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1. 1
CAPÍTULO 7
21 12 21
MODELOS DISCRETOS IMPORTANTES
DE PROBABILIDAD
Prof. Mg. Wilfredo Domínguez C.
En esta parte del curso estudiaremos algunas
distribuciones de probabilidad que más destacan en la
teoría estadística y en la práctica.
Las distribuciones discretas más importantes no pasan
de siete y las analizaremos con algún detalle.
Veremos que dichas distribuciones contienen cantidades
conocidas con el nombre de parámetros, el cual será
definido a continuación.
Definición 1 .- (PARÁMETRO) Son cantidades que son
constantes, pero que pueden variar de problema a
problema; comúnmente los parámetros se representan
mediante las letras griegas:
 : lambda minúscula
 : beta minúscula

: mu minúscula w

2. 2

: sigma minúscula
A los parámetros también se le denominan parámetros
poblacionales.
1) DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA
Es la más simple de todas las distribuciones discretas de
probabilidad, y es aquella en la cual la v.A. puede tomar
valores n
x
x
x ,
,
, 2
1 con idéntica probabilidad n
1
.
Se dice que la v.A. X se distribuye como una uniforme
discreta si y solo si su función de probabilidad está dada
por
 
n
x
P
x
X
P
1
)
( 

 n
x
x
x
x ,
,
, 2
1

El parámetro es n (número entero positivo), y el gráfico
de su distribución de probabilidad es: w

3. 3
NOTACIÓN:  
n
UD
X ~ , esto significa que la variable
aleatoria X se distribuye como una uniforme discreta con
parámetro
n
; n
x
x
x
x
n
x
P ;...;
;
;
1
)
( 2
1



PROPIEDADES
a)
  X
n
X
X
X
n
x
X
E n
n
i
i












 

...
1 2
1
1

   







































n
i
n
i
i
n
i
i
i
n
x
n
x
X
E
X
E
n
x
X
Var
1
2
1
1
2
2
2
2
2
))
(
(
)
(
1


b) Si  
n
UD
X ~ n
x ,
,
2
,
1
 ; entonces
 
2
1


n
X
E
,
 
12
1
2
2 


n
X
Var

Ejercicio 1 Probar las dos últimas igualdades dadas en b).
Ejemplo 1.- Cuando se escoge al azar un foco de una
caja que contiene un foco de 40 watts, uno de 60 watts,
uno de 75 watts y uno de 100 watts, cada elemento del
espacio muestral ocurre con una probabilidad de 4
1
. Por
lo tanto se tiene una distribución uniforme discreta, con
función de probabilidad: w
 
4
1
)
( 

 x
P
x
X
P 4
1
100
,
75
,
60
,
40
x
x
x 
es decir,  
4
~ UD
X 100
,
75
,
60
,
40

x

4. 4
Ejemplo 2.- Calcular  
X
E y  
X
Var del ejemplo anterior
  75
,
68
4
100
75
60
40





X
E
watts.
 
2
2
2
2
2
4
100
75
60
40
4
100
75
60
40





 







X
Var
 2
75
,
68
4
20825


5625
,
4726
25
,
5206 

watts
watts
X
Var
9017
,
21
6875
,
479
)
(
6875
,
479
)
( 2
2






Ejemplo 3.- Se lanza un dado perfecto y se observa la
cara superior. Sea X la variable aleatoria que denota el
número que sale en la cara superior, entonces:
 
6
1

x
p
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

x
Es decir  
6
~ UD
X 6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

x
  5
,
3
2
1
6
2
1






n
X
E 
w
 
12
35
12
1
6
12
1 2
2
2






n
X
Var 

5. 5
2) DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Es una distribución de probabilidad muy sencilla, pues la
variable aleatoria X que lo genera, solo toma dos valores
0 y 1 con probabilidades p
q 
 1 y p respectivamente,
para 1
0 
 p .
Es decir
x  
x
P
0
1
p
q 
 1
p
w
Cuando 0

X se dice que ha ocurrido un “fracaso”
1

X se dice que ha ocurrido un “éxito”

6. 6
Definición 1 .- Se dice que la variable aleatoria X se
distribuye como una Bernoulli con parámetro 1
0
; 
 p
p si
su función de probabilidad es dado por
    1
;
0
;
1
1





x
p
p
x
X
P
x
x
 
p
B
X ~ : La variable aleatoria X se distribuye como una
Bernoulli con parámetro   x
x
x
x
q
p
p
p
x
X
P
p 





 1
1
1
)
(
pq
pq
X
Var
p
X
E
x 




 

 ;
)
(
;
)
(
1
;
0 2
.
Donde p
q 
1 (probabilidad de fracaso)
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BERNOULLI
1)       p
p
p
X
E 



 1
1
0

     
 2
2
2
X
E
X
E
X
Var 



   
 2
2

 
 x
p
x
x
p
x
    2
2
2
1
1
0 p
p
p 



2
p
p 

  pq
p
p
X
Var 


 1
)
(
2
 w
2)   pq
p
p
X
Var 


 1
)
(
2
 toma su valor máximo
cuando 5
,
0

p

7. 7
Ejercicio 2 Demostrar la afirmación 2) dada anterior.
Ejemplo 4.- Se lanza una moneda imperfecta, talque
  4
3

c
p ,   4
1

s
p . Si convenimos en llamar “éxito” si
resulta cara y fracaso si resulta “sello”, entonces
x  
x
p
0
4
1
1
4
3
      x
x
x
p


1
4
1
4
3 1
,
0

x
Es decir  
4
3
~ B
X 4
3

p 4
1
1 

 p
q
  4
3


 p
X
E

     
4
3
16
3
4
1
4
3
1
2







 p
p
X
Var
w
En la distribución de Bernoulli el término “éxito” o
“fracaso” no hay que tomarlo en el sentido estricto del

8. 8
diccionario; por ejemplo “éxito” puede referirse al
contraer una determinada enfermedad, o tal vez
desaprobar un examen.
Cada vez que se “realiza” una distribución de Bernoulli
se dice ha ocurrido un ensayo de Bernoulli o
simplemente ensayo, y las secuencias de estos
experimentos se conocen como ensayos repetidos de
Bernoulli.
NOTACIÓN.-
:
e éxito; p
e
P 
)
(
:
f fracaso; q
p
f
P 

 1
)
(
Definición 2 .- (ENSAYO DE BERNOULLI) Un ensayo de
Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene dos
posibles resultados mutuamente excluyentes llamado
“éxito =
e
” y “fracaso = f ”, tal que   p
e
P  ,   q
p
f
P 

1
3) DISTRIBUCIÓN BINOMIAL w
Antes de definir a la distribución binomial veremos lo
que se conoce con el nombre EXPERIMENTO BINOMIAL.

9. 9
Definición 3 .- (EXPERIMENTO BINOMIAL) Se dice que un
experimento es de tipo binomial si cumple las siguientes
suposiciones:
i. El experimento consiste de n
ensayos de Bernoulli,
siendo n un número fijo y determinado.
ii.   p
e
P  ,   q
p
f
P 

 1 y permanecen iguales en
todos los ensayos.
iii.Los ensayos son independientes.
iv.Se está interesado en el número de éxitos en n
ensayos independientes de Bernoulli (y no en el
orden en que estos ocurren).
Ejemplo 5.- Un vendedor de autos desea determinar la
probabilidad de llevar a cabo 4 ventas exitosas en 10
entrevistas de clientes interesados. Por estudios
anteriores se sabe que la probabilidad de que se lleve a
cabo una venta exitosa es 25
,
0 .
¿Es este un experimento binomial?
Solución.- Para determinar si se trata de un experimento
binomial hay que verificar si cumple los 4 supuestos:
i. El experimento en efecto consiste de 10

n ensayos de
Bernoulli siendo los resultados posibles:
El vendedor vende en efecto el automóvil (éxito”) o no
vende el automóvil (“fracaso”).

