Geometría analítica geogebra

Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013
Dedicatoria
1

MATEMÁTICA
2013
2 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente.
Lic. Ignacio Choque Ayma

Agradecimiento
3

MATEMÁTICA
2013

5

MATEMÁTICA
2013

GEOGEBRA
MANUAL DE USO EN GEOMETRÍA ANALÍTICA
GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne
dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus
Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para la
enseñanza de matemática escolar.
A) VISTAS GRÁFICA DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS
GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático:
una Vista Gráfica, una, numérica, Vista Algebraica y además, una Vista de
Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos
matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en el caso
de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos,
ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del
7

MATEMÁTICA
2013
mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación
automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de
ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente.
En este entendido para este texto utilizaremos las herramientas mas
usuales para la geometría analítica.
B) RECTA Y SUS HERRAMIENTAS
Bisectriz
La bisectriz de un ángulo (ver también el comando Bisectriz),
puede definirse de dos maneras
• Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ángulo
determinado por A, B y C, con B como vértice.
• Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos.
Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1.
Atención: La dirección de la bisectriz es la del vector perpendicular del
segmento s o AB.
Recta que pasa por Dos Puntos
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que
fija la dirección de la recta es (B ‐ A). (Ver también el comando Recta),
Atención: La dirección del vector de la recta es (B ‐ A).
Recta Paralela
Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que
pasa por A y es paralela a g. (Ver también el comando Recta).

9
Atención: La dirección del vector de esta recta es la de g.
Mediatriz
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o
sus dos puntos A
y B extremos.
Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector
perpendicular al segmento
s. o AB (Ver también el comando Mediatriz).
Recta Perpendicular
Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por
A y es perpendicular a g. (Ver también el comando Perpendicular).
Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector
perpendicular a g.
C) SECCIONES CÓNICAS Y SUS ERRAMIENTAS
Circunferencia dados su Centro y Radio
Tras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana
para ingresar el valor del radio. (Ver también el comando Circunferencia).
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una
circunferencia con centro en M que pasa por P. (Ver también el comando
Circunferencia).

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Atención: El radio del círculo es la distancia MP.1
Circunferencia dados Tres de sus Puntos
Al seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los
cruza.
(Ver también el comando Circunferencia).
Atención: Si los tres puntos estuvieran alineados, la circunferencia quedaría
reducida a una recta.
Compás
Al seleccionar un segmento o dos puntos, queda especificado el radio
y un clic posterior sobre un punto, lo marca como centro de la
circunferencia a trazar. (Ver también el comando Circunferencia).
Parábola
La parábola se trazará al seleccionar un punto que será su foco y su directriz
(recta, semirrecta o segmento). (Ver también el comando Parábola).
Elipse
La elipse se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y
luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando Elipse).
Hipérbola La hipérbola se trazará al seleccionar sus dos focos en
1 Cómo es posible que flote sobre el mar
un barco de acero, de miles de
toneladas, y en cambio tú te hundas en
la piscina si no haces algo para evitarlo

primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando
Hipérbola).
Por tanto este programa representa una tecnología informática que puede
tener gran impacto en los procesos de mediación en la educación
matemática a nivel secundario, pues ofrece la posibilidad de trabajar la
Geometría y el Álgebra simultáneamente de formas dinámicas, atractivas e
integradas.
En este sentido, representa un micro mundo de posibilidades, que ofrece
gran autonomía y capacidad de manipulación a sus usuarios; un entorno
dinámico e interactivo con prestaciones que:
Requieren la realización de acciones informáticas relativamente complejas
(diseño, programación, ejecución). Devuelven resultados
11
matemáticos (como gráficas, construcciones, transformaciones,
cálculos), y para matemáticos
(como simulaciones, modelos,
clasificaciones, ordenamientos e
iteraciones).
Facilitan el desarrollo de
acciones matemáticas (como
resolución de problemas,
demostración, aplicación,
verificación), y metamatemáticas
(como análisis, deducción,
inducción, reflexión, enseñanza,
aprendizaje, valoración y
experimentación).

MATEMÁTICA
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2Las prestaciones del GeoGebra es para explorar conceptos como: los
triángulos y sus puntos notables, la línea recta, la circunferencia, la elipse, la
parábola, hipérbola. Por lo tanto nos servirá para sobreponer la enseñanza
rutina en la educación secundaria, pero al mismo tiempo, permitira analizar
los alcances y limitaciones del GeoGebra en el estudio de conceptos
elementales de la Geometría Analítica.
La geometría analítica estudia las relaciones entre puntos, rectas, ángulos,
distancias, de un modo algebraico, mediante fórmulas algebraicas y
ecuaciones. Para ello es imprescindible utilizar un sistema de referencia: un
punto fijo (origen) y unos ejes (cartesianos) y una orientación. Tal
referencia es bien conocida. Tal
como vemos en la figura
Los ejes cartesianos son
perpendiculares. En el punto
de corte se sitúa el origen:
푂 (0, 0).
El eje horizontal se llama eje
de abscisas, o eje de las X. A la
derecha del origen las abscisas
son positivas; a la izquierda,
negativas.
El eje vertical se llama eje de ordenadas, o eje de las Y. Por encima del
origen las ordenadas son positivas; por debajo, negativas.
2 Una cuerda fina clavada muy tensa en la pared o un rayo de
luz representan lo que es una recta. Es una línea continua en
una dirección que se mantiene fija, sin saltos o
interrupciones, que no tiene principio ni tiene fin, ya que está
formada por infinitos puntos.

