Activados-Matemática-3.pdf

MATEMÁTICA
P12-3085-C00-preliminares.indd 1 1/18/13 9:43 AM

Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editoras
Yanina Sousa
Autores
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Cintia Kotowski
Lourdes Liberto
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Foto Activados: Laura Pezzatti
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora de Diseño
Natalia Udrisard
Diseñadora de maqueta
Patricia Cabezas
Diagramación
Pablo Alarcón y Alberto G. Scotti para Cerúleo
Ilustradores
Wally Gómez
Viñetas de humor: Claudio Kappel
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Thinkstock
Gerente de Preprensa y Producción editorial
Carlos Rodríguez
Matemática 3. fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. 1a reimp.
- Boulogne: Puerto de Palos, 2013.
256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados)
ISBN 978-987-547-529-8
1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana
CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-529-8
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (Inadi) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición, primera reimpresión.
Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2014, en los talleres de Impresiones Sud América, Andrés
Ferreyra 3769, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
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MATEMÁTICA

matemática
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de
711 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la
vida cotidiana a través de la fotografía.
Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente
de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a
todas las cosas que aprenden día a día en la escuela.
Apertura: cada capítulo comienza
con una actividad ilustrada
relacionada con la foto que aparece
en la sección Foto Activados.
En la situación inicial de
aprendizaje se introduce el tema del
capítulo a través de una estrategia de
resolución de problemas.
En el cuadro de
contenidos aparecen los
temas numerados para su
fácil identificación.
InfoActiva: brinda
definiciones, clasificaciones,
procedimientos básicos y
ejemplos de cada contenido
que facilitan la comprensión.
Conector: invita a repasar
conceptos explicados en páginas
anteriores.
Test de comprensión: incluye
preguntas básicas que permiten
evaluar la comprensión de la teoría y
revisar errores comunes.
LOS capítulos incluyen las siguientes secciones y plaquetas:
Mira Foco

Actividades: para cada tema
se proponen distintas actividades
que están organizadas de manera
secuencial (las actividades de cada
capítulo llevan una numeración
independiente a la de los otros).
menteACTIVA: propone
situaciones problemáticas con un
mayor nivel de complejidad.
Integración: incluye más
actividades para resolver en la
carpeta.
Autoevaluación: propone
más actividades para que cada
alumno pueda evaluar los
conocimientos adquiridos
durante el capítulo.
Trabajos prácticos:
incluyen más actividades para
practicar los temas del
capítulo.
Foto Activados: en esta sección, Laura
Pezzatti, especialista en el área de la matemática,
ofrece una serie de actividades que conectan la
matemática con la vida cotidiana a través de la
fotografía.
Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron
para que podamos advertir cuánta matemática hay a
nuestro alrededor.
foto

Capítulo 1: Números reales ...................... 8
1. Números enteros. .................................. 9
2. Números racionales. ............................. 11
3. Operaciones con números racionales. .13
4. Potenciación y radicación. .................. 17
5. Operaciones combinadas. ................... 19
Integración ........................................... 23
6. Números irracionales. .......................... 25
7. Aproximación y notación científica. .... 27
8. Intervalos reales. ................................. 29
Integración ........................................... 31
Autoevaluación ................................. 33
Capítulo 2: Lenguaje algebraico ........... 34
9. Expresiones algebraicas. ..................... 35
10. Propiedad distributiva. ........................ 39
11. Cuadrado y cubo de un binomio. ....... 41
Integración ........................................... 43
12. Ecuaciones I. ....................................... 45
13. Ecuaciones II. ...................................... 49
14. Problemas con ecuaciones. ................. 51
15. Inecuaciones. ....................................... 53
Integración ........................................... 55
Autoevaluación ................................. 57
Capítulo 3: Funciones .............................. 58
16. Interpretación de gráficos. .................. 59
17. Función. ............................................... 61
18. Función lineal. ..................................... 63
19. Ecuación de la recta. ........................... 67
20. Rectas paralelas y perpendiculares. ... 71
Integración ........................................... 73
21. Función cuadrática. ............................. 75
22. Resolución gráfica de los sistemas
de ecuaciones. ..................................... 77
23. Sistemas de ecuaciones. ..................... 81
Integración ........................................... 85
Autoevaluación ................................. 87
Capítulo 4: Figuras planas ..................... 88
24. Circunferencia y círculo. ...................... 89
25. Ángulos inscriptos y semiinscriptos. ... 91
26. Puntos notables de un triángulo. ....... 95
27. Teorema de Pitágoras. ........................ 97
Integración ........................................... 99
28. Propiedades de los cuadriláteros. ..... 101
29. Propiedades de los polígonos. ......... 105
30. Construcciones geométricas. ............. 107
31. Perímetro y área. ............................... 109
Integración .......................................... 111
Autoevaluación ................................ 113
Capítulo 5: Razones y proporciones .. 114
32. Razones y proporciones aritméticas. . 115
33. Propiedades de las proporciones. ..... 119
34. Proporcionalidad directa e inversa. ... 121
Integración ......................................... 125
35. Teorema de Thales. ........................... 127
36. Aplicaciones del teorema de Thales. . 131
37. Razones trigonométricas. .................. 133
38. Resolución de triángulos
rectángulos. ....................................... 135
Integración ......................................... 139
Autoevaluación ................................ 141
Capítulo 6: CONGRUENCIA y semejanza .142
39. Congruencia y semejanza. ................. 143
40. Congruencia de triángulos
y de polígonos. ................................. 145
41. Semejanza de triángulos. .................. 149
42. Construcción de figuras a escala. ..... 153
Integración ......................................... 155
Autoevaluación ............................... 157
Índice general

Capítulo 7: Movimientos
en el plano ..................................... 158
43. Traslación. ......................................... 159
44. Rotación. ............................................. 161
45. Simetría central. ................................ 163
46. Simetría axial. .................................... 165
47. Eje de simetría de figuras planas. .... 167
48. Composición de movimientos. .......... 169
49. Homotecia. ......................................... 173
Integración ......................................... 175
Autoevaluación ............................... 177
Capítulo 8: Estadística .......................... 178
50. Organización de la información. ....... 179
51. Frecuencias. ........................................ 181
52. Intervalos. .......................................... 183
53. Gráficos. ............................................. 185
Integración ......................................... 187
54. Medidas de posición. ........................ 189
55. Media y moda en intervalos. ............. 191
Integración ......................................... 193
Autoevaluación ............................... 195
Capítulo 9: Combinatoria
y probabilidad ............................... 196
56. Factorial. Permutaciones. .................. 197
57. Variaciones. ....................................... 199
58. Combinaciones. ................................. 201
Integración ......................................... 203
59. Probabilidad. ..................................... 205
60. Probabilidades condicionadas. ......... 207
Integración ......................................... 209
Autoevaluación ................................ 211
Trabajos prácticos ..................................... 212
Trabajo práctico 1 .............................. 213
Trabajo práctico 2 ............................. 215
Control de resultados ................................ 231
foto

8
Números reales
Contenidos
1. Números enteros.
2. Números racionales.
3. Operaciones con números
racionales.
4. Potenciación y radicación.
5. Operaciones combinadas.
6. Números irracionales.
7. Aproximación y notación
científica.
8. Intervalos reales.
1
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
La pareja de turistas quiere realizar la excursión a los Glaciares y revisan cuánto dinero en efecti-
vo tienen disponible.
a. Si la cuenta del bar es igual al 60% de lo que cuesta la excursión por persona (sin el des-
cuento) más una propina del 10%, ¿cuánto abonaron? ¿Cuánto dinero les quedó para hacer la
excursión si antes de pagar tenían $650 entre los dos?
b. Modifiquen los datos de la situación para que luego de pagar en efectivo el bar y la excur-
sión, les queden $102.
c. Comparen las respuestas con las de sus compañeros.
capítulo
Excursión
“Paseo Glaciares”
$180 por persona
15% de descuento
por pago en efectivo
a. 60% de $180 = $108; 110% de $108 = 118,80. $650 – $118,80 = $531,20. b. Por ejemplo, se puede decir
que antes de pagar tenían $526,80 en efectivo. $526,80 – $118,80 – 0,85 . $360 = $102
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9
3 4 5 7 8
6 9 10
Números enteros
El conjunto de los números enteros está formado por los números negativos, los positivos y el cero.
Propiedades de la potenciación y la radicación
Propiedad En símbolos
Producto de potencias de igual base. an
. am
= an+m
Cociente de potencias de igual base. an
: am
= an–m
Potencia de otra potencia. (an
)m
= am.n
Propiedad distributiva. (a . b)n
= an
. bn
(a : b)n
= an
: bn
Propiedad En símbolos
Simplificación de índices y exponentes.  
n
 
√ 
___
 
am
  =  
n : b
 
√ 
____
 
a
m : b
  con b ≠ 0
Propiedad distributiva.  
n
 
√ 
_____
 
a . b =  
n
 
√ 
__
 
a  .  
n
 
√ 
__
 
b   
n
 
√ 
_____
 
a : b =  
n
 
√ 
__
 
a  :  
n
 
√ 
__
 
b 
Si n es par, a ≥ 0 y b ≥ 0.
Cálculos combinados
Para resolver cálculos combinados se separa en términos con los signos + y –. Luego, se resuelven
las potencias y raíces, a continuación las multiplicaciones y divisiones y, finalmente, las sumas y las restas.
Si un cálculo combinado tiene paréntesis, se resuelven primero los cálculos que ellos encierran.
Divisibilidad
Un número entero a es divisible por otro b (distinto de cero), cuando la división entre sus valores
absolutos tiene resto 0.También se dice que a es múltiplo de b.
El divisor común mayor (dcm) entre dos o más números es el mayor divisor positivo que tienen
en común esos números.
El múltiplo común menor (mcm) entre dos o más números es el menor múltiplo positivo que tienen
en común esos números.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la suma de
número enteros?
b. ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva de la radicación con respecto a la división de
números enteros positivos?
c. ¿Cómo se simplifica el índice con el exponente en el cálculo  
4
 
√ 
__
 
58
 ?
d. ¿Cuál es el dcm entre dos o más números primos?
9
1 2
Nombre: Curso: Fecha: / /
testde comprensión
infoactiva
s
a. No, no existe ninguna propiedad que asegure esa igualdad. b. Sí. c. Se dividen el índice y el expo-
nente por un mismo número; en este caso, por 4. d. El dcm entre números primos es el 1.
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10
1. Apliquen propiedades para obtener una expresión más simple.
a. (a3
. a2
)3
= c. b3
: b2
=
b. a5
. b5
= d.  4
 
√ 
__
 
a  :  
4
 
√ 
__
 
b  =
2. Resuelvan de dos formas diferentes.
a. 32
. 32
= c. 23
: 2 =

b.  

 
√ 
______
 
9 . 25 = d.
√ 
________
 
100 : 25 =

3. Resuelvan teniendo en cuenta las propiedades.
a.
√ 
__
 
2 .
√ 
__
 
2  – 55 : 53 + ( 
23 )2
= d.
√ 
__________
  
60 + 12 . 7 +  
3
 
√ 
___
 
48  .  
3
 
√ 
___
 
36  – ( 
33 )2
: 36 =

b. 315
: 313
+
√ 
________
 
5 + 5 . 4 – (3 + 20 . 3)0
= e. –√ 
__
 
4  . (–
√ 
__
 
9  ) +
( 
23 )5
: 85 –  
4
 
√ 
________
 
16 . 625 =

c.  
3
 
√ 
________
 
27 . 125 –  
3
 
√ 
____
 
125  – ( 
–1 
)3 + 320 = f. –  
3
 
√ 
____
 
–27 –  
 
√ 
____
 
324  – ( 
–2 + 3 
)2
+ 12 :
( 
2 +
2
2 ) =

4. Calculen el mcm y dcm en cada caso.
a. 36 y 1 = d. 84 y 140 =

b. 7 y 11 = e. 600; 108 y 420 =

c. 495 y 525 = f. 132; 18 y 22 =

1 Números enteros
ACTIVIDADES
10
(a5
)3
= a15
b3–2
= b
(a . b)5
 
4
 
√ 
_____
 
a : b 
32+2
= 34
= 81 23–1
= 22
= 4
9 . 9 = 81 8 : 2 = 4
 

 
√ 
__
 
9  . 

