Gráficos utilizando derivadas

1. Universidad Bolivariana
Apunte de Cálculo
Regla de la Cadena
Teorema 2.10: Si es una función derivable de u y además es una función
derivable de , entonces es una función derivable de y:
O su equivalente:
Ejercicio 1: Completar la siguiente Tabla:
Ejercicio
1
2
3
4
5
6
Ejercicio 2: Encontrar la derivada de la función:
a)
b)
c)
d)
Extremos en un intervalo
Definición: Sea definida sobre un intervalo que contiene
1. es el mínimo de en si
2. es el máximo de en si
Definiciones:
Máximo relativo: Si hay intervalo abierto que contiene a c,
el cual es un máximo entonces recibe el nombre
de máximo relativo de
Mínimo relativo: Si hay intervalo abierto que contiene a c,
el cual es un máximo entonces recibe el nombre
de máximo relativo de
Punto Crítico: Sea definida en c. Si ó si no es
derivable en c, entonces c es un punto crítico de .
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Apunte de Cálculo
Teorema 3.2: Los extremos relativos ocurren sólo en puntos críticos.: Si tiene un mínimo
relativo o un máximo relativo en , entonces es un punto crítico de .
Ejemplos:
Ejercicio 1: Determinar los puntos críticos de la función:
a)
b)
c)
Ejercicio 2: Ubicar los extremos absolutos de la función en el intervalo dado
a)
b)
c)
d)
Ejercicios 3: Dibujar la gráfica de la función, luego localizar los extremos absolutos de la misma
sobre el intervalo indicado.
a)
b)
Teorema 3.3: Teorema del
Rolle: Sea continua en el
intervalo cerrado y
derivable en el intervalo
abierto si:
Entonces existe al menos un
número c en tal que
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Apunte de Cálculo
Ejemplo 1: Sea Determinar todos los valores de c en el intervalo tal que
Ejercicios: Determinar si es posible aplicar el teorema del Rolle a en el intervalo cerrado . Si
es posible aplicar el teorema del Rolle, determinar los valores de c en el intervalo abierto
tales que
a)
b)
c)
d)
Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada
Definiciones:
1. Una función es creciente sobre un intervalo abierto si para cualquiera de dos números
y en el intervalo, si < implica que
2. Una función es decreciente sobre un intervalo abierto si para cualquiera de dos números
y en el intervalo, si > implica que
Teorema 3.5 y 3.6: Criterio de la primera derivada: Sea una función continua en el intervalo
cerrado y derivable en el intervalo abierto y entonces:
1. Si para todo entonces es creciente en
2. Si para todo entonces es decreciente en
3. Si para todo entonces es constante en
4. Si cambia de negativa a positiva en c, entonces tiene un mínimo relativo en c.
5. Si cambia de positiva a negativa en c, entonces tiene un máximo relativo en c.
6. Si en ambos lados de c es negativa o positiva, entonces no es ni mínimo
relativo ni un máximo relativo.
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Apunte de Cálculo
Ejemplos:
a) Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales es creciente o
decreciente.
b) Determinar los extremos relativos de la función en el intervalo .
c) Encontrar los extremos relativos de
Ejercicios: En los siguientes ejercicios encontrar (si existen):
1) Los puntos críticos de .
2) El (los) intervalo(s) abierto(s) sobre el (los) cual(es) es (son) creciente(s) o decreciente(s).
3) Aplicar el criterio de la primera derivada para identificar los extremos relativos.
a)
b)
c)
Concavidad y criterio de la segunda derivada
Definición: Sea derivable en un intervalo abierto . La gráfica de es cóncava hacia arriba sobre
si es creciente en el intervalo y cóncava hacia abajo en si es decreciente en el intervalo.
Teorema 3.7: Criterio de la concavidad: Sea una función cuya segunda derivada existe en un
intervalo abierto .
1. Si para todo x en ,
entonces la gráfica de es
cóncava hacia arriba en
2. Si para todo x en ,
entonces la gráfica de es
cóncava hacia abajo en
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Apunte de Cálculo
Ejemplo 2: Determinar los intervalos sobre los cuales la gráfica de es cóncava hacia
arriba o hacia abajo.
Definición: Puntos de inflexión: Sea una función que es continua en un intervalo abierto y sea c
un punto en ese intervalo. Si la gráfica de tiene una recta tangente en ese punto ,
entonces este punto es un punto de inflexión de la gráfica de si la concavidad de cambia de
cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o viceversa) en ese punto.
Teorema 3.8: Punto de Inflexión: Si es un punto de inflexión de la gráfica de , entonces
ó no existe.
Ejemplo: Determinar los puntos de inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de
.
Teorema 3.9: Criterio de la segunda derivada: Sea una función tal que y la segunda
derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c.
1. Si , entonces tiene un mínimo relativo en .
2. Si , entonces tiene un máximo relativo en .
Ejemplo: Encontrar los extremos relativos correspondientes a
Ejercicio 1: Encontrar los puntos de inflexión y analizar los puntos de inflexión y analizar la
concavidad de la gráfica de la función dada:
a)
b)
Ejercicio 2: Encontrar todos los extremos relativos. Utilizar el criterio de la segunda derivada
donde sea conveniente.
a)
b)
c)
Límites al infinito
Definición: Sea L un número real.
1. El enunciado significa que
para cada existe un tal que
siempre que
2. El enunciado significa que
para cada existe un tal que
siempre que
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Apunte de Cálculo
Definición: asíntota horizontal: La recta es una asíntota horizontal de la gráfica de si
ó
Teorema 3.10: Límites al infinito: Si es un número real positivo y es cualquier número real,
entonces:
Ejemplos: Encontrar el límite:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Ejercicios:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
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Apunte de Cálculo
Ejercicios: Dibujo de la gráfica de la función
Solución:
 Primera Derivada:
 Segunda Derivada:
 Intersecciones con eje x:
 Intersecciones con eje y:
 Asíntotas verticales:
Sean con
Debemos encontrar los valores en que se indetermina , es decir:
Y en donde
Entonces verificamos límites laterales:
Para x = 2
Para x = -2
Por lo tanto las rectas x = -2 y x = 2 son asíntotas verticales de la gráfica de .
 Asíntotas horizontales:
Por otro lado, de la misma forma:
Por lo tanto la recta y = 2 es asíntota vertical de la gráfica de .
 Puntos de inflexión: Ninguno.
 Dominio:
 Recorrido:
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Apunte de Cálculo
Ahora debemos resolver la inecuación ;
Buscamos los puntos de cambio de signo, estos son:
Completamos la tabla:
Funciones- Intervalos
Negativo Negativo Positivo
Negativo Positivo Positivo
Conclusión: Positivo Negativo Positivo
Solución:
 Puntos críticos: Donde , es decir:
Por lo tanto: es un mínimo relativo de .
 Simetría (opcional): Recordar que:
1. si entonces la gráfica de es
simétrica con respecto al eje y.
2. si entonces la gráfica de
es simétrica con respecto al origen.
Así:
Por lo tanto: la gráfica de es simétrica con respecto al eje
y.
En resumen:
Característica de la gráfica
Decreciente, cóncava hacia abajo
Indef. Indef. Indef. Asíntota vertical
Decreciente, cóncava hacia arriba
Mínimo relativo
Creciente, cóncava hacia arriba
Indef. Indef. Indef. Asíntota vertical
Creciente, cóncava hacia abajo
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Apunte de Cálculo
Ejercicios Graficar:
1. Observación: Asíntota oblicua si el grado del numerador excede en 1 al
del denominador.
2.
3.
4.
5.
Soluciones:
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