10. 10
ii. La probabilidad de que el agente venda en efecto en
cada entrevista es   25
,
0

 éxito
p
p y esta probabilidad
permanece invariable de ensayo a ensayo.
iii. Lo ensayos son independientes, es decir, el hecho de
que un cliente específico compre o no el automóvil
ofrecido no influye en la decisión de cualquiera de los
otros clientes.
iv. Interesa solamente el número de ventas que realiza el
agente vendedor (y no el orden en que ellos
ocurrieron),
Es decir es un experimento de tipo binomial.
En general bajo las condiciones de un experimento
binomial, supongamos que estamos interesados en la
siguiente variable aleatoria X .
:
X cuenta el número de éxitos en n ensayos
independientes de Bernoulli entonces  
n
RX
,
,
2
,
1
,
0

Ejemplo 6.- Se lanza un dado n veces. Si sale el 6
convenimos en decir que ha ocurrido un “éxito”, en caso
contrario  
5
4
,
3
,
2
,
1 ó se dice que ha ocurrido un “fracaso”. w

11. 11
Sea X la variable aleatoria que denota el número de
éxitos en n ensayos de Bernoulli (n
lanzamientos del
dado)
Calcular      
x
X
P
X
P
X
P 

 ,
,
1
,
0 .
Solución.-
  6
1

 p
éxito
P
  6
5
1 

 p
fracaso
p
 
0

x
ocurre si y solo si
 
FRACASOS
n
ÉXITOS
f
f
f
0
,
,
,
, es decir
    
       
f
P
f
P
f
P
f
f
f
P
X
P 

 ,
,
,
0 (por ser
independientes)



















6
5
6
5
6
5
n
n
n
X
P 






















6
5
0
6
5
)
0
(

       
 
e
f
f
f
ó
f
f
e
f
ó
f
f
f
e
P
X
P ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1 

( e
1 y f
n 1
 )
 
 
f
f
f
e
P
n
X
P ,
,
,
,
)
1
( 

   1
6
5
6
1
)
1
(



n
n
X
P 1
0








n
   1
6
5
6
1
1
)
1
(











n
n
X
P n
n









1

12. 12
Similarmente: w

      









 FRACASOS
n
y
ÉXITOS
ó
F
E
F
E
ó
F
F
E
E
P
X
P
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
2
Para saber cuántos sucesos son de la forma anterior es
suficiente hallar el número de permutaciones de n
objetos de los cuales 2 son iguales y 2

n son iguales, es
decir
  








 2
!
2
!
2
! n
n
n
: combinaciones de
n
en
2
Es decir
      2
2
6
5
6
1
2
2











n
n
X
P
Por el mismo razonamiento

      3
3
6
5
6
1
3
3











n
n
X
P

      n
x
x
n
x
X
P
x
n
x
;...;
2
;
1
;
0
;
6
5
6
1 











Para cualquier problema con   p
éxito
P  ,   q
p
fracaso
p 

1 ,
tenemos un procedimiento similar al presentado, es
decir: w

13. 13
 
x
X
P  es la probabilidad de obtener x éxitos y en
consecuencia x
n  fracasos en una sucesión de ensayos
de Bernoulli.
fracasos
x
n
écito
x
F
F
F
E
E
E

,
,
,
,
,
,
,
La probabilidad de ocurrencia de esta sucesión es
  x
n
x
p
p


1 … (*)
Esto debido a la independencia de los ensayos. Pero
cualquier sucesión con x
éxitos y x
n 
fracasos tendrá la
misma probabilidad (*).
Por lo tanto, el número de sucesiones diferentes con x
éxitos y x
n  fracasos es:
  








 x
n
x
x
n
n
!
!
!

  x
n
x
q
p
x
n
x
X
P 










n
x ,
,
2
,
1
,
0

Definición 4 .- (DISTRIBUCIÓN BINOMIAL) Se dice que la
variable aleatoria X se distribuye como una binomial con
parámetros n y p , si su función de probabilidad es dada
por: w

14. 14
    x
n
x
q
p
x
n
x
X
P
x
P 











n
x ,
,
2
,
1
,
0

NOTACIÓN.-
  npq
npq
X
Var
np
X
E
p
n
b
X 



 

 ;
)
(
;
)
(
;
,
~ 2
Los parámetros son n y p , tales que n es entero positivo
1
0 
 p . El gráfico de la distribución de probabilidades
depende de los valores de n
y p
,
El gráfico para 50

n y 75
,
0

p
w

15. 15
Ejemplo 7.- Si
)
2
1
;
3
(
~ b
X
; hallar la función de
probabilidad, su distribución de probabilidades asociada
y evalúe su media poblacional; su varianza poblacional y
su desviación estándar poblacional.
Solución.-
(función de probabilidad)
3
;
2
;
1
;
0
;
)
2
1
(
3
)
2
1
1
(
)
2
1
(
3
)
(
3
3





















x
x
x
x
P
x
x
(distribución de probabilidad)
x  
x
p
0 8
1
1 8
3
2 8
3
3 8
1
(media poblacional; varianza poblacional y d.e. poblacional)
np
x
xp
X
E 

























 
2
3
8
12
8
1
3
8
3
2
)
8
3
(
1
8
1
0
)
(
)
(

3
8
24
8
1
3
8
3
2
8
3
1
8
1
0
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2






























  x
p
x
X
E
npq
X
E
X
E
X
Var 



















2
1
2
1
3
4
3
)
2
3
(
3
))
(
(
)
(
)
(
2
2
2
2


16. 16
Una representación gráfica de esta distribución es:
1 2 3 4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
X 2
Y 0.375
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL
1)   p
n
X
E 
   


 p
p
n
X
Var 1
2

 
p
p
n 
 1

2) Si 1

n , la distribución binomial se transforma en la
distribución de Bernoulli con parámetro p
.
3) La probabilidad de obtener x
éxitos es igual a la
probabilidad de obtener x
n 
fracasos, es decir
   
x
n
X
P
x
X
P 




17. 17
Demostración.-
Sabemos que     





















x
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
x
n
!
!
!
!
!
  x
n
x
q
p
x
n
x
X
P 










x
x
n
p
q
x
n
n 










 
x
n
X
P 


Ejemplo 8.- Hallar la media y la varianza de las
siguientes funciones de probabilidad.
a)
   3
2
1
3









x
x
P
3
,
2
,
1
,
0

x
b)
      x
x
x
x
P










9
4
1
4
3
9 9
,
,
1
,
0

x
c)
      x
x
x
x
P










1000
99
.
0
01
.
0
1000 1000
,
,
2
,
1
,
0

x
Solución.-
a)  
2
1
,
3
~ b
X
    5
,
1
2
3
2
1
3 



 np
X
E

     4
3
2
1
2
1
3
2


 x
Var

866
.
0
75
.
0 



18. 18
b)  
4
3
,
9
~ b
X
    75
,
6
4
27
4
3
9 


 X
E

     6875
,
1
16
27
4
1
4
3
9
2



 X
Var

5636
,
0
16
27 


c)  
01
,
0
;
1000
~ b
X
    10
01
,
0
1000 

 X
E

     9
,
9
99
,
0
01
,
0
1000
2


 X
Var

   1464
,
3
9
.
9
99
.
0
01
.
0
1000 



FÓRMULA DE UTILIDAD
  












n
x
x
n
x
n
b
a
x
n
b
a
0
(Binomio de Newton)
0
2
2
1
0
2
1
0
b
a
n
n
b
a
n
b
a
n
b
a
n n
n
n
n



