 
√ 
___
 
25 = 3 . 5 = 15  

 
√ 
____
 
100  :  

 
√ 
___
 
25 = 10 : 5 = 2
 

 
√ 
____
 
225  = 15  

 
√ 
__
 
4 = 2
41 23
13 –3
12 –14
mcm (36;1) = 36 mcm (84;140) = 420
dcm (36;1) = 1 dcm (84;140) = 28
mcm (7;11) = 77 mcm (600;108;420) = 37 800
dcm (7;11) = 1 dcm (600;108;420) = 12
mcm (495;525) = 17 325 mcm (132;18;22) = 396
dcm (495;525) = 15 dcm (132;18;22) = 2
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11
1 4 5 6 8 9
7 10 11
Números racionales
11
2 3
Un número racional es una expresión de la forma  
a
 
__ 
b
  donde a y b son números enteros, con b
distinto de cero.
Todo número racional se puede expresar en forma de fracción o como expresión decimal. Para
transformar una fracción en una expresión decimal se calcula el cociente entre el numerador y el
denominador.
 
3
 
__ 
4  = 0,75
Las expresiones decimales se clasifican en:
• Exactas: tienen un número finito de cifras decimales.
Una fracción irreducible tiene una expresión decimal exacta (E. D. E.), cuando los factores primos
del denominador son potencias de 2, de 5 o de ambos.
 1 
__ 
5
  = 0,2  3 
__ 
2
  = 1,5  1 
___ 
10
  = 0,1
• Periódicas: tienen cifras decimales que se repiten infinitamente. Pueden ser periódicas puras
(todas sus cifras decimales son periódicas) o periódicas mixtas (tienen una parte decimal no perió-
dica seguida de otra periódica).
0,23 =  23 – 2 
_____ 
90
 
=  21 
___ 
90
 
Para pasar una expresión decimal periódica
mixta (E. D. P. M.) a fracción, se escribe en el nume-
rador la parte periódica y no periódica y se resta la
parte no periódica. En el denominador se escriben
tantos nueves como cifras periódicas, y ceros como
cifras no periódicas tenga la expresión.
1,2 =    12 – 1 
_____ 
9
 
=  11 
___ 
9
 
Para pasar una expresión decimal periódica
pura (E. D. P. P.) a fracción se escriben en el nume-
rador todas las cifras, periódicas y no periódicas, y
se resta la parte no periódica. En el denominador
se escriben tantos nueves como cifras tenga el
período.
a. La fracción  3
 
___ 
50  ¿tiene una expresión decimal finita?
b. ¿Cuál es la diferencia que existe entre una fracción y la que resulta de multiplicar el nume-
rador y el denominador por un mismo número? ¿Cómo son esas fracciones?
c. El número 1,2345678… ¿es un número periódico?
d. ¿Qué diferencia existe entre una expresión periódica pura y una mixta?
infoactiva
testde comprensión
a. Sí, porque 50 = 2 . 52
. b. Ninguna. Son fracciones equivalentes. c. No, porque no existen cifras deci-
males que se repitan. d. En una expresión periódica pura, las cifras decimales se repiten periódicamen-
te, y en una mixta, hay una parte periódica y una no periódica.
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5. Escriban la expresión decimal de los siguientes números racionales.
a.  8
 
__ 
3  = c.  2
 
__ 
5  = e.  25
 
___ 
27  =
b.  12
 
___ 
6  = d.  8
 
__ 
9  = f.  
195
 
____ 
90
  =
6. Coloquen una X donde corresponda.
Expresión decimal...
Fracción
 
3
 
__ 
5
   112 
___ 
44
   
75
 
___ 
40
   126 
____ 
54
   12 
___ 
45
 
... exacta
... periódica pura
... periódica mixta
7. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal.
a. 10,5 =

c. 2,3 =

e. 1,42 =
b. –0,4 =

d. 3,6 =

f. 1,15 =
8. Completen con los números que faltan para obtener fracciones equivalentes.
a.  105
 
____ 
165  =    
_____ 
33
  =  
7
 
_____ 
  =    
_____ 
55
  c.  210
 
____ 
112  =  105
 
_____ 
  =    
_____ 
8
  =  
30
 
_____ 
 
b.  36
 
___ 
24  =  
3
 
_____ 
  =    
_____ 
12
  =   108 
_____ 
  d.  30
 
___ 
54  =    
_____ 
27
  =   10 
_____ 
  =    
_____ 
9
 
9. Ordenen de menor a mayor los siguientes números racionales.
–3,2; –  7
 
__ 
2 ;  5
 
__ 
3 ; 1,6; –3,21;  
3
 
__ 
2 ; –
 
17
 
___ 
5
 
; 1,42
10. Escriban un número que se encuentre entre los números dados.
a. 3,4 3,8 c. –0,3 –0,29 e. 0,7  7
 
__ 
9 
b.  3
 
__ 
5   4
 
__ 
5  d. 4,6 4,7 f. –2,5 –2,3
11. Simplifiquen para obtener la fracción irreducible en cada caso.
a.   84
 
____ 
108  = b.  322
 
____ 
266  = c.  858
 
____ 
330  = d.  4 500
 
_____ 
4 800  = e.  2 584
 
_____ 
3 192  =
2 Números racionales
ACTIVIDADES
12
2,6 0,4 2,925
2 0,8 2,16
X X
X X
X
21 7 64
2 3 45
–2 11 52
5 3 45
21 35 15
11 56 16
18 15 5
2 72 18
– 
7
 
__ 
2
  < – 
17
 
___ 
5
 < –3,21 < –3,2 < –1,42 <  
3
 
__ 
2
 < 1,6 <  
5
 
__ 
3
 
3,5 –0,295 0,76
0,7 4,65 –2,4
7 23 13 15 17
9 19 5 16 21
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5 6 7
Operaciones con números racionales
13
2
3 4 9
8 11 12
10
Adición Sustracción
 
1
 
__ 
3  +  4
 
__ 
9  =  3
 
__ 
9  +  4
 
__ 
9  =  
7
 
__ 
9 
Equivalentes
9 es el mcm entre 3 y 9.
 
4
 
__ 
5  –  1
 
__ 
2  =  8
 
___ 
10  –  5
 
___ 
10  =  3
 
___ 
10 
Equivalentes
10 es el mcm entre 5 y 2.
Multiplicación División
 
4
 
__ 
5  .  10
 
___ 
12  =  
4 . 10
 
______ 
5 . 12  =  
2
 
__ 
3 
Antes de realizar la operación, se puede
simplificar cualquier numerador con cualquier
denominador.
 
4
 
__ 
9  :  5
 
__ 
6  =  4
 
__ 
9  .   6
 
__ 
5  =  8
 
___ 
15 
La división es igual a la multiplicación entre el
primer número y el inverso multiplicativo del
segundo.
División de expresiones decimales
Para dividir dos expresiones decimales, se transforma la operación en una división donde el
divisor es un número entero.
. 10
En este ejemplo se multiplica por 10
16,86 : 1,2 = 168,6 : 12 = 14,05 al dividendo y al divisor para que
este último sea un número entero.
. 10
Operaciones combinadas con fracciones y expresiones decimales
Para resolver una operación combinada con fracciones y expresiones decimales, se
puede pasar cada expresión decimal a fracción. Luego, se resuelven las operaciones
separando previamente en términos.
a. Para multiplicar dos fracciones, ¿se puede simplificar antes de hacer la operación? ¿Se obtiene
el mismo resultado si se simplifica luego de hacer la operación?
b. En la división de números racionales, ¿se cumple la propiedad conmutativa?
c. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de  
3
 
__ 
5 ? ¿Y de 5?
d. ¿Cómo se resuelve un cálculo combinado con fracciones y expresiones decimales?
infoactiva
testde comprensión
En la página 11
pueden repasar cómo
se pasan a fracción
las expresiones
decimales.
a. Sí, es equivalente. b. No. c. El inverso multiplicativo de  
3
 
__ 
5
  es  
5
 
__ 
3
 
. El inverso multiplicativo de 5 es  
1 
__ 
5
 .
d. Por ejemplo, se pueden pasar las expresiones decimales a fracción y luego se resuelve.
2
3
2
1
1 3
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12. Completen con la operación que corresponde para obtener el resultado indicado.
a.   7
 
___ 
12   3
 
__ 
2  =   7
 
___ 
18  c.  7
 
__ 
3   9
 
__ 
2  =  
21
 
___ 
2  e. –  5
 
__ 
3    3
 
___ 
15  = –  
25
 
___ 
3 
b.  12
 
___ 
7   49
 
___ 
18  =  14
 
___ 
3  d.  3
 
__ 
2  –  1
 
__ 
2  = 1 f. –  2
 
__ 
5  –  2
 
__ 
3  =  4
 
___ 
15 
13. Resuelvan.
a.  3
 
__ 
5  +  
2
 
__ 
3  .   6
 
___ 
14  = e. –  2
 
__ 
3  .
(  5
 
__ 
2  :  
5
 
__ 
2  +  
3
 
__ 
4  )–
( –  1
 
__ 
4  )=

b.  3
 
__ 
5  .
( 2 +  
3
 
__ 
4  
) :  4
 
__ 
3  = f.  5
 
__ 
3  +
(  
3
 
__ 
2
  +  1 
__ 
4
  .  8 
__ 
3
  ) –
( –  1
 
__ 
4  ) =

c.  5
 
__ 
3  –
(  1
 
__ 
4  + 2 .  3
 
__ 
5  )= g.
[ 
( 3 +  
1
 
__ 
5  
)  . 3 –
( 2 +  
3
 
__ 
5  :  2
 
___ 
25  
) ] :   6
 
___ 
15  =

d.  5
 
__ 
2  +
(  3
 
__ 
4  –  
3
 
__ 
5  .  15
 
___ 
2  ): 3 = h.
{ 
[ 
( 4 +  
5
 
__ 
3  . 2 
): 11 +  
2
 
__ 
5  
]  .  3
 
__ 
2  
}: 6 =

14. Indiquen si las siguientes igualdades son verdaderas. En caso de no serlo, escríbanlas correcta-
mente.
a.  2
 
__ 
5  :  
4
 
__ 
3
  =  
2 . 4
 
_____ 
5 . 3  c.  2
 
__ 
5  +  
1
 
__ 
4 : 3 =  
13
 
___ 
20 : 3

b.  2 + 3
 
_____ 
3 
=  
2
 
__ 
3  + 3 d.  
 3
 
__ 
5 + 2
 
_____ 
6
 
=  
 3
 
__ 
5 
 
__ 
6
  +  
1
 
__ 
3 

3 Operaciones con números racionales
ACTIVIDADES
14
: . :
. + –
 
31
 
___ 
35
  –  
11
 
___ 
12
 
 
99
 
___ 
80
   
49
 
___ 
12
 
 
13
 
___ 
60
   1 
__ 
4
 
 
5
 
__ 
4
   
4
 
___ 
15
 
No.  
2 
__ 
5
  :  
4
 
__ 
3
  =  
2
 
__ 
5
  .  
3
 
__ 
4
  No.  
2 
__ 
5
  +  1 
__ 
4
 : 3 =  
2 
__ 
5
  +   1 
___ 
12
 
No.  
2
 
__ 
3
  +  
3
 
__ 
3
  =  2 
__ 
3
 + 1 Sí.
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15. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado.
a.  
3
 
__ 
2  + 5 . 2 +  
1
 
__ 
4  =  
53
 
___ 
4  c.  3
 
__ 
2  – 5 . 2 +  
1
 
__ 
4  = –  35
 
___ 
4 
b.  
3
 
__ 
2  + 5 . 2 +  
1
 
__ 
4  =  
51
 
___ 
4  d.  3
 
__ 
2  – 5 . 2 +  
1
 
__ 
4  = –  
27
 
___ 
4 
16. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a.
( 0,6 .  20
 
___ 
7 +  3
 
___ 
14  
) . 1,5 = c. 0,3 –
(  25
 
___ 
3 . 0,75 +  
1
 
__ 
2  )+ 0,83 =

b. 0,3 .  9
 
__ 
5  –
(  2
 
__ 
5  + 0,3 . 5 
) = d. 3,5 : 3,8 +
( 3 +  
5
 
__ 
2  
):
( 7 – 3,3 
) =

17. Escriban el cálculo y resuelvan.
a. La suma entre el triple de 1,3 y su opuesto.
El cociente entre el triple de 2,3 y su doble.
La diferencia entre 3,6 y su inverso.
El inverso de la suma entre 2,7 y su siguiente número entero.
18. Escriban la expresión simbólica que corresponde.
La diferencia entre a y su inverso, siendo a un número racional, distinto de cero.
El opuesto del inverso de la tercera parte de  
1
 
__ 
a .
El cociente entre un número racional a (distinto de cero) y su inverso.
El opuesto de la cuarta parte del inverso de a, siendo a un número racional distinto de cero.
ACTIVIDADES
15
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
( ) ( )
( ) ( )
3 – 
67
 