Cualquier punto del plano se designa por dos números, en general por sus
coordenadas x e y: 푃(푥, 푦).
13

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1. RECTA EN EL PLANO
Una recta es un conjunto de puntos del plano que cumplen una
determinada ecuación. La ecuación general de una recta (que también se
llama ecuación implícita o cartesiana) es de la forma:
15
푎푥 + 푏푦 + 푐 = 0
1.1. BISECTRIZ DE DOS
RECTAS:
Dibuja las bisectrices de las dos
rectas siguientes y halla sus
ecuaciones.
푟: 5푥 – 12푦 + 22 = 0;
푠: 4푥 – 3푦 + 11 = 0
a) En la Barra de Entrada,
introduce:
b) Dibuja de igual forma la
recta s y r
c) Muestra el nombre y el
valor de las dos rectas.
d) Elige Bisectriz y haz clic en la recta r y en la recta s
e) Muestra en las dos bisectrices y el nombre.
f) En la ventana Algebraica, modifica una de las ecuaciones de las rectas
y verás cómo cambian las bisectrices y sus ecuaciones. También puedes
introducir las nuevas ecuaciones en la Barra de Entrada.3
3 Expresar el número 12 por medio de cuatro treses es muy sencillo:
12 = 3 + 3 + 3 + 3.

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1.2. EL CIRCUNCENTRO
DE UN TRIÁNGULO
Dibuja el triángulo que tiene
como vértices los puntos A =
(6, 2), B = (1, –3) y C = (–3,
5). Halla las mediatrices de
sus lados, sus ecuaciones, el
circuncentro, la
circunferencia circunscrita y
su ecuación.
a) En la Barra de Entrada, introduce uno a uno los puntos 푨 = (ퟔ,
ퟐ), 푩 = (ퟏ, – ퟑ) 푦 푪 = (ퟑ, ퟓ)
b) Dibuja el triángulo ABC
c) Dibuja las mediatrices.
d) Muestra las coordenadas del
circuncentro.
1.3. EL BARICENTRO DE UN
TRIÁNGULO:
a) Dibuja un triángulo de
vértices 퐴 = (6, 1), 퐵 =
(1, 4) 푦 퐶 = (– 1, – 2) y
halla el baricentro.
b) Dibuja las medianas y halla el baricentro. Geometría dinámica:
interactividad

c) Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana
17
Algebraica o
introduce en la
Barra de Entrada
sus coordenadas;
observa las nuevas
coordenadas del
baricentro.
1.4. EL INCENTRO DE
UN TRIÁNGULO:
a) Dibuja un triángulo de
vértices 푨 =
(ퟐ, ퟑ), 푩 =
(ퟏ, −ퟑ) 푦 푪 = (ퟐ, – ퟐ)
y halla el incentro
b) Dibuja las bisectrices y halla el incentro.
c) Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana Algebraica o
introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas
coordenadas del incentro.
1.5. EL ORTOCENTRO DE UN
TRIÁNGULO:
2. Dibuja un triángulo de
vértices 푨 = (−ퟐ, ퟐ), 푩 =
(ퟏ, −ퟑ) 푦 푪 = (ퟐ, ퟑ) y halla el
ortocentro
3. Dibuja las alturas y halla el
ortocentro

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4. Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana Algebraica o
introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas
coordenadas del ortocentro.

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2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN
EL PLANO
Sabemos que en un punto del espacio pasan
infinitas rectas. Asi mismo "Por un punto del
plano pasan infinitas
rectas".
Por lo tanto dos puntos del espacio. ¿Cuántas
rectas unen a esos dos puntos? "Dos puntos del
espacio determinan una sola recta".
Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del
plano determinan una sola recta"
2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN
Vamos ahora a demostrar que toda recta que pasa por el origen del sistema
de coordenadas está
representada por una función
de la forma 풚 = 풎풙 o sea una
función de dos variables de
primer grado, sin término
independiente, en la que m es
una constante cuyo significado
estableceremos
posteriormente. Para esto,
necesitamos hacer ver que esta
función establece o expresa la
condición común a que se
ajustan absolutamente todos
los puntos que constituyen una recta que pasa por el origen, en otras
palabras debemos hacer constar que la ordenada y de todo punto de la recta
efectivamente es igual al producto de la constante m por la abscisa x de
dicho punto, es decir 풚 = 풎풙.

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2.2. ECUACION DE
LA RECTA QUE NO PASA
POR EL ORIGEN
Se trata ahora de demostrar
que una función de dos
variables de primer grado con
término independiente, o sea
una función de la forma.
풚 − 풚ퟏ = 풎(풙 − 풙ퟏ)
2.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA.
EJEMPLO. 1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y
tiene un ángulo de inclinación de 135º
Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto
dado. Como conocemos el punto 푃(4, −1) podemos calcular dicha
recta, pero también es necesario
determinar el valor de la pendiente
m, la cual calcularemos de la
siguiente forma: m= Tg (135º);
donde 풎 = −ퟏ Sustituimos los
valores en la expresión y
obtenemos;
풀 − (−ퟏ) = −ퟏ(푿 − ퟒ)
풀 + ퟏ = −푿 + ퟒ
풀 = − 푿 – ퟑ

