distribuciones importantes

1. ESTADÍSTICA
Algunas distribuciones
importantes de variables
aleatorias discretas
Vladimiro Contreras Tito
vcontrerastito@hotmail.com
25 de mayo de 2017
Índice
Índice 1
1. Distribución de Bernoulli 2
2. Distribución Binomial 2
3. Distribución Geométrica 3
4. Distribución Binomial negativa o Pascal 4
5. Distribución Hipergeométrica 5
6. Distribución de Poisson 6
7. Aproximación de la distribución binomial a la Poisson 8
8. Ejercicios de aplicación 8
1

2. 2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1. Distribución de Bernoulli
Se denomina prueba o ensayo de Bernoulli a todo experimento aleatorio que
consiste de solo dos resultados posibles mutuamente excluyentes, generalmente
llamados éxito (E) y fracaso (F). El espacio muestral asociado al experimento
aleatorio de Bernoulli se puede escribir como el conjunto Ω = {E, F}.
Definición 1.1. La v.a. X definida en Ω de manera que atribuye a E el valor 1
y a F el valor 0, se denomina v.a. Bernoulli.
Definición 1.2. Si p = P[X = 1] es la probabilidad de éxito siendo
0 ≤ p ≤ 1 y q = P[X = 0] = 1 − p es probabilidad de fracaso, la distribu-
ción de probabilidad de Bernoulli de parámetro p es descrita por la ecuación
f(x) = P[X = x] = px
q1−x
, x = 0, 1
Teorema 1.1.
Si X tiene distribucuón de Bernoulli de parámetro p, entonces
E(X) = p , V (X) = p q
Ejemplo 1.1.
Supongamos que un experimento aleatorio X consiste en seleccionar un artícu-
lo defectuoso de un lote de 100 que contienen 5 artículos defectuosos. Halle la
distribución de probabilidad de X, dado que X es una v.a. de Bernoulli.
Solución
X: No
de artículos defectuosos.
p =
5
100
= 0, 05 , q =
95
100
= 0, 95
Luego, la distribución de probabilidad de Bernoulli de parámetro p es:
f(x) = P[X = x] = 0, 05x
0, 951−x
, x = 0, 1
2. Distribución Binomial
El experimento binomial se caracteriza por ser un experimento aleatorio que
consiste en efectuar n pruebas independientes y repetidas de Bernoulli. La prob-
abilidad de éxito p se mantiene constante a través de las n pruebas.
Definición 2.1. Se denomina variable binomial, a la v.a. X definida en Ω como
el No
de éxitos que ocurren en las n pruebas de Bernoulli. Los posibles
valores de X son: 0, 1, 2, ..., n.
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3. 3 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Definición 2.2. Se dice que la v.a. binomial X tiene distribución binomial con
parámetros n y p y se escribe X ∼ B(n, p), si su función de probabilidad es:
f(x) = P[X = x] =
n
x
px
qn−x
, x = 0, 1, 2, ..., n.
Teorema 2.1.
Si X ∼ B(n, p), entonces
E(X) = n p , V (X) = n p q
Ejemplo 2.1.
La probabilidad de producir un artículo defectuoso en una fábrica es: 0,1.
Halle la probabilidad de que:
1. un lote de 12 artículos contenga 2 defectuosos.
2. al revisar 6 lotes de 12 artículos se encuentre al menos 1 lote con 2 defec-
tuosos.
Solución
X: No
de artículos defectusos en los 12 artículos del lote.
X ∼ B(12, p) donde p = 0, 1 probabilidad de éxito.
a).
P[X = 2] =
12
2
0, 12
0, 912−2
= 0, 23
b). Y : No
de lotes con 2 artículos defectuosos de los 6 lotes revisados.
X ∼ B(6, p) donde p = 0, 23 y q = 0, 77.
P[X ≥ 1] = 1 − P[Y = 0] = 1 −
6
0
0, 230
0, 776
= 0, 79
3. Distribución Geométrica
Consideremos una sucesión de ensayos de Bernoulli, Si X representa el No
de pruebas hasta conseguir el primer éxito después de x − 1 fracasos,
se llama v.a.geométrica.