 

Ejemplo 9.- Desarrollar  4
b
a 
Solución.-
  












4
0
4
4 4
x
x
x
b
a
x
b
a

19. 19
0
4
3
2
2
3
4
0
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a 












































4
3
2
2
3
4
4
6
4 a
b
a
b
a
b
a
b 




Ejemplo 10.- Verificar que la función de probabilidad de
una binomial en efecto cumple
i.   0

x
p
ii.
  1


 X
R
x
x
p
Solución.-
i. Es conocido que
    x
n
x
p
p
x
n
x
p










 1
n
x ,
,
2
,
1
,
0

0









x
n
  0
1 

x
n
x
p
p
Es decir
  0
1 








 x
n
x
p
p
x
n
para
n
x ,
,
2
,
1
,
0

   0

x
p para cualquier R
x .
ii. Por la fórmula del Binomio de Newton con p
a 
, p
b 
1
       












































n
x
n
n
n
x
n
x
p
p
n
n
p
p
n
p
p
n
p
p
x
n
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
 
 n
p
p 

 1
n
1


20. 20
1

Ejemplo 11.- Las observaciones durante un largo
periodo muestran que un vendedor determinado pueda
efectuar una venta en una sola entrevista tiene
probabilidad de 2
,
0 . Supongamos que un vendedor
entrevista a cuatro interesados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos
interesados compren el producto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos
interesados compren el producto?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los interesados
compren el producto?
Solución.-
a) 2
,
0

p , 4

n
        4
;
3
;
2
;
1
;
0
|
;
8
.
0
2
.
0
4
2
.
0
;
4
~
4












x
x
x
P
b
X
x
x
X : número de interesados que compran el producto en
una sola entrevista.
     2
2
8
.
0
2
.
0
2
4
2 









X
P
  
64
,
0
04
,
0
6

1536
,
0


21. 21
b)        
4
3
2
2 





 X
P
X
P
X
P
X
P
   
1
0
1 



 X
P
X
P
       3
4
0
8
.
0
2
.
0
1
4
8
.
0
2
.
0
0
4
1 


















4096
,
0
4096
,
0
1 


1808
,
0

c)
     0
4
8
.
0
2
.
0
4
4
4 









X
P
0016
,
0

Ejemplo 12.- Dos ajedrecistas de igual habilidad juegan
al ajedrez ¿Qué es más probable ganar dos de 4 partidas
ó tres de seis partidas?
Los empates no se toman en consideración.
Solución.-
Puesto que los ajedrecistas tienen la misma capacidad, la
probabilidad de ganar 2
1

p , y por lo tanto la probabilidad
de perder 2
1

q permanecen constantes de partida a
partida.
Además como no nos interesa en que sucesión serán
ganadas las partidas tenemos:

22. 22
Para
4

n
, 2
1

p
   2
2
1
4









x
x
p
4
,
3
,
2
,
1
,
0

x
      16
6
2
1
2
4
2
2











 X
p
x
P
Para
6

n
, 2
1

p
     3
3
1
6











x
x
X
P
x
p
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0

x
      16
5
2
1
6
3
2
3












x
X
p
p
Ejercicio 3 Hallar la probabilidad de que al lanzar una
moneda perfecta 10 veces resulten:
a) 3 caras
b) 2 sellos y una cara
c) Al menos una cara
d) No más de un sello
Ejemplo 13.- Hallar la probabilidad de que en una familia
de 4 hijos
a) Al menos uno sea niño
b) Al menos uno sea niño y al menos uno sea niña

23. 23
Suponga que la probabilidad del nacimiento de un varón
es 2
1
Solución.-
Sea X la variable aleatoria que denota el número de
niños en familias con 4 hijos
  2
1
var 
 e
ón
p
  2
1

 f
dama
p
   
4
4
2
1
4
2
1
2
1
4







































x
x
x
X
P
x
P
x
x
4
,
3
,
2
,
1
,
0

x
a)          
4
3
2
1
1 







 X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
16
15
 (verificar, o alternativamente)
16
15
16
1
1
)
2
1
(
0
4
1
)
0
(
1
)
1
(
4
















 X
P
X
P
b)
  )
'
)
((
1
1 B
A
P
B
A
P
niña
una
menos
al
y
niño
menos
al
p
B
A













   
875
,
0
)
2
1
(
2
1
4
1
4
4
4
1
0
4
1
)
4
(
)
0
(
1
1
)
'
(
)
'
(
1
)
'
'
(
1
4
4
4
















































X
P
X
P
niña
ninguna
P
niño
ningún
P
B
P
A
P
B
A
P

24. 24
Ejemplo 14.- Se inspeccionan grandes lotes de
productos que llegan a una planta manufacturera a fin de
encontrar artículos defectuosos.
Mediante un plan de muestreo, se selecciona una
muestra aleatoria de n artículos de cada uno de los lotes
y se inspeccionará la muestra anotando el número X de
defectuosos.
Sea a es menor o igual a algún número de aceptación
especificado y se aceptará el lote. Si X es mayor que "
"a ,
se rechazará el citado lote.
Supóngase que un fabricante utiliza un plan de muestreo
con 10

n y 1

a . Si el lote contiene exactamente 5% de
artículos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que
sea rechazado?
Solución.-
El lote contiene 5% de defectuosos, la probabilidad de
que un artículo seleccionado al azar, sea defectuoso, es
05
.
0

p .
Sea X la variable aleatoria que denota el número de
artículos defectuosos en la muestra de 10

n artículos.
Donde 05
,
0
)
( 
e
p
Luego  
05
,
0
;
10
~ b
X ,

25. 25
        x
x
x
x
X
P
x
P












10
95
,
0
05
,
0
10 10
,
,
2
,
1

x
La probabilidad de aceptar el lote ocurre si a
X  , donde
1

a
       
1
0
1 




 X
P
X
P
X
P
aceptar
P
       9
1
10
0
95
,
0
05
,
0
1
10
95
,
0
05
,
0
0
10


















914
,
0

   
aceptar
P
rechazar
P 
1
914
,
0
1

086
,
0

4) DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Se dice que la variable aleatoria X se distribuye como
una Poisson con parámetro 0

 (lamda= > 0), si su
función de probabilidades es dada por
 
!
x
e
x
p
x




,
2
,
1
,
0

x
donde 0

 es el parámetro.

