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Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
Dedicatoria 
1
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2 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
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Agradecimiento 
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Lic. Ignacio Choque Ayma
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5
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Lic. Ignacio Choque Ayma
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GEOGEBRA 
MANUAL DE USO EN GEOMETRÍA ANALÍTICA 
GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne 
dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus 
Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para la 
enseñanza de matemática escolar. 
A) VISTAS GRÁFICA DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS 
GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático: 
una Vista Gráfica, una, numérica, Vista Algebraica y además, una Vista de 
Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos 
matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en el caso 
de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos, 
ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del 
7
MATEMÁTICA 
2013 
mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación 
automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de 
ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente. 
En este entendido para este texto utilizaremos las herramientas mas 
usuales para la geometría analítica. 
8 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
B) RECTA Y SUS HERRAMIENTAS 
Bisectriz 
La bisectriz de un ángulo (ver también el comando Bisectriz), 
puede definirse de dos maneras 
• Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ángulo 
determinado por A, B y C, con B como vértice. 
• Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos. 
Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1. 
Atención: La dirección de la bisectriz es la del vector perpendicular del 
segmento s o AB. 
Recta que pasa por Dos Puntos 
Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que 
fija la dirección de la recta es (B ‐ A). (Ver también el comando Recta), 
Atención: La dirección del vector de la recta es (B ‐ A). 
Recta Paralela 
Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que 
pasa por A y es paralela a g. (Ver también el comando Recta).
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
9 
Atención: La dirección del vector de esta recta es la de g. 
Mediatriz 
La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o 
sus dos puntos A 
y B extremos. 
Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector 
perpendicular al segmento 
s. o AB (Ver también el comando Mediatriz). 
Recta Perpendicular 
Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por 
A y es perpendicular a g. (Ver también el comando Perpendicular). 
Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector 
perpendicular a g. 
C) SECCIONES CÓNICAS Y SUS ERRAMIENTAS 
Circunferencia dados su Centro y Radio 
Tras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana 
para ingresar el valor del radio. (Ver también el comando Circunferencia). 
Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos 
Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una 
circunferencia con centro en M que pasa por P. (Ver también el comando 
Circunferencia).
MATEMÁTICA 
2013 
10 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
Atención: El radio del círculo es la distancia MP.1 
Circunferencia dados Tres de sus Puntos 
Al seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los 
cruza. 
(Ver también el comando Circunferencia). 
Atención: Si los tres puntos estuvieran alineados, la circunferencia quedaría 
reducida a una recta. 
Compás 
Al seleccionar un segmento o dos puntos, queda especificado el radio 
y un clic posterior sobre un punto, lo marca como centro de la 
circunferencia a trazar. (Ver también el comando Circunferencia). 
Parábola 
La parábola se trazará al seleccionar un punto que será su foco y su directriz 
(recta, semirrecta o segmento). (Ver también el comando Parábola). 
Elipse 
La elipse se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y 
luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando Elipse). 
Hipérbola La hipérbola se trazará al seleccionar sus dos focos en 
1 Cómo es posible que flote sobre el mar 
un barco de acero, de miles de 
toneladas, y en cambio tú te hundas en 
la piscina si no haces algo para evitarlo
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando 
Hipérbola). 
Por tanto este programa representa una tecnología informática que puede 
tener gran impacto en los procesos de mediación en la educación 
matemática a nivel secundario, pues ofrece la posibilidad de trabajar la 
Geometría y el Álgebra simultáneamente de formas dinámicas, atractivas e 
integradas. 
En este sentido, representa un micro mundo de posibilidades, que ofrece 
gran autonomía y capacidad de manipulación a sus usuarios; un entorno 
dinámico e interactivo con prestaciones que: 
Requieren la realización de acciones informáticas relativamente complejas 
(diseño, programación, ejecución). Devuelven resultados 
11 
matemáticos (como gráficas, construcciones, transformaciones, 
cálculos), y para matemáticos 
(como simulaciones, modelos, 
clasificaciones, ordenamientos e 
iteraciones). 
Facilitan el desarrollo de 
acciones matemáticas (como 
resolución de problemas, 
demostración, aplicación, 
verificación), y metamatemáticas 
(como análisis, deducción, 
inducción, reflexión, enseñanza, 
aprendizaje, valoración y 
experimentación).