Definición 3.1. Se dice que la v.a. geométrica X tiene distribución geométrica
con parámetro p y se escribe X ∼ G(p), si su función de probabilidad es:
f(x) = P[X = x] = (1 − p)x−1
p , x = 1, 2, ..... , 0 < p < 1
Teorema 3.1.
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4. 4 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA O PASCAL
Si X ∼ G(p) entonces
E(X) =
1
p
, V (X) =
q
p2
Ejemplo 3.1.
En cierta fábrica la probabilidad de producir un artículo defectuoso es 0,1.
Halle la probabilidad de que:
1. Sea necesario revisar 5 artículos para hallar el primer defectuoso.
2. Halle la esperanza y la varianza de la distribución.
Solución
X: No
de artículos que se necesita revisar para encontrar el primer defectuoso.
a). X ∼ G(0, 1)
f(5) = (1 − 0, 1)5−1
0, 1 = 0, 06561
b).
E(X) =
1
0, 1
= 10 , V (X) =
0, 9
0, 12
= 90
4. Distribución Binomial negativa o Pascal
La v.a. X que se define como el No
de intentos hasta que ocurra el éxito
número r se llama v.a. binomial negativa o de Pascal.
Definición 4.1. Se dice que la v.a. binomial negativa o Pascal X tiene dis-
tribución Pascal con parámetros p y r (r > 0 , 0 < p < 1) y se escribe
X ∼ Pascal(p, r), si su función de probabilidad es:
f(x) = P[X = x] =
x − 1
r − 1
(1 − p)x−r
pr
, x = r, r + 1, r + 2, ....
Teorema 4.1.
Si X ∼ Pascal(p, r) entonces
E(X) =
r
p
, V (X) =
r (1 − p)
p2
Ejemplo 4.1.
V. Contreras T. Página 4

5. 5 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Una máquina se utiliza para fabricar cierto tipo de objetos en serie. Se sabe
que la probabilidad de que cada objeto sea defectuoso es 1/10. Si se controla la
calidad de cada objeto producido y si la máquina se apaga cuando se producen
4 objetos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que se pare la máquina en el
décimo objeto producido?
Solución
X: No
de objetos producidos hasta controlar 4 defectuosos.
Los posibles valores de X son 4,5,6,... cada objeto se produce independien-
temente con probabilidad p = 1/10 = 0, 1 de que sea defectuoso. La máquina
se para si se encuentran r = 4 defectuosos. La probabilidad de que se pare la
máquina en el décimo objeto producido es:
f(10) = P[X = 10] =
10 − 1
4 − 1
(1 − 0, 1)10−4
0, 14
= 0, 00446
5. Distribución Hipergeométrica
Un conjunto de N objetos contiene r objetos clasificados como éxitos y N −r
objetos clasificados como fracasos. Se selecciona una muestra con tamaño de n
objetos al azar (sin reemplazo) de los N objetos, donde r ≤ N y n ≤ N.
Definición 5.1. La v.a. X que se define como el No
de exitos en una muestra
de tamaño n que se selecciona al azar sin reposición de N objetos de
los cuales r son clasificados como éxitos y los restantes N − r como
fracasos, se llama v.a. hipergeométrica.
Definición 5.2. Se dice que la v.a. hipergeométrica X tiene distribución hiper-
geométrica y se escribe X ∼ H(N, n, r), si su función de probabilidad es:
f(x) = P[X = x] =
Cr
x CN−r
n−x
CN
n
, x = 0, 1, 2, 3, ....
Teorema 5.1.
Si X ∼ H(N, n, r) entonces
E(X) = n p , V (X) = n p q
N − n
N − 1
donde p = r
N
, q = 1 − p
Además si N tiende a +∞ entonces H(N, n, r) se aproxima a una distribución
binomial B(n, p) (la aproximación es buena si n ≤ 0, 1 × N)
Ejemplo 5.1.
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6. 6 DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Un lote contiene 100 piezas de un proveedor "A&B" de tuberías y 200 unidades
de un proveedor "Plastic" de tuberías. Si se seleccionan 4 piezas al azar y sin
reemplazo.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor "A& B"?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del
proveedor "A& B"?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del
proveedor "A& B"?