___ 
12
 
– 
13
 
___ 
10
   12 
___ 
5
 
3 . 1,3 + (–1,3) = 2,6
(3 . 2,3) : (2 . 2,3) = 1,5
 11 
__ 
3
  –  
3
 
__ 
11
  =  112 
___ 
33
 
(2,7 + 3)–1
=  
9
 
___ 
52
 
a –  
1 
__ 
a 
–3a
a :  
1 
__ 
a = a2
–  1 
__ 
4
  .  1 
__ 
a
 = –  
1
 
___ 
4a
 
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ACTIVIDADES
16
19. Resuelvan.
a. 0,2 .
( 3 +  
9
 
__ 
5  )– 1,5 .  4
 
__ 
5  = f. –3 .
( 1,3 –  
7
 
__ 
3  
) –  9
 
__ 
5  .
( 0,3 –  
5
 
__ 
3  
) =

b.
(  5
 
__ 
3  + 2,6  
) .   2
 
___ 
13  – 0,3 +  
5
 
__ 
6  = g. 2 .
( 3 +  
1
 
__ 
5  )–
( 0,32 : 0,02 .   1
 
___ 
56  + 3 
) =

c. 0,04 .  15
 
___ 
2  + 2,1 .
(   3
 
___ 
19  – 1 
) = h.
{ 
[ –
( 1,5 + 0,3 :  
1
 
__ 
2  )+  23
 
___ 
12  : 0,3 
]: 0,25 
} .   2
 
___ 
43  =

d. 0,83 .   2
 
___ 
15  .
( 2 +  
1
 
__ 
3  : 1,6 + 1 
) = i.  
2 :
(  3
 
__ 
5  + 0,25 
)– (0,3 – 5,3) : 17
     
____________________________
   
–0,52 . 90 + 2
  =

e. 7,2 . 3,3 –
(  23
 
___ 
3 +  
7
 
__ 
2  : 0,3  
) = j.  

(  9
 
__ 
4  . 0,5 + 3 
): 34 .
(  3
 
__ 
5  – 2,3 
)
   
_____________________________
    

[ 
( 
0,04 : 0,03 – 2 
)–
( 0,2 +  
1
 
__ 
3  ) ].  2
 
__ 
3 
  =

–  2 
___ 
15
   
27
 
___ 
5
 
 
7
 
__ 
6
   
109
 
___ 
35
 
– 
13
 
___ 
9
   2 
__ 
3
 
 16 
___ 
45
  –  1 
___ 
17
 
 
17
 
___ 
3
 
 
13
 
___ 
48
 
P12-3085-C01.indd 16 1/17/13 3:12 PM

Potenciación y radicación
17
6 7 8 10
9 12 13
11
3
4 5
Potenciación Radicación
• (  
2
 
__ 
3  )
2
=  

2
2

 
__ 
32

  =  
4
 
__ 
9 
• (  2 
__ 
3
  )

0
= 1
• (  2 
__ 
3
  )

1
=  2 
__ 
3
 
• (  2 
__ 
3
  )
–2
= (  
3
 
__ 
2
  )

2
•
√ 
___
 
  9
 
___ 
25   =  
3
 
__ 
5 
•  
3
 
√ 
___
 
 27
 
___ 
8   =  
3
 
__ 
2 
La radicación también se puede escribir como exponente fraccionario.
 n
 
√ 
__
 
am
  = a
 m
 
__ 
n
Propiedades
Para la potenciación y la radicación de números racionales se verifican las mismas propiedades
que para los números enteros.
• Producto o cociente de potencias de igual base.
(  2 
__ 
3
  )
2
.
(  2 
__ 
3
  ). (  2 
__ 
3
  )
2
= (  2 
__ 
3
  )
2+1+2
= (  2 
__ 
3
  )
5
(  5 
__ 
4
  )
7
: (  5 
__ 
4
  )
2
: (  5 
__ 
4
  )
3
= (  5 
__ 
4
  )
7–2–3
= (  5 
__ 
4
  )
2

• Potencia de otra potencia.
[ (  3 
__ 
4
  )
2
 ]
–1
= (  3 
__ 
4
  )
2.(–1)
= (  3 
__ 
4
  )
–2

• Simplificación de índices y exponentes.
 
6
 
√ 
_____
 
(  3 
__ 
2
  )
15
  = (  3 
__ 
2
  )
 15
5
 
____ 
6
2
 
=
√ 
____
 
(  3 
__ 
2
  )
5
   
3
 
√ 
____
 
(  7 
__ 
8
  )
6
  = (  7 
__ 
8
  )
 6
2
 
___ 
3
1
 
= (  7 
__ 
8
  )
2
• Producto o cociente de raíces de igual índice.
√ 
__
 
 1 
__ 
3
   .
√ 
__
 
 6 
__ 
2
   =
√ 
____
 
 1 
__ 
3
  .  6 
__ 
2
    
3
 
√ 
__
 
 3 
__ 
4
   :  
3
 
√ 
__
 
 2 
__ 
9
   =  
3
 
√ 
____
 
 3 
__ 
4
  :  2 
__ 
9
  
• Raíz de otra raíz.
√ 
_____
 
 
3
 
√ 
____
 
 729 
____ 
64
    =  
2.3
 
√ 
____
 
 729 
____ 
64
   =  
6
 
√ 
____
 
 729 
____ 
64
  
a. ¿Es lo mismo
(  3
 
__ 
5  )
2
y  3
 
__ 
5 
2

?
b. Si un número racional negativo está elevado a un número negativo, ¿el resultado es un
número negativo?
c. ¿Es cierto que  
4
 
√ 
_____
 
( –  1
 
__ 
4  
)

6
  = √ 
_____
 
( –  1
 
__ 
4  
)
3
 ?
d. La raíz de una suma, ¿es igual a la suma de las raíces?
infoactiva
testde comprensión
a. No. En el segundo caso solo el numerador está elevado al cuadrado. b. No siempre; el exponente
negativo indica que se debe invertir la base. c. No, porque la primera tiene solución y la segunda, no.
d. No, la propiedad distributiva no se verifica para la suma.
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20. Unan con flechas las expresiones equivalentes.
a. (  2
 
__ 
3  
)
 1
 
__ 
3 
•
 
3
 
√ 
__
 
 3
 
__ 
2  
b. 2
 2
 
__ 
3 
• 2
 3
 
__ 
2 

c.
√ 
__
 
23
  •  
3
 
√ 
__
 
 1
 
__ 
2  
d. (  3
 
__ 
2  
)
 1
 
__ 
3 
• (  
3
 
__ 
2
  
)

–  1
 
__ 
3 

e. 2–  1
 
__ 
3 
•  
9
 
√ 
__
 
26
 
21. Resuelvan de dos maneras diferentes, aplicando propiedades cuando sea posible.
a. (  2
 
__ 
3  
)
2
:  2
 
__ 
3  = e.
√ 
_______
 
  4
 
___ 
25  .   9
 
___ 
36   =

b. (  1
 
__ 
2  .  1
 
__ 
2  
)
2
= f.   
4
 
√ 
____
 

(  
9
 
__ 
4
  )
2
  =

c. [ (  3
 
__ 
2  
)
2
 ]
–1
= g.
√ 
_______
 
 121
 
___ 
4 :  
36
 
___ 
9   =

d. (  3
 
__ 
2  +  
1
 
__ 
3  )
2
= h.
√ 
______
 
  9
 
___ 
16  + 1 =

22. Resuelvan aplicando propiedades.
a. [ (  3
 
__ 
5  
)
2
. (  5
 
__ 
3  
)
3
 ]
–1
= f. [ ( 
√ 
__
 
 81
 
___ 
16   
)
 1
 
__ 
2 

 
]
–1
=

b.
[ (  2
 
__ 
5  )

–2
. (  5
 
__ 
2  )

4
 ]
 1
 
__ 
2 
= g. ( 

√ 
___
 
5–4
  )
 1 
__ 
2
 
. (  1
 
__ 
5  )

–2
=

c. [ (  2
 
__ 
3  
)
2
. (  2
 
__ 
3  
)
3
 ]
2
: (  2
 
__ 
3  
)
8
= h.
√ 
____
 

√ 
__
 
 81
 
___ 
16    . (  3
 
__ 
2  )

2
: (  2
 
__ 
3  )

–1
=

d.
[ (  1
 
__ 
4  
)
7
: (  1
 
__ 
4  
)
4
 ]:
[(  1
 
__ 
4  
)
2
. 4 
] = i.
[ (  2
 
__ 
3  )

2
. ( 0,6 
)

–1
 ] : (  3
 
__ 
2  )

–4
=

e.
[(  1
 
__ 
3  )

–1
. (  1
 
__ 
3  )

3
. 3–2
 
] :  
3
 
√ 
___
 
  1
 
___ 
27   = j. [ (  3
 
__ 
5  
)
 3
 
__ 
2 
.
√ 
__
 
 5
 
__ 
3   . (0,6)
 3
 
__ 
2 

 
]
–2
=

23. Resuelvan mentalmente.
a. 2,4 . 102
=

c. 0,25 . 103
=

e. 134 :  1
 
___ 
102  =
b. 34,5 . 103
=

d. 0,0008 . 104
=

f. 23 : 103
=
4 Potenciación y radicación
ACTIVIDADES
18

(  2 
__ 
3
  )
2–1
=  
2 
__ 
3
   

 
√ 
___
 
 
4
 
___ 
25
   .  

 
√ 
___
 
 
9
 
___ 
36
   =  2 
__ 
5
  .  
3
 
__ 
6
  =  1 
__ 
5
 
 
4
 
__ 
9
  :  2 
__ 
3
  =  2 
__ 
3
   

 
√ 
___
 
  1 
___ 
25
   =  1 
__ 
5
 

(  1 
__ 
2
  )
2
.
(  1 
__ 
2
  )
2
=  1 
___ 
16
   

 
√ 
__
 
 
9
 
__ 
4
   =  
3
 
__ 
2
 

(  1 
__ 
4
  )
2
=  1 
___ 
16
   
4
 
√ 
___
 
 81 
___ 
16
   =  
3
 
__ 
2
 

(  
3
 
__ 
2
  )
2.(–1)
=  
4
 
__ 
9
   

 
√ 
____
 
 121 
___ 
4
   :  

 
√ 
___
 
 
36
 
___ 
9
   =  11 
__ 
2
  .  
3
 
__ 
6
  =  11 
__ 
4
 

(  
9
 
__ 
4
  )
–1
=  
4
 
__ 
9
   

 
√ 
____
 
 121 
___ 
16
   =  11 
__ 
4
 

(  
9 + 2
 
_____ 
6
  )
2
=
(  11 
__ 
6
  )
2
=  
121 
___ 
36
   

 
√ 
___
 
 
25
 
___ 
16
   =  
5
 
__ 
4
 

(  
3
 
__ 
5
  )
–2
.
(  
5
 
__ 
3
  )
–3
=  
3
 
__ 
5
  (  
4
 
√ 
___
 
 81 
___ 
16
   )
–1
=  
2 
__ 
3
 

(  2 
__ 
5
  )
–1
.
(  
5
 
__ 
2
  )
2
=  
5
 
__ 
2
  .
(  
5
 
__ 
2
  )
2
=  
125
 
____ 
8
 
(  1 
__ 
5
  )
 
4
 
__ 
2 

. 
1
 
__ 
2 
.
(  1 
__ 
5
  )
–2
=
(  1 
__ 
5
  )
1–2
= 5

(  2 
__ 
3
  )
(2+3).2–8
=
(  2 
__ 
3
  )
2
=  
4
 
__ 
9
   
4
 
√ 
___
 
 81 
___ 
16
   .
(  
3
 
__ 
2
  )
2
.  
3
 
__ 
2
 =
(  
3
 
__ 
2
  )
1+2+1
=  81 
___ 
16
 

(  1 
__ 
4
  )
7–4
:
(  1 
__ 
4
  )
2–1
=
(  1 
__ 
4
  )
3–1

(  2 
__ 
3
  )
2–1–4
=  
27
 
___ 
8
 
=   1 
___ 
16
 

(  1 
__ 
3
  )
–1+3+2
:  
1 
__ 
3
 =
(  1 
__ 
3
  )
4–1

(  
3
 
__ 
5
  )
–3
.
(  
5
 
__ 
3
  )
–1
.
(  
3
 
__ 
5
  )
–3
=  1 
___ 
27
  =
(  
5
 
__ 
3
  )
3–1+3
=  
3 125
 
_____ 
243
 
240 250 13 400
34 500 8 0,023
P12-3085-C01.indd 18 1/17/13 3:12 PM

7 8 9 11
10 13 14
12
4
5 6
Operaciones combinadas
19
Para resolver un cálculo combinado con todas las operaciones vistas, pueden seguir estos pasos.
(–0,7)3 .  10 
___ 
21
  . 20 + √ 
____
 
