Este documento presenta las aplicaciones fundamentales de las derivadas en matemáticas. Explica conceptos como la monotonía, curvatura y puntos de inflexión de funciones, así como cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos. También cubre la regla de L'Hôpital, tasas de variación, teoremas como los de Rolle y Cauchy, y aplicaciones como la optimización y representación gráfica de funciones. Concluye que las derivadas tienen muchas aplicaciones prácticas en ingeniería, física y economía, más allá de

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Extensión San Cristóbal
Aplicación de derivadas
Autor: Dana García
C.I: 30.398.086
Carrera: Diseño Grafico
San Cristóbal, febrero del 2022.

2. Índice
 Introducción
 Definición
 Monotonía de una función
 Curvatura de una función
 Puntos de inflexión
 Máximos y mínimos
 Criterio de la derivada primera
 Criterio de la segunda derivada
 Regla L’Hopital
 Aplicación de la regla L’Hopital
 Tasa de variación
 Teoremas de las derivadas
 Optimización
 Otras aplicaciones
 Conclusión
 Bibliografía

3. Introducción
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el
cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente.
Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello
contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones
prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

4. En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón
de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se
modifique el valor de su variable independiente. ... Por eso se habla del valor de
la derivada de una función en un punto dado. En cálculo diferencial y análisis matemático,
la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de
dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente.
La derivada te permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con respecto a otra.
... Matemáticamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta
tangente a dicha recta en dicho punto. Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una
variable con respecto a otra. El concepto se derivada se aplica en los casos donde es
necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. ... Por tanto,
la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de
dicha función y para el valor concreto de la variable. La derivada permite estudiar existencia
de los puntos de inflexión. Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio
en donde cambia de curvatura, donde cambia de concavo a convexo o viceversa. En un punto
de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función.
Las derivadas tienen muchas aplicaciones en el análisis de funciones. En primer
lugar, ofrece la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un
punto.
Pero tienen muchas más utilidades.

5. Esta lista, siguiendo el enlace, nos lleva a las más importantes aplicaciones de las
derivadas:
Monotonía de una función
Estudiar la monotonía, es decir el crecimiento o el decrecimiento de
una función en un intervalo.

6. Para hallar los intervalos de monotonía de una función se realizará el siguiente
procedimiento:
1. Derivar la función, obteniendo f’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en ellos
la derivada sea f’(x) = 0.
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo.
Curvatura de una función
La derivada permite estudiar la concavidad o convexidad. La primera
derivada nos permite estudiar la curvatura (concavidad o convexidad) de
una función. La segunda derivada determina la curvatura.
En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras
que una función convexa a un valle.

7. (Hay autores que adoptan el criterio contrario, llamando cóncava a la forma de
valle y convexa a la forma de montaña).
Puntos de inflexion
La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión. Un punto de
inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia de curvatura,
donde cambia de concavo a convexo o viceversa. En un punto de inflexión, la tangente
atraviesa la gráfica de la función. Si además la primera derivada es nula, f’(a) = 0, es
un punto de inflexión de tangente horizontal.
Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es
condición necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho punto
(f’’(a) = 0).
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no
haber punto de inflexión en a. Pero, por el contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos
afirmar que no hay un punto de inflexión en f(a).

8. Este sería el caso de la función f(x) = 2x4
. En ella, la segunda
derivada f’’(x) = 24x2
. Para x = 0, f’’(0) = 0 y, sin embargo, el punto (0, f(0)), es decir,
el punto (0, 0) no es un punto de inflexión, tal y como se ve en esta imagen y se
desarrollará en el ejercicio 2:
Tenemos dos criterios para averiguar si un punto x = a de una función, en donde
se verifique que f’’(a) = 0, se trata de un punto de inflexión:
1. Criterio de la segunda derivada
2. Criterio de la tercera derivada (o sucesivas)
Máximos y mínimos
Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse mediante la derivada.
Si la función está definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él, para que haya un
punto extremo local (máximo o mínimo) c del intervalo), la derivada primera
en c debe ser nula, f’(c) = 0. Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo
podemos saber si ese punto es un extremo local y si este extremo es un máximo o un
mínimo?: Y es que puede ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de inflexión de
tangente horizontal. Los puntos en que se anula la primera derivada se
denominan puntos críticos.

9. Criterio de la derivada primera
El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el
entorno inmediato de c la primera derivada pasa de signo positivo a negativo. El
punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno
inmediato de c la primera derivada pasa de signo negativo a positivo. El
punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal de f(x) si se cumple
que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada no cambia de signo.
El criterio de la derivada primera lo vemos resumido en este cuadro:
Criterio de la segunda derivada
El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la
primera derivada en él es nula y su segunda derivada es negativa. El punto (c, f(c) es
un mínimo local de f(x) si se cumple que la primera derivada en él es nula y
su segunda derivada es positiva. El criterio de la derivada segunda lo vemos resumido
en este cuadro:

10. Regla de l’Hôpital
La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que
den indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o
términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del
tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites
indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores.
La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la técnica
de la derivación>.
Aplicación de la regla de L’Hôpital
Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el
punto a toman los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:
Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el
denominador.
Es una indeterminación del tipo 0/0.
Entonces se verifica que:
Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto del
intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no excluye que pudiera existir
el límite de f/g).

11. El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de
ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞.
La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites laterales y
a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se puede
hacer la transformación:
En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo 1∞
, 00;
o ∞0
,
mediante transformaciones basadas en las propiedades de los límites y de los
logaritmos, llegar a una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le
podría aplicar la regla de L’Hôpital.
Tasa de variación
Estudiar las tasas de variación. La tasa de variación media se corresponde con
la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es
decir, la tangente del ángulo α. La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto
de abscisa a es el límite del valor de la tasa de variación media cuando el incremento
de x tiende a cero. La T.V.I es la derivada de la función en ese punto:
Teoremas de las derivadas
Los Teoremas de Rolle, Teorema del Valor Medio y Teorema de Cauchy.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en
un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de

12. la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un punto
del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0.
El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de Lagrange. De hecho,
el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla
que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor.
Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)
El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia que si
una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto
pertenenciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se
cumple que:
El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto
que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.

13. Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy establece que dadas
dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b).
Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre
que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:
El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.
El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor
Medio.
Optimización
Resolver problemas de optimización La optimización se consigue con derivadas.
Hallando el máximo o mínimo de una función determinada que recoja el objetivo a
optimizar, se averigua el valor o valores de las variables que hay que ajustar.

14. Otras aplicaciones
Y otras aplicaciones, como facilitar la representación gráfica de funciones o
hallar aproximadamente los valores de una función mediante la diferencial.
La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido
esa función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez
de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva
en a.

15. Conclusión
En conclusión, la determinación de las derivadas no está limitada solamente a un
punto de vista teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender distintos temas
de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las derivadas en
ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e
incluso en los negocios y la economía, etc.
Bibliografía
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/aplicaciones-derivadas/