2. Introductorio
Números reales
En la vida diaria utilizamos números reales para describir varias
cantidades como temperatura, sueldos, tasa de porcentaje anual,
la talla del calzado, el promedio de calificaciones, etc. Algunos de
los símbolos que empleamos para representar números reales son
3, −17,
√
2, 0.666 . . . , 214, 2.7, π
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 20
3. Introductorio
Números reales
Números Naturales
Para construir el conjunto de los números reales, comenzamos con
el conjunto de los números naturales (también conocido como
números de contar)
N = {1, 2, 3, . . .}
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 20
4. Introductorio
Números reales
Números Enteros
Si al conjunto de los números naturales N le adjuntamos el número
0 y los negativos de éste, obtenemos el conjunto de los enteros
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 4 / 20
5. Introductorio
Números reales
Números Racionales
A continuación consideramos el conjunto Q de números
racionales, números de la forma
a
b
donde a y b son enteros, con
b = 0. Utilizando notación de conjuntos escribimos
Q =
a
b
| a, b ∈ Z, b = 0
Observe que Z está contenido en Q puesto que cada entero puede
escribirse en la forma
a
b
con b = 1. Por ejemplo, el entero 5 puede
escribirse de la forma
5
1
.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 5 / 20
6. Introductorio
Números reales
Números Irracionales
Los números irracionales I son números que no se pueden
escribir como racionales, y que a sus cifras decimales no se les
puede determinar un periodo y su número de cifras decimales es
indefinido. Ejemplos de números irracionales son
√
2,
√
3, π, etc.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 6 / 20
7. Introductorio
Números reales
Por último obtenemos el conjunto de números reales al adjuntar el
conjunto de números racionales Q al conjunto de números
irracionales I. Por lo tanto tenemos que el conjunto de números
reales son
R = Q ∪ I
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 7 / 20
9. Introductorio
Representación de números reales en una recta
Los números reales pueden estar geométricamente representados
por puntos sobre una línea recta. Esta línea de números reales o
coordenadas se construye como sigue: seleccione arbitrariamente
un punto sobre una línea recta para representar el número 0. Este
punto se llama origen.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 20
10. Introductorio
Representación de números reales en una recta
Si la línea recta es horizontal, seleccione un punto a una distancia
conveniente a la derecha del origen para representar el número 1.
De esta manera se determina la escala de la línea recta de
números. El punto que representa cada número real positivo x
queda a x unidades a la derecha de 0, y el punto que representa
cada número real negativo x queda a x unidades a la izquierda de
0.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 10 / 20
11. Introductorio
Representación de números reales en una recta
Por tanto, los números reales pueden estar representados por
puntos sobre una línea recta, de modo que correspondiente a cada
número real haya exactamente un punto sobre una línea recta y
viceversa. De esta manera se establece una correspondencia uno a
uno entre el conjunto de los números reales y el conjunto de
puntos sobre la línea recta de números con todos los números
positivos situados a la derecha del origen y todos los números
negativos situados a la izquierda del origen.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 11 / 20
16. Introductorio
Reglas de operación de los números reales
La operación de sustracción se define de la adición. Por tanto
a + (−b)
donde −b es el inverso aditivo de b, puede escribirse da la forma
más concidad a − b y decimos que b se sustrae de a.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 16 / 20
17. Introductorio
Reglas de operación de los números reales
Asimismo, la operación de división se define en función de la
multiplicación. Recuerde que el inverso multiplicativo de un
número real no cero b es
1
b
, también escrito b−1
. Entonces
a
1
b
se escribe
a
b
, y decimos que a está divido entre b. Por tanto,
4
1
2
=
4
2
= 2. Recuerde, el cero no tiene inverso multiplicativo
porque la división entre cero no está definida.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 17 / 20
20. Introductorio
Propiedades algebraicas de los números reales
Ejemplo
Exprese la propiedad de número real que justifica cada enuciado.
a. − (−4) = 4
Propiedad 1 de los negativos
b.
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x − 3)
=
x + 1
x − 3 Propiedad 2 de los cocientes
c.
x − 1
y
÷
y + 1
x
=
x
y + 1
=
x(x − 1)
y(y + 1) Propiedad 5 de los cocientes
d.
x
y
+
x
y + 1
=
x (y + 1) + xy
y (y + 1)
=
xy + x + xy
y(y + 1)
=
2xy + x
y(y + 1)
Propiedad 6 de los cocientes
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 20 / 20