Solución
X: No
de piezas de la muestra del proveedor "A& B".
a).
P[X = 4] =
C100
4 C200
0
C300
4
= 0, 0119
b).
P[X ≥ 2] =
C100
2 C200
2
C300
4
+
C100
3 C200
1
C300
4
+
C100
4 C200
0
C300
4
= 0, 408
c).
P[X ≥ 1] = 1 − P[X = 0] = 0, 196
6. Distribución de Poisson
Dado un intervalo de números reales, suponga que ocurren conteos al azar a
lo largo del intervalo. Si puede hacerse la partición del intervalo en subintervalos
con una longitud suficientemente pequeña tal que:
1. La probabilidad de más de un conteo en un subintervalo es cero.
2. La probabilidad de un conteo en un subintervalo es la misma para todos
los subintervalos y proporcional a la longitud de subintervalos.
3. El conteo en cada subintervalo es independiente de los demás subintervalos.
Entonces el experimento aleatorio se denomina proceso de Poisson.
Definición 6.1. Si el número promedio de conteos en el intervalo es λ > 0, la
v.a. X que es igual al número de conteos en el intervalo tiene una distribución de
Poisson con parámetro λ (se escribe X ∼ P(λ)) y tiene función de probabilidad
dada por:
f(x) = P[X = x] =
e−λ
λx
x!
, x = 0, 1, 2, 3, ....
V. Contreras T. Página 6

7. 6 DISTRIBUCIÓN DE POISSON
NOTA 6.1.
La distribución de Poisson se aplica a problemas donde la v.a. X es el No
de
eventos que ocurren en un intervalo de tiempo ó en una región por ejemplo:
No
de llamadas que recibe una central telefónica en el periodo de 1 minuto.
No
de fallas de un sistema en un día dado.
No
de accidentes de trabajo que ocurren en una fábrica durante una semana.
Teorema 6.1.
Si X ∼ P(λ) entonces
E(X) = λ , V (X) = λ
Ejemplo 6.1.
El arribo de camiones de carga a un muelle sigue una distribución de Poisson,
siendo la tasa de llegada, 2 camiones por hora.
1. Calcule la probabilidad de que en un periodo de 4 horas lleguen entre 6 y
10 camiones.
2. ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar más de 4 horas hasta la llegada
del primer camión?.
Solución
X:No
de camiones que llega al muelle en una hora. En este caso λ = 2,
X ∼ P(λ = 2).
Y :No
de camiones que llega al muelle en 4 horas. En este caso λ = 2(4),
Y ∼ P(λ = 8). Entonces:
f(y) = P[Y = y] =
e−8
8y
y!
, y = 0, 1, 2, 3, ....
a). P(6 ≤ Y ≤ 10) =
10
y=6
e−8
8y
y!
b). P[Y = 0] =
e−8
80
0!
= e−8
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8. 8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
7. Aproximación de la distribución binomial a la
Poisson
Teorema 7.1.
Sea X una v.a. con distribución binomial B(n, p). Si n → ∞ , p → 0 y
λ = n p, permanece constante, entonces la distribución binomial se aproxima a
la distribución de Poisson con parámetro λ, esto es:
P[X = x] =
x
n
px
(1 − p)n−x
tiende a P[X = x] =
e−λ
λx
x!
NOTA 7.1.
La aproximación es buena, si n > 30 y n p ≤ 5.
Ejemplo 7.1.
Un manual se edita con un tiraje de 100000 ejemplares. La probabilidad de
que un manual esté encuadernado en tela incorrectamente es igual a 0,0001. Halle
la probabilidad de que el tiraje contenga exactamente 5 libros defectuosos.
Solución
X: No
de libros incorrectamente encuadernados en un tiraje de 100000 ejem-
plares. X ∼ B(100000; 0, 0001).
Como n = 100000 es grande (n → ∞) y p = 0, 0001 tiende a cero, aproximem-
os la distribución binomial X ∼ B(100000; 0, 0001) a la distribución de Poisson
P(λ) donde λ = n p = (100000) (0, 0001) = 10.
