FUNCIONES.pptx

Una función f es una relación entre
un conjunto dado X (el dominio) y
otro conjunto de elementos Y (el
codominio) de forma que a cada
elemento del dominio le
corresponde un único elemento
del codominio f(x).

Se dice que y es función de x cuando a cada valor de la
variable x corresponden uno o varios valores
determinados de la variable y
x y=3x+2
-3 3(-3)+2= -9+2 =-7
-2 3(-2)+2 = -6+2 =-4
-1 3(-1)+2 = -3+2 =-1
0 3(0)+2 = 0+2 =2
1 3(1)+2 = 3+2 =5
2 3(2)+2 = 6+2 =8
3 3(3)+2 = 9+2 =11
Dominio: El intervalo de valores que puede tomar la
variable independiente (x)
Rango: El intervalo de valores que se puede tomar la
variable dependiente (y)
https://www.geogebra.org/classic/k54m4brc
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
El rango es el subconjunto del eje Y en el que se
encuentran todas las imágenes de la función
y=2x

INTERVALOS
Se utilizan paréntesis con intervalos abiertos e infinitos
Se utilizan corchetes con intervalos cerrados
https://www.geogebra.org/classic/cjdemewm
D: [-6, 7)
R: [-1, 6)

Monotonía y propiedades de funciones
Función Implícita
Función Explícita

1. Función constante
𝒇 𝒙 = 𝒌
Dominio: (-∞,+∞) : ℝ
Rango: [k]
Ejemplos:
f(x)=5
Dominio: (-∞,+∞)
Rango: [5]
f(x)=-2
Rango: [-2]
f(x)=π
Rango: [π]
https://www.geogebra.org/classic/ety4zmuq
Todas las funciones constantes
tienen en mismo valor de dominio
y de rango

2. Función lineal
𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Rango: (-∞,+∞)
Ejemplos:
f(x)=7x+13
Rango: (-∞,+∞)
f(x)=8x
Rango: (-∞,+∞)
f(x)=-x+1
Rango: (-∞,+∞)
https://www.geogebra.org/classic/caaffstk
Todas las funciones lineales
y de rango

3. Función cuadrática
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Rango: [N,+∞) ó (-∞, N]
Ejemplos:
f(x)=x²+6x+5
Rango: [-4,+∞)
f(x)=-x²+3x
Rango: (-∞,3]
f(x)=x²-1
Rango: [-1,+∞)
https://www.geogebra.org/classic/affuntz4
Todas las funciones cuadráticas tienen el
mismo valor de dominio.
Para calcular el rango se necesita conocer el
vértice de la parábola V (h, k)
Pasos:
1. Obtener el valor de la abscisa del vértice
b
h = −
2a
2.Sustituir dicho valor en la función para obtener
el valor de la ordenada
b
k = f −
2a
Si a>0 el rango será
Si a<0 el rango será
[N,+∞)
V (h, k)
(-∞, N]

4. Función cúbica
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅
Rango: (-∞,+∞)
Ejemplos:
f(x)=x³+5x²
Rango: (-∞,+∞)
f(x)=x³-18x-1
Rango: (-∞,+∞)
f(x)=-x³+1
Rango: (-∞,+∞)
https://www.geogebra.org/classic/mhn69ka5
Todas las funciones cúbicas
y de rango
En conclusión todas las funciones
polinomiales tienen como intervalo del
domino D: (-∞,+∞) : ℝ

5. Función de valor absoluto
𝒇 𝒙 = ± 𝒈(𝒙) + 𝑵
Rango: [N,+∞) ó (-∞, N]
Ejemplos:
f(x)=|x|
f(x)=-|3x|
Rango: (-∞, 0]
f(x)=|x-14|-2
Rango: [-2,+∞)
https://www.geogebra.org/classic/wgebcfer
Rango: [0,+∞)
Todas las funciones de valor absoluto tienen el
mismo valor de dominio.
Para determinar el rango se necesita conocer:
Si la función de valor absoluto tiene un signo positivo
(es decir, es una función creciente), el rango será
[N,+∞)
Si la función de valor absoluto tiene un signo
negativo (es decir, es una función decreciente), el
rango será
(-∞, N]

6. Función raíz cuadrada
𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒙)
Dominio: Tiene
condición que 𝒈 𝒙
que cumplir con la
≥ 𝟎
Para determinarlo es necesario encontrar
el intervalo solución de la desigualdad
Rango:
Si la raíz tiene un signo positivo (es decir, es
una función creciente), el rango es
[0,+∞)
Si la raíz tiene un signo negativo (es decir,
es una función decreciente), el rango es
(-∞, 0]
Ejemplos:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1
3. 𝑓 𝑥 = 9 − 𝑥2
4. 𝑓 𝑥 = − 𝑥
Dominio: [-2,∞)
Rango: [0,∞)
Dominio: [-3, 3]
Rango: [0,∞)
Dominio: (-∞,-1] U [1,∞)
Rango: [0,∞)
Dominio: [0, ∞)
Rango: (-∞, 0]
https://www.geogebra.org/classic/ujpzezvj