26. 26
:
e base de los logaritmos naturales 7182
.
2

1
!
0  (por definición)
FORMULA DE UTILIDAD





!
3
!
2
!
1
!
0
3
2
1
0
a
a
a
a
ea




0 !
x
x
x
a
(Serie de Taylor)
Ejemplo 15.- Calcular
 3
3
7182
,
2

e





!
3
3
!
2
3
!
1
3
!
0
3 3
2
1
0





6
27
2
9
3
1
NOTACIÓN.-  

p
X ~ : variable aleatoria X se distribuye
como una Poisson con parámetro
 
!
0
x
e
x
p
x 






,
2
,
1
,
0

x
Un gráfico de la famosa distribución de Poisson es dada
por:

27. 27
Ejemplo 16.- Demostrar que en efecto la función de
probabilidad Poisson cumple con las condiciones de
cualquier función de probabilidad.
Solución.-
a)   0

x
p ,
2
,
1
,
0

x
pues
0
!


x
e x


  0

x
p ,
2
,
1
,
0

x
b) Hay que demostrar que
 
 
x
x
p 1
En efecto
  1
!
!
0
0
0





 








e
e
e
x
e
x
e
x
p
x x
x
x
x







28. 28
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
1)
  






0 !
x
x
x
e
x
X
E 
















0
2
2
2
!
x
x
x
e
x
X
E 



  
 
 x
Var
2

 
2) Su F. D. A. es dada por
 





























1
!
2
1
!
1
!
0
1
0
!
0
0
0
0
1
0
0
i
x
i
x
e
x
e
e
x
e
x
x
F
i
x
x








Ejemplo 17.- Si  
2
1
~ p
X .
Calcular
 
5
,
2

X
P
,   
 );
(
;
2
X
Var
X
E  ,
Solución.-
2
1


   
5
.
2
1
5
.
2 


 X
P
X
P
     
2
1
0
1 





 X
P
X
P
X
P

29. 29
   
0175
,
0
0758
,
0
3032
,
0
6035
,
0
1
!
2
2
1
!
1
2
1
!
0
1
2
2
1
2
1
2
1












e
e
e
  2
1


 
 X
E
  2
1
2


 
 X
Var
2
1


=
7071
,
0
2
2


RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y LA
DISTRIBUCIÓN POISSON
Sea la variable aleatoria distribuida como una binomial
con parámetros
n
y p
, es decir  
p
n
b
X ,
~ . Si
n
es grande
 
30

n , p
pequeño  
10
,
0

p y 5

 p
n
 , entonces
 
!
)
(
! x
np
e
x
e
q
p
p
n
x
p
x
np
x
x
n
x
















Es decir bajo las condiciones dadas la distribución
binomial se aproxima a la distribución de Poisson, es
decir
   

p
p
n
b 
, donde p
n


Ejemplo 18.- En un proceso de fabricación; en el cual se
producen floreros de vidrio, ocurren defectos del tipo
burbuja, de forma tal que ese artículo sea descartado

30. 30
para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada mil
artículos de vidrio presenta esta tipo de defecto.
¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria
de 8000 floreros menos de 7 tenga el efecto
mencionado?
Solución.-

p
probabilidad de que un florero sea defectuoso
1000
1

8000

n
        x
x
x
x
p
b
X











8000
1000
999
1000
1
8000
1000
1
;
8000
~
8000
,
,
2
,
1
,
0

x
30

n
,
5
8
)
1000
1
(
8000
;
1
.
0 


 np
p
Entonces tenemos        
6
2
0
7 






 X
p
X
P
X
P
X
P
























6
0
8000
1000
9999
1000
1
8000
x
x
x
x
Esta última suma es muy laboriosa de efectuar, sin
embargo las condiciones del problema son las ideales
para efectuar una aproximación de la binomial mediante
una Poisson, es decir:
  x
x
x
e
x
































 

1000
1
8000
1000
9999
1000
1
8000 1000
1
8000
8000

31. 31
!
8
8
x
e
x


Ahora
 
3133
,
0
)
720
/
262144
120
/
32768
24
/
4096
6
/
512
2
/
64
8
1
(
)
6
(
....
)
1
(
)
0
(
7
8

















e
X
P
X
P
X
P
X
P
Por ejemplo se puede observar la aproximación
calculando:
099298
,
0
1000
999
1000
1
10
8000
)
10
(
7990
10























X
P
(Probabilidad exacta)
099261
,
0
!
10
8
)
10
(
10
8




e
X
P
(Probabilidad aproximada)
Ejemplo 19.- Supongamos que el número de errores
tipográficos en una página de un libro tiene distribución
de Poisson con parámetro 5
.
0

 . Hallar la probabilidad
de que haya por lo menos un error en esta página.
Solución.-
Sea X variable aleatoria que denota el número de errores
en la página, entonces
   
 
!
2
1
2
1
~
2
1
x
e
x
p
p
X
x 


,
2
,
1
,
0

x
Luego    
1
1
1 


 X
P
X
P
 
0
1 

 X
P

32. 32
 
!
0
2
1
1
0
2
1



e
3935
,
0
1
2
1




e
Ejemplo 20.- Una computadora personal tiene 200
circuitos electrónicos que funcionan
independientemente; durante su funcionamiento la
computadora tiene la probabilidad de una falla individual
de cada uno de estos circuitos electrónicos que se
estima es de 0,001.
a) ¿Qué tipo de distribución de probabilidades se adecúa
sobre el número de fallas de los circuitos en el
funcionamiento de la computadora? ¿Cuáles son los
valores de los parámetros de esta distribución?
b) Aproximar las siguientes probabilidades:
 No existan fallas
 Haya menos de 3 fallas
 Ocurra uno o dos fallas
Solución.-
a) Sea X la variable aleatoria que denota el número de
fallas en los 200 circuitos durante el funcionamiento
de la computadora, por lo tanto:
 
200
,
,
2
,
1
,
0

x
R

33. 33
Las fallas de los circuitos son independientes y la
probabilidad de fallas 001
,
0

p es constante, por lo
tanto:
 
001
,
0
;
200
~ b
X
      x
x
x
x
p











200
0001
1
001
,
0
200 200
,
,
2
,
1
,
0

x
    2
.
0
001
,
0
200 


 p
n
X
E

     1998
,
0
001
,
0
1
001
,
0
200
2




 q
p
n
X
Var

b) Ejercicio para el alumno.
5) DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
La distribución geométrica está relacionado con ensayos
de tipo Bernoulli, es decir en aquellos en los que solo
pueden ocurrir dos cosas:
éxito =e;   p
e
p 
fracaso = f;   q
p
f
p 

1
Supongamos lo siguiente: (EXPERIMENTO
GEOMÉTRICO)
1) Un experimento aleatorio consiste en ensayos
repetidos de tipo Bernoulli

34. 34
2)   p
e
p  ,   p
f
p 
1 permanecen iguales en todos los
ensayos
3) Definimos la variable aleatoria
X : cuenta el número de ensayos necesarios hasta
obtener un éxito por primera vez.
Luego  
,
3
,
2
,
1

X
R y el espacio muestral es de la forma















,
,
,
3
2
1
x
x
x
e
f
f
e
f
e
La variable aleatoria X definida se denomina variable
aleatoria geométrica, y sus probabilidades se calculan de
la siguiente forma:
   
         
         
  p
q
e
f
f
f
p
x
X
p
p
q
e
p
f
p
f
p
e
f
f
P
X
p
qp
p
p
e
P
f
P
e
f
P
X
p
p
e
P
X
p
x
x
1
1
2
3
1
2
1





























Es decir la función de probabilidad es de la forma
 
1


x
q
p
x
P
,
3
,
2
,
1

x
DEFINICIÓN: (DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA)

35. 35
Se dice que la variable aleatoria X se distribuye como
una geométrica con parámetro p  
1
0 
 p si su función de
probabilidad es dada por
  p
q
x
p
x 1


,
3
,
2
,
1

x
El gráfico de una distribución de probabilidad geométrica
depende del valor de p
; es de la forma:
NOTACIÓN.-  
p
g
X ~ : la variable aleatoria X se distribuye
como una geométrica con parámetro     1
1
,
0 


 x
q
p
x
p
p
,
3
,
2
,
1

x
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
1)
 
p
X
E
1



  2
2
p
q
x
Var 


p
q



36. 36
2) Su F. D. P. es de la forma
 




























1
4
3
3
2
2
1
1
0
1
1
2
i
x
i
pq
x
pq
pq
p
x
pq
p
x
p
x
x
F
i
x
x
 













1
1
0
1
1
i
x
i
pq
x
x
F
i
x
x
,
3
,
2
,
1

i
3) Gráficamente la distribución geométrica es
decreciente estrictamente, es decir
         




 1
3
2
1 x
p
x
p
p
p
p
4) La distribución geométrica tiene la propiedad de “no
tener memoria”, esto es
   
b
X
p
a
X
b
a
X
p 




para b
a; enteros positivos.
La distribución geométrica es la única distribución
discreta en esta propiedad.

