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NÚMEROS Y
OPERACIONES
INDICADORESCAPACIDADES
APRENDIZAJE
FUNDAMENTAL
Construir y usar
la matemática
en y para la vida
cotidiana, el
trabajo la ciencia
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Plantea estrategias de representación
(pictórica, gráfica y simbólica).
Explica la pertinencia de usar el número racional en
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Experimenta y describe situaciones de medición
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María docente de primer año de la Institución
Educativa Nº 2024 preocupada por la cantidad
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fracción
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fracción
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Sustracción
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• LA FRACCIÓN COMO OPERADOR
• La fracción se convierte en operador cuando lo utilizamos como factor que
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• Ejemplo
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•
• Utilizada la fracción como operador, tenemos:
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unidad:
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FRACCIÓN COMO OPERADOR
1.Números Racionales (Q)
Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los
números se pueden escribir como fracción, es decir:
a
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/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2;
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14;
3
15
0
NO es racional
a: numerador y b: denominador
PROPIEDADES DE LOS RACIONALES
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙
3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador
como el denominador por un mismo número.
6
6
Al amplificar la fracción por 6 resulta:2
3
=
12
18
• Las fracciones se pueden clasificar en:
Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el
denominador.
Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra
fraccionaria.
Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador
como el denominador por un mismo número.
3
3
=
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Al simplificar la fracción por 3 resulta:27
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27 :
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• Inverso multiplicativo o recíproco de una
fracción
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Ejemplo:
Al comparar (Multiplicando cruzado)13
15
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13
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y
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y
Como 52 > 35, entonces 13
15
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>
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13
15
7
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Al comparar (Transformando a decimal)y
13
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= 0,58333333…
13
15
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>Como 0,86 > 0,583 , entonces
1.2 Operatoria en los racionales
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15
+
7
15
=
11
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2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15
+
7
45
=
2∙3 + 7∙1
45
=
6 + 7
45
=
13
45
4
15
-
7
15
=
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15
y
3. Si los denominadores son primos entre sí:
5
12
+
7
18
=
5∙3 + 7∙2
36
15 + 14
36
= =
29
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4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
4
5
+
7
8
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4∙8 + 5∙7
40
32 + 35
40
= =
67
40
-4
5
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8
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-32
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-4
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5
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TRANSFORMACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
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100
175 =1,75 = 7
4
25∙7
25∙4
=
• De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal
completo, sin la coma, y la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras
tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233
99 99
Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376
999 999
Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite
indefinidamente.
3,21 = 321-32 = 289
9090
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el
número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo
las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras
tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante
período.
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma
decimal, y el período.
Ejemplo:
Ejemplo:
En la secuencia: 6 ,
5
16 ,
5
26 ,
5
36 , ...
5
¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener
el 7° término ?
1 ,
5
De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término
es 66 .
5
Tendríamos que sumar a para obtener el 7°
término.
65
5
1 ,
5
65 = 13
5
Es decir:
Respuesta:
Secuencia Numérica
Observación:
La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente
manera:
1 + 1 ,
5
1 + 3 ,
5
1 + 5 ,
5
1 + 7 ,
5
1 + 13…
5
... ,
1° 2° 3° 4° ... , 7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es , más un número impar, lo que se expresa como:1
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Números Racionales y Operaciones

  • 2. Construir y usar la matemática en y para la vida cotidiana, el trabajo la ciencia y la tecnología
  • 3.
  • 4. Plantea estrategias de representación (pictórica, gráfica y simbólica). Explica la pertinencia de usar el número racional en su expresión fraccionaria, decimal y porcentual en diversos contextos para el desarrollo de su significado. Experimenta y describe situaciones de medición (masa, tiempo, longitud, capacidad de almacenamiento en bytes).
  • 5.
  • 6. María docente de primer año de la Institución Educativa Nº 2024 preocupada por la cantidad considerable de alumnos desaprobados, desea saber como distribuyen, los alumnos, su tiempo en el desarrollo de sus diversas actividades diarias. Para ello entrevisto a la alumna Juana quien le manifestó como distribuye su tiempo. Le dijo que emplea en: En dormir 8 horas, En el colegio 7 horas, En las labores de la casa 2 horas, En hacer las tarea 1 hora, En estudiar 1 hora, En practicar deporte 2 horas, En ver tv 2 horas, En el internet 1 horas. ¿Cómo representarían el tiempo que emplean en cada actividad que realizan tomando como unidad las 24 horas del día? El tiempo total como representamos: 24/24 Hacer la tarea escolar El tiempo que emplea en: Dormir Estar en el colegio Hacer las labores de la casa 7/24 8/24 2/24 1/24 1/24 Hacer uso de internet Ver tv Estudiar Practicar deporte 2/24 2/24 1/24
  • 7. LAS FRACCIONES EN NUESTRA VIDA COTIDIANA Las fracciones están involucradas diariamente en muchas de nuestras actividades.