0,4  :  10 
___ 
11
  – 1,05 = 1. Se separa en términos.
( – 7 
___ 
10
  )
3
.  10 
___ 
21
  . 20 + √ 
__
 
 4 
__ 
9
   :  10 
___ 
11
  –  95 
___ 
90
  = 2. Se pasan las expresiones decimales a fracción.
– 343 
______ 
1000
  .  10 
___ 
21
  . 20 +  2 
__ 
3
  :  10 
___ 
11
  –  95 
___ 
90
  = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
– 49 
___ 
15
  +  22 
___ 
30
  –  19 
___ 
18
  = 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
= – 323 
____ 
90
 
5. Se resuelven las sumas y restas.
El siguiente cálculo se puede resolver de dos formas diferentes.
√ 
______
 
 25 
___ 
16
  .  36 
___ 
4
   – (  5 
__ 
2
  +  3 
__ 
7
  –  7 
__ 
4
  )= √ 
______
 
 25 
___ 
16
  .  36 
___ 
4
   – (  5 
__ 
2
  +  3 
__ 
7
  –  7 
__ 
4
  )=
√ 
______
 
 25 
___ 
16
  .  36 
___ 
4
   –  33 
___ 
28
  =  √ 
___
 
25 
 
____ 
√ 
___
 
16 
. √ 
___
 
36 
 
____ 
√ 
__
 
4 
 –  5 
__ 
2
  –  3 
__ 
7
  +  7 
__ 
4
  =
√ 
____
 
 225 
____ 
16
   –  33 
___ 
28
  =  5 
__ 
4
  .  6 
__ 
2
  –  5 
__ 
2
  –  3 
__ 
7
  +  7 
__ 
4
  =
 15 
___ 
4
 –  33 
___ 
28
  =  18 
___ 
7
 
 15 
___ 
4
 –  5 
__ 
2
  –  3 
__ 
7
  +  7 
__ 
4
  =  18 
___ 
7
 
El siguiente cálculo se puede resolver aplicando
propiedades de la potenciación y la radicación.
 
4
 
√ 
____
 
(  2 
__ 
7
  )
8
  + (  3 
__ 
2
  )
10
: (  3 
__ 
2
  )
8
– √ 
__
 
 5 
__ 
4
   . √ 
___
 
 10 
___ 
2
   =
(  2 
__ 
7
  )
 8 
__ 
4
 
+ (  3 
__ 
2
  )
2
– √ 
___
 
 25 
___ 
4
   =
(  2 
__ 
7
  )
2
+  9 
__ 
4
  –  5 
__ 
2
  =
  4 
___ 
49
  +  9 
__ 
4
  –  5 
__ 
2
  = – 33 
____ 
196
 
a. En los cálculos combinados con potencias y raíces, ¿en qué orden se deben resolver las
operaciones?
b. ¿Cuál es el resultado de
√ 
__
 
8 .
√ 
__
 
2 ?
c. El cálculo
(  4
 
__ 
7  + 2,7
 
)
3
, ¿se puede resolver de dos formas diferentes?
infoactiva
testde comprensión
a. Primero se resuelven las potencias y raíces; luego, las multiplicaciones y divisiones y finalmente, las
sumas y restas. b. Es igual a la raíz cuadrada de 16, que es 4. c. No, ya que no se puede aplicar la
propiedad distributiva.
P12-3085-C01.indd 19 1/17/13 3:12 PM

5 Operaciones combinadas
ACTIVIDADES
20
24. Resuelvan.
a. (  1
 
__ 
3  )

–1
. 3–2
–  
2
 
__ 
3  .
(  1
 
__ 
2  + 6 
) = d.  5
 
__ 
6 
. 0,416 – 0,25 .
( 2 –  
5
 
__ 
4 

 
)=

b. 0,4 .  5
 
__ 
4  +  
3
 
__ 
2  . (  4
 
__ 
3  )

2
– 2,16 = e.  3
 
__ 
8 
. 0,4 +  
5
 
__ 
6 
.
( 1 –  
3
 
__ 
2 

 
)=

c.  8
 
__ 
5  .  5
 
__ 
4  +
(  1
 
__ 
2  )

2
.  8
 
__ 
3  –
√ 
__
 
 16
 
___ 
9   = f.
√ 
___
 
 25
 
___ 
16   . 5–1
+  
3
 
__ 
8 
.  2
 
__ 
6 
–  
5
 
__ 
2 
=

25. Expresen en lenguaje simbólico y luego resuelvan.
a. La diferencia entre la suma de 0,3 y 0,02 y la suma entre 2 y el opuesto de 1,21.
b. La raíz cuadrada de la diferencia entre 1,89 y la suma de 0,7 y el opuesto de  
1
 
__ 
2 .
c. La raíz c bica del producto entre el opuesto de  1
 
____ 
625  y 0,185 .
d. La suma entre la raíz cuadrada de  
5
 
__ 
2  al cuadrado y el producto de 2,3 y el inverso de  
23
 
___ 
2 
.
e. La suma entre  
5
 
__ 
3  y el producto entre 0,7 y su inverso.
f. El cuadrado de la suma entre  
3
 
__ 
5  y su consecutivo.
26. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado.
a.  
8
 
__ 
5  .  8
 
__ 
3  +  1 
__ 
32  –
√ 
___
 
  4
 
___ 
25   . 5 =  127
 
____ 
45  c.  
8
 
__ 
5  .  8
 
__ 
3  +  1 
__ 
32  –
√ 
___
 
  4
 
___ 
25   . 5 =  179
 
____ 
9 
b.  
8
 
__ 
5  .  8
 
__ 
3  +  1 
__ 
32  –
√ 
___
 
  4
 
___ 
25   . 5 =  
22
 
___ 
9
  d.  
8
 
__ 
5  .  8
 
__ 
3  +  1 
__ 
32  –
√ 
___
 
  4
 
___ 
25   . 5 =  
56
 
___ 
45
ú
–4  
23
 
____ 
144
 
1 –  1 
__ 
4
 
 
4
 
__ 
3
  –  
17
 
___ 
8
 
(0,3 + 0,02) – [2 + (–1,21)] = –  
7
 
___ 
15
 
 

 
√ 
_________________
  
1,89 –
[ 0,7 +
( –  1 
__ 
2
  ) ]  =  
13
 
___ 
10
 
 
3
 
√ 
_________
 
–   1 
____ 
625
  .  
5
 
___ 
27
   = –   1 
___ 
15
 
 

 
√ 
____
 

(  
5
 
__ 
2
  )
2
 + 2,3 .  2 
___ 
23
  =  
27
 
___ 
10
 
 
5
 
__ 
3
  + 0,7 .  
9
 
__ 
7
  =  8 
__ 
3
 
No es posible porque los números racionales no tienen siguiente.
( ) ( )
( ) ( )
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ACTIVIDADES
21
27. Resuelvan.
a. 2 –
{  3
 
__ 
2  –
[ (  3
 
__ 
2  
)
2
+  1
 
__ 
5  
] } = e. (  3
 
__ 
5  
)
2
: (  5
 
__ 
3  
)
–1
. (  25
 
___ 
81  
)
 1
 
__ 
2 
+ 3,2 =

b.  3
 
__ 
2  –
{ 
√ 
___
 
 25
 
___ 
4   –
[ 
(  3
 
__ 
7  –
√ 
___
 
 36
 
___ 
49   
)+ 3 
] }= f. {  1
 
__ 
8  –
[ (  3
 
__ 
2  +  
5
 
__ 
4  
)
2
+
√ 
__
 
  1
 
___ 
16   
] }
–1
=

c. { 
0,4
2
. [ (  2
 
__ 
5  )

3
 ]
–2
.   4
 
___ 
25  }

 –  
1 
__ 
2
 
= g. 03
+
{ 
√ 
___
 
  64
 
____ 
100   –
[ 2 +
(  3
 
__ 
2  +  
2
 
__ 
7  
)
–1
 ] –  3
 
__ 
4  
} =

d.
{ 
[ 
(  3
 
__ 
6  –  
12
 
___ 
7 
 
)–
( 1 +  
1
 
__ 
3  
) ] +  51
 
___ 
14  
} –  1
 
__ 
7  = h.
{ 
[ 
( 0,6 +  
1
 
__ 
4  
) :  3
 
__ 
5  + 2 
] .   2
 
___ 
41  + 1,5 
} :  10
 
___ 
7  =

Observen los ejemplos y respondan.
 1 
__ 
2
  +  1 
__ 
4
  =  
3
 
__ 
4
   1 
__ 
2
  +  1 
__ 
4
  +  1 
__ 
8
  =  
7
 
__ 
8
 
¿Qué estrategia pueden utilizar para resolver los siguientes cálculos?
 1 
__ 
2
  +  1 
__ 
4
  +  1 
__ 
8
  +   1 
___ 
16
 =  
1 
__ 
2
  +  1 
__ 
4
  +  1 
__ 
8
  +   1 
___ 
16
  +   1 
___ 
32
  =
menteactiva
 
59
 
___ 
20
   
29
 
___
 
9
 
 11 
__ 
7
  –   16 
____ 
123
 
 2 
__ 
5
  –  
251
 
____ 
100
 
 20 
___ 
21
   
7
 
__ 
6
 
 
15
 
___ 
16
   
31
 
___ 
32
 
P12-3085-C01.indd 21 1/17/13 3:12 PM

ACTIVIDADES
28. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
a. (  4
 
__ 
9  :  
16
 
___ 
18  
)
–1
+ ( –  2
 
__ 
3  
)
3
: (–0,6) –  
3
 
√ 
____
 
–   8
 
___ 
27   : 1,6 = e.
{  1
 
__ 
4  –
[ (   9
 
____ 
225  
)
 1
 
__ 
2 
–
( –  3
 
__ 
5  + 0,2 
) ]
 –1
 }: 0,17 =

b.
[ ( 
–2 
)–3
+ ( –   1
 
___ 
64  
)
 1
 
__ 
3 

 
] .
√ 
________
 
1 – 0,84 +
(  2
 
__ 
3  
)
–1
= f. –
{ – 
[ 3–2
–
( 
√ 
_________
 
 3
 
__ 
2  +  
1
 
__ 
4  +  6
 
___ 
12   +  
1
 
__ 
3  
) ] –  5
 
__ 
9  
} =

c.
√ 
______
 
 5
 
__ 
6  +  
19
 
___ 
36   +
√ 
______
 
 64
 
___ 
81  :  
16
 
___ 
9   –
[ 3 –  
2
 
__ 
5  . (  5
 
__ 
3  
)
2
 ] – (  5
 
__ 
3  
)
2
= g. { (  49
 
___ 
9  )

2
: (  49
 
___ 
9  )

 3
 
__ 
2 
+
[ 3 –
( 0,6 – 1 
) ]
2
 }
 1
 
__ 
2 
=

d. [ 2 +
( 0,2 +
√ 
___
 
  4
 
____ 
100   
) .
( 
√ 
___
 
 441
 
____ 
4   +  
3
 
__ 
2  .  2
 
__ 
3  ) ]
–1
= h. (  3
 
__ 
2  
)
–2
–
{  3
 
__ 
5  –
(  5
 
__ 
3  
)
–1
.
[ –
( 
√ 
___
 
 144
 
____ 
100   +  
1
 
__ 
2  
) –  1
 
__ 
2  
] –  6
 
__ 
5  
} =

22
Santiago y Sabrina tuvieron evaluación de Matemática. Una de las actividades era resolver el
cálculo  3
 
__ 
5  +  
5
 
__ 
2  .  1
 
__ 
5  +  
3
 
√ 
__
 
 1 
__ 
8
  . Cuando terminaron, comentaron los resultados. En ese cálculo, Santiago
obtuvo como resultado  
28
 
___ 
25  y Sabrina,  
8
 
__ 
5 .
a. ¿Cuál de los chicos lo resolvió correctamente?
b. ¿Qué error pudo haber cometido quien no lo resolvió correctamente?
menteactiva
Sabrina resolvió el cálculo correctamente, el error de Santiago fue que no realizó la separación de térmi-
nos en forma adecuada.
 128 
____ 
45
  –  
25
 