21
EJEMPLO. 2 Hallar la
ecuación de la recta que
pasa por el siguiente par de
puntos (–7, 11), (1, 7)
Por medio de los puntos dados
buscamos el valor de la
pendiente aplicando la
formula correspondiente y
obtenemos que: m= -1/2
Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado
dos puntos, y obtenemos:
− 7 = −1/2 (푥 − 1)
푦 − 7 = −1/2푥 + 1/2
푦 = −1/2푥 + 15/2
풙 + ퟐ풚 – ퟏퟓ = ퟎ
EJEMPLO. 3 hallar la distancia entre los puntos 푨(ퟑ, ퟓ), 푩(ퟑ, – ퟕ)
푑 = √ (3 – 3)2 + (5 + 7)2
= √ 122
= 12

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EJEMPLO. 4 hallar la distancia entre los puntos 푨(– ퟖ, ퟑ), 푩(– ퟔ, ퟏ)
푑 = √(– 8 + 6)2 + (3 – 1)2
= √4 + 4
= √8
= 2 √ 2
EJEMPLO. 4 hallar la
distancia entre los
puntos A(0, –3), B(–5, 1)
푑 = √25 + (– 3 – 1)2
= √25 + 16
= √ 41

2.2.2. ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
a) Dibujar la recta de ecuación 푦 = 4/5푋 + 3.
b) Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y
la pendiente de la recta que lo une al punto 퐴(3,4) es 1/2. Determinar
las coordenadas del punto.
c) Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el
punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados.
d) Una diagonal de un cuadrado une los vértices 퐴(1,2) 푦 퐶(2,5). Obtener
las ecuaciones de los lados del cuadrado. NOTA: Tomando en
consideración que cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la
diagonal.
23
4
4 Una cadena de 28 fichas
¿Por qué las 28 fichas del dominó se
pueden colocar, cumpliendo las

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2.3. RECTAS PARALELAS Y RECTAS
PERPEDICULARES
Serán paralelas si y solo si .
Además, serán coincidentes cuando
Serán perpendiculares si y sólo si
, es decir:
2.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA.
EJEMPLO. 1 Halla la ecuación de la recta que pasa por (4, 5). y es
Paralela a la recta 풚 = – ퟐ풙 + ퟑ
푚 = – 2
Remplazando en la dela recta es:
푦 = 5 – 2(푥 – 4)
푦 = 5 − 2푥 + 4
푦 = −2푥 + 9
reglas del juego, en una cadena
continua?

25
EJEMPLO. 2 Escribe la
ecuación de la recta que pasa
por 푷(−ퟏ, ퟐ) y es paralela a
recta ퟑ풙 − 풚 + ퟒ = ퟎ.
Obtenemos la pendiente de la
recta dada
3푥 − 푦 + 4 = 0
푦 = 3푥 + 4
푝푒푛푑푖푒푛푡푒 = 3
La recta paralela tiene la misma
pendiente; su ecuación será
푦 = 2 + 3 (푥 + 1)
푦 = 2 + 3푥 + 3
3푥 − 푦 + 5 = 0
EJEMPLO. 3 Hallar la
ecuación implícita de la
recta perpendicular a ퟐ풙 +
풚 − ퟑ = ퟎ que pasa por el
punto 푷(ퟏ, ퟏ)
Obtenemos la pendiente de la
recta dada:
2푥 + 푦 − 3 = 0
푦 = −2푥 + 3
푝푒푛푑푖푒푛푡푒 = −2

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La pendiente de la perpendicular es:
−1
−2
=
1
2
La ecuación de la recta buscada será:
푦 = 1 +
1
2
(푥 − 1)
2푦 = 2 + 푥 − 1
푥 − 2푦 + 1 = 0
EJEMPLO. 4 Comprueba que el triángulo de vértices 푨(– ퟏ, ퟎ), 푩(ퟑ, ퟐ),
푪(−ퟏ, ퟒ) es isósceles.
¿Cuáles son los lados
iguales?
푨푩 = √ (– ퟏ – ퟑ)ퟐ + (ퟎ – ퟐ)ퟐ
= √ ퟏퟔ + ퟒ = √ ퟐퟎ
푨푪 = √ (– ퟏ + ퟏ)ퟐ + (ퟎ – ퟒ)ퟐ

27
= √ퟎ + ퟏퟔ = √ ퟏퟔ = ퟒ
푩푪 = √√ (ퟕ – ퟑ)ퟐ + (ퟒ – ퟐ)ퟐ
= √ ퟏퟔ + ퟒ = √ ퟐퟎ
EJEMPLO. 5 Hallar la longitud de los lados de un tria ngulo A(2,3),
B(5,1) Y C(4,6)
AB d=√(5 − 2)2 + (1 − 3)2
d=√(3)2 + (2)2
d=√9 + 4
BC d=√(4 − 5)2 + (6 + 1)2
d=√(1)2 + (5)2
d=√1 + 25
B,C d=√(4 − 2)2 + (6 − 3)2
d=√(2)2 + (3)2
d=√4 + 9
d=√ퟏퟑ
d=√ퟐퟔ
d=√ퟏퟑ

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5
2.3.2. PRÁCTICA ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
 Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es 푦 = 푚푥 + 5, para
que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por
las ecuaciones 푦 = −3푥 − 5, 푦 = 4푥 + 2.
 La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación
sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4 푥 + 9 푦 − 27 =
0 .
 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 푃(−3, −5) y es
paralela a la recta 푦 = − 2/3푥 + 9
 Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección
de las rectas: 5 푥 − 3 푦 = − 2 y 8 푥 + 7 푦 = 44 y es
perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: 푦 = 2/3푥 +
1
 Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de
vértices A(–2, –1), B(3, 1), C(1, 6) es rectángulo.
5 Teorema de Pitágoras, relaciona los tres
lados de un triángulo rectángulo, y que
establece que el cuadrado del lado mayor
(hipotenusa) es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados (catetos)