37. 37
Ejemplo 21.- Los registros indican que una cierta
vendedora tiene éxito en formalizar una venta en 30% de
sus entrevistas. Supongamos que una venta en una
entrevista es independiente de una venta en cualquier
otro momento.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta vendedora tenga
que tratar con 10 personas para hacer su primera
venta?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera venta se
realice antes de o en la décima oportunidad?
Solución.-
a) 7
,
0
3
,
0
1
1
3
,
0 




 p
q
p
Por lo tanto     1
7
,
0
3
,
0
)
3
,
0
(
~



x
x
P
g
X ,
3
,
2
,
1

x
donde X es variable aleatoria que denota el número de
entrevistas necesarias hasta formalizar la primera
venta.
     0121
,
0
7
,
0
3
,
0
10
9



X
P
b)        
10
2
1
10 P
P
p
X
P 




       9
2
7
,
0
3
,
0
7
,
0
3
,
0
7
,
0
3
,
0
3
,
0 





38. 38
 












1
3
min
1
2
1
1
n
i
n
i
os
tér
n
n
r
r
a
ar
ar
ar
ar
a
Si tomamos
3
,
0

a 7
,
0

r 9
1 

n 10

n
     
 
7
,
0
1
7
,
0
1
3
.
0
10
2
1
)
10
(
10










 X
P
X
P
X
P
X
P
 
3
,
0
971752475
,
0
3
,
0

9717
,
0

Ejemplo 22.- Verificar que en efecto la función de
probabilidad asociada a una variable aleatoria geométrica
cumple en efecto con las condiciones exigidas a
cualquier función de probabilidad.
Solución.-
 
1


x
q
p
x
P
,
3
,
2
,
1

x
  0

x
p ,
3
,
2
,
1

x
  0

x
p ,
3
,
2
,
1

x
 
 




x x
x
q
p
x
P
1
1
.......
3
2




 pq
pq
pq
p
r
a
ar
ar
a






1
1
2 1
0 
 r

39. 39
 
 



x
pq
pq
p
x
p 2
q
p


1
1
 
p
p



1
1
1
1

Ejemplo 23.- En cierta región del país la probabilidad de
que llueva en un día cualquiera de verano es 1
,
0 .
Suponiendo la independencia climatológica y se
comienza el 1 de Enero.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera lluvia ocurra el
3 de Febrero?
Solución.-
Sea X : variable aleatoria que denota el número de días
(empezando del 1ro
de Enero) hasta que ocurra la primera
lluvia, por lo tanto
9
,
0
1
,
0 
 q
p
    1
9
,
0
1
,
0


x
x
P ,
3
,
2
,
1

x
    0030903
,
0
9
,
0
1
,
0
34
33


P

40. 40
Ejemplo 24.- Con los datos del ejemplo anterior,
calcular
 
X
E


,  
X
Var

2
 ,

Interpretar  
X
E .
Solución.-
1
.
0

p
9
.
0

q
  10
1
.
0
1
1




p
X
E

días
 
 
90
01
,
0
9
,
0
1
,
0
9
.
0
2
2
2





p
q
X
Var

(días)2
486
,
9
1
,
0
9486
.
0
1
,
0
9
.
0




p
q

(días)
  10

 X
E
 días, es decir en promedio se tiene que
esperar uno 10 días para que ocurra la primera lluvia.
6) DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA o PASCAL
Generaliza a la distribución geométrica y también se
fundamenta en ensayos repetidos del tipo Bernoulli.
EXPERIMENTO BINOMIAL NEGATICO o PASCAL.-
Supongamos que se cumplen las suposiciones 1), 2), 3)
del experimento geométrico. La suposición 4) es
modificada de la siguiente manera:

41. 41
4) Definimos la variable aleatoria X como el número de
ensayos necesarios hasta obtener k éxitos por primera
vez.
Obviamente  
,
2
,
1
, 

 k
k
k
RX
 
 k
X se obtuvo k éxitos por primera vez en k
ensayos de Bernoulli
 

 1
k
X se obtuvo k éxitos por primera vez en 1

k
ensayos de Bernoulli
 

 2
k
X se obtuvo k éxitos por primera vez en 2

k
ensayos de Bernoulli
 
 x
X se obtuvo k éxitos en x ensayos de
Bernoulli
Se puede demostrar que
  k
x
k
q
p
k
x
x
X
P 












1
1
,
,
2
,
1
, 

 k
k
k
x
Cuando 1

k ; se tiene
 
1
0
1 







 


x
q
p
x
x
X
P
,
,
3
,
2
,
1

x
1


x
q
p ,
,
3
,
2
,
1

x

42. 42
El cual es una distribución geométrica con parámetro p ;
es decir en este caso particular )
(
~ p
g
X
Ejemplo 25.- Supongamos que tenemos una moneda
imperfecta; tal que   4
1

c
P ,   4
3

s
P .
Si convenimos en denominar “éxito” si se obtiene cara, y
si lanzamos dicha moneda repetidamente hasta obtener
k=3 caras por primera vez y definimos la variable
aleatoria
X : v. a. denota el número de ensayos hasta obtener 3
caras (3 éxitos) por primera vez.
Hallar    ,
4
,
3
, 
 X
P
X
P
RX
Solución.-
 
,
5
;
4
;
3

X
R
   
      )
/
,
,
3 e
P
e
P
e
P
e
e
e
P
X
P 


   
3
3
3
4
3
4
1
4
1
4
1
4
1















3
3
3
4
3
4
1
1
3
1
3 























       
 
e
e
e
f
ó
e
e
f
e
ó
e
f
e
e
P
X
P ,
,
,
,
,
,
,
,
,
4 

           1
3
1
3
1
3
4
3
4
1
4
3
4
1
4
3
4
1 


   1
3
4
3
4
1
3

    3
4
3
4
3
4
1
1
3
1
4 












43. 43
      2
3
3
5
.
3
)
4
/
3
(
)
4
/
1
(
6
4
3
4
1
1
3
1
5
5 













X
P
      3
3
3
6
3
)
4
/
3
(
)
4
/
1
(
10
4
3
4
1
1
3
1
6
6 













X
P
En general
      ..
;.........
5
;
4
;
3
;
4
3
4
1
1
3
1 3
3














x
x
x
X
P
x
DEFINICIÓN.- (DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA)
Se dice que la variable aleatoria X se distribuye como
una binomial negativa con parámetros k y p
si su función
de probabilidad es dada por
  k
x
k
q
p
k
x
x
p 











1
1 ,
1
, 
 k
k
x
Los parámetros son k un entero positivo y p tal que
1
0 
 p
X : cuenta el número de ensayos necesarios hasta
obtener k “éxitos” por primera vez.
Observación.-
En el modelo binomial negativo; el suceso
 
 x
X ocurre si:

44. 44
En el último ensayo x ocurre un “éxito” e ; en los
anteriores )
1
( 
x ensayos; deben ocurrir e
k 
 )
1
( y
f
k
x 


