Pensamiento Geométrico

Primera tutoría virtual.
Tema 1. Pensamiento Geométrico.
Johanna Mena González
Priscilla Calderón Jiménez
Cátedra Didáctica de la Matemática, UNED

Agenda
• Reflexión inicial sobre la didáctica de la geometría
• Objetos geométricos y tipos de tareas en geometría
• Nivel de complejidad de un problema o tarea matemática.
• Próximos trabajos.
• Evaluación de la tutoría.

Dibuje los siguientes objetos geométricos
• Un triángulo
• Un rectángulo
• Un hexágono

Para reflexionar….
• ¿La geometría se debe enseñar de la misma manera que las
otras áreas matemáticas ?
• ¿Para qué enseñar y aprender geomería?

Objetos geométricos (estáticos o en movimiento)
Concretos
• Formas Planas, formas 2D, cuerpos o formas 3D
Conceptuales
• Figuras unidimensionales, 2D, 3D, 4D, …
Abstractos
• Entes abstractos/métricas/operadores

¿Qué es un problema?
Un problema debe poseer suficiente complejidad para provocar una
acción cognitiva no simple. Si se trata esencialmente de acciones
rutinarias, no se conceptuarán como problemas. Se puede poner en
los siguientes términos: una tarea matemática constituye un problema
si para resolverla el sujeto debe usar información de una manera
novedosa (MEP, 2012)

Tarea matemática
• Una tarea matemática es entendida como todo ejercicio, pregunta o
problema que puede ser expresada de manera oral o escrita,
realizada en un tiempo limitado en un contexto dado (Chevallard,
2009; Nechache, 2017; Pizarro, 2018; Sierpinska, 2004)

CONTEXTO (situación matemática/real o que se perciba
como real).
Tarea
matemática
PROCESO DE SOLUCIÓN (De acuerdo con el nivel de
conocimientos y del manejo de habilidades del estudiante).
ACTIVIDAD 1. Pregunta o cuestionamiento que se debe
realizar . Este implica: calcular, definir, conjeturar,
representar o demostrar.

Cátedra Didáctica de la Matemática
Elementos a incluir en el diseño de una tarea
Enunciado Procedimiento
solución
Indicaciones
para los
estudiantes
Previsiones
para el
docente

CONTEXTO (situación matemática/real o que se perciba
como real).
Tarea
matemática
PROCESO DE SOLUCIÓN (De acuerdo con el nivel de
conocimientos y del manejo de habilidades del estudiante).
Previsiones
para la etapa
de monitoreo

Previsiones para el monitoreo
• El propósito de enseñanza para el cual se propone la tarea (habilidades
generales y específicas).
• Los objetos matemáticos involucrados en la resolución de la tarea y su relación
con los conocimientos previos.
• Los materiales o recursos didácticos.
• Los procesos matemáticos que se activan con el desarrollo de la tarea.
• Los momentos en que se puede intervenir para apoyar al estudiantado. Se debe
prever los momentos y preguntas que se realizarán. Las ocasiones claves donde
se debe intervenir.
• Preguntas que se deben preparar para redirigir la atención en un determinado
momento. Aspectos que es relevante para la tarea.
• Criterios de evaluación para la tarea.
• La dinámica del trabajo. Se realizará individual o en agrupamientos de qué tipo.
Tiempos en que se deben ejecutar la tarea

Diseño de
tareas en
geometría
Tareas de conceptualización
Tareas de investigación
Tareas de demostración

Tareas de conceptualización
• Como su nombre lo indica, las tareas de conceptualización se refieren
a la construcción de conceptos y de relaciones geométricas. Es
importante aclarar que no se trata de definir objetos geométricos
sino de conceptualizarlos.

Actividad 1. Adivina el objeto geométrico.

Palabra
clave:
Cuadrado
PALABRAS TABÚ.
- FIGURA
- LADO
- CUATRO
- CONGRUENTE

Palabras
clave:
Cara de un
prisma
PALABRAS TABÚ.
- POLIEDRO
- PLANO
- CARA
- CUERPO GEOMÉTRICO

Palabras
clave:
Criterio de
congruencia
PALABRAS TABÚ.
- CRITERIO
- ÁNGULOS
- TRES
- TRIÁNGULOS

Actividad 2. Descubre la figura

Actividad 3. Rompecabezas "Zukei"
• En cada cuadrícula
construya la figura
geométrica que se
solicita. Los vértices
deben ser alguno de
los puntos marcados
en la cuadrícula.
Cuadrado

Rectángulo Triángulo isósceles

Tareas de investigación
• Son aquellas en las que el estudiantado indaga acerca de las
características, propiedades y relaciones entre objetos geométricos
con el propósito de dotarlas de significados. Probablemente es en
este tipo de tareas donde se aprecia de mejor manera el enfoque de
resolución de problemas en la enseñanza de la Geometría
Cátedra Didáctica de la Matemática

Actividad 4. Descubriendo el paralelogramo
Dado un cuadrilátero ABCD, sea EFGH el cuadrilátero formado al unir
consecutivamente los puntos medios de los lados de ABCD. ¿Qué tipo
de cuadrilátero es EFGH? ¿Cuándo es EFGH un cuadrado? ¿Y un
rombo?
Enlace a GeoGebra https://www.geogebra.org/m/dcygyrpz

Actividad 5. Doblar y cortar2
Teorema de doblar y cortar.
• Cualquier dibujo compuesto de segmentos rectos en una hoja de
papel puede ser doblado plano de modo que un corte recto que lo
atraviese completamente corte todos los segmentos del dibujo y
nada más.
2 Demaine, Erik. Demaine, Martin. Lubiw, Anna Folding and Cutting Paper, en “Revised Papers from the Japan Conference on Discrete and Computational Geometry (JCDCG’98)”, Lecture
Notes in Computer Science, volume 1763, Tokyo, Japan, December 9–12, 1998, páginas 104–117.