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3. LA CIRCUNFERENCIA
Se llama circunferencia al lugar geométrico
de los puntos de un plano que
equidistante de un punto fijo del mismo
plano.
Dicho punto fijo se llama centro, a la
distancia de cualquier punto de la
circunferencia al centro se acostumbra a
llamar radio
Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro
en el origen y radio r se obtiene haciendo 푎 = 푏 = 0
푥2
+ 푦2
= 푟2
Notemos también que en general una circunferencia tal como
(푥 − 푎)2
+ (푦 − 푏)2
= 푟2
3.1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS.
EJEMPLO 1. Dada la ecuación de una circunferencia en la forma general
representarla en la forma normal. ퟒ풙ퟐ + ퟒ풚ퟐ – ퟏퟔ풙 + ퟐퟒ풚 + ퟐퟕ = ퟎ
4푥2 + 4푦2 – 16푥 + 24푦 = −27
4(푥2 + 4푥) + 4(푦2 + 6푦) = −27
6 LIBÉRATE

4(푥2 + 4푥 + 4) + 4(푦2
2 2
x y
4 2 4 3
33
+ 6푦
+ 9)
= −27
+ 16 − 36
   
   
25
4
2 3
25
4
4
2 2
   

  
x y
2 2 2
   
x  h  y  k 
r
5
2
(3, 5)
 

C
radio r
EJEMPLO 2. Halla la ecuación de la
circunferencia de centro (– ퟓ, ퟏퟐ) y
radio 13. Comprueba que pasa por
el punto (ퟎ, ퟎ).
Aplicando la formula de la
circunferencia obtenemos:
(푥 + 5)² + (푦 – 12)² = 132
푥² + 푦² + 10푥 – 24푦 = 0
Si sustituimos 푥 = 0, 푦 = 0 en la

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ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).7
EJEMPLO 3. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa
por el punto 퐏(ퟏ, ퟎ) sabiendo que la circunferencia 퐱² + 퐲² − ퟐ 퐱 −
ퟖ 퐲 + ퟏퟑ = ퟎ es concéntrica a
ella
풙² + 풚² − ퟐ 풙 − ퟖ 풚 + ퟏퟑ = ퟎ .
( 푥² − 2 푥 + 1 − 1 ) + ( 푦² − 8 푦
+ 16 − 16 ) + 13
= 0
( 푥 − 1 )² + ( 푦 − 4 )² = 4
Por tanto la ecuación buscada tiene
radio, la distancia entre el punto
centro y el punto indicado
anteriormente.
√(1 − 1)2 + (4 − 0)2 = √16 ⇒ 푟 = 4
Entonces la ecuación es
( 푥 − 1 )² + ( 푦 − 4 )² = 16
EJEMPLO 4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta
definido por los puntos: 퐴(−8, −2) y 퐵(4,6). Obtener la ecuación de
dicha circunferencia.
7 El radio es el segmento
que une cualquier punto
de la circunferencia con
su centro

Solución. El centro es el punto
medio del diámetro, cuyas
coordenadas se obtienen
aplicando las fórmulas para el
punto medio de un segmento,
en este caso A B:
Por tanto, el centro
푒푠 퐶(−2,2) El radio es la
distancia del centro C a
cualquiera de los extremos del
diámetro, es decir: radio
35
푟 = 퐶 퐵 ²
( − 2 − 4 )² + ( 2 − 6 )²
36 + 16 = 52 ,
Por lo tanto, 푟 ² = 52 = 푟푎푑푖표
La ecuación de la circunferencia pedida es:
( 푥 + 2 )² + ( 푦 − 2 )² = 52.
EJEMPLO 5. Comprobar que la recta 2 푦 + 푥 = 10 es tangente a la
circunferencia 푥² + 푦² − 2 푥 − 4 푦 = 0 y determinar el punto de
tangencia.
Solución: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto,
despejamos a x de la primera ecuación:
푥 = 10 − 2 푦
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y
simplificando, se obtiene: (10 − 2 푦 )² + 푦² − 2 ( 10 − 2 푦 ) −
4 푦 = 0

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100 − 40 푦 + 4 푦² + 푦² − 20
+ 4 푦 − 4 푦 = 0
5 푦² − 40 푦 + 80 = 0
푦2 − 8 푦 + 16 = 0
Resolviendo para y: Aplicamos
ecuación cuadrática y obtenemos
que 푦 = 4, sustituimos este valor
de 푦 = 4 en la ecuación despejada
de X:
푥 = 10 − 2 ( 4 )
푥 = 10 − 8
푥 = 2
De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la
circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común 푇 (2,4) , que es
precisamente el de tangencia.8
8 “Un matemático dice A, escribe B,
quiere decir C, pero lo que significa es
C. Y de hecho D es una idea
espléndida que emerge al poner
orden en la confusión”. (Morris Klein)

3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA
 Circunferencia de centro 퐶 (– 3, 4) y radio 5. Comprueba sí pasa por el
origen de coordenadas.
 Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuación es: 9 푥² + 9 푦² − 12 푥 + 36 푦 − 104 = 0.
Trazar la circunferencia
 Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:
4푥² + 4 푦² + 4푥 + 4푦 − 2 = 0.
 El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por
los puntos: 퐴(−8, −2) y 퐵(4,6). Obtener la ecuación de dicha
circunferencia.9
9 - “El olvido de las matemáticas
perjudica a todo el conocimiento, ya
que el que las ignora no puede conocer
las otras ciencias ni las cosas de este
mundo”.(Roger Bacon)
37

