Distribuciones de probabilidad

1. 1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA
Experimento de Bernoullí
Es un experimento aleatorio con dos únicos resultados posibles denominados éxito
(E) y fracaso (F).
La probabilidad de éxito denotada P(E) = p y la de fracaso P(F) = q = 1-p.
Por ejemplo, una línea de producción que fabrica artículos defectuosos con
probabilidad p = 0.01, o no defectuosos con probabilidad 0.99.
1.1Distribución de Bernoullí
Es una variable aleatoria discreta X definida en un espacio muestral asociado a un
experimento de Bernoullí, tal que X(F) = 0 y X(E) = 1.
Se dice que la v.a.d. X sigue una distribución Bernoullí con parámetro p, y se
denota X ~ Bernoullí (p), si su función de probabilidad es f(x) = px
q1-x
; x = 0,1.
µ = E(X) = p; σ2
= V(X) = pq
1.2Distribución Binomial
Un experimento binomial consiste en una serie de n ensayos o pruebas de
Bernoullí, donde n se fija antes de realizar el experimento.
Las pruebas son idénticas y cada una de ellas puede resultar en uno de dos
posibles resultados que denotan éxito o fracaso.
Los ensayos son independientes entre sí, por lo que el resultado de un ensayo en
particular no influye en el resultado de cualquier otro.
La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro y la denotamos como p.
Entonces, si se tiene un experimento binomial con n ensayos de Bernoullí y la
probabilidad p de éxito en cualquier ensayo, la probabilidad de tener x éxitos en n
ensayos está dada por:
f(x) = C(n,x) px
(1 – p)n-x
; x = 0,1,2,…..,n
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros
n y p, y se denota X ~ B(n,p).
Características
• Es simétrica si p = 0,5. Para valores de p < 0,5, la distribución tiene sesgo
positivo y para valores p > 0,5 tiene sesgo negativo, independientemente de los
valores de n.
• Para valores de n suficientemente grandes (n ≥ 30), y sólo tomando en cuenta los
valores relevantes de probabilidad, la distribución es prácticamente simétrica.
▪ Si n = 1, se tiene la distribución de Bernoullí con parámetro p.
▪ Si Xi son variables aleatorias de Bernoullí independientes, i = 1, 2,…..,n, entonces
se cumple que ∑Xi ~ B(n,p).
µ = E(X) = np y σ2
= V(X) = npq , donde q = 1 - p
Distribución binomial en Excel 2010
Use la función = DISTR.BINOM.N(Núm_éxito,Ensayos,Prob_éxito,acumulado)
EJEMPLO 1

2. La probabilidad de obtener éxito en un negocio de exportación de productos
naturales es igual a 0,4. Un empresario está interesado en invertir en cinco
sucursales de este rubro de manera independiente.
a) Defina la variable, su función de probabilidad y su rango.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empresario tenga éxito en al menos una
sucursal?
c) Determine la probabilidad de que no tenga éxito en al menos cuatro sucursales.
d) Determine el número esperado de sucursales en que tendrá éxito.
1.3 Distribución geométrica
Si la v.a.d. X es el número de repeticiones independientes de un experimento de
Bernoullí con P(E) = p, hasta obtener el primer éxito, se dice que la variable aleatoria X
tiene una distribución geométrica con parámetro p y se denota X ~ G(p)
La función de probabilidad de X es: f(x) = qx-1
p; x=1,2,3,……….
La función de distribución acumulada de X es: F(x) = 1 – qx
; x = 1,2,3,……..
De la fórmula anterior, se sigue que P[X > x] = qx
; x = 1,2,3,…..
µ = E(X) = 1/p; σ2
= V(X) = q/p2
Propiedad: Falta de memoria
P[X > k+s / x> k] = P[X > s]; k,s ε Z+
Esta propiedad indica que, si el éxito no se ha obtenido en las primeras k repeticiones,
entonces la probabilidad de que no ocurra en las próximas s repeticiones es la misma
que la probabilidad de que el éxito no ocurra en las primeras s repeticiones.
EJEMPLO 2
En una compañía minera se estima que, en cierta región, la probabilidad de que una
excavación encuentre una veta es 0.18. Calcule la probabilidad de que se necesite
realizar por lo menos cinco excavaciones hasta encontrar una veta.
1.4 Distribución de Pascal o binomial negativa
Si la v.a.d. X es el número de repeticiones independientes de un experimento de
Bernoullí con P(E) = p, hasta obtener r éxitos, se dice que la variable aleatoria X sigue
una distribución de Pascal con parámetros r y p y se denota X~ Pascal (r,p).
La función de probabilidad de X es f(x) = C(x-1, r-1) qx-r
pr
; x = r, r+1, r+2,……
Características
▪ Si r = 1, se tiene la distribución geométrica con parámetro p.
▪ Si Xi son r variables aleatorias con distribución geométrica e independientes, i = 1,
2,…..,r, entonces se cumple que ∑Xi ~ Pascal (r,p).
µ = E(X) = r/p; σ2
= V(X) = rq/p2