A recortar…
• Exploremos algunas
propiedades básicas de la
geometría plana a través
del desafío de doblar y
cortar: dada una figura
plana dibujada en una hoja
de papel, ¿Cómo se puede
recortar la figura del papel
con un solo corte recto?
- Triángulo
- Cuadrado

Tareas de demostración
• Las actividades de demostración tienden a desarrollar la capacidad
para elaborar conjeturas o procedimientos de resolución de un
problema que después tendrán que explicar, probar o demostrar a
partir de argumentos que puedan convencer a otros de su veracidad.

Actividad 6. Doblado de papel
Teorema de la suma de los ángulos internos de un triángulo

Actividad 8. Geoplano
• Teorema de Pick
En un polígono simple cuyos vértices tengan
coordenadas enteras, es decir, cuyos vértices estén
sobre los nodos de una superficie cuadriculada; si
llamamos “B” al número de nodos en el borde del
polígono, e “I” al número de nodos en el interior
del polígono, su área está dada por:
𝐴 = 𝐼 +
𝐵
2
− 1

• https://apps.mathlearningcenter.org/
geoboard/

Nivel de complejidad (problemas o tareas matemáticas)
Reproducción
(inicial)
Conexión
(intermedio)
Reflexión
(avanzado)

Razonar y
Argumentar
Plantear y
Resolver
problemas
Conectar
Comunicar
Representar
Nivel de
complejidad
de un
problema
Nivel de complejidad

Relación entre grados de procesos y niveles de complejidad de problemas
Con base en los textos del programa de estudios, es posible sistematizar algunos indicadores para consignar el
nivel de complejidad de un problema.
Nivel A: Reproducción Nivel B: Conexión Nivel C: Reflexión
1. Reconocer objetos o métodos
matemáticos equivalentes.
2. Identificar objetos matemáticos o
propiedades matemáticas sencillas
dentro de una situación familiar
dada.
3. Realizar procedimientos rutinarios
y aplicar algoritmos estándar, en
ambientes familiares al estudiante.
4. Identificar y escribir de manera
sencilla aunque coherente
matemáticamente, expresiones
que poseen símbolos, fórmulas y
cómputos no complicados.
1. Interpretar una situación
matemática con exigencia
mayor que en el grupo de
reproducción.
2. Resolver problemas que no
son rutinarios pero se
desarrollan en ambientes
familiares al estudiante.
3. Conectar distintas
representaciones de una
situación (algebraicas,
numéricas, gráficas, etc.).
4. Conectar elementos
matemáticos dentro de un
área o que relacionan dos o
más áreas matemáticas.
1. Plantear y resolver problemas
complejos.
2. Argumentar, justificar, y
generalizar la resolución de
problemas complejos.
3. Comprobar si los resultados
obtenidos corresponden a las
condiciones de partida del
problema.
4. Comunicar los resultados de la
aplicación de estrategias con
lenguaje matemático y precisión
matemática.
5. Conectar elementos matemáticos
de dos o más asignaturas.

Reproducción
Calcula el área del triángulo equilátero verde del dibujo siguiente:
Solución.
El lado del triángulo pequeño mide 2 cm
ℎ2
+ (1)2
= (2)2
ℎ2
= 4 − 1
ℎ = 3

Área del triángulo.
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
𝐴 =
2 ∙ 3
2
𝐴 = 3
Razonar y argumentar
Plantear y resolver problemas
Conectar
Comunicar
Representar

Conexión
• Queremos poner un terrazo con
forma hexagonal en el suelo de una
habitación que mide 5,5 m de largo
por 4,3 m de ancho. Cada baldosa
hexagonal mide 20 cm de lado y
cuesta 2400 colones. ¿Cuánto
costará poner el suelo de terrazo si
el albañil cobra 120 000 colones y
entre arena y cemento se gastan 56
000 colones ?
Se supone que, al cortar las baldosas,
estas se aprovechan íntegramente

Cálculo de la apotema
𝑎2 + (10)2= (20)2
𝑎2
= 400 − 100
𝑎 = 300
𝑎 ≈ 17,32cm
Área de cada baldosa hexagonal
𝐴 =
𝑝 ∙ 𝑎
2
𝐴 =
120 ∙ 300
2
𝐴 = 1039,2 cm2

Conectar
Comunicar
Representar
Área de la habitación
5,5 ∙ 4,3 = 23,65m2
Número de baldosas
236500 ÷ 1039,2 = 228
Costo de la obra
228 ∙ 2400 + 120 000 + 56000 = 723 200

Reflexión
En una pequeña finca, tres hermanos
construyen sus casas. La casa de Ana se
encuentra a 100 metros al Este y 100
metros al Norte de la de Luis; la casa de
Roberto está a 120 metros al Norte de la
de Luis. Ellos quieren construir un pozo
que sirva a los tres, de modo que esté a
la misma distancia de cada una de las
tres casas, ¿dónde se debe construir el
pozo?

Conectar
Comunicar
Representar

Próximos trabajos
• Segunda fase del trabajo colaborativo (10 de julio).
• Entrega de la coevaluación (14 de julio).
• Proyecto 1 (17 de julio)

Evaluación de la tutoría
• https://forms.office.com/Pages/ResponsePage.aspx?id=rfAkTHVHKkS
06JseUdfVZpOwOhsgQwRNl59Cg3MXmpFUQTJTVDdJUDNUWFFCSkt
MSklXNUU2SlBLRC4u

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