MATEMÁTICA
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MATEMÁTICA
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4. LA PARABOLA
Se llama parábola al lugar
geométrico de los puntos del plano
que equidistan de un punto fijo,
llamado foco, y de una recta fija
llamada directriz.
La distancia entre el foco y la
directriz de una parábola recibe el
nombre de parámetro de la parábola
(suele denotarse por p).
Dada una parábola, se llama eje de la
misma la recta que contiene al foco y
es perpendicular a la directriz.
Se llama vértice de la parábola al
punto donde ésta corta a su eje.
Para simplificar la parábola, se
supondrá que el vértice es el origen
de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de
abscisas.
Ecuación canónica de la parábola
La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en
el punto 퐹 =
푃
2
, 0 푦 = 2푝푥
La directrices una recta vertical de la ecuación 푥 = −
푃
2
, 0 osea 푥 +
푃
2
= 0
Dando un punto 푃 = (푥, 푦) del plano, su distancia al foco es

41
푑(퐹, 푃) = √(푥 −
푃
2
)2 + 푦2
La distancia a la directriz es 푑(푃, 푑) = |푥 +
푃
2
|
La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:
√(푥 −
푃
2
)
2
+ 푦2 = |푥 +
푃
2
|
Elevando al cuadrado:
(푥 −
푃
2
)
2
+ 푦2 = (푥 +
푃
2
2
)
푥2 − 푝푥 −
푃2
4
+ 푦2 = 푥2 + 푝푥 +
푃2
4
−푝푥 + 푦2 = 푝푥 Þ 푦2 = 2푝푥
Hay otros tres casos elementales de parábolas:
Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la
ecuación es 푦2 = −2푝푥.
Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la
ecuación es푥2
= 2푝푦.
Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la
ecuación es 푥2
= −2푝푦. 10
10 La longitud de una circunferencia
es igual a su diámetro multiplicado por
el número 

MATEMÁTICA
2013
Parábola con vértice en un punto cualquiera
Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (푥0, 푦0) su ecuación
será, según los casos:
Eje horizontal y foco a la derecha: (푦 − 푦0)2
= 2푝(푥 − 푥0)
Eje horizontal y foco a la izquierda: (푦 − 푦0)2
= −2푝(푥 − 푥0)
Eje vertical y foco por encima: (푥 − 푥0)2
= 2푝(푦 − 푦0)
Eje vertical y foco por debajo: (푥 − 푥0)2
= −2푝(푦 − 푦0)
Reducción de la ecuación de una parábola
Dada una ecuación del tipo 퐴푥2
+ 퐵푥 + 퐶푦 + 퐷 = 0 o del tipo
퐴푦2
+ 퐵푥 + 퐶푦 + 퐷 = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de
una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula
adecuadamente el otro miembro.
4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES PARABÓLICAS.
EJEMPLO 1. Hallar la ecuación reducida de la parábola
2푥2
+ 8푥 + 3푦 − 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz. Se ha de
transformar esta ecuación en una de la forma:
(푦 − 푦0)2 = ± 2푝(푥 − 푥0) ó (푥 − 푥0)2 = ± 2푝(푦 − 푦0)
La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en
una del tipo (푥 − 푥0)2 = ± 2푝(푦 − 푦0)
2푥2 + 8푥 + 3푦 − 5 = 0 Þ 2푥2 + 8푥 = −3푦 + 5 Þ
푥2 + 3푥 = (푥 + 2)2 − 4. Se sustituye en la ecuación:

43
Se trata de una parábola con el eje
vertical y el foco por debajo del vértice.
Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice.
Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del
vértice:
Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene
sumándole la mitad del parámetro a la del vértice:
11
11 Exprese el número 10 con cinco nueves.
Hágalo, por lo menos, por dos procedimientos.

MATEMÁTICA
2013
EJEMPLO 2. Hallar los elementos de la parábola 푦2 − 4푥 + 6푦 + 13 = 0.
Resolución: Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que
ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y:
푦2 + 6푦 = 4푥 − 13
푦2
+ 6푦 = 푦2
+ 2 · 3푦 + 32
− 32
= (푦 + 3)2 − 9.
(푦 + 3)2
− 9 = 4푥 − 13 Þ
(푦 + 3)2 = 4푥 − 4
(푦 + 3)2
= 4(푥 − 1)
Es una parábola con vértice en el
punto (1, −3).
Su parámetro es 푝 +
4
2
= 2, el eje es
orizontal y el foco es a la derecha de
vertice
El foco es 퐹 (1 +
푃
2
, −3) =
(1 + 1,3) = (2, −3)
La directriz se obtiene restándole la
mitad del parámetro a la abscisa del vértice: x = 1 - 1 = 0. La directriz es
el eje de ordenadas.
12
12 Piense en un número menor de 10 (y que no sea
cero) Añádele 29, Quite la última cifra de la suma.,
Multiplique lo que queda por 10., Súmele 4 al
producto. Multiplique lo obtenido por 3. Réstele 2 al
resultado. (Ahora tendrá 100)