___ 
3
 
 
27
 
___ 
20
  –  
7
 
__ 
6
 
–  
17
 
___ 
6
   11 
__ 
3
 
 
90
 
____ 
617
  –   62 
____ 
225
 
P12-3085-C01.indd 22 1/17/13 3:12 PM

Integración
capítulo
1
1.2.3.4.5
Contenidos
29. Apliquen las propiedades para obtener la
expresión más simple.
a. a2
. a12
= f.
√ 
__
 
a  . a
 1
 
__ 
3 
=
b. a3
: a5
. a = g. ( a
 3
 
__ 
5 

 
)
5
=
c. a0
. a3
: a0
= h.
√ 
__
 
a  .  3
 
√ 
__
 
a  =
d. a12
: a20
: a32
= i. ( 

√ 
__
 
a  )4
=
e. ( 
a4
 )
 1
 
__ 
4 
= j.  4
 
√ 
__
 
a  .  3
 
√ 
__
 
a .
√ 
__
 
a5
  =
30. Resuelvan los cálculos combinados.
a. 213
: 210
+
√ 
__
 
5 .
√ 
__
 
5 – 4 =
b. ( 

√ 
__
 
54
  )
2
+ 23
. 22
+ 30
=
c.  
3
 
√ 
_______
 
432 . 4 –
( 
34
 )5
: 318
+ 5 .
( 
–3 
) =
d.  
3
 
√ 
___
 
54  .  
3
 
√ 
__
 
4  + ( 
16
3
 )2
: 165
–
√ 
____
 
100  =
e.
√ 
__________
  
45 + 5 . 11 –
10
2
: 10 –
3
2
=
f. 317
: 315
+  

 
√ 
___
 
16 – (–5)2
=
g.
√ 
___
 
27 .
√ 
__
 
3 – (–6)2
. (–2) : (–2)2
=
h.
√ 
_________
 
30 + 3 . 2 – 152
: 15 + 3 . (–5) =
i. (42
)3
: (22
)5
+ (–6) . 3 + (–4)2
=
j. ( 

√ 
__
 
18
  )
2
+ 73
: 7 – (185 – 43
)0
=
k.  
3
 
√ 
___________________
 
  
102
+ 42
+ (–5) . (–20) – (23
)4
: 210
+ (–6) =
31. Hallen el dcm y mcm entre los siguientes
números.
a. 48; 54 f. 24; 20
b. 60; 75 g. 90; 45
c. 15; 18; 24 h. 360; 84; 60
d. 12; 10; 4 i. 735; 245; 70
e. 392; 28; 147 j. 66; 77; 33
32. Escriban como fracción irreducible las
siguientes expresiones decimales.
a. 0,12 =

f. 12,7 =
b. 15,24 =

g. 9,16 =
c. 6,12 =

h. 3,21 =
d. 3,6 =

i. 11,4 =
e. 8,3 =

j. 5,23 =
33. Escriban la expresión decimal que corres-
ponde a cada fracción. Luego, clasifíquenlas.
a.  3
 
__ 
2  = d.  13
 
___ 
9  =
b.  113
 
___ 
90  = e.  6
 
__ 
7  =
c.  7
 
__ 
5  = f.  10
 
___ 
18  =
34. Completen con <, > o =.
a. 3,25 3,25 f.  20
 
___ 
6   10
 
___ 
3 
b. 3,4  17
 
___ 
5  g.  7
 
__ 
9  0,7
c. 2,24 2,24 h.   9
 
___ 
10  0,98
d.  5
 
__ 
3   7
 
__ 
3  i. 1,9 2
e.  2
 
__ 
5   5
 
__ 
2  j. 0,001 0,0010
35. Simplifiquen para obtener la fracción irredu-
cible en cada caso.
a.  48
 
___ 
56  = f.   944
 
_____ 
1 180  =
b.   96
 
____ 
216  = g.   2 114
 
_____ 
3 020  =
c.  440
 
____ 
275  = h.   992
 
_____ 
9 348  =
d.  858
 
____ 
792  = i.  5 200
 
_____ 
5 850  =
e.  396
 
____ 
693  = j.  2 244
 
_____ 
660 =
36. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El triple del cuadrado de dos tercios.
b. El producto de tres medios y siete tercios,
aumentado en uno.
c. La suma entre el doble de 0,3 y tres cuartos.
d. El opuesto del inverso de cuatro.
e. El inverso de la diferencia entre menos
cinco cuartos y un medio.
37. Resuelvan mentalmente.
a. 1,17 . 102
= e. 4 : 10–4
=
b. 53,2 : 102
= f. 13 .   1
 
_____ 
1 000  =
c.
6 . 10–4
= g. 34,21 .   1
 
____ 
100  =
d. 4,5 . 10–2
= h. 9 : 10–3
=
23
a14
a
 
5
 
__ 
6
 

a–1
a3
a3
a
 
5
 
__ 
6
 

a–40
a2
a a
 
37
 
___ 
12
 

9
658
–12
12
–9
940
27
–24
2
49
–4
a. 6; 432 b. 15; 300 c. 3; 360 d. 2; 60 e. 7; 1 176
f. 4; 120 g. 45; 90 h. 12; 2 520 i. 35; 1 470 j. 11; 462
3 115
25 9
381 55
25 6
153 289
25 90
11 103
3 9
25 157
3 30
1,5; finita 1,4 ;
p. pura
1,25; 0,857142;
p. mixta p. pura
1,4; finita 0,5;
p. pura

> =
= >
< <
< =
< <
 6 
__ 
7
   
4
 
__ 
5
 

 
4
 
__ 
9
   
7
 
___ 
10 
 8 
__ 
5
   
248
 
_____ 
2 337
 
 
13
 
___ 
12
   8 
__ 
9
 
 
4
 
__ 
7
   
17
 
___ 
5
 
e.
( –  
5
 
__ 
4
  –  1 
__ 
2
  )
–1
a. 3 .
(  2 
__ 
3
  )
2
b.  
3
 
__ 
2
  .  
7
 
__ 
3
 + 1 c. 2 . 0,3 +  
3
 
__ 
4
  d. –4–1

117 40 000
0,532 0,013
0,0006 0,3421
0,045 9 000
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24
38. Lean atentamente y respondan.
Abigail compró 15 kg de alimento balanceado
para alimentar a sus perras. Según las reco-
mendaciones del veterinario, cada perra debe
comer la misma porción todos los días. A una
de las perras debe darle 1,5 kg de alimento
diario y a la otra, 0,5 kg.
a. ¿Qué cálculo debe realizar para saber cuán-
to alimento le queda luego de alimentar por
primera vez a sus mascotas? ¿Cuánto alimen-
to balanceado le quedó?
b. ¿Para cuántos días más le alcanza la comi-
da que quedó?
39. Resuelvan.
a.
[  3
 
__ 
2  –
( 0,3 +  1
 
__ 
4  ). 0,6 + 1 
] :   7
 
___ 
36  =
b. 0,6 +  
1
 
__ 
2  .
( 1,6 +  1
 
__ 
5  )+ 6 =
c.
{ 
[ 
(  3
 
__ 
2  + 0,2 
) . 5 
] .   5
 
___ 
34  + 3 
} :  1
 
__ 
2  =
d.
{ 
[ 2 .
(  3
 
__ 
5  + 0,25 
) +  2
 
__ 
3  ]: 71 + 0,06 
}:  
1
 
__ 
2  =
40. Resuelvan aplicando propiedades de la
potenciación.
a. [ 
(  3
 
__ 
5  
) .
(  3
 
__ 
5  
) ]
2
=
b. [ (  1
 
__ 
3  
)
5
: (  1
 
__ 
3  
)
2
 ]
2
=
c. (  2
 
__ 
3  
)
3
. (  2
 
__ 
3  
)
2
. (  3
 
__ 
2  
)
6
. (  3
 
__ 
2  
)
2
=
d.
[ (  5
 
__ 
2  
)
13
: (  5
 
__ 
2  
)
10
 ]:
[  2
 
__ 
5  . (  5
 
__ 
2  
)
3
 ] =
e.  
4
 
√ 
______
 
  3
 
___ 
16  .  33
 
__ 
42   =
f.  
6
 
√ 
________
 
(  5
 
__ 
2  .  25
 
___ 
4  )

2
  =
g.
√ 
__
 
  9
 
___ 
16   .
√ 
_____
 
(  
3
 
__ 
2
  )
–2
  =
41. Lean y resuelvan.
a. Una familia gasta  
3
 
__ 
5  de sus ingresos en
comida,  1
 
__ 
3  en impuestos y servicios y el resto
en gastos diarios. ¿Qué fracción de sus ingre-
sos la destina a gastos diarios?
b. En las elecciones del centro de estudiantes
de una escuela, las  
2
 
__ 
5  partes de los votos fue-
ron para la agrupación A,  
1
 
__ 
4  para la B y el
resto para la C. Si votaron 1 000 alumnos,
¿cuántos votos recibió cada agrupación?
a. –
[ – 
( 2,90 –  
7
 
__ 
5  ) ]+ 1,3 =
b.
(  
3
 
√ 
____
 
125  .  1
 
__ 
5  
) : (  1
 
__ 
8  
)
 2
 
__ 
3 
+  
3
 
√ 
__
 
 1
 
__ 
8   =
c. –
{ 0,46 +
[ –
( 
1,4 + 2 
) +  3
 
__ 
2  ] }=
d.  
3
 
√ 
______
 
8 . 27 +
(  3
 
__ 
2  )

5
: (  3
 
__ 
2  )

4
–
√ 
__________
  
50 + 25 . 2 =
e.  
3
 
√ 
_______
 
8 . 125 –
√ 
___
 
25  .  1
 
__ 
5  :
5
3
. 5 .  1
 
___ 
25  =
f.
[ (–2)–3
+  
3
 
√ 
____
 
–   1
 
___ 
64   ].
√ 
________
 
1 – 0,84 +
(  2
 
__ 
3  )

–1
=
g.
√ 
__
 
 3
 
__ 
2   .
√ 
__
 
 3
 
__ 
2   +
(  5
 
__ 
3  
)
12
: (  5
 
__ 
3  
)
10
.  5
 
__ 
3  –  

√ 
__
 
9 
 
__ 
2  =
h. [ (  2
 
__ 
3  
)
3
 ]
2
. (  3
 
__ 
2  
)
4
+  
5
 
√ 
____
 
(  1
 
__ 
3  
)
5
 + 3 :
(  1
 
__ 
2  + 1 
) =
i.
√ 
_________
 
 4
 
__ 
5  –  
11
 
__ 
5  .  1
 
__ 
5   +
( 3 +  
1
 
__ 
4  . 5 
)
0
–  
3
 
√ 
_____
 
1 –  
7
 
__ 
8   =
43. Expresen en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La suma entre la raíz cúbica del opuesto de  
1
 
__ 
8 
y el inverso de la diferencia entre 2,5 y  
3
 
__ 
2 .
b. La diferencia entre el opuesto del cuadra-
do de  
3
 
__ 
2  y la raíz cuadrada de 0,04.
c. La diferencia entre el cuadrado del opuesto
de  3
 
__ 
2  y el cociente entre 0,3 y 0,2.
d. El producto entre la raíz cuadrada de 0,1 y
el cuadrado de la diferencia entre uno y 0,1 .
e. El producto entre la raíz cúbica de 0,3 y la
raíz cúbica de 0,1.
f. El cociente entre la raíz cuadrada de 1,7 y
el cuadrado de 2.
g. El cociente entre la suma de 1,5 y  
5
 
__ 
2
 
, y el
triple de 0,4.
44. Resuelvan las siguientes operaciones com-
binadas.
a.
{ 
[ –
( 0,6 – 2,3  
)+  
1
 