MATEMÁTICA 
2013 
2Las prestaciones del GeoGebra es para explorar conceptos como: los 
triángulos y sus puntos notables, la línea recta, la circunferencia, la elipse, la 
parábola, hipérbola. Por lo tanto nos servirá para sobreponer la enseñanza 
rutina en la educación secundaria, pero al mismo tiempo, permitira analizar 
los alcances y limitaciones del GeoGebra en el estudio de conceptos 
elementales de la Geometría Analítica. 
La geometría analítica estudia las relaciones entre puntos, rectas, ángulos, 
distancias, de un modo algebraico, mediante fórmulas algebraicas y 
ecuaciones. Para ello es imprescindible utilizar un sistema de referencia: un 
punto fijo (origen) y unos ejes (cartesianos) y una orientación. Tal 
referencia es bien conocida. Tal 
como vemos en la figura 
Los ejes cartesianos son 
perpendiculares. En el punto 
de corte se sitúa el origen: 
푂 (0, 0). 
El eje horizontal se llama eje 
de abscisas, o eje de las X. A la 
derecha del origen las abscisas 
son positivas; a la izquierda, 
12 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
negativas. 
El eje vertical se llama eje de ordenadas, o eje de las Y. Por encima del 
origen las ordenadas son positivas; por debajo, negativas. 
2 Una cuerda fina clavada muy tensa en la pared o un rayo de 
luz representan lo que es una recta. Es una línea continua en 
una dirección que se mantiene fija, sin saltos o 
interrupciones, que no tiene principio ni tiene fin, ya que está 
formada por infinitos puntos.
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
Cualquier punto del plano se designa por dos números, en general por sus 
coordenadas x e y: 푃(푥, 푦). 
13
MATEMÁTICA 
2013 
14 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
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1. RECTA EN EL PLANO 
Una recta es un conjunto de puntos del plano que cumplen una 
determinada ecuación. La ecuación general de una recta (que también se 
llama ecuación implícita o cartesiana) es de la forma: 
15 
푎푥 + 푏푦 + 푐 = 0 
1.1. BISECTRIZ DE DOS 
RECTAS: 
Dibuja las bisectrices de las dos 
rectas siguientes y halla sus 
ecuaciones. 
푟: 5푥 – 12푦 + 22 = 0; 
푠: 4푥 – 3푦 + 11 = 0 
a) En la Barra de Entrada, 
introduce: 
b) Dibuja de igual forma la 
recta s y r 
c) Muestra el nombre y el 
valor de las dos rectas. 
d) Elige Bisectriz y haz clic en la recta r y en la recta s 
e) Muestra en las dos bisectrices y el nombre. 
f) En la ventana Algebraica, modifica una de las ecuaciones de las rectas 
y verás cómo cambian las bisectrices y sus ecuaciones. También puedes 
introducir las nuevas ecuaciones en la Barra de Entrada.3 
3 Expresar el número 12 por medio de cuatro treses es muy sencillo: 
12 = 3 + 3 + 3 + 3.
MATEMÁTICA 
2013 
1.2. EL CIRCUNCENTRO 
DE UN TRIÁNGULO 
Dibuja el triángulo que tiene 
como vértices los puntos A = 
(6, 2), B = (1, –3) y C = (–3, 
5). Halla las mediatrices de 
sus lados, sus ecuaciones, el 
circuncentro, la 
circunferencia circunscrita y 
su ecuación. 
a) En la Barra de Entrada, introduce uno a uno los puntos 푨 = (ퟔ, 
16 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
ퟐ), 푩 = (ퟏ, – ퟑ) 푦 푪 = (ퟑ, ퟓ) 
b) Dibuja el triángulo ABC 
c) Dibuja las mediatrices. 
d) Muestra las coordenadas del 
circuncentro. 
1.3. EL BARICENTRO DE UN 
TRIÁNGULO: 
a) Dibuja un triángulo de 
vértices 퐴 = (6, 1), 퐵 = 
(1, 4) 푦 퐶 = (– 1, – 2) y 
halla el baricentro. 
b) Dibuja las medianas y halla el baricentro. Geometría dinámica: 
interactividad
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
c) Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana 
17 
Algebraica o 
introduce en la 
Barra de Entrada 
sus coordenadas; 
observa las nuevas 
coordenadas del 
baricentro. 