3. EJEMPLO 3
En cierta línea de producción la probabilidad de producir un artículo defectuoso es de
0,001.
a) Calcule la probabilidad de que el octavo artículo producido sea el quinto defectuoso.
b) ¿Cuántos artículos se espera producir hasta el cuarto defectuoso?
1.5 Distribución Hipergeométrica
El experimento hipergeométrico consiste en extraer al azar y sin sustitución n
elementos de un conjunto de N elementos (n ≤ N), r de los cuales son considerados
éxitos y (N-r) son fracasos.
Se define la variable aleatoria hipergeométrica X, como el número de éxitos
observados en la muestra de tamaño n y se denota H(N,r,n).
La función de probabilidad de la variable X es f(x) = [C(r,x). C(N-r, n -x)] / C(N,n),
donde x = max {0, n – (N-r)},…….., min {n,r}.
µ = E(X) = nr/N; σ2
= V(x) = n(r / N) (1-r/N).[(N-n) / (N-1)].
Si llamamos p = r / N, entonces µ = E(X) = np; σ2
= V(x) = npq.[(N-n) / (N-1)].
Si la fracción de muestreo f = n/N tiende a cero, el factor de corrección por población
finita (c.p.f.) (N-n) / (N -1), tiende a 1; en este caso, µ = E(X) = np; σ2
= V(x) = npq.
Propiedad
Si X ~ H(N,r,n), y si f tiende a cero, entonces, X se distribuye aproximadamente como
Binomial de parámetros n y p =r / N.
EJEMPLO 4
Los 32 empleados de una empresa que fabrica aislantes térmicos, fueron evaluados
para detectar residuos de asbesto en sus pulmones; en el informe de resultados se
indica que sólo cinco de ellos presentaron dichos residuos. Por orden de la autoridad
sanitaria, seis trabajadores de esta fábrica, seleccionados al azar, serán enviados a un
centro de salud para que les realicen más pruebas y análisis.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres de los trabajadores seleccionados
hayan presentado residuos de asbesto?
b) Si la empresa debe pagar al centro de salud 200 soles por las pruebas y tratamiento
de cada trabajador que presente residuos de asbesto y 50 soles por cada trabajador
que no presente estos residuos, ¿cuál es el monto esperado a pagar en el centro de
salud por la ejecución de la orden de la autoridad sanitaria?
1.6 Distribución de Poisson
Una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson origina un experimento
que se denomina proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades:
• El número de resultados que ocurre en un intervalo o región de espacio cualquiera
es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del
espacio disjunto.

