Este documento explica las aplicaciones fundamentales de la derivada, incluyendo calcular la pendiente de la tangente, estudiar la monotonía y curvatura de funciones, encontrar puntos de inflexión, máximos y mínimos, y resolver problemas de optimización. También cubre conceptos como la tasa de variación instantánea y los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy, los cuales son herramientas importantes para aplicar la derivada.

1. LA APLICACIÓN DE LA
DERIVADA
Andrea valentina
nava
29886250
Sección C
Extensión: Mérida

2. Introducción
La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía
el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable
independiente. ... Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un
punto dado
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos
casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de
una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los
estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y
la Sociología.

3. Aplicación de la derivada
Las derivadas tienen muchas aplicaciones en el análisis de funciones.
En primer lugar, ofrece la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
una función en un punto.
Las más importantes aplicaciones de las derivadas:
Monotonía de una función
Estudiar la monotonía, es decir el crecimiento o el decrecimiento de una función en
un intervalo.

4. Para hallar los intervalos de monotonía de una función se realizará el siguiente
procedimiento:
1. Derivar la función, obteniendo f’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos
la derivada sea f’(x) = 0.
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.
Curvatura de una función
La derivada permite estudiar la concavidad o convexidad. La primera derivada nos
permite estudiar la curvatura (concavidad o convexidad) de una función.
La segunda derivada determina la curvatura.

5. En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras
que una función convexa a un valle.
La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión.
Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia
de curvatura, donde cambia de cóncavo a convexo o viceversa.
En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función. Si además la
primera derivada es nula, f’(a) = 0, es un punto de inflexión de tangente horizontal.

6. Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es
condición necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho punto
(f’’(a) = 0).
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no
haber punto de inflexión en a. Pero, por el contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos
afirmar que no hay un punto de inflexión en f(a).
Este sería el caso de la función f(x) = 2x4
. En ella, la segunda derivada f’’(x) = 24x2
.
Para x = 0, f’’(0) = 0 y, sin embargo, el punto (0, f(0)), es decir, el punto (0, 0) no es
un punto de inflexión, tal y como se ve en esta imagen y se desarrollará en el
ejercicio 2:
Tenemos dos criterios para averiguar si un punto x = a de una función, en donde se
verifique que f’’(a) = 0, se trata de un punto de inflexión:
1. Criterio de la segunda derivada
2. Criterio de la tercera derivada (o sucesivas)
Máximos y mínimos
Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse mediante la derivada.
Si la función está definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él, para que haya
un punto extremo local (máximo o mínimo) c del intervalo), la derivada primera
en c debe ser nula, f’(c) = 0.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo podemos saber si ese punto
es un extremo local y si este extremo es un máximo o un mínimo?:

7. Y es que puede ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de inflexión de
tangente horizontal. Los puntos en que se anula la primera derivada se
denominan puntos críticos.
Derivada de una función
La derivada de la función f en el punto se define como sigue:
Si este límite existe, de lo contrario, la derivada, no está definida. Esta última
expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo
uniformemente acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada
como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el
cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones
de acuerdo a su composición sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales
reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de teoremas
anteriores de límites.
Criterio de la derivada primera
El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno
inmediato de c la primera derivada pasa de signo positivo a negativo.
El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno
inmediato de c la primera derivada pasa de signo negativo a positivo.
El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se cumple
que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada no cambia de signo.
El criterio de la derivada primera lo vemos resumido en este cuadro:

8. Criterio de la segunda derivada
El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en
él es nula y su segunda derivada es negativa.
El punto (c, f(c) es un mínimo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en
él es nula y su segunda derivada es positiva.
El criterio de la derivada segunda lo vemos resumido en este cuadro:
Regla de l’Hôpital
La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que
den indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o
términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del
tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites
indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos
anteriores. La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer
bien la técnica de la derivación>.
Aplicación de la regla de L’Hôpital
Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el punto a toman
los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:
Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el denominador.
Es una indeterminación del tipo 0/0.
Entonces se verifica que:

9. Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto del
intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no excluye que pudiera existir
el límite de f/g).
El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de
ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞.
La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites laterales y
a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se
puede hacer la transformación:
En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo 1∞, 00; o ∞0,
mediante transformaciones basadas en las propiedades de los límites y de los
logaritmos, llegar a una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le
podría aplicar la regla de L’Hôpital.
Tasa de variación
Estudiar las tasas de variación.
La tasa de variación media se corresponde con la pendiente de la recta que une los
puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α.
La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto de abscisa a es el límite del
valor de la tasa de variación media cuando el incremento de x tiende a cero.
La T.V.I es la derivada de la función en ese punto:
Teoremas de las derivadas
Los Teoremas de Rolle, Teorema del Valor Medio y Teorema de Cauchy.
Teorema de Rolle

10. El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en
un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de
la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto
del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.
El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho, el
teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla
que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.
Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)
El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si
una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto
perteneciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se
cumple que:
El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto que
no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

11. Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en
el intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un
punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:
El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.
El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor
Medio.
Optimización
Resolver problemas de optimización.
La optimización se consigue con derivadas. Hallando el máximo o mínimo de una
función determinada que recoja el objetivo a optimizar, se averigua el valor o valores
de las variables que hay que ajustar.

13. Conclusiones
Para concluir las derivadas son muy importantes hoy día, no es posible entender el
mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de los cálculos
científicos y en casi todo lo que nos rodea. A lo largo de los siglos, otros matemáticos
y científicos han aportado muchísimos estudios para mejorar y hacer más exactos
los cálculos.
Aunque no es un elemento tangible, su valor radica en que, desde el punto de vista
científico, se aplica a numerosas investigaciones importantísimas y de las que
sus aplicaciones revierten en la propia sociedad. Así, las derivadas son esenciales
para estudios tan importantes como el de la relatividad, la mecánica cuántica, la
ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades, sistemas
dinámicos, teoría de las funciones, etc. Actualmente también son necesarios en la
computación

14. Bibliografía
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/aplicaciones-derivadas/
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://www.importancia.org/derivadas.php