__ 
5  ]:
(  3
 
__ 
2  – 0,2 
)+ 2 
} :   7
 
___ 
13  =
b.
{ 
[ 1,16 –
(  5
 
__ 
3  +  
1
 
__ 
4  ) ] : 0,583 +  3
 
___ 
28  }: 2,75 =
c. 2,6 + 5 –
[ 
(  3
 
__ 
2  +  
1
 
__ 
3  ):
(  1
 
__ 
2  – 2,3  
)+ 0,4 
] =
d.
{ 
√ 
_______________
  
–  7
 
___ 
10  :
( –  7
 
__ 
2  ).  2
 
__ 
5  :  
1
 
__ 
8 
_
 + [ 
(–2)–1
 ]2
. (–2) 
} .   5
 
___ 
26  =
e. –
{ 
(  3
 
__ 
2  + 0,2  
)–
[ –0,2 –
(0,04)
 1
 
__ 
2 
 ] .
√ 
____
 
225  
} =
f.
{ [ (–2)–3
+  
3
 
√ 
____
 
–   1
 
___ 
64   ]

–1
. (  16
 
___ 
6  )

–1
+  2
 
__ 
5  }: 3 =
g.  1
 
__ 
3  .
{ 
[ 1,2 –
(  3
 
__ 
5  +  
2
 
__ 
5  )

 1
 
__ 
2 
 ]: 0,3 + 0,09 
}:
100
–  1
 
__ 
2 
=
h. { [ 
√ 
_________
 

(  1
 
__ 
2  +  
1
 
__ 
3  ).  5
 
__ 
6   +
√ 
______
 
 5
 
__ 
6  +  
19
 
___ 
36   : (–3) 
]
–1
 }
–2
=
i.
[  
3
 
√ 
___________
  
 1
 
__ 
2  : 0,1 + 3,5 –  
1
 
__ 
3  –
( –  5
 
__ 
2  
)

1
 ] :  
5
 
__ 
3 
2
=
24
1,5 + 0,5 = 2; 13 kg
Para 6 días más.
 
76
 
___ 
7
 
 
113
 
___ 
15
 
 
17
 
___ 
2
 
 1 
__ 
5
 

  81 
____ 
625
 
  1 
____ 
729
 
 
27
 
___ 
8
 
 
5
 
__ 
2
 
 
3
 
__ 
4
 
 
5
 
__ 
2
 
 1 
__ 
2
 
  1 
___ 
15
 
A: 400; B: 250; C: 350
 
309
 
____ 
110
 
 
9
 
__ 
2
 
 
43
 
___ 
30
 
–  
5
 
__ 
2
 
–15
 
27
 
___ 
20
 
 
125
 
____ 
27
 
 
25
 
___ 
9
 
 11 
___ 
10
 

a.  1 
__ 
2
  b. –  
49
 
___ 
20
  c.  
3
 
__ 
4
  d.  
64
 
____ 
243
  e.  1 
__ 
3
  f.  1 
__ 
3
  g. 3
a.  
134
 
____ 
21
  b.  
3
 
__ 
4
  c. –  
3
 
__ 
7
  d.   3 
___ 
52
  e. –  
139
 
____ 
18
  f. –  1 
__ 
5
  g.  
7
 
__ 
3
  h.  
16
 
___ 
81
  i.  1 
__ 
2
 
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Los números irracionales son expresiones decimales con infinitas cifras decimales no periódicas.
Un número irracional no se puede expresar como el cociente entre dos números enteros.
π = 3,141592654…
√ 
__
 
2  = 1,414213562…  
3
 
√ 
__
 
5 = 1,709975947…
Se pueden generar números irracionales escribiendo las cifras decimales a partir de alguna regla
de formación, para que no sean periódicas.
0,123456789... 1,112233445566... –0,135791113...
Para representar el número irracional
√ 
__
 
5 en la recta numérica, pueden seguir estos pasos.

1. Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan
1 unidad (que se elige arbitrariamente) y 2 unidades. Por el
teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide
√ 
__
 
5 .

√ 
__
 
5 

1
2
12
+ 22
= ( 
√ 
__
 
5  )2

2. Se dibuja una recta numérica donde se utilice como
escala la unidad elegida. Con el compás, se toma la medida
de la hipotenusa y con centro en 0 se traza un arco. El punto
que queda determinado representa al número
√ 
__
 
5 .
Números reales
El conjunto de los números reales ( ) está formado por todos los números racionales y los irracionales.
El conjunto de los números reales es:
• Denso: entre dos números reales siempre existe otro número real.
• Continuo: a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real.
Números irracionales
25
5 8 9 10 12
11
6 7 14 15
13
a. La raíz cuadrada de 11, ¿es un número racional o irracional?
b. El número 1,357911... ¿es irracional? ¿Cuál es la regla de formación?
c. Un número irracional, ¿pertenece al conjunto de los números reales?
d. ¿Cuántos números reales existen entre 1 y 2? ¿Y entre 1,3 y 1,4?
infoactiva
testde comprensión
0 1 2

√ 
__
 
5 
a. Irracional. No se puede expresar como el cociente entre dos números enteros. b. Sí, tiene infinitas cifras
decimales no periódicas. c. Sí. d. Infinitos números, porque el conjunto de los números reales es denso.
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6 Números irracionales
ACTIVIDADES
26
45. Marquen con una X según corresponda.
Número 3,4  
3
 
√ 
___
 
27 
√ 
___
 
24   
√ 
__
 
2  
__ 
2
  –3 . π 1,010101… 1,010203… 1,010203
Racional
Irracional
46. Representen en la recta numérica los siguientes números irracionales.
a.
√ 
__
 
3  b. –
√ 
___
 
13  c.
√ 
___
 
17  d. –
√ 
___
 
29 
0
47. Escriban tres números irracionales. Expliquen la regla que usaron para generarlos.
48. Escriban los números enteros entre los cuales está comprendida cada expresión.
a. <
√ 
__
 
3  <

c. < –
√ 
___
 
19  < e. <  1
 
__ 
3  √ 
__
 
3  <
b. < –
√ 
___
 
85  < d. < 2
√ 
___
 
15  < f. < –
√ 
___
 
12 + 1 <
a.  
10
 
√ 
__
 
25
  . √ 
__
 
2 = d. ( 

√ 
__
 
2 .
√ 
__
 
3  )2
.
( 
 
3
 
√ 
__
 
2  .  
3
 
√ 
__
 
4  ) =

b.
√ 
__
 
5 .
( 

√ 
__
 
5 +
√ 
___
 
20  ) = e.
( 
 
3
 
√ 
_____
 
1 125  –  
3
 
√ 
___
 
72  ) :  
3
 
√ 
__
 
9  =

c.
√ 
__
 
3 .
( 

√ 
___
 
27  +  
4
 
√ 
___
 
482
  ) = f.  
8
 
√ 
___
 
612
  .  
10
 
√ 
__
 
65
 +
√ 
___
 
75  :  
6
 
√ 
__
 
33
  =

X X X X
X X X X
Solución gráfica.
Por ejemplo: 5,010010001...; 3,212012001...; 2,4681012...
1 2 –5 –4 0 1
–10 –9 7 8 –3 –2
2 12
15 3
21 41
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Aproximación y notación científica
27
6 9 10 15 16
13 14
11 12
7 8
a. ¿Cómo se aproxima por truncamiento a los centésimos el número 12,33333? ¿Y por redondeo?
b. La temperatura en el interior del Sol es de aproximadamente 15 000 000 °C. ¿Cómo se
escribe esa cantidad en notación científica?
c. ¿Qué representa en la calculadora la expresión 9–07
?
En algunas situaciones no es necesario considerar todas las cifras decimales de un número.
Para aproximar un número se pueden utilizar dos métodos: el truncamiento y el redondeo.
Truncar un número significa “cortar” ese número en una cifra pedida y desechar las siguientes.
2,346 aproximado por truncamiento a los décimos es 2,3.
2,346 aproximado por truncamiento a los centésimos es 2,34.
Redondear un número significa conservar las k cifras después de la coma y desechar las demás
teniendo en cuenta que:
• Si la primera cifra desechada es mayor o igual que 5, se suma una unidad a la última cifra que
se conserva;
• Si la primera cifra desechada es menor que 5, la última cifra que se conserva queda igual.
2,346 aproximado por redondeo a los décimos es 2,3.
2,346 aproximado por redondeo a los centésimos es 2,35.
Notación científica
Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como el producto entre una
potencia de 10 y un número mayor o igual que 1 y menor que 10.
La unidad astronómica (UA) es una unidad de longitud igual a 149597870700 m y equivale
aproximadamente a la distancia media entre la Tierra y el Sol. Esa distancia se puede expresar
de la siguiente forma, usando la notación científica.
149597870700 = 1,49597870700 . 1011
Por ejemplo, para ingresar el número 1,2 .
104

, en algunas calculadoras se pulsan las teclas en
este orden.
1 . 2 EXP 4
infoactiva
testde comprensión
a. 12,33. igual. b. 1,5 . 107
. c. Representa en notación científica 9 . 10–7
.
P12-3085-C01.indd 27 1/17/13 3:12 PM

7 Aproximación y notación científica
ACTIVIDADES
28
50. Completen las siguientes tablas con la aproximación de cada número.
a. 34,148 b. 0,071
A los… Truncamiento Redondeo A los… Truncamiento Redondeo
enteros enteros
décimos décimos
centésimos centésimos
51. Lean atentamente y resuelvan.
Ramiro tiene que reemplazar un vidrio roto de su casa, que tiene forma rectangular y mide
3,23 m x 2,55 m.
a. ¿Cuántos metros cuadrados de vidrio tiene que comprar? Redondeen el resultado a los centésimos.
b. Si el metro cuadrado de vidrio cuesta $26,50, ¿cuánto debe pagar si la máquina registradora
aproxima por truncamiento a los décimos?
52. Rodeen los números que, al redondear los centésimos, dan como resultado el número A.
a. A = 0,34 0,345 0,335 0,349 0,347
b. A = 23,09 23,08 23,091 23,087 23,098
53. Expresen en notación científica las cantidades de cada ítem.
a. La distancia del Sol a la Tierra es de 150 000 000 km aproximadamente.
b. El planeta Tierra se formó hace 4 567 millones de años.
c. Pablo se encuentra a 3 000 000 mm de su casa.
54. Escriban en notación científica los siguientes números.
a. 0,006 = c. 34,57 =
b. 0,00026 = d. 1 234 000 000 =
55. Resuelvan escribiendo previamente en notación científica.
a.  
0,004
 
______ 
0,5 = d.  5 000 . 135 000
  
______________
  
3 000 . 1 200 =

b.  
0,0002 . 0,03
  
____________ 
0,05 
= e.  3 200 . 120
  
__________
  
500 . 0,04  =

c.  
0,35 . 254
  
__________ 
28 
= f.  
45 000 . 2 000 . 0,0006
   
____________________
  
540 000 
=

34 34 0 0
34,1 34,1 0 0,1
34,14 34,15 0,07 0,07
8,24 m2
$218,3
1,5 . 108
4,567 . 109
3 . 106
6 . 10–3
3,457 . 10–1
2,6 . 10–4
1,234 . 109
5 . 10–3
1,875 . 102
1,2 . 10–4
1,92 . 104
3,175 1 . 10–1
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Intervalos reales
29
7 10 11 12 14
13
8 9 16 17
15
a. ¿Cuántos números reales tiene el intervalo (0;1)?
b. ¿Cuál es el menor número del intervalo (2;5]?
c. ¿Cuál es el menor número del intervalo [2;5]?
d. ¿Los intervalos
[ 
–2;5 
]y
[ 
5;7 
]tienen algún punto en común?
Un conjunto de números reales se puede representar de diferentes maneras: a través del lenguaje
coloquial, el lenguaje simbólico, en forma de intervalo o en la recta numérica.
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico Intervalo En la recta numérica
Todos los números
reales mayores que 1 y
menores que 4.
x > 1 y x < 4 (1;4)
0 1
–3 2
–2 3
–1 4 5
( )
Todos los números
reales mayores o iguales
que –3 y menores o
iguales que 5.
x ≥ –3 y x ≤ 5 [–3;5]
0 1
–3 2
–2 3
–1 4 5
[ ]
Todos los números
reales mayores o iguales
que 1 y menores que 5.
x ≥ 1 y x < 5 [1;5)
0 1
–3 2
–2 3
–1 4 5
[ )
En forma de intervalo, el corchete indica que el número pertenece al conjunto y el paréntesis
indica que no pertenece. Esta misma notación se utiliza en la representación en la recta numérica.
Hay intervalos que son especiales, ya que en uno de sus extremos aparece el símbolo infinito.
Lenguaje coloquial: todos los números mayores o iguales que –2.
Lenguaje simbólico: x ≥ –2
Intervalo: [–2;+∞)
Recta numérica:
0 1
–3 2
–2 3
–1 4 5
[
Lenguaje coloquial: todos los números menores que 3.
Lenguaje simbólico: x < 3
Intervalo: (–∞;3)
Recta numérica:
0 1
–3 2
–2 3
–1 4 5
)
infoactiva
testde comprensión
a. Existen infinitos números reales dentro de cualquier intervalo. b. No se puede saber. c. El 2. d. Sí. El
punto 5 pertenece a los dos intervalos.
P12-3085-C01.indd 29 1/17/13 3:12 PM

30
8 Intervalos reales
ACTIVIDADES
30
56. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según pertenece (∈) o no pertenece (∉) al intervalo.
a. 3 ∈ [2;5] c. 3 ∉ [3,5] e. –3 ∈ (–3;5]
b. –3 ∉ [–2;4] d. –3 ∈ [–3;3) f. 2 ∈ [2;5]
57. Representen los siguientes intervalos en la recta numérica.
a. (–3;2) c. [–3;2]

b. (–3;2] d. [–3;2)

58. Escriban el intervalo representado en cada recta.
a.
–2 5
( ] c.
2 4
[ ]
b.
–7 –2
( ] d.
–3
[
59. Escriban el intervalo que representa cada caso y represéntenlo en la recta numérica.
a. Todos los números reales mayores que 3.
b. Todos los números reales mayores que 5 y
menores que 12.
c. Todos los números reales mayores o igua-
les que –2 y menores que 7.
d. Todos los números reales menores que –1.
e. Todos los números reales mayores o igua-
les que
√ 
__
 
3 .
   
 
f. Todos los números reales mayores que – 
3
 
√ 
__
 
7 
y menores que  
3
 
√ 
__
 
7 .
   