4. • La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante el intervalo muy corto o
región muy pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región
• La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o caiga en
tal región pequeña es insignificante.
• La probabilidad de tener x resultados en un intervalo dado o en una región
específica es:
f(x) = e-λ
λx
/ x!; x = 0,1,2,………..; e = 2,7183
x = número de éxitos por unidad de tiempo o región.
λ = número esperado de éxitos por unidad de tiempo o razón promedio de ocurrencia.
Se dice entonces que, la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson con
parámetro λ y se denota X ~ P(λ).
La distribución de Poisson siempre es sesgada a la derecha. A medida que λ aumenta
y tomando en cuenta sólo los valores relevantes de probabilidad, la distribución tiende
a ser simétrica.
µ = E(X) = λ; σ2
= V(X) = λ
Propiedad
Si X1 ~ P(λ1), X1 ~ P(λ2), X1, X2 independientes, entonces (X1 + X2) ~ P(λ1 + λ2)
Distribución de Poisson en Excel 2010
Use la función = POISSON.DIST(x,media,acumulado)
EJEMPLO 5
Entre las 10:00 y 11:00 horas, en promedio, ocho personas hacen uso de un cajero
automático, ubicado al lado de la puerta de entrada de un banco. Asimismo, el número
de clientes que ingresan al banco entre las 10:00 y 11:00 horas, en promedio, es 15
clientes. Considere que el número de clientes que hacen uso del cajero es
independiente del número de clientes que ingresan al banco y ambos siguen un
proceso de Poisson.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de diez, pero más de ocho personas usen el
cajero en ese horario?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 10:00 y las 10:30 horas ingresen al banco
menos de tres clientes?
2. FUNCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA
2.1 Distribución uniforme o rectangular
La variable aleatoria continua (v.a.c.) X tiene distribución uniforme (o rectangular) en el
Intervalo [a, b] y se denota X ~ U ([a,b]), si su función de densidad de probabilidad
(f.d.p.) es la función continua f(x) = 1 / (b -a), si a ≤ x ≤ b y f(x) = 0, en otro caso.

5. Función de distribución acumulada
= 0, si x < a
F(x) = (x – a) / (b – a), si a ≤ x ≤ b
= 1, si x > b
µ = E(X) = (a + b) / 2; σ2
= V(X) = (b – a)2
/ 12
Aplicación
La distribución uniforme se aplica en simulación de valores de variables aleatorias
continuas.
EJEMPLO 6
Supongamos que el consumo de energía eléctrica, en miles de kilowatts/hora, de un
cierto equipo se distribuye como una variable aleatoria de distribución uniforme con
esperanza igual a 10 y varianza igual a 1. Determinar la probabilidad de que dicho
consumo esté comprendido entre 9 y 11 mil kilowatts/hora.
2.2 Distribución exponencial
La v.a.c. X tiene distribución exponencial de parámetro α (α > 0) y se denota X Exp
(α), si su es la función continua:
Función de distribución acumulada
Si Exp (α), entonces y
0
1
F (x)
x
x
f (x)

0
•

6. Aplicaciones
• En teoría de confiabilidad, como modelo adecuado para la duración de vida de
equipos que no envejecen.
• En estudios del tiempo, transcurrido entre un instante inicial y el momento en que
ocurre un determinado suceso.
• En teoría de colas de espera, como la distribución de probabilidad de los tiempos
entre llegadas y la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio.
EJEMPLO 7
El tiempo entre llegadas de vehículos a una intersección particular sigue una
distribución de probabilidad exponencial con una media de 12 segundos. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) El tiempo entre la llegada de vehículos sea de 12 segundos o menos?
b) El tiempo entre la llegada de vehículos sea 6 segundos o menos?
c) Haya 30 segundos o más entre la llegada de dos vehículos consecutivos?
Función Gamma
Es la función Γ(α) = ∫0
∞
tα – 1
e-t
dt, cuyas propiedades son:
1. Γ(α) = (α – 1) Γ(α – 1), si α > 1.
2. Γ(α) = (α – 1)!, si α es un número entero positivo.
3. a) Γ(1) = 1, b) Γ(0.5) = (Π)0.5
.
4. Γ(α + 0.5) = 1x3x5x…….(2α – 1)x2-α
x(Π)0.5
, α = 1,2,3,……..
5. ∫0
1
(log x)α – 1
dx = (-1)α – 1
Γ(α).
2.3 Distribución Gamma
La v.a.c. X tiene distribución Gamma con parámetros α, β, (α > 0 y β > 0), y se denota
X ~ Gamma (α, β), si su f.d.p. es la función continua:
f(x) = [βα
xα – 1
e-βx
] / Γ(α), si x ≥ 0
µ = E(X) = α /β; σ2
= V(X) = α / β2
Propiedades
1. Si α = 1, X ~ Exp (β).
2. Si X1, X2, ……,Xn son v.a. independientes, tales que Xi ~ Exp (β), i = 1,2,…..,n,
entonces ∑ Xi ~ Gamma (n, β).
3. Si α =kεZ+
y β = kµ, donde µ ε R+
, entonces X ~ Erlang (k, µ).
4. Si Xi, i = 1,2,….,n, son n v.a. independientes, tales que Xi ~ Gamma ( α,β), entonces
∑ Xi ~ Gamma (nα, β).
5. Relación con la distribución de Poisson:
Sea X ~ P(λ), con λ > 0 en un intervalo unitario y T el tiempo que transcurre hasta que
ocurran k eventos de Poisson, entonces T ~ Gamma (α = k, β = λ).
6. En el caso particular en que el parámetro α es un entero positivo, se cumple que:
F(x) = 1 - ∑j=0
α-1
[e-βx
(βx)j
] / j!, x > 0