7. Función racional
𝒇 𝒙 =
𝒈(𝒙)
𝒉(𝒙)
Dominio: Tiene que cumplir con la
condición que 𝒉 𝒙 ≠ 𝟎
Se puede expresar como todos los números
reales a excepción de las asíntotas
verticales que posea la función
Rango: Se puede expresar como todos los
números reales a excepción de las
asíntotas horizontales que posea la
función
Para determinar las asíntotas verticales
Pasos:
1. Igualar el denominador a cero
2. Despejar la literal
El dominio se escribe
(−∞, 𝑁) 𝑈 (𝑁, ∞)
(−∞, 𝑁1) 𝑈 𝑁1, 𝑁2 𝑈(𝑁2, ∞)
Para determinar las asíntotas horizontales
1. Si el grado de 𝒈 𝒙 < 𝒉 𝒙 , la función tiene una asíntota
en y=0
2. Si el grado de 𝒈 𝒙 = 𝒉 𝒙 , la función tiene una asíntota
en 𝑦 = 𝑚
= coeficiente de mayor exponente
𝑛 coeficiente de mayor exponente
3. Si el grado de 𝒈 𝒙 > 𝒉 𝒙 , la función tiene una asíntota
oblicua y el rango serían todos los reales
El rango se escribe
(−∞, 𝑁) 𝑈 (𝑁, ∞)

Ejemplos:
2
1. 𝑓 𝑥 =
𝑥
2. 𝑓 𝑥 =
2𝑥
𝑥+2
3. 𝑓 𝑥 =
2𝑥
𝑥2−1
Dominio: (-∞,0) U (0,∞)
Asíntota vertical x=0
Rango: (-∞,0) U (0,∞)
Asíntota horizontal y=0
Dominio: (-∞,-1) U (-1, 1) U (1,∞)
Asíntotas verticales x=-1 y x=1
Rango: (-∞,0) U (0,∞)
https://www.geogebra.org/classic/wamwwevc
Dominio: (-∞,-2) U (-2,∞)
Asíntota vertical x=-2
Rango: (-∞,2) U (2,∞)
Dominio: (-∞,-3) U (-3,∞)
Asíntota vertical x=-3
Rango: (-∞, ∞)
Asíntota horizontal oblicua
4. 𝑓 𝑥 =
𝑥3
𝑥 +3
5. 𝑓 𝑥 =
5𝑥2
𝑥+2 Dominio: (2,∞)
Asíntota vertical x=2
Rango: (-∞, ∞)
Asíntota horizontal oblicua

Propiedades de la función seno, y = sen (x)
Dominio: (-∞, ∞)
Rango : [–1, 1]
Período: 2π
Continua en (-∞, ∞)
Sin asíntotas

Propiedades de la función coseno, y = cos (x)
Rango : [–1, 1]
Período: 2π
Continua en (-∞, ∞)
Sin asíntotas

Propiedades de la función tangente, y = tan (x)
Dominio:
Rango : (-∞, ∞)
Período: π
Discontinua
Con asíntotas

Propiedades de la función cosecante, y = csc (x)
Rango : (-∞,–1]U[ 1, ∞)
Período: 2π
Discontinua
Con asíntotas

Propiedades de la función secante, y = sec (x)
Dominio: x∈R {kπ, donde k∈Z}
Rango: (-∞,–1]U[ 1, ∞)
Período: 2π
Discontinua
Con asíntotas

Propiedades de la función cotangente, y = cot (x)
Dominio: x∈R {kπ, donde k∈Z}
Rango : (-∞, ∞)
Período: π
Discontinua
Con asíntotas

8. Función exponencial
𝒇 𝒙 = ±𝒂𝒇(𝒙)
Rango:
Si a es positiva será (0,+∞)
Si a es negativo será (-∞,0)
La función es creciente cuando la función
f(x) tiene como coeficiente un signo
positivo.
La función es decreciente cuando la
función f(x) tiene como coeficiente un signo
negativo.
Ejemplos:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥
Rango: (0,+∞)
CRECIENTE
2. 𝑓 𝑥 = −𝑒𝑥+5
3. 𝑓 𝑥 = 𝑒−3𝑥+2
4. 𝑓 𝑥 = 22𝑥+2
1
5. 𝑓 𝑥 = 𝑒
2
𝑥 +1
Rango: (-∞, 0)
DECRECIENTE
Rango: (0,+∞)
DECRECIENTE
Rango: (0,+∞)
CRECIENTE
Rango: (0,+∞)
CRECIENTE
https://www.geogebra.org/classic/a4xfchh5

9. Función logarítmica
𝒇 𝒙 = ± log𝒃 𝒇(𝒙)
Dominio: Tiene que cumplir con la
condición que 𝒇(𝒙) > 𝟎
Se puede expresar como todos los números
reales que resuelvan la desigualdad y el
intervalo se expresará a partir de las
asíntotas verticales
Rango: (-∞,+∞) : ℝ
Para determinar las asíntotas verticales
Pasos:
1. Igualar el denominador a cero
2. Despejar la literal
El dominio se escribe
𝑁, ∞ ó (−∞, 𝑁)
https://www.geogebra.org/classic/zbem6ahz
Ejemplos:
1. 𝑓 𝑥 = log𝑥 + 2
Dominio: (-2,+∞)
Rango: (-∞,+∞)
Asíntota vertical 𝑥 = −2
2. 𝑓 𝑥 = log𝑥2 − 1
Dominio: (-∞,-1) U (1,∞)
Rango: (-∞,+∞)
Asíntotas verticales 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1
3. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 − 5
Dominio: (5,+∞)
Rango: (-∞,+∞)
Asíntota vertical 𝑥 = 5

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