  • 8. La necesidad de medir generó la invención de las fracciones o “números quebrados”.
  • 9. SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES SEGÚN SU USO: Las fracciones aparecen en diferentes contextos como: medida, reparto equitativo, probabilidad, parte de un todo, operador, etc. 2 ½ 3/4 1/6 3/5 de 201/8
  • 10. FRACCIÓN COMO PARTE DE UN TODO La fracción como expresión que vincula la parte con el todo ¿Qué parte es?
  • 11. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? FRACCIÓN COMO REPARTO EQUITATIVO Si tengo dos panes y quiero repartir entre tres niños.
  • 12. FRACCIÓN COMO RAZÓN ¿En qué relación están? Se utiliza la fracción para indicar una comparación entre dos magnitudes. La relación de bolas rojas a bolas amarillas es: 3/5
  • 13. Conjunto Q Propiedades y comparación Operatoria Transformaciones Decimal finito a fracción Decimal periódico a fracción Decimal semiperiódico a fracción Adición Sustracción Multiplicación División Simplificación Amplificación Fracciones equivalentes
  • 14. • LA FRACCIÓN COMO OPERADOR • La fracción se convierte en operador cuando lo utilizamos como factor que multiplica o divide a un resultado parcial o a la unidad. • Ejemplo • Hallar los 2 / 3 de 30. • • Utilizada la fracción como operador, tenemos: • 2 2 30 2.30 60 • --- de 30 = ---- . ------ = --------- = ------- = 20 • 3 3 1 3.1 3 • Recordar que cualquier número entero se convierte en racional al ser dividido por la unidad: • 3 = 3 / 1 ; - 2 = - 2 / 1 FRACCIÓN COMO OPERADOR
  • 15. 1.Números Racionales (Q) Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ = Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -2; 7 0,489; 2,18; -0,647-1; 8 14; 3 15 0 NO es racional a: numerador y b: denominador
  • 16. PROPIEDADES DE LOS RACIONALES • Amplificar y simplificar fracciones Ejemplo: 2∙ 3∙ Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. 6 6 Al amplificar la fracción por 6 resulta:2 3 = 12 18 • Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador. Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador. Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.
  • 17. Ejemplo: Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. 3 3 = 9 15 Al simplificar la fracción por 3 resulta:27 45 27 : 45 : • Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 es: 9 2 Ejemplo:
  • 18. COMPARACIÓN DE FRACCIONES • Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar (Multiplicando cruzado)13 15 9 10 y 13 ∙ 10 y 15 ∙ 9 130 y 135 Como 130 < 135, entonces: 13 15 9 10 <
  • 19. • Igualando denominadores: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar y (Igualando denominadores) 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y 52 60 35 60 y Como 52 > 35, entonces 13 15 7 12 >
  • 20. • Transformar a decimal: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar (Transformando a decimal)y 13 15 = 0,86666666… 7 12 = 0,58333333… 13 15 7 12 >Como 0,86 > 0,583 , entonces
  • 21. 1.2 Operatoria en los racionales • Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 15 = 11 15 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 7 45 = 2∙3 + 7∙1 45 = 6 + 7 45 = 13 45 4 15 - 7 15 = -3 15 y
  • 22. 3. Si los denominadores son primos entre sí: 5 12 + 7 18 = 5∙3 + 7∙2 36 15 + 14 36 = = 29 36 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): 4 5 + 7 8 = 4∙8 + 5∙7 40 32 + 35 40 = = 67 40
  • 24. TRANSFORMACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES • De fracción a decimal: Ejemplo: Se divide el numerador por el denominador. 7 4 = 1,75 • De decimal finito a fracción: Ejemplo: El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número. 100 175 =1,75 = 7 4 25∙7 25∙4 =
  • 25. • De un número decimal periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233 99 99 Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376 999 999 Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.
  • 26. 3,21 = 321-32 = 289 9090 • De un número decimal semi periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período. Ejemplo:
  • 27. Ejemplo: En la secuencia: 6 , 5 16 , 5 26 , 5 36 , ... 5 ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? 1 , 5 De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 . 5 Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término. 65 5 1 , 5 65 = 13 5 Es decir: Respuesta: Secuencia Numérica
  • 28. Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1 , 5 1 + 3 , 5 1 + 5 , 5 1 + 7 , 5 1 + 13… 5 ... , 1° 2° 3° 4° ... , 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: Es , más un número impar, lo que se expresa como:1 5 1 + (2n - 1) 5 (Con n = posición del término)