7. Aplicaciones
▪ En teoría de confiabilidad.
▪ En experimentos aleatorios de espera y teoría de colas.
Ejemplo 8
El número de equipos que llegan a mantenimiento a cargo de un técnico sigue una
distribución de Poisson de media 3 equipos por día. Calcular la probabilidad de que
transcurra menos de un día hasta la llegada del segundo equipo.
2.4 Distribución de Weibull
La v.a.c. X tiene una distribución de Weibull con parámetros  > 0 y β > 0, y se denota
X ~ W (, β), si su es:
 describe la forma de la distribución y β es la escala de la
Función de distribución acumulada
=
Si (,β),
entonces
;
Propiedades
1) Si  =1, f(x) = βe–βx
(Distribución exponencial)
2) Si = x
, entonces F(y) = 1 – e-βy
( de ); es decir, = x
Exp(β)
3) Para a, b positivos, se tiene:
a) Si  < 1 , P [X > a + b / X > a] > P [X > b]
b) Si  = 1 , P [X > a + b / X > a] = P [X > b] (Pérdida de memoria)
c) Si  > 1 , P [X > a + b / X > a] < P [X > b]
Aplicaciones
• En teoría de supervivencia como modelo de tiempo de vida.
• En teoría de confiabilidad y tiempos de mantenimiento de equipos.
• En modelación de curvas de asimetría positiva.

8. EJEMPLO 9
La duración (en meses) de un producto es una variable aleatoria X que tiene
distribución de Weibull de parámetros  = 2 y β = .
a) Si el producto no falla durante 9 meses, ¿qué probabilidad hay de que dure al
menos tres meses más?
b) ¿Cuántos meses en promedio dura el producto?
2.5 Distribución normal
Se dice que la v.a.c. X que toma valores reales, se distribuye normalmente con
parámetros  (µ ε R) y 2
( > 0) y se denota X N(, 2
), si su f.d.p. es la función
continua:
Curva de densidad normal
Si X N(, 2
),
entonces
y
Propiedades
1) Si N (, 2
), entonces la variable normal estándar N(0, 1)
2) La función de distribución está dada por:
= P [X ≤ x ] = P
3) Si N (, 2
) y si Y = a + b X, entonces Y N (a + b , b2
2
)
4) Propiedad reproductiva
Si y son dos independientes, donde cada Xi N (i, ) y si
Y = c1 X1 + c2 X2, donde c1 y c2 son constantes reales, entonces
Y N(c1 1 + c2 2, ).

x
•

9. La propiedad se puede generalizar a n independientes y normalmente
distribuidas.
Aplicaciones
Es el modelo de probabilidad más utilizado en aplicaciones estadísticas.
EJEMPLO 10
En un proceso de producción de arandelas, el diámetro interior es una que se
distribuye normalmente con media 12,7 mm y desviación estándar 0,127 mm.
El propósito para el que se destinan estas arandelas permite una tolerancia en el
diámetro de 12,6 mm a 12,9 mm, de otro modo las arandelas se consideran
defectuosas. Calcular el porcentaje de arandelas defectuosas del proceso de
producción.
2.6 Distribución log-normal
Se dice que la v. a. c. X tiene una distribución log-normal, si su logaritmo natural se
distribuye según el modelo de probabilidad normal.
Se denota log N (, 2
); los parámetros de esta distribución son los mismos
de la distribución N (, 2
).
Entonces, log N (, 2
) si y solo si N (, 2
)
La f. d. p. de la log-normal está dada por:
La función de distribución acumulada está dada por:
Aplicaciones