   
 
60. Escriban en lenguaje coloquial y simbólico los siguientes intervalos.
a. [3;+∞) b.
–6
]

V F F
V V V
(–2;5] [2;4]
(–7;–2] [–3;+∞)
(3;+∞) (–∞;–1)
(5;12) [
√ 
__
 
3 ;+∞)
[–2;7) (– 
3
 
√ 
__
 
7 ; 
3
 
√ 
__
 
7 )
x ≥ 3 x ≤ –6
Todos los números mayores o iguales que 3. Todos los números menores o iguales que –6.
–3 2
( )
–3 2
[ ]
–3 2
( ]
–3 2
[ )
( )
[
( )
[ ) ( )
P12-3085-C01.indd 30 1/17/13 3:12 PM

31
61. Marquen con una X los números irracionales.
a.
√ 
____
 
169 

d.
√ 
__
 
9 
b.
√ 
___
 
69 

e.  1
 
__ 
5 
c. 4,23242526...

f.
√ 
__
 
8 
62. Escriban tres números irracionales. Luego,
expliquen la regla que usaron para crearlos.
63. Representen en la recta numérica los
siguientes números.
a.
√ 
___
 
18  d.
√ 
___
 
50 
b.
√ 
___
 
45  e.
√ 
___
 
38 
c.
√ 
___
 
65  f.
√ 
___
 
54 
64. Completen con < o >.
a.
√ 
__
 
6 
√ 
__
 
7  d. 3
√ 
__
 
3  3
√ 
__
 
5 
b.  
3
 
√ 
__
 
3 
√ 
__
 
2  e.  1
 
__ 
2 
√ 
__
 
8  2
√ 
__
 
2 
c.
√ 
__
 
5   
5
 
√ 
__
 
1  f.  
4
 
√ 
__
 
2   
5
 
√ 
__
 
2 
65. Escriban lo pedido en cada caso y luego
respondan.
a. Un número irracional comprendido entre 3
y 4.
b. Un número irracional comprendido entre –2
y –1,5.
c. Un número irracional mayor que 10 y
menor que 11.
d. En los ítems anteriores, ¿la solución es
única? ¿Por qué?
a.  
3
 
√ 
__
 
52
  .  
3
 
√ 
__
 
5  =
b.  
15
 
√ 
__
 
25
  .  
3
 
√ 
__
 
3  =
c.
√ 
__
 
3 .
( 

√ 
__
 
2 +
√ 
__
 
5  ) =
d.
( 

√ 
__
 
3 –
√ 
__
 
2  ).
√ 
__
 
3  =
e.
√ 
__
 
5 .
( 

√ 
__
 
5 +
√ 
__
 
3  )–
√ 
__
 
3 .
( 

√ 
__
 
3 +
√ 
__
 
5  ) =
f.
( 

√ 
__
 
2 +
√ 
__
 
6  ).
√ 
__
 
2  + ( 

√ 
__
 
3 .
√ 
__
 
2  )2
=
g.  
3
 
√ 
__
 
69
 +
√ 
__
 
3 .
( 

√ 
__
 
3 +
√ 
___
 
27  ) =
h.
√ 
__
 
7  . ( 

√ 
__
 
3  )4
+
√ 
__
 
7  =
67. Lean atentamente y respondan.
a. El perímetro de un octógono regular es de
23,34 cm. ¿Cuánto mide cada lado?
Aproximen el resultado a los décimos.
b. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si su
diámetro es de 15 m y la altura es de 11 m?
Aproximen el resultado a los centésimos.
c. Si se trunca un número a los centésimos,
se obtiene 4,34. ¿Cuál es el número? ¿Existe
una única solución?
d. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya
área es igual a 2 cm2
?
e. El volumen de un prisma de base cuadrada
es igual a 20 cm3
. Si su altura es igual a 4 cm,
¿cuánto miden los lados de la base?
68. Redondeen a los centésimos los siguientes
números.
a. 3,345 d. 1,943
b. 23,564 e. 3,991
c. –0,345 f. –45,096
69. Realicen el truncamiento a los décimos de
los siguientes números.
a. 23,456 d. 1,67
b. –24,788 e. 0,04
c. 2,98 f. –0,45
70. Ordenen de menor a mayor.
3,4 . 103
; 3,4 . 10–2
; 3,4 . 10–5
; 3,4 . 10; 3,4 . 104
71. Expresen en notación científica cada uno de
los siguientes números.
a. 0,004 d. 0,0036
b. 30 000 e. 0,0009
c. 2 300 000 f. 34 200 000
72. Escriban los siguientes números expresa-
dos en notación científica.
a. 2,3 . 104
d. 3 . 10–5
b. 3 . 106
e. 1,3 . 10–5
c. 1,23 . 105
f. 1,1 . 1010
31
Integración
capítulo
1
6.7.8
Contenidos
X
X X
Solución a cargo del alumno.
Solución gráfica.
< <
> <
> >
a. 5 b.  
3
 
√ 
__
 
6  c.
√ 
__
 
6 +
√ 
___
 
15  d. 3 –
√ 
__
 
6  e. 2 f. 8 +
√ 
___
 
12 
g. 228 h. 10
√ 
__
 
7 
a. 2,9 cm b. V = 1 942,88 m3
c. 4,348. Infinitas
soluciones d.
√ 
__
 
2  cm e.
√ 
__
 
5  cm

a. 3,35 b. 23,56 c. –0,35 d. 1,94 e. 3,99 f. –45,10
a. 23,4 b. –24,7 c. 2,9 d. 1,6 e. 0 f. –0,4

3,4 . 10–5
< 3,4 . 10–2
< 3,4 . 10 < 3,4 . 103
< 3,4 . 104
a. 4 . 10–3
b. 3 . 104
c. 2,3 . 106
d. 3,6 . 10–3
e. 9 . 10–4
f. 3,42 . 107
a. 23 000 b. 3 000 000 c. 123 000 d. 0,00003
e. 0,000013 f. 11 000 000 000
P12-3085-C01.indd 31 1/17/13 3:12 PM

32
73. Resuelvan escribiendo previamente en
notación científica.
a. 320 . 430 000 =
b. 450 000 . 600 000 =
c. 24 000 000 . 12 000 =
d.  
0,00004
 
________ 
2 000 =
e.  
0,0001 . 0,007
  
_____________
  
0,00014 
=
f.  
0,003 . 0,006
  
____________
  
0,02 . 0,3
 
=
g. 900 000 : 3 000 + 750 =
h.  160 000 : 400
  
_____________
  
0,002 + 0,006  =
i.  
0,055 + 0,005
  
_____________
  
0,0001 
=
74. Lean atentamente y resuelvan.
a. El recorrido de la luz en un segundo es de
300 000 km. ¿Cuál es la expresión en nota-
ción científica?
b. Se quiere hacer una fila de cubos de
1 cm de arista. Si la línea debe medir 30 km,
¿cuántos cubos se tendrán que colocar?
Expresen la respuesta en notación científica.
75. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda.
a. 3 ∈ (3;5)
b.
√ 
__
 
5  ∈ (2;3)
c. –4 ∉ [–4;5]
d. –
√ 
___
 
12  ∉ [–2;3]
e.  1
 
__ 
2  ∈ (0;1)
76. Escriban un intervalo que cumpla con la
condición indicada en cada caso.
a. Que incluya los números –5 y 7.
b. Que incluya el número 2 y no incluya el 5.
c. Que uno de sus extremos sea 2, pero que
no esté incluido en el intervalo.
d. Que sus dos extremos estén incluidos en
el intervalo.
e. Que incluya los números mayores o iguales
que –5 y los menores que 3.
f. Que incluya números mayores que –8 y
menores o iguales que 4.
77. Escriban el intervalo que corresponde a
cada situación. Luego, repres ntenlo en la recta
numérica.
a. Todos los números reales mayores que –3.
b. Todos los números reales mayores que 5 y
menores o iguales que 12.
c. Todos los números reales menores o igua-
les que 4.
d. Todos los números reales mayores o igua-
les que –2 y menores o iguales que 0.
78. Escriban en lenguaje coloquial y como inter-
valo. Luego, realicen la representación en la
recta numérica.
a. x < 10 e. –3 < x < 3
b. x > –2 f. 5 ≥ x ≥ –1
c. x ≥ 1 g. 2 ≤ x < 7
d. 1 ≥ x h. –4,5 < x ≤ –1
79. Escriban el intervalo y la expresión simbóli-
ca que corresponde a cada recta.
a. ]
7
b.
–2 4
( )
c.
3 9
[ ]
d.
2
(
e.
–2 3
[ )
f.
6 9
( ]
80. Rodeen el intervalo que corresponde a cada
representación.
a.
0 6,5
( )
[0;6,5) (0,6;5) (0;6,5)
b.
–4 10
( ]
[–4;10) [–4;10] (–4;10]
c.
–8
[
∞ ∞) [–8;10)
32
é
(–8;+ [–8;+
1,376 . 108
2,7 . 1011
2,88 . 1011
2 . 10–8
5 . 10–3
3 . 10–3
1,05 . 103
5 . 104
6 . 102
3 . 105
km/s
3 . 106
F
V
F
V
V

a. (–3;+∞) b. (5;12] c. (–∞;4] d. [–2;0]
(–∞;7] x ≤ 7
[–2;4) x ≥ –2 y x < 4
[3;9] x ≥ 3 y x ≤ 9
(2;+∞) x > 2
[–2;3) x ≥ –2 y x < 3
(6;9] x > 6 y x ≤ 9
P12-3085-C01.indd 32 1/17/13 3:12 PM

Autoevaluación
1
81. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
a.  23
. 25

 
______ 
24
. 22

  +
(  5
 
__ 
4  )

3
. (  5
 
__ 
4  )

2
:
(  5
 
__ 
4  ). (  4
 
__ 
5  )

3
= b.
(  
3
 
√ 
___
 
 125
 
____ 
27   –  
3
 
√ 
_____
 
–  125
 
____ 
8   ) . (  5
 
__ 
2  
)

–1
+ ( 3 +  
4
 
__ 
5  .  3
 
__ 
2  )

0
=

82. Completen la tabla.
Expresión decimal 3,4 0,98
Expresión fraccionaria  
29
 
___ 
9
   
9
 
__ 
4
 
Clasificación
83. Representen los siguientes números irracionales en la recta numérica.