 )
1
)
1
(
( .
Por ejemplo supongamos que ]
7
[ 
 x
X ; éxitos
k ;
3
 ; en
este caso debe ocurrir:
e
f
f
f
f
e
e ;
7

x ; en el ensayo número 7 debe ocurrir un e ; en los los
anteriores 6
1
7
1 



x ensayos deben ocurrir
"
"
2
1
3
1 e
k 


 y "
"
4
1
2
7
1
)
1
3
(
7
)
1
)
1
(
( f
k
x 









 .
Luego en los 6
1
7
1 



x primeros ensayos se deben
permutar
"
"
2
1
3
1 e
k 


 y "
"
4
1
2
7
1
)
1
3
(
7
)
1
)
1
(
( f
k
x 









 ; esto
se puede hacer de































2
6
1
1
)!
1
)
1
(
(
)!
1
(
)!
1
(
)
(
1
1
)
1
(
;
1
.
k
x
k
x
k
x
PR
x
k
x
k
Ejemplo 26.- Supongamos que cada día que una
persona sale de su casa tiene una probabilidad de 1000
1
de sufrir algún tipo percance, y suponga también que la
persona empieza a preocuparse al acumular 3 percances
por primera vez; la persona cree que está en racha de

45. 45
mala suerte. Sea X el número de veces que sale de su
casa hasta tener el tercer percance por primera vez.
Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria
X .
Solución.-
Definimos la variable aleatoria X :
Número de dias que se sale de la casa hasta que
la persona empieza a preocuparse (tercer
percance) por primera vez.
 
,
6
,
5
,
4
,
3

X
R
1000
1

p
1000
999

q ,
3

k
      3
3
1000
999
1000
1
1
3
1 











x
x
x
p
,
,
5
,
4
,
3

x
NOTACIÓN.-  
p
k
bn
X ,
~ : La variable aleatoria X se
distribuye como una binomial negativa con parámetros k
y
p 
  k
x
k
q
p
k
x
x
p 











1
1 ,
1
, 
 k
k
x
.
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
NEGATIVA
1)
 
p
k
x
E 



46. 46
  2
2
p
q
k
x
Var 


2
p
q
k


2)
 
 
































































1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
i
k
x
i
k
x
p
k
x
k
q
p
k
k
q
p
k
k
k
x
k
q
p
k
k
k
x
x
F
i
k
k
x
k
k
k
k
k
Ejemplo 27.- Calcular  
X
E ,  
X
Var de ejemplo anterior e
interpretar  
X
E .
Solución.-
  3000
1000
1
3




p
k
X
E

; días ,
 
 
 
2997000
1000
1
1000
999
3
2
2
2




p
kq
X
Var

(días)2
1845
,
1731
2997000 

 días.
7) DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
EXPERIMENTO HIPERGEOMÉTRICO.-

47. 47
a) Consideremos una población finita de N elementos,
clasificados en dos clases mutuamente excluyentes .
Una con K elementos  
N
K  y la otra con K
N 
elementos.
b) Sea el siguiente experimento aleatorio “extraer una
muestra aleatoria de tamaño n sin reemplazamiento de
esta población finita de N elementos.
c) Cada extracción tiene solo dos resultados posibles;
que pertenezca a la subpoblación de tamaño K o a la
subpoblación de tamaño N-K.
Es decir un elemento extraído de la muestra sin
reemplazamiento puede estar en la población de
tamaño K ó en la población de tamaño  
K
N  .
d) Definimos la variable aleatoria X como el número de
elementos en la muestra de tamaño n (sin
reemplazamiento) que pertenecen a la subpoblación
de tamaño K .
Bajo estas condiciones:
 
n
RX ,
,
2
,
1
,
0

  n
x
n
N
x
n
K
N
x
K
x
X
P ,...,
1
,
0
; 





























48. 48
Ejemplo 28.- Sea un lote de 10

N elementos, de los
cuales 4

K son de primera calidad y 6
4
10 


 K
N son
de regular calidad.

49. 49
Se extrae una muestra aleatoria de tamaño 3

n (sin
reemplazamiento).Hallar su función de probabilidad-
Solución.-
Luego 3
;
6
;
4
;
10 



 n
K
N
K
N
Sea X : variable aleatoria definida como número de
artículos de la muestra de tamaño 3

n que es extraída
sin reemplazamiento y que son de primera calidad que
son de primera calidad.
Entonces    
n
RX ,
,
2
,
1
,
0
3
,
2
,
1
,
0 
 4
3 

 K
n
3
;
2
;
1
;
0
;
3
10
3
6
4
)
( 


























 x
x
x
x
X
P
DEFINICION.- Se dice que la variable aleatoria X se
distribuye como una hipergeométrica con parámetros
n
K
N ,
, si su función de probabilidad es dada por:
  n
x
n
N
x
n
K
N
x
K
x
X
P ;....;
2
;
1
;
0
; 




























Donde el suceso  
x
X  ocurre si y solo si en la muestra de
tamaño n contiene x elementos de la subpoblación de

50. 50
tamaño K y x
n 
elementos de la subpoblación de tamaño
K
N  .
Ejemplo 29.- Una caja contiene 5 cartas blancas y 6
cartas rojas, Se extraen 4 cartas de esta caja sin
reposición. Hallar la distribución de probabilidad de
número de cartas blancas extraídas.
¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente 3 cartas
blancas?
Solución-
11
6
5 


N , 5

K , 6
5
11 


 K
N K
n 
4

n
 


























4
11
4
6
5
x
x
x
p
4
,
3
,
2
,
1
,
0

x
 
!
7
!
4
!
11
!
2
!
3
!
5
4
11
1
6
3
5
3



































X
P
!
4
8
9
10
11
2
6
4
5






330
60

11
2


51. 51
NOTACIÓN.-
   





























n
N
x
n
K
N
x
K
x
X
P
n
K
N
H
X ,
,
~
n
K
K
x
ó
K
n
si
n
n
x




,
,
1
,
0
;
,
,
1
,
0
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN
HIPERGEOMÉTRICA.-
1) Sea N
K
p 
, N
K
p
q 


 1
1
entonces
  p
n
X
E 


  









1
2
N
n
N
q
p
n
X
Var










1
N
n
N
q
p
n

2)
    x
n
x
p
p
x
n
x
X
P











 1

aproximadamente para N grande.
En general la distribución hipergeométrica es muy
próxima a una binomial si
1
,
0

N
n
.

52. 52
Ejemplo 30.- Un lote de 20 computadoras personales
contiene 2 máquinas defectuosas. Se seleccionan al azar
tres computadoras del lote sin reemplazamiento. ¿Cuál
es la probabilidad de que dos computadoras en la
muestra de tamaño 3 tengan desperfectos?
Calcular  
X
E ,  
X
Var .
Solución.-
20

N
2

K
18

 K
N
3

n
 






















































3
20
3
18
2
x
x
n
N
x
n
K
N
x
K
x
X
P
n
x ;...,
2
,
1
,
0

  01578
,
0
1140
18
3
20
1
18
2
2
2 



























X
P
Hemos supuesto que la muestra aleatoria de tamaño 3

n
es extraída sin reemplazamiento.
10
1
20
2



N
K
p
  10
3
10
1
3 







 p
n
X
E

53. 53
     


















1
20
3
20
10
9
10
1
3
1
2
N
n
N
q
p
n
X
Var








19
17
100
27
2415
,
0
1900
459


4914
.
0


EJEMPLOS DESARROLLADOS
1) Se tiene un juego donde se lanza un dado y se gana
si sale 5 ó 6 y se pierde en caso contrario. ¿Cuál es la
probabilidad de que si se juega 10 veces se gane por lo
menos en 3 oportunidades? Hallar  
X
E ,  
X
Var .
Solución.-
Sea
 