10. • En modelación de datos que presentan asimetría positiva.
• En teoría de supervivencia, como por ejemplo la duración de ciertos artículos.
• En confiabilidad de componentes que fallan por desgaste.
• En teoría de errores de medida
• Como modelo de probabilidad de la duración de las reparaciones en mantenimiento
de equipos.
EJEMPLO 11
Los ingresos diarios en soles de un sector de comerciantes informales registrados en
una asociación, tienen distribución de probabilidad log-normal de parámetros  = 4
y = 2. Calcular la probabilidad de que un comerciante tenga ingresos diarios de al
menos 600 soles.
Función Beta
Es la función B(α,β) = ∫0
1
xα-1
(1 – x)β-1
dx
Propiedad
B(α,β) = [Γ(α) Γ(β)] / Γ (α + β).
2.7 Distribución Beta
La v.a.c. X tiene distribución Beta con parámetros de forma α > 0 y de escala β > 0, y
se denota X ~ Beta (α, β), si su f.d.p. es f(x) = [xα-1
(1-x)β-1
] / B(α,β); 0 ≤ x ≤ 1.
µ = E(X) = α / (α + β); σ2
= V(X) = αβ / (α + β)2
(α + β + 1)
Propiedades
1) Beta( α = 1, β = 1) = U ([0, 1])
2) Si α y β son enteros positivos, y n = α + β -1, es F(x) = ∑k=α
n
C(n,k) xk
(1 – x)n-k
EJEMPLO 12
El porcentaje o fracción de días por año en que la demanda supera a la oferta de un
producto es una variable aleatoria X cuyo modelo de probabilidad es Beta con
parámetros α = 1 y β = 7. Según este modelo, ¿qué probabilidad hay de que este
porcentaje sea superior al 25% en un año cualquiera?

11. PROBLEMAS PROPUESTOS
1) Una empresa especializada en proyectos de inversión tiene en cartera diez
proyectos elaborados y expeditos para ser sometidos a la evaluación de concursos de
licitación pública estatal. De acuerdo con su experiencia, el gerente de proyectos de la
empresa sabe que el 20% de los proyectos ganan la buena pro. Suponga que en un
concurso de licitación pública se presentan estos diez proyectos. Calcule la
probabilidad de que:
a) Dos proyectos ganen la licitación.
b) Por lo menos ocho proyectos ganen la licitación.
c) A lo más cuatro proyectos ganen la licitación.
d) Más de tres, pero como máximo siete proyectos ganen la licitación.
2) Supongamos que en cada instante (o ensayo) un pulso puede ocurrir con una
probabilidad de 0,8. Si nos interesa la variable X, definida como el primer instante o
ensayo en el que se presente un pulso, determine
a) la probabilidad de que el primer pulso se presente en el instante (o ensayo) X=n.
b) la probabilidad de que el primer pulso se presente por lo menos en el cuarto
instante (o ensayo), pero a lo más en el décimo.
3) Hoy en día la mayor parte de los robots industriales se programan para operar
mediante microprocesadores. Un robot computarizado de este tipo se puede
descomponer durante un turno, de ocho horas, independientemente de otros turnos y
con probabilidad 0,2. Cuando un robot falla en dos turnos, el robot es enviado para un
mantenimiento general. Determinar:
a) La probabilidad de que el robot sea enviado para un mantenimiento general, a lo
más en el quinto turno.
b) El valor esperado del número de turnos que operará el robot, antes de enviarlo para
un mantenimiento general.
4) Se embarcan mayólicas de piso en cajas de 50 unidades. En el control de calidad,
se elige al azar (una por una sin reposición) cinco mayólicas de una caja. Si ninguna
mayólica es defectuosa, la caja es aceptada; si se encuentra que una o más mayólicas
son defectuosas, se inspecciona la caja completa. Suponga que en realidad hay tres
mayólicas defectuosas en la caja inspeccionada.
a) Determine la función de probabilidad del número de mayólicas defectuosas en la
muestra.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesaria una inspección de toda la caja?
c) Determine la función de probabilidad del número de mayólicas defectuosas en la
muestra, si las mayólicas se escogen una por una con reposición.
5) Suponga que el consumo mensual de electricidad de una fábrica, en miles de
kilowatts/hora (kw-h), se puede modelar con una variable aleatoria uniforme en el
intervalo [2,6].
a) Si antes que termine el mes, un inspector realiza una medición y verifica que hasta
ese momento el consumo de electricidad en la fábrica ha sido de 3 800 kw-h, ¿cuál es
la probabilidad que al finalizar el mes, el consumo de electricidad de la fábrica supere
los 5 000 kw-h?