Luego:
P[X = 5] =
e−10
105
5!
= 0, 0375
8. Ejercicios de aplicación
1. Una máquina utiliza tres componentes idénticas que trabajan en forma
independiente. La probabilidad de que falle cada componente es 0.1 y estas
se cambian por nuevas una sola vez.
a) Obtenga la distribución de probabilidades del número de componentes
que podrían fallar en la máquina.
b) Un usuario que utiliza la máquina recibe una utilidad constante diaria
de 100 soles y una utilidad variable de 10 soles por cada componente
que no falla, pero, pierde 50 soles por cada componente que falla.
Calcule la utilidad esperada diaria del usuario.
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9. 8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
2. La pequeña empresa "Juguetes ecológicos" empaca su producción en lotes
de 5unidades. Antes de sacar al mercado la empresa realiza un control total
de calidad de cada lote a un costo de 5 u.m. Si cada unidad le cuesta
producir 10 u.m, lo vende a 25 u.m.y reemplaza en el lote el número X
de las unidades defectuosas que encuentra y si el porcentaje de producción
defectuosa es 10 %,
a) ¿Cuántas unidades defectuosas espera encontrar por lote?. Interprete
su respuesta.
b) ¿Cuánto es la utilidad esperada de la empresa por lote?.
3. Debido a que no todos los pasajeros que hacen una reservaciń se presentan,
una aerolínea vende 125 asientos para un vuelo con capacidad para solo
120 pasajeros. La probabilidad de que un pasajero no se presente es 0,1 y
el comportamiento de los pasajeros es independiente
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros que se presenten
puedan tomar el vuelo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo parta con asientos vacios?
4. Una compañía alquila computadoras por periodos de tiempo de t horas, por
lo cual recibe 600 dólares por hora. El número de veces que una computa-
dora falla en t horas es una v.a. con distribución de Poisson con µ = 0, 8t. Si
una máquina falla x veces en t horas, el costo de reparación es 50x2
dólares.
¿Qué valor de t maximiza su utilidad esperada?
5. Las unidades producidas por dos máquinas A y B, en igual proporción,
llegan a una bandeja de control. El 3 % y el 1 % de las unidades producidas
respectivamente por A y B son defectuosas. Un ingeniero controla la calidad
del producto revisando una por una (sin devolución) las unidades de la
bandeja.
a) ¿Qué probabilidad hay de que la décima unidad controlada sea la
primera defectuosa?.
b) ¿Cuántas unidades en promedio controla hasta que aparece la primera
defectuosa?.
c) ¿Qué probabilidad hay de que la décima unidad controlada sea la
tercera defectuosa?.
d) Si el ingeniero controla las unidades antes que caigan a la bandeja,
calcule la probabilidad de que la primera defectuosa encontrada sea la
cuarta de A y la sexta de B?.
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10. 8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
6. El proceso de producción de un bien se debe detener tan luego produzca
la primera unidad que no cumpla con las especificaciones establecidas. Se
estima en 0.99 la probabilidad de que una unidad producida cumpla las
especificaciones. Si el objetivo es producir 150 unidades del bien de manera
que cumplan con las especificaciones.
a) ¿Qué probabilidad hay de lograr el objetivo?.
b) Si después de producir 100 unidades del bien aún no se ha detenido el
proceso, ¿con qué probabilidad se lograría el objetivo?.
7. Un sistema eléctrico consiste de 6 componentes conectados en serie, es decir,
el sistema funciona si todos las componentes funcionan. Si las componentes
del sistema se seleccionan al azar de un lote de 20 que contiene tres que no
funcionan.
a) Describa el modelo de probabilidad del número posible de componentes
que no funcionan de los 6 escogidos y calcule la probabilidad de que
el sistema no funcione.
b) ¿Cuánto sería el costo esperado del sistema si cada componente tiene
un costo de 4 unidades monetarias (u.m.) y si cada componente que
no funcionan de los 6 seleccionados se cambia por uno del lote que si
funciona a un costo adicional de 1,5 u.m.?