EJEMPLO 3 Dadas las parábolas siguientes, calcular; las coordenadas del
vértice, las coordenadas del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación
de la directriz. 푦2 -4y +6x -8 = 0
45
푦2 -4y +6x -8 = 0
(푦 − 2)2 - 22 + 6x = 8
(푦 − 2)2 = - 6푥 + 12
(푦 − 2)2 = - 6 (x + 2)
V= (-2,2
F= (h + q, k)
F= (- 2+ (-1, 5), 2)
F= (- 2-1.5, 2)
F= (- 3.5, 2)
EJEMPLO 4 Hallar característica y grafica de la parábola 푥2 = 6y
determinar la longitud de a:
4a = 6
a= 1,5
F: (0, a)
F:(0, 1.5)
Eje: x
V: (0,0)

MATEMÁTICA
2013

47

MATEMÁTICA
2013
5. LA ELIPSE.
DEFINICIÓN. Se
llama elipse al
lugar geométrico
de los puntos
tales que la suma
de sus distancias
a dos puntos
fijos, llamados
focos, es una
constante.
La línea que une
los dos focos se
llama eje
principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario.
Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes.
El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia
entre ellos se llama distancia
focal .
Generalmente el eje principal
se representa por 2a y la
distancia focal por 2c. Los
valores a y c se llaman semieje
principal y semidistancia focal,
respectivamente.
Cálculo del eje secundario
Llamando 2b al eje secundario,

P al vértice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por el
teorema de Pitágoras:
49
Por definición de elipse,
A la distancia b se le llama semieje secundario.
Ecuación canónica de la elipse
La ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0) y F'' (-
c, 0) es:
Vértices de una elipse referida a sus ejes
(0, 푏) 푦 (0, −푏).
El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su
intersección con la elipse se
resuelve el sistema:
Los vértices son (푎, 0) 푦 (−푎, 0)

MATEMÁTICA
2013
Eje secundario: Se resuelve el sistema:
Los otros dos vértices son (0, b) y (0,
-b)
Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas
Desarrollando esta ecuación, se obtiene:
푏2푥2
− 2푏2푥0
푥 + 푏2푥0
2
+ 푎2푦2
− 2푎2
푦0푦 + 푎2푦0
2
− 푎2푏2
= 0, Que se
puede poner en la forma:
퐴푥2
+ 퐵푦2
+ 퐶푥 + 퐷푦 + 퐸 = 0 Donde A y B son del mismo signo.
Ecuación de una elipse vertical
Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:
EJEMPLO 1. Reducir la ecuación 4푥2
+ 9푦2
− 8푥 + 18푦 − 23 = 0. Si
se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices. Se agrupan
los términos en x2 con los términos en x y los términos en y2 con los
términos en y:
(4푥2
− 8푥) + (9푦2
+ 18푦) − 23 = 0

51
4(푥2
− 2푥) + 9 (푦2
+ 2푦) − 23 = 0
푥2
− 2푥 = 푥2 − 2푥 + 1 − 1 = (푥 − 1)2
− 1
푦2
+ 2푦 = 푦2
+ 2푦 + 1 − 1 = (푦 + 1)2
− 1
4[(푥 − 1)2
− 1] + 9[(푦 + 1)2
− 1] − 23 = 0
4(푥 − 1)2
+ 9(푦 + 1)2
= 36
Centro de la elipse: (1, −1)
Focos: Para hallar los focos hay que observar que éstos se hallan en una
recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues
con sumar y restar c a la abscisa del centro.
Los focos son
Los vértices se obtienen
sumando y restando a las
coordenadas del centro los
semiejes de la elipse:
(1 ± 3, −1), lo que da los
puntos (4, −1) 푦 (−2, −1)
(1, −1 ± 2), lo que da los
puntos (1, 1) 푦 (1, −3)

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2013
EJEMPLO 2. Reducir y, en su caso, hallar los elementos de la cónica de
ecuación
푥2
+ 3푦2
− 8푥 − 12푦 + 32 = 0
(푥2
− 8푥) + (3푦2
− 12푦) + 32 = 0
(풙ퟐ
− ퟖ풙) + ퟑ(풚ퟐ − ퟒ풚) + ퟑퟐ = ퟎ
풙ퟐ
− ퟖ풙 = 풙ퟐ
+ ퟏퟔ − ퟏퟔ − ퟖ풙 = (풙 − ퟒ)ퟐ
− ퟏퟔ
풚ퟐ
− ퟒ풚 = 풚ퟐ
+ ퟒ − ퟒ − ퟒ풚 = (풚 − ퟐ)ퟐ
− ퟒ
(풙 − ퟒ)ퟐ
+ ퟑ (풚 − ퟐ)ퟐ
− ퟏퟔ − ퟏퟐ + ퟑퟐ = ퟎ
(풙 − ퟒ)ퟐ
+ ퟑ(풚 − ퟐ)ퟐ
= −ퟒ
Como el primer miembro es suma de números positivos y el segundo es un
número negativo, la ecuación no tiene solución y se trata de una elipse
imaginaria.
EJEMPLO 3. Hallar los elementos de la elipse
ퟐퟓ풙ퟐ + ퟏퟔ풚ퟐ − ퟓퟎ풙 + ퟔퟒ풚 − ퟑퟏퟏ = ퟎ
(ퟐퟓ풙ퟐ
− ퟓퟎ풙) + (ퟏퟔ풚ퟐ
+ ퟔퟒ풚) − ퟑퟏퟏ = ퟎ
ퟐퟓ(풙ퟐ
− ퟐ풙) + ퟏퟔ(풚ퟐ
+ ퟒ풚) − ퟑퟏퟏ = ퟎ
풙ퟐ
− ퟐ풙 = 풙ퟐ
− ퟐ · ퟏ풙 + ퟏퟐ
− ퟏퟐ
= (풙 − ퟏ)ퟐ
− ퟏ
풚ퟐ
+ ퟒ풚 = 풚ퟐ + ퟐ · ퟐ풚 + ퟐퟐ
− ퟐퟐ
= (풚 + ퟐ)ퟐ
− ퟒ
ퟐퟓ(풙 − ퟏ)ퟐ
− ퟐퟓ + ퟏퟔ(풚 + ퟐ)ퟐ
− ퟔퟒ − ퟑퟏퟏ = ퟎ
ퟐퟓ(풙 − ퟏ)ퟐ
+ ퟏퟔ(풚 + ퟐ)ퟐ
= ퟐퟓ + ퟔퟒ + ퟑퟏퟏ = ퟒퟎퟎ