6
5 ó
obtener
E 
,   p
E
P 


3
1
6
2
 
6
5 ó
obtener
no
F 
,   p
F
P 


 1
3
2
6
4 10

n
:
X variable aleatoria que denota el número de éxitos en
10

n lanzamientos
Es decir
        x
x
x
x
p
b
X











10
3
2
3
1
10
3
1
,
10
~
10
;
;
2
;
1
;
,
0

x
   
3
1
3 


 X
P
X
P
     
)
min
:
(
2
1
0
1
ar
ter
Ejercicio
X
P
X
P
X
P









54. 54
2) En una fábrica de zapatos la capellada, la suela y el
taco son fabricados separadamente y ensamblados para
formar una zapato.
El 5% de las capelladas, el 4% de las suelas, y el 1% de
los tacos tienen fallas. ¿Cuál es la probabilidad que en 20
pares de zapatos por lo menos un par con alguna falla?
Considere que un zapato es fallado si presenta cualquier
falla de las dadas o combinación de ellas. Cualquier tipo
de falla con probabilidad igual-
Solución.-
5% Fallados
95% No fallados
3
1
3
1
4% Fallados
96% No fallados
3
1
1% Fallados
99% No fallados
 
zapato
el
en
falla
A 

55. 55
       
01
,
0
3
1
04
,
0
3
1
05
,
0
3
1 


A
P
3
1
,
0
 30
/
29
1
;
30
1 



 p
q
p
X variable aleatoria que denota el número de pares de
zapatos con alguna falla de un lote de 20 pares.
 
30
1
,
20
~ b
X ,
      ar
ter
Ejercicio
X
P
X
P
X
P min
;
0
1
1
1
1 






3) Un experimento consiste en el lanzamiento de un
cohete, la probabilidad de éxito es 0,8, este experimento
se repite hasta obtener el 1 en lanzamiento exitoso.
a. ¿Cuál es la probabilidad que el 1er
lanzamiento exitoso
ocurra en el primer intento?
b. Si cada lanzamiento que fracasa tiene un costo de S/.
1000 y un lanzamiento exitoso cuesta solo S/. 300.
¿Cuál es el costo esperado de toda la operación?
Solución:        1
2
,
0
8
,
0
8
.
0
~



x
x
p
g
X ,
3
,
2
,
1

x
a.   8
,
0
1 

X
P
b. Sea C el costo de operación
C 1000 300
 
C
P 0,2 0,8

56. 56
      .
/
440
240
200
8
,
0
300
2
,
0
1000 S
C
E 




4) En un concurso por TV se tiene un panel con 4 aros
(o o o o) y 4 X (X X X X); el concursante elige al azar un
objeto y lo regresa al lote ¿Cuál es la probabilidad de
obtener las 4 aros por primera vez ? .Suponer extracción
es uno por uno y con reemplazamiento.
Solución.-
X X X X
X
4
4
8

2
1
)
( 
e
p
,
2
1
)
( 
 q
f
p
:
X número de ensayos necesarios hasta obtener 4 aros
por primera vez.  
,
7
,
6
,
5
,
4

X
R
X
X X
X X X

57. 57
4

X
5

X
6

X
7

X
        4
4
2
1
2
1
3
1
2
1
,
4
~








 


x
x
x
p
bn
X
,
7
,
6
,
5
,
4

x
5) Se lanza un dado repetidamente hasta
obtener 5 veces el número 1 por primera vez.
¿Cuál es la probabilidad de que se
requieran 10 lanzamientos hasta que obtenga el quinto as
(número 1)?
Solución.-
:
X Número de lanzamientos necesarios hasta obtener 5

k
veces número 1 (as).
6
1

p ; 6
5
1 
 p ;
5

k
        5
5
6
5
6
1
4
1
6
1
,
5
~








 


x
x
x
p
bn
X
,
6
,
5

x
      0065
,
0
6
5
6
1
4
9
10 5
5











X
P
6) Un lote de 10 motores eléctricos que contiene 1
motor defectuoso debe ser rechazado totalmente o bien
vendido, según el resultado del siguiente proceso:

58. 58
Se escogen al azar 2 motores y se inspeccionan. Si 1 o 2
son defectuosos, el lote es rechazado, de otro modo es
vendido.
Supóngase que cada motor vendido representa una
ganancia de S/. 300 y rechazado con pérdida de S/. 100.
¿Cuál es la ganancia esperada del fabricante, si el lote
contiene un motor defectuoso?
Supongamos que la extracción es uno por uno y sin
reemplazamiento.
Solución.-
a.
 
 
s
defectuoso
no
k
N
defectuoso
K
N
9
1
10




:
10
1


N
K
p
Probabilidad de que un motor elegido al azar
resulte defectuoso
:
X Variable aleatoria que denota el número de motores
defectuosos en la muestra de tamaño 2

n .
 
2
;
1
,
0

X
R
 


























2
10
2
9
1
x
x
x
p
2
;
1
;
0

x

59. 59
  8
,
0
90
72
2
9
10
|
2
8
9
!
8
!
2
!
10
!
7
!
2
!
9
2
10
0
2
9
0
1
0 





























x
x
p
  2
,
0
90
18
2
9
10
9
!
2
!
8
!
10
!
1
!
8
9
2
10
1
9
1
1
1 




























x
p
  0
!
2
!
8
!
10
1
9
)
0
(
2
10
1
9
2
1
2 


































p
; por definición
n
k
k
n










;
0
G: ganancia esperada del fabricante
 
300
,
100


G
R
 
1
p

 
0
p

     
300
90
72
100
90
18



G
E
90
21600
1800 


.
/
220 S

b. Supongamos que la extracción es con
reemplazamiento
10
1

p

60. 60
        X
X
x
x
p
b
X











2
10
9
10
1
2
10
1
,
2
~
2
,
1
,
0

x
    100
81
10
9
0
2


p
     100
18
10
9
10
1
2
1 

p
    100
1
10
1
2
2


p
G 100
 300
 
G
p    
100
19
2
1 p
p   
100
81
0
p
     
100
81
300
100
19
100 


G
E
 
100
24300
1900 


100
22400

224
 soles.
7) ¿ Una fábrica emplea un patrón de aceptación en los
artículos producidos antes de embarcarlos para su venta.
El plan consta de 2 etapas. Cajas con 25 artículos son
preparadas para su embarque, tomándose 3 elementos
para su revisión con reemplazamiento; si se encuentra
algún artículo defectuoso, está regresa para inspeccionar
el 100% del contenido.

61. 61
a. ¿Cuál es la probabilidad de embarcar 1 caja que
contenga 3 artículos defectuosos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de regresar una caja que
contiene sólo un artículo defectuoso?
Solución.-
a. 25
22
22
25
3
3
25


q
s
defectuoso
no
p
s
defectuoso
3

n (muestra de tamaño 3

n extraídas con
reemplazamiento)
:
X número de artículos defectuosos detectados en la
muestra de tamaño 3

n
 
3
,
2
,
1
,
0

X
R
       3
3
0
25
22
25
22
25
3
0
3
0 










X
P
b. 25
24
24
25
1
1
25


q
defectuoso
no
p
defectuoso
       
0
1
3
2
1 






 X
P
X
P
X
P
X
P
   3
0
25
24
25
1
0
3
1 









3
25
24
1 








62. 62
8) Una compañía de seguros envía cartas a posibles
clientes. La probabilidad de que una carta sea respondida
en forma positiva es 01
,
0
100
1  .
¿Cuál es la probabilidad de que 500 cartas enviadas una
por lo menos sea positiva?
Solución.-
500

n 01
,
0

p 99
,
0

q
:
X número de contestados en 500 cartas enviadas.
 