1.4. EL INCENTRO DE 
UN TRIÁNGULO: 
a) Dibuja un triángulo de 
vértices 푨 = 
(ퟐ, ퟑ), 푩 = 
(ퟏ, −ퟑ) 푦 푪 = (ퟐ, – ퟐ) 
y halla el incentro 
b) Dibuja las bisectrices y halla el incentro. 
c) Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana Algebraica o 
introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas 
coordenadas del incentro. 
1.5. EL ORTOCENTRO DE UN 
TRIÁNGULO: 
2. Dibuja un triángulo de 
vértices 푨 = (−ퟐ, ퟐ), 푩 = 
(ퟏ, −ퟑ) 푦 푪 = (ퟐ, ퟑ) y halla el 
ortocentro 
3. Dibuja las alturas y halla el 
ortocentro
MATEMÁTICA 
2013 
4. Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana Algebraica o 
introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas 
coordenadas del ortocentro. 
18 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
19 
2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN 
EL PLANO 
Sabemos que en un punto del espacio pasan 
infinitas rectas. Asi mismo "Por un punto del 
plano pasan infinitas 
rectas". 
Por lo tanto dos puntos del espacio. ¿Cuántas 
rectas unen a esos dos puntos? "Dos puntos del 
espacio determinan una sola recta". 
Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del 
plano determinan una sola recta" 
2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN 
Vamos ahora a demostrar que toda recta que pasa por el origen del sistema 
de coordenadas está 
representada por una función 
de la forma 풚 = 풎풙 o sea una 
función de dos variables de 
primer grado, sin término 
independiente, en la que m es 
una constante cuyo significado 
estableceremos 
posteriormente. Para esto, 
necesitamos hacer ver que esta 
función establece o expresa la 
condición común a que se 
ajustan absolutamente todos 
los puntos que constituyen una recta que pasa por el origen, en otras 
palabras debemos hacer constar que la ordenada y de todo punto de la recta 
efectivamente es igual al producto de la constante m por la abscisa x de 
dicho punto, es decir 풚 = 풎풙.
MATEMÁTICA 
2013 
2.2. ECUACION DE 
LA RECTA QUE NO PASA 
POR EL ORIGEN 
Se trata ahora de demostrar 
que una función de dos 
variables de primer grado con 
término independiente, o sea 
una función de la forma. 
풚 − 풚ퟏ = 풎(풙 − 풙ퟏ) 
2.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. 
EJEMPLO. 1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y 
tiene un ángulo de inclinación de 135º 
Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto 
dado. Como conocemos el punto 푃(4, −1) podemos calcular dicha 
recta, pero también es necesario 
determinar el valor de la pendiente 
m, la cual calcularemos de la 
siguiente forma: m= Tg (135º); 
donde 풎 = −ퟏ Sustituimos los 
valores en la expresión y 
obtenemos; 
20 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
풀 − (−ퟏ) = −ퟏ(푿 − ퟒ) 
풀 + ퟏ = −푿 + ퟒ 
풀 = − 푿 – ퟑ
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
21 
EJEMPLO. 2 Hallar la 
ecuación de la recta que 
pasa por el siguiente par de 
puntos (–7, 11), (1, 7) 
Por medio de los puntos dados 
buscamos el valor de la 
pendiente aplicando la 
formula correspondiente y 
obtenemos que: m= -1/2 
Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado 
dos puntos, y obtenemos: 
− 7 = −1/2 (푥 − 1) 
푦 − 7 = −1/2푥 + 1/2 
푦 = −1/2푥 + 15/2 
풙 + ퟐ풚 – ퟏퟓ = ퟎ 
EJEMPLO. 3 hallar la distancia entre los puntos 푨(ퟑ, ퟓ), 푩(ퟑ, – ퟕ) 
푑 = √ (3 – 3)2 + (5 + 7)2 
= √ 122 
= 12
MATEMÁTICA 
2013 
EJEMPLO. 4 hallar la distancia entre los puntos 푨(– ퟖ, ퟑ), 푩(– ퟔ, ퟏ) 
22 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
푑 = √(– 8 + 6)2 + (3 – 1)2 
= √4 + 4 
= √8 
= 2 √ 2 
EJEMPLO. 4 hallar la 
distancia entre los 
puntos A(0, –3), B(–5, 1) 
푑 = √25 + (– