1011
2 · 1010
5 · 1011
D)
E)
es igual a:
5 · 1010
2 · 109
12) ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente con
A)
B)
C)
D)
1 -4
a
4
4a4
13) Si a = 0,25 ;
?
16a4
b = 0, 3 y c = 1, entonces
A)
8,125
D)
B)
7
E)
C)
8a−6
1 4
a
4
E)
4a-4
2a−2
a−1 + b −1
c −1
=
1
7
0,58 3
12
7
14) Si 25m = 32, entonces 2-m =
A)
-2
B)
2
1
2
1
4
D)
E)
1
2
15) Si a + b = 1, entonces a3 + b3 - ab =
A)
(a - b)2
D)
B)
(a + b) ( a - b)
E)
C)
(a + b)2
C)
-
1 - ab
1
16) Si (a + b)2 - (a - b)2 = 0, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A)
B)
C)
a=b
a+b=0
a=0
D)
E)
b=0
a=0 ó b=0
17) Si x = -3 e y = -2, entonces x3 - y3 =
A)
B)
C)
2
19
16
D)
E)
18
-19
1
, entonces al ordenar de menor a mayor los números: x, x 2, x3, x4 se
3
obtiene:
18) Si x = -
A)
B)
C)
x4, x3, x2, x D)
x, x2, x3, x4 E)
x, x4, x2, x3
19) (-2,5)3 ⋅ (-0,4)3 =
x3, x, x4, x2
x, x3, x4, x2