8. Para tomar la decisión de aceptar o rechazar lotes que contienen 20 unidades
de un producto se toman tres unidades al azar del lote, si más de una unidad
es defectuosa se rechaza el lote, si las tres no son defectuosas se acepta el
lote y si una es defectuosa se toman otras dos unidades al azar de las 17
que quedan. Esta vez, si alguna es buena se acepta el lote, de otro modo
se rechaza. Si se controla un lote que contiene 4 unidades defectuosos (se
desconoce este hecho),
a) Obtenga la distribución de probabilidades del número de defectuosos
en el primer y en el segundo control. ¿Con qué probabilidad se acepta
el lote?. Aplique un diagrama de árbol para la solución.
b) Si se rechaza el lote, ¿con qué probabilidad esto ocurra en el segundo
control?
9. Un artillero dispara a un blanco y sale que la probabilidad de acertar es
p = 0, 01 ¿Cuo
’antos disparos tendrá que hacer para tener una probabilidad
mayor que 90 % de dar en el blanco por lo menos una vez?.
10. Solo uno de cada mil generadores ensamblados en una fábrica tienen unidades
defectuosas y los generadores defectuosos se distribuyen aleatoriamente e
independientemente a través de la producción.
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11. 8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un embarque de 500 generadores
no contenga ningún generador defectoso?
b) ¿Qué en un embarque de 100 haya por lo menos un generador defec-
tuoso?
11. La ”Compañía Petrolera” ha sido designada para perforar pozos en la ama-
zonia peruana hasta obtener un resultado exitoso. La Compañía estima en
0,7 la probabilidad de no hallar petróleo por cada pozo que perfora.
a) ¿Suponga que la Compañía Petrolera cree que una serie de explo-
raciones será rentable si el número de pozos perforados hasta que
ocurra el primer exito es menor o igual que 5. Calcule la probabili-
dad de que la exploración no será rentable si ya fueron perforados 3
pozos y en ninguno de ellos se encontró petróleo.
b) El costo para perforar cada pozo es de 10 000 dólares. Si un ensayo
no resulta exitoso, el siguiente ensayo tiene costo adicional de 5 000
dólares. ¿Cuánto es el costo esperado del proyecto?
c) Si la Compañía dispone de un presupuesto de 145 000 dólares , ¿cuál
es la probabilidad de que los trabajadores experimentales tengan un
costo que sobrepase el presupuesto de la Compañía?
12. Un sistema de comunicaciones recibe mensajes digitales de ceros y unos.
Cada dígito del mensaje puede ser recibido como correcto ó incorrecto. La
probabilidad de recibir un dígito incorrecto es 0,01 y los dígitos de reciben
de manera independiente.
a) ¿Con qué probabilidad un mensaje de 10 dígitos binarios se recibe
incorrectamente?
b) Si el sitema recibiera 15 mensajes de 10 dígitos cada uno, ¿cuál es la
probabilidad de que al menos 12 de ellos se reciban correctamente?
c) Si un mensaje se recibe de forma incorrecta, se repite el envio hasta
que sea recibido correctamente. ¿Con qué probabilidad un mensaje de
10 dígitos binarios es correctamente recibido en el cuarto intento?
d) Calcule el costo esperado del número de mensajes de 10 dígitos que se
envian al sistema hasta conseguir el mensaje correcto si este proceso
se repite 3 veces y si el costo de los 3 procesos, en décimos soles, es
igual al cuadrado del número de intentos.
13. En una autopista pasan, en promedio 180 vehículos por hora. Se desea
obtener la distribución de probabilidad del tiempo, en minutos, entre dos
vehículos consecutivos. Si un peatón necesita 20 segundos para cruzar la
pista, calcular la probabilidad de que sea capaz de hacerlo entre los dos
proximos vehículos.
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12. 8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
14. Un fabricante ofrece el artículo que produce en lotes de 10 unidades, de las
cuales el 80 % está en buenas condiciones. El comprador plantea someter el
lote a una prueba que consiste en sacar al azar dos artículos del lote y si
están en buenas condiciones los dos, compra el lote; en caso contrario, lo
rechaza. El costo de producción y “puesta en tienda” de cada lote es de 800
soles. Cuando se vende el lote se obtiene una utilidad de 300 soles.
a) Se desea expresar la ganancia neta por lote como función de la v.a.X
que toma el valor de 1 si se vende el lote y toma el valor de cero caso
contrario.
b) Si cada día el fabricante ofrece 15 de estos lotes, ¿cuál es el número
esperado de lotes que vende?