53
Como el denominador de la
segunda fracción es mayor que el
de la primera, no puede ser 푎2
=
16 푦 푏2
= 25, lo cual significa
que la elipse tiene su eje principal
vertical.
Como el denominador de la
segunda fracción es mayor que el
de la primera, no puede ser 푎2
=
16 푦 푏2
= 25, lo cual significa
que la elipse tiene su eje principal vertical.
El centro es (1, -2)
Los vértices son:
(1 ± 4, −2), 표 푠푒푎 (−3, −2) 푦 (5, −2); (1, -2 ± 5), o sea (1, -7) y (1, 3)
Los focos son (1, -2 ± 3), es decir (1, - 5) y (1, 1)

MATEMÁTICA
2013
2
2
Ejemplo 2. Dada la ecuación
encuentre los focos y sus vértices
4푥
2
+ 4푦
2
= 푥
2
+ 6푥 + 9
3푥
2
+ 4푦
2
− 6푥 = 9
3(푥
2
− 2푥 + 1 − 1) + 4푦
2
= 9
3(푥 − 1)
+ 4(푦 − 0)
= 12
Finalmente, dividiendo entre 12, se encuentra la ecuación de la elipse
(x − 1)2
4
+
(y − 0)2
3
= 1

55

MATEMÁTICA
2013

57

MATEMÁTICA
2013
6. HIPÉRBOLAS. Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del
plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es una constante (se representa por 2a). A éstos es
centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio O
de [FF’] es el centro de la hipérbola.

El eje focal (FF’) corta a la hipérbola en dos puntos A y A’ llamados vértices
de la hipérbola y que están a distancia a del centro de la misma. El eje no
focal no corta
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz
se llama eje imaginario de la hipérbola.
El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto
medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.
Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente
corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.
Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos
focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos
focos se les llama radios vectores del punto.
A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se
puede considerar . Este valor se llama semieje
imaginario de la hipérbola.
Hipérbola. Al igual que en la elipse, se considerarán en primer
lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con
focos en el eje de abscisas.
Cálculo de los radios vectores de un punto
En un punto P(x, y) de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c,
0) los radios vectores son:
59
Los radios vectores son:

MATEMÁTICA
2013
Eliminando los términos comunes:
2cx = 4a2 - 2cx + 4a·
Despejando:
4a · = 2cx - 4a2 + 2cx = 4cx - 4a2, luego
' = + 2a = ex - a + 2a = ex + a
Nótese que se ha utilizado que la distancia ' es mayor que , lo cual sólo
es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un punto del
semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sido
similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó
valor absoluto en los segundos miembros.

Ecuación canónica de la hipérbola
La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es
Demostramos:
Se toma la expresión de uno de los radios vectores y se opera en ella:
Sacando factor común (푐2
− 푎2)
61
(푐2
− 푎2) 푥2
+ 푎2
(푎2
− 푐2) − 푎2푦2 = 0
Pero 푐2
− 푎2
= 푏2, luego
푏2푥2
− 푎2푏2
− 푎2푦2
= 0. Dividiendo entre 푎2
· 푏2, se
obtiene:
En el caso en que la hipérbola tuviese el eje vertical, la ecuación sería:

MATEMÁTICA
2013
Vértices de una hipérbola
Los vértices de una hipérbola son los puntos donde
ésta corta a sus ejes.
ejes de coordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0.
Los vértices son (a, 0) y (-a, 0)
Esta ecuación no tiene solución, ya que el primer miembro es siempre
negativo y el segundo es positivo.
Asíntotas de una hipérbola
Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta:
Pero, para valores grandes de x , » x , siempre que a sea un número
fijo. En efecto:
Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta
indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la
diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.

Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola.
Cálculo de las asíntotas de una hipérbola
Por tanto, para calcular las asíntotas, se iguala a cero el primer miembro de
la ecuación reducida de la hipérbola y se despeja y.
Hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas
Si se tiene una hipérbola con centro en un punto (x0, y0), procediendo
como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuación es
Vertical será
Los focos serán, si el eje real es horizontal (푥0 ± 푐, 푦0) 푦 (푥0, 푦0 ± 푐 ) si es
vertical. De la misma forma los vértices son
63
(푥0 ± 푎, 푦0) ó (푥0, 푦0 ± 푎 )
según que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente.
Para hallar las asíntotas, se sustituye 1 por 0 en el segundo miembro y se
extrae la raíz cuadrada.