12. b) Si el consumo de electricidad en la fábrica se considera independiente entre un mes
y otro, ¿cuál es la probabilidad que en más de dos meses de un año, el consumo sea
mayor a 5 000 kw-h?
6) Un área de estacionamiento tiene dos entradas. Los vehículos llegan a la entrada A
de acuerdo a una distribución de Poisson con una media de dos por hora y a la
entrada B de acuerdo a una distribución de Poisson con una media de uno cada veinte
minutos. La llegada de vehículos a la entrada A es independiente de la llegada de
vehículos a la entrada B.
a) Determine la probabilidad de que durante la próxima hora lleguen dos o menos
vehículos a este estacionamiento.
b) Calcule la probabilidad de que transcurra menos de media hora hasta que llegue el
primer vehículo a la entrada B de este estacionamiento.
7) El número de llamadas atendidas durante un programa radial, se puede modelar
con una variable de Poisson de media tres llamadas cada cinco minutos.
Calcule la probabilidad de que
a) En un minuto se atienda más de una llamada.
b) Entre una llamada atendida y la siguiente llamada pase más de dos minutos.
8) Una empresa textil produce un tipo de tela en rollos de 100 metros. El número de
defectos que se encuentran al desarrollar la tela es una variable aleatoria de Poisson
que tiene en promedio 1,5 defectos por cada 20 metros de tela. Para controlar la
calidad de esta tela, se determina la longitud del rollo apenas se encuentre el tercer
defecto. ¿Con qué longitud se esperaría salgan los rollos bajo esta política de control?
9) La vida útil (en años) de cierto tipo de motor, es una variable aleatoria con
distribución de Weibull de parámetros α = 2 y β = 1.
a) ¿Con que probabilidad funcionaría al menos 10 meses?
b) ¿Se puede esperar que el motor esté funcionando sin problemas al menos 10
meses?
10) La duración (en meses) de cierto componente electrónico puedes ser modelada
con una variable aleatoria Weibull con parámetros α = 2 y β = 0.01.
a) Calcule e interprete la mediana de la duración de estos componentes.
b) Calcule la probabilidad de que la duración de uno de estos componentes
electrónicos sea por lo menos una desviación estándar mayor a lo esperado.
c) Si se seleccionan al azar diez de estos componentes, calcule la probabilidad de que
menos de tres de ellos tengan una duración mayor a un año.
11) Se debe decidir acerca de qué sistema se debe utilizar en una empresa. El
sistema A tiene un rendimiento normal con una media de 110 000 horas y una
desviación estándar de 25 000 horas; en cambio, el sistema B tiene un rendimiento
normal con una media de 120 000 horas y una desviación estándar de 40 000 horas.
Basándose en criterios probabilísticos y teniendo en cuenta que el sistema elegido
debe tener un rendimiento mínimo de 125 000 horas, ¿cuál sería su decisión?
Justifique su respuesta.

13. 12) La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución
normal con una media de 7 000 horas y desviación estándar de 600 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 6 500 horas?
b) ¿Cuál es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres?
c) Si se hace uso de tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera
independiente, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellos sigan
funcionando después de 6500 horas?
13) Supóngase que la supervivencia, en años, (tiempo que pasa hasta que ocurre la
falla del equipo) luego de una reparación en un cierto lote, sigue una distribución
logaritmo normal de parámetro de escala 2,32 y parámetro de forma 0,202
. Calcular:
a) La probabilidad de supervivencia a los 12 años.
b) El tiempo mediano de supervivencia.
14) La proporción del presupuesto mensual dedicado a la reparación de maquinarias
de una compañía constructora es una variable aleatoria X con distribución Beta de
parámetros α = 1 y β = 9. ¿Qué probabilidad hay de que el porcentaje del presupuesto
dedicado a la reparación de maquinarias de un mes cualquiera supere su promedio?