15. Una máquina que produce cierto tipo de objeto se apaga automáticamente
cuando ha llegado a producir el 5to
defectuoso. Si la probabilidad de que
cada objeto producido sea defectusos es 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de
que la máquina se apague cuando ha producido 12 objetos?
16. Se estima que el 30 % de electores de una determinada ciudad votarán por
el candidato HML. En una encuesta realizada en tal población,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la sexta persona encuestada sea la 4ta
que votará por HML?
b) ¿Cuántas personas en promedio se deben encuestar hasta tener 12 que
votarán por HML?
17. Una firma comercializadora de parquet recibe un lote grande de parquet en
parquets de 120 unidades cada una. Un paquete es rechazado si al revisar 10
unidades de parquet elegidos al azar una a una sin reposición se encuentrán
3 o más defectuosos. Calcule la probabilidad de que un paquete sea aceptado
si este contiene 20 % de defectuosos.
a) A partir de la verdadera distribución del número de objetos defectuosos
que se encuentra en la revisión.
b) Utilizando una aproximación adecuada.
18. Suponga que el número de accidentes de trabajo que se producen por sem-
ana en una fábrica sigue la ley de Poisson de manera que la probabilidad
de que se ocurran 2 accidentes es igual a 2/3 de la probabilidad de que
ocurra un accidente. Calcule la probabilidad de que no ocurran accidentes
en 3 semanas consecutivas.
19. Las fallas superficiales en ciertas placas de metal siguen una distribución
de Poisson con una media de 0,04 fallas por placa. Una empresa solicita
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13. 8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
un pedido grande de estas placas al fabricante y puede seguir uno de los
siguientes procesos de inspección.
Proceso 1: Inspecciona 35 placas al azar y si encuentra menos de 3 con
fallas acepta el pedido.
Proceso 2: Inspecciona una por una las placas y si encuentra la tercera
3 placa con falla en la inspección 25, detiene la inspección y rechaza
el pedido.
¿Con cuál de estos dos procesos es más probable que rechace el pedido?
20. Las fallas en los rollos de tela de algodón de la empresa "Textiles P&C" se
producen a través de un proceso de Poisson y con una tasa de de faila de λ =
0, 05 por metro. El control de calidad de los rollos de 100 metros, consiste
en escoger de cada rollo una sección al azar de 20 metros de longitud, si
esta contiene más de una falla, el rollo será reemplazado por uno nuevo. En
caso contrario el rollo pasará el control y se venderá en el mercado.
a) ¿Qué probabilidad existe de que pase el control un rollo que contiene
2 errores?
b) Cada rollo tiene un costo de producción de 100 dólares y se vende en el
mercadoa a 200 dólares. La empresa garantiza restituir todo rollo que
contenga no cumpla las especificaciones de control (es decir, que tenga
mas de 5 fallas) y más aún indemnizar por este motivo al consumidor
con 20 dólares. Halle la utilidad esperada que generarán los rollos que
tienen tres fallas.
21. Uno de los productos principales de la empresa "Algodón H&A" es una
tela que saca al mercado en rollos de 60 metros de longitud, donde, el
número de puntos fallado de la tela se distribuyen de acuerdo al modelo de
probabilidad de Poisson con una tasa de falla de uno por cada 10 metros.
El control de calidad de la tela consiste en selcccionar al azar de cada rollo
una sección de 5 metros de longitud concluyendo que el rollo no cumple las
especificaciones y por lo tanto es rechazado, si en esta sección se halla más
de un punto fallado. Si un consumidor de esta tela recibe 200 rollos de 60
metros cada uno, y aplica el procedimiento de control indicado.
a) ¿Cuántos rollos que cumplen las especificaciones se rechazarán?.
b) ¿Cuántos rollos pasarán el control, si cada uno tiene 7 defectos?
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