MATEMÁTICA
2013
Reducción de la ecuación de la hipérbola
Sea una ecuación de la forma Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 en la que A y B
tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el
caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de
una hipérbola.
EJEMPLO. 1 Hallar la ecuación
reducida de la hipérbola
4푥2
− 9푦2 − 8푥 + 36푦 + 4
= 0.
Resolución: Se asocian los
términos que tengan la misma
incógnita y se saca factor
común el coeficiente de
segundo grado:
(4푥2
− 8푥) − (9푦2
− 36푦) + 4 = 0
4(푥2
− 2푥) − 9(푦2
− 4푦) + 4 = 0
Se completan cuadrados en los paréntesis:
푥2
− 2푥 = 푥2 − 2 · 1푥 + 12
− 12
= (푥 − 1)2
− 1
푦2
− 4푦 = 푦2
− 2 · 2푦 + 22
− 22
= (푦 − 2)2
− 4
Se sustituye en la ecuación:
4(푥 − 1)2
− 4 − 9(푦 − 2)2
+ 36 + 4 = 0
4(푥 − 1)2
− 9(푦 − 2)2
= 4 − 36 − 4 = −36

Se divide entre -36:13
Se trata, pues, de una hipérbola con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y
sus semiejes son 푎 = = 2 푦 푏 = = 3
65
Los vértices son (1, 2 ± 2), es decir (1, 0) 푦 (1, 4).
Asíntotas:
EJEMPLO. 2 Hallar los elementos de la hipérbola
푥2
− 푦2
+ 2푥 + 4푦 − 12 = 0
Resolución: (푥2
+ 2푥) − (푦2
− 4푦) − 12 = 0
푥2
+ 2푥 = 푥2
+ 2 · 1푥 + 12
− 12
= (푥 + 1)2
− 1
13 33 * 3 + 3 = 100.

MATEMÁTICA
2013
푦2 − 4푦 = 푦2
− 2 · 2푦 + 22
− 22
= (푦 − 2)2
− 4
(푥 + 1)2
− 1 − (푦 − 2)2
+ 4 − 12 = 0
(푥 + 1)2
− (푦 − 2) = 1 − 4 + 12 = 9
Se trata de una hipérbola con centro
en (−1, 2), eje real horizontal, y
semiejes 푎 = 3, 푏 = 3 (este tipo
de hipérbolas que tienen iguales sus
semiejes se llaman hipérbolas
equiláteras).
Los vértices son los puntos
(−4, 2) 푦 (2, 2).
14
14 Con cinco treses
Usted sabe, como es natural, que con cinco
treses y los signos de las operaciones
matemáticas se puede escribir el número 100 así:

Para hallar las asíntotas se iguala a cero el primer miembro de la ecuación
reducida:
67
Þ (푥 + 1)2 = (푦 − 2)2 Þ 푥 + 1 = ±(푦 − 2)
푥 + 1 = 푦 − 2 Þ 푦 = 푥 + 3
푥 + 1 = −푦 + 2 Þ 푦 = 1 − 푥
15
15 Con cuatro cuatros
le gustan las rompecabezas,
intente componer todos los
números del 1 al 100 con cuatro
cuatros. Esto no es más difícil que
expresar estos mismos números
con treses.
13. Con cuatro cincos
Hay que expresar el número 16
valiéndose de cuatro cincos unidos
entre sí por los signos de las
operaciones.

MATEMÁTICA
2013
ÍNDICE
MANUAL DE USO EN GEOMETRÍA ANALÍTICA .............................................. 7
A) VISTAS GRÁFICA DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS ................ 7
B) RECTA Y SUS HERRAMIENTAS .................................................... 8
C) SECCIONES CÓNICAS Y SUS ERRAMIENTAS .................................. 9
1. RECTA EN EL PLANO ...................................................................... 15
1.1. BISECTRIZ DE DOS RECTAS: ..................................................... 15
1.3. EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO: ...................................... 16
1.4. EL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO: .......................................... 17
1.5. EL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO:..................................... 17
2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN EL PLANO ....................... 19
Sabemos que en un punto del espacio pasan infinitas rectas. Asi mismo
"Por un punto del plano pasan infinitas rectas". .............................. 19
2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN ............ 19
2.2. ECUACION DE LA RECTA QUE NO PASA POR EL ORIGEN ..... 20
2.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. ......... 20
2.2.2. ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS ........ 23
2.3. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPEDICULARES ............... 24
2.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. ......... 24
EJEMPLO. 5 Hallar la longitud de los lados de un tria ngulo A(2,3),
B(5,1) Y C(4,6) ............................................................................................... 27
AB d=(5 − 2)2 + (1 − 3)2 ............................................................................ 27
d=(3)2 + (2)2 ................................................................................................... 27
d=9 + 4 .............................................................................................................. 27
d=13 ................................................................................................................... 27

BC d=(4 − 5)2 + (6 + 1)2 .............................................................................. 27
d=(1)2 + (5)2 ................................................................................................... 27
d=1 + 25 ........................................................................................................... 27
d=26 .................................................................................................................. 27
B,C d=(4 − 2)2 + (6 − 3)2 ............................................................................. 27
d=(2)2 + (3)2 ................................................................................................... 27
d=4 + 9 .............................................................................................................. 27
d=13 .................................................................................................................. 27
2.3.2. PRÁCTICA ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES
EJERCICIOS ............................................................................................... 28
3. LA CIRCUNFERENCIA ...................................................................... 32
3.1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS. .................................................... 32
3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA .................. 37
4. LA PARABOLA .................................................................................. 40
4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES PARABÓLICAS. ...................... 42
5. LA ELIPSE. ......................................................................................... 48
6. HIPÉRBOLAS. Se llama hipérbola al lugar geométrico de los
puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos
fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). A éstos
es centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio
O de [FF’] es el centro de la hipérbola. .................................................... 58
69

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