500
,
,
2
,
1
,
0

X
R
 
01
,
0
;
500
~ b
X
      x
x
x
x
p










500
99
,
0
01
,
0
500 500
,
,
2
,
1
,
0

x
   
1
1
1 


 X
P
X
p
 
0
1 

 X
P
    9934
,
0
99
,
0
01
,
0
0
500
1
500
0











Con la aproximación Poisson
 
!
x
e
x
P
x




,
2
,
1
,
0

x

63. 63
  5
01
,
0
500 

 np

  9932
,
0
!
0
5
1
0
1
)
0
(
1
)
1
( 5
0
5









 

e
e
P
X
P
X
P
9) El número de choques diarios en una esquina de la
ciudad tiene una distribución de Poisson con 1
,
0

 .
Hoy hubo uno o dos choques ¿Cuál es la probabilidad de
que haya habido dos choques?
Solución.-
;......
2
;
1
;
0
:
!
)
1
,
0
(
)
(
)
1
,
0
(
~
1
,
0




x
x
e
x
P
P
X
x
 
 
    )
2
(
)
1
(
)
2
(
2
1
1
2
2
]
2
1
[
2






















X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
X
o
X
X
P
X
o
X
X
P
 
    21
1
21
,
0
01
,
0
01
,
0
2
,
0
01
,
0
2
]
1
,
0
[
1
/
]
1
,
0
[
2
/
]
1
,
0
[
1
.
0
2
1
,
0
1
1
.
0
2





 


e
e
e
10) El promedio de llamadas a una central de taxis es de
13 llamadas / hora.
a. ¿Cuál es la probabilidad que ocurran 2 llamadas en 5
minutos?

64. 64
b. ¿Cuál es la probabilidad que ocurran 5 llamadas en 30
minutos?
Solución.-
a. x
m


5
.
60
13
:

5

x
minutos es equivalente a 12
1
60
5

hora
 
12
13
13
12
1




llamadas en 5 minutos en promedio-
 
 
!
2
12
13
2
12
13
2 


e
X
P
b.
60
13
30




2
13
60
390





 
 
!
5
2
13
5
12
13
5 


e
X
P
11) Los accidentes de trabajo que se producen en una
fábrica por semana, siguen una ley de Poisson tal que la
probabilidad de que ocurran 5 accidentes es 15
16
de la
probabilidad de que ocurran 2 accidentes.

65. 65
Calcular:
a. El parámetro Poisson
b. La probabilidad de que no ocurran accidentes en 4
semanas.
Solución.-
a.  

p
X ~
   
2
15
16
5 

 X
P
X
P
!
2
15
16
!
5
2
5 


 


e
e
30
16
!
5
3









30
16
120
3

30
1920

64
3


4


b.
    4
4
0
!
0
4
0




 e
e
X
P
: probabilidad de que no ocurra
ningún accidente en 1 semana
 
    16
4
4
4
0 



 e
e
x
P = probabilidad de que no ocurran
accidentes en 4 semanas.

66. 66
12) Verificar que en efecto si  

p
X ~ , entonces
  
 
 X
E ,   
 
 X
Var
2
.
Solución.-
   
!
~
x
e
x
p
p
X
x 





,
2
,
1
,
0

x
   




x
R
x
x
p
x
X
E






0
!
x
x
x
e
x







1
!
x
x
x
e
x


 !
1
1





 x
x
e
x
x
x


 







1
1
!
1
x
x
x
e 


 
1
;
!
1
1
1



 




x
y
x
e
x
x 







0
!
y
y
y
e 



 
  




0
2
2
!
x
x
x
e
x
x
E

   x
x
x
x 

 1
2

67. 67
 
 







1
!
1
x
x
x
e
x
x
x


   
  !
1
1
1
!
1





x
x
x
x
x
x
x
x
 
 









1 1
!
!
1
x x
x
x
x
e
x
x
e
x
x




 









2
2
!
2
x
x
x
e
x




Luego  2
2
2



 




13) Demostrar que en efecto si
 
p
g
X ~
, entonces p
1


,
2
2
)
(
p
q
X
Var 


; donde
;......
3
;
2
;
1
)
( 1

 
x
p
q
x
P x
Solución.-
1
0
;
1
1
.......
1 1
3
2
0









 


 r
r
r
r
r
r
r n
x
x
1
0
;
1
......
.
1
2
1









 


 r
r
r
r
r
r
r
r n
n
x
x
Derivando la primera fórmula con respecto de r en la
última igualdad con respecto a r
2
2
3
2
)
1
(
1
)]
1
(
)
1
)(
1
[(
....]
.
4
.
3
2
1
0
[
r
r
r
r
r










 
(*)
    p
q
x
p
p
g
X
x 1
~



,
3
,
2
,
1

x

68. 68
   








1 1
1
)
(
x x
x
p
xq
x
xP
X
E

Usando (*)
p
p
p
q
p
q
q
q
p
p
q
p
q
p
q
p
q
X
E
1
)
1
(
......]
4
3
2
1
[
....
)
(
)
4
(
)
(
)
3
(
)
(
)
2
(
)
(
)
1
(
)
(
2
2
3
2
3
2
1
0

















Para hallar
2

, primero evaluamos





 2
X
E
  




1
1
2
2
i
x
p
q
x
X
E
       
 




 3
2
2
2
2
2
4
3
2
1 q
q
q
p ; multiplico y
divido por q en ambos lados de la igualdad; resulta:
       
 




 3
2
2
2
2
2
2
4
3
2
1
)
( q
q
q
q
pq
X
E
       
 




 4
2
3
2
2
2
1
2
2
4
3
2
1
)
( q
q
q
q
q
p
X
E






 

1
2
2
)
(
x
x
q
x
q
p
X
E
¿Cómo evalúo esta serie?
 
 






1
2
1
)
(
i
x
q
x
x
x
q
p
X
E
  




 







 

  
 








 1 1
1
1 1
2
)
1
(
1
)
(
x x
x
x
x x
x
x
xq
q
q
x
x
q
p
q
x
q
x
x
q
p
X
E
 
  








 

1
2
2
1
1
)
(
x
x
q
q
q
x
x
q
p
X
E
.
Considerando
    2
1
2
2
1 



 x
x
x
q
x
x
q
x
dq
d
q
q
d
d

69. 69
  







 

1
2
2
2
2
2
1
)
(
x
x
q
q
q
q
d
d
q
q
p
X
E
  







 

1
2
2
2
2
2
1
)
(
x
x
q
q
q
q
d
d
q
q
p
X
E

















 2
2
2
)
1
(
1
)
(
q
q
q
q
dq
d
q
d
d
q
q
p
X
E













 

2
1
2
2
2
)
1
(
}
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
(
{
)
(
q
q
q
q
q
q
d
d
q
q
p
X
E









 
2
2
2
2
)
1
(
}
)
1
{(
)
(
q
q
q
q
d
d
q
q
p
X
E









 2
3
2
2
)
1
(
}
)
1
(
2
{
)
(
q
q
q
q
q
p
X
E
2
2 1
)
(
p
q
X
E


;
2
2
2
2
2
2
)
1
(
1
))
(
(
)
(
)
(
p
q
p
p
q
X
E
X
E
X
Var 