√ 
___
 
13 y
√ 
___
 
14 
0
84. Resuelvan expresando previamente en notación científica.
a.  
0,003 . 0,02
  
___________ 
0,00002 
= b.   720 000
  
_______________
  
60 000 . 20 000  =

85. Completen la siguiente tabla.
Lenguaje coloquial Lenguale simbólico Intervalo Representación en la recta
Todos los números reales mayores
que 3 y menores o iguales que 5.
8
(
[–2;1)
x ≥ 7 y x ≤ 10
capítulo
33
 21 
___ 
4
   8 
__ 
3
 

3,2 2,25
 
17
 
___ 
5
   
89
 
___ 
90
 
E. D. E. E. D. P. P. E. D. P. M. E. D. E.
Solución gráfica.
3 6 . 10–4
x > 3 y x ≤ 5 (3;5]
3 5
( ]
Todos los números reales mayores que 8. x > 8 (8;∞)
Todos los números reales mayores o
iguales que –2 y menores que 1.
x ≥ –2 y x < 1
–2 1
[ )
Todos los números reales mayores o igua-
les que 7 y menores o iguales que 10.
[7;10] 7 10
[ ]
P12-3085-C01.indd 33 1/17/13 3:12 PM

34
Lenguaje algebraico
Contenidos
9. Expresiones algebraicas.
10. Propiedad distributiva.
11. Cuadrado y cubo de un
binomio.
12. Ecuaciones I.
13. Ecuaciones II.
14. Problemas con ecuaciones.
15. Inecuaciones.
2
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
En la cocina, todos los azulejos tienen el mismo tamaño. Algunos están formados por dos cuadradi-
tos blancos y dos azules y otros son rojos.
a. Si la medida del lado de cada cuadradito azul es b, marquen con una X las expresiones correctas.
• El área de cada cuadradito azul es b2
. • El perímetro de cada azulejo es 8b.
• El área de cada azulejo es 2b. • El área de cuatro azulejos es 16b.
b. Escriban correctamente las expresiones que quedaron sin marcar.
capítulo
b. El área de cada azulejo es 4b2
. El área de cuatro azulejos es 16b2
.
X X
P12-3085-C02.indd 34 1/17/13 7:26 PM

35
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados entre sí por una
o más operaciones. En una expresión algebraica los números se denominan coeficientes y las letras
con sus exponentes forman la parte literal.

coeficiente 3x4
parte literal
Cuando la expresión algebraica está formada por un solo término, se denomina monomio; cuando
está formada por dos términos, binomio.
En una expresión algebraica se denominan términos semejantes a los que tienen la misma parte literal.
–4x3
+ x +  3 
__ 
2
  x – 3
Son términos semejantes.
Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene reemplazando todas las letras por
números; luego, se resuelven las operaciones.
Para s = 2, el valor numérico de 3s2
+ s + 1 es 15 porque 3 . 22
+ 2 + 1 = 15.
Las expresiones algebraicas 5 . (a + b) y 5a + 5b son equivalentes, ya que para cualquier par de
números reales a y b, al reemplazarlos en cada una, se obtiene el mismo valor numérico. Se puede
escribir entonces 5 . (a + b) = 5a + 5b.
Operaciones con expresiones algebraicas
Operación Ejemplo
Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o se restan
los coeficientes y se escribe a continuación la misma parte literal.
3a + 5a = 8a
5a + 3b – b = 5a + 2b
Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o se
dividen los coeficientes y las partes literales.
6a . 4a3
= 24a4
15a6
: 5a2
= 3a4
a. ¿Es cierto que x + x = x2
?
b. ¿Es verdadera la siguiente equivalencia? a5
+ a2
= a7
c. ¿Cuál es el valor numérico de 3x2
para x = 2?
d. Las expresiones 4x2
b y 4xb2
, ¿tienen el mismo coeficiente y parte literal?
testde comprensión
35
11 12 13 15 16
14
9 10
8 17 18
infoactiva
a. No, es igual a 2x. b. No, no se pueden sumar términos con distinta parte literal. c. El valor numérico
es 12. d. Tienen el mismo coeficiente, pero no la misma parte literal.
P12-3085-C02.indd 35 1/17/13 7:26 PM

9 Expresiones algebraicas
ACTIVIDADES
36
1. Unan con flechas con la expresión correspondiente.
a. El doble de la suma entre un número y 7. • 3x – 1
b. El doble de un número, aumentado en 7. • 2 . (x + 7)
c. El anterior del triple de un número. • 3 . (x – 1)
d. El triple del anterior de un número. • 4x
e. El cuádruple de un número. • 2x + 7
2. Escriban en lenguaje simbólico.
a. La diferencia entre el anterior de un número entero y la raíz cuadrada de sesenta y cuatro.
b. La suma entre el doble del siguiente de un número entero y el triple de ocho.
c. La quinta parte del siguiente de cuatro, más el anterior del triple de un número.
3. Escriban la expresión coloquial que corresponde en cada caso.
a. (x + 1) . 3
b. 4n – 1
c.  1
 
__ 
2  . (x + 1)2
d. 2x + (2x + 2)
4. Rodeen los monomios semejantes.
a. 9b2
9b –8b2
b . b 7c
b. 4b 5ab –7ab 9a ba
c. 5m2
x 8x2
m –3m2
x mx (mx)2
5. Encuentren el valor numérico de cada expresión, siendo a = – 3 y b =  
1 
__ 
2 .
a. a – b = d. –a –  
2
 
__ 
3 b + 1 =

b. a + 2b = e.  1
 
__ 
6 a + b2
+ b =

c. 2 . (a + b) = f. –2a + 3b – (b – a) =

(x – 1) –
√ 
___
 
64 
El triple del siguiente de un número entero.
2 . (x + 1) + 3 . 8
El anterior del cuádruple de un número entero.
 
1 
__ 
5
  . (4 + 1) + (3x – 1)
La mitad del cuadrado del siguiente de un número entero.
La suma de dos números pares consecutivos.
–  
7
 
__ 
2
 
–2
–5
 11 
__ 
3
 
 
1 
__ 
4
 
4
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ACTIVIDADES
37
Nombre: Curso Fecha / /
6. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
a. 7a + a – 3a = f. 6a – (–a) + (–9a2
) =

b.  2
 
__ 
3 b +  
5
 
__ 
6 b – b = g. 1,2m4
+ 3,2m2
– 0,8m4
=

c. 7m – 3m + 2 = h.  9
 
__ 
2 a + b –  
7
 
__ 
3 a –  
3
 
__ 
5 b =

d. 2a +  
3
 
__ 
2 b –  
4
 
__ 
5 a = i. ab + 3ac – 5ab – 2ca – 1 =

e. 2x2
+ 5x + 9x2
= j. 2x –
(  2
 
__ 
3 x2
–  
1
 
__ 
2 x ) +  1
 
__ 
6 x2
=

7. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones.
a. 3x . 6x = f. 15x : 5x =

b. 3x . 6y = g. 27x8
: 9x3
=

c. 7x4
. x2
= h. 48x5
: 12x3
=

d. 3a . a5
. a2
= i. –36a2
b4
: 6ab2
=

e. (–6x) . (–x2
) . y3
= j.  –120a7
 
______ 
–6a3 
=

8. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. 5ab – 3a .  1
 
__ 
2 b = d. 7t3
+ t2
. (2t + 3t) =

b. (y + 5y – 3y) .  2
 
__ 
3 y2
= e.
(  2
 
__ 
9 x2
+  
1
 
__ 
3 x2
 
):
(  5
 
__ 
6 x –  
4
 
__ 
3 x ) =

c. 24m6
: 4m2
+ m . (–m3
) = f. (–2,2a + 7,2a) . (a + 3,2a – 2a) =

5a
 
1 
__ 
2
  b
4m + 2
 6 
__ 
5
  a +  
3
 
__ 
2
  b
11x2
+ 5x
18x2
18xy
7x6
3a8
6x3
y3
 
7
 
__ 
2
  ab
2y3
5m4
7a – 9a2
0,4m4
+ 3,2m2
 
13
 
___ 
6
  a +  2 
__ 
5
  b
–4ab + ac – 1
 
5
 
__ 
2
  x –  1 
__ 
2
  x2
3
3x5
4x2
–6ab2
20a4
12t3
–  10 
___ 
9
  x
11a2
P12-3085-C02.indd 37 1/17/13 7:26 PM

38
ACTIVIDADES
38
9. Escriban las expresiones que representan el perímetro y el área de cada figura, en su forma
más sencilla.
a. d.

2a
1
—
3
a

2a
5a
1
—
2
a
a
Perímetro = Perímetro =
Área = Área =
b. e.

3x
x 3
—
4
x

6p
2p
Área = Área =
c. f.

4c
5c
3c

8b
4b
Área = Área =
10. Escriban las expresiones indicadas en cada caso, en su forma más sencilla.
a. Rectángulo. b. Triángulo isósceles.
La base supera en 4 cm a la altura (x). Cada lado igual mide 7 cm menos que el
doble de la base (x).
Base = Lado =
Altura = Base =
Escriban la expresión más sencilla que corresponde al perímetro y al
área de cada una de las caras de color rojo, verde y azul, la del área
total y la del volumen del cuerpo. Tengan en cuenta que las caras
opuestas son del mismo color.
menteactiva
3x
x
2x
 
14
 
___ 
3
  a
8x
12c
Área cara azul: 3x2
; área cara verde: 2x2
; área cara roja: 6x2
; área total: 22x2
; perímetro cara roja: 10x; perí-
metro cara verde: 6x; perímetro cara azul: 8x; volumen: 6x3
9a
32p
24b
 2 
__ 
3
  a2
 
5
 
__ 
2
  x2
6c2
 
7
 
__ 
4
  a2
44p2
24b2
x + 4
x
4x + 8
2x – 7
x
5x – 14
P12-3085-C02.indd 38 1/17/13 7:26 PM

39
Propiedad distributiva
39
9 12 13 14 16
15
10 11 18 19
17
La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y a la diferencia.
Las siguientes expresiones representan el área pintada.
(a + b) . c = a . c + b . c
c
b
a
c . (a + b) = c . a + c . b

(3b + 2) . 4b = 3b . 4b + 2 . 4b

(3b + 2) . (b + 1) = 3b . b + 3b . 1 + 2 . b + 2 . 1

La división es distributiva solo cuando la suma y la resta están en el lugar del dividendo.

(4a + 8) : 4 = 4a : 4 + 8 : 4 4 : (2a + 4) No se puede aplicar la propiedad distributiva.
Factor común
Las siguientes sumas o restas se pueden expresar como una multiplicación.
50 + 10 = 10 . 5 + 10 . 1 50b2
– 10b = 10 . 5 . b . b – 10 . 1 . b
= 10 . (5 + 1) = 10b . (5b – 1)
10 es el dcm entre 50 y 10. Para obtener el factor común de la parte literal se
10 se denomina factor común. escribe la letra que aparece en todos los términos
con su menor exponente.
a. ¿Es cierto que la suma es distributiva respecto de la resta?
b. ¿Se puede distribuir la división respecto de una suma si esa suma está en el lugar del divisor?
c. Si se aplica la propiedad distributiva para multiplicar un binomio por un trinomio, ¿cuántos
términos tiene la expresión que se obtiene antes de operar entre términos semejantes?
d. En la siguiente expresi n, ¿se obtuvo correctamente el factor común? a2
+ a = a . (a)
testde comprensión
infoactiva
ó
a. No, la suma no es distributiva con respecto a ninguna operación. b. No, solo se puede si está en el
lugar del dividendo. c. La nueva expresión tiene seis términos. d. No, falta sumar 1 dentro del paréntesis.
P12-3085-C02.indd 39 1/17/13 7:26 PM

11. Apliquen la propiedad distributiva.
a. 3x . (x + 2) = f. (2x2
– 4x) : 2x =

b. (4 – y2
) . (–2y) = g.
(  3
 
__ 
5 y6
+ 10y3
 
) :  1
 
__ 
5 y2
=

c. 4x . (5x – 2x2
+ 1) = h.
( –4a +  
2
 
__ 
3 a2
 
): (–2a) =

d.  3
 
__ 
2 b2 . (4b +  
1
 
__ 
3 b3
– 2b2
) = i. (2 – x) . (3x + 1) =

e. –  1
 
__ 
4 y . (–  2
 
__ 
3  + 16y2
–  4
 
__ 
5 y) = j. (y2
+ 2y) . (3y – 4) =

12. Obtengan el factor común.
a. 4x2
+ 2x – 10 = d. 18a3
– 6a5
=

b. x4
+ x = e.  2
 
__ 
5 b6
+  3
 
___ 
10 b4
=

c. 3y2
– 5y5
= f.
√ 
__
 
9 m3
x –
√ 
__
 
9 ma2
=

13. Completen para que se verifique la igualdad.
a. (3x2
+ 2x) . = –3x5
– 2x4
d.  2
 
__ 
7 pr2
.
(  –  
9
 
__ 
4  r6
 
) =  18
 
___ 
7 p3
r4
–  9
 
___ 
14 pr8
b.
( –x2
+  
). xy2
= –x3
y2
+ 3xy3
e. 1,5n2
– 4,5n5
= . (1 – 3n3
)
c. 6x8
y5
z3
+ 8x5
y2
z4
= . (3x3
y3
+ 4z) f. 3ab2
+ = ab .
(  + 2 
)
14. Expresen de dos formas diferentes el área total de las siguientes figuras.
a. b.

b
x
a

b
a c
d

10 Propiedad distributiva
ACTIVIDADES
40
3x2
+ 6x
–8y + 2y3
20x2
– 8x3
+ 4x
6b3
+  1 
__ 
2
  b5
– 3b4
 1 
__ 
6
 
y – 4y3
+  1 
__ 
5
  y2
2 . (2x2
+ x – 5)
x . (x3
+ 1)
y2
. (3 – 5y3
)
x – 2
3y4
+ 50y
2 –  
1 
__ 
3
  a
2 – 3x2
+ 5x
3y3
+ 2y2
– 8y
6a3
. (3 – a2
)
 1 
__ 
5
  b4
.
( 2b2
+  
3
 
__ 
2
  )

√ 
__
 
9 
m . (m2
x – a2
)
(a + b + c) . d
ad + bd + cd
x . (a + b)
xa + xb
–x3
9p2
r2
3y  
3
 
__ 
2
  n2
2x5
y2
z3
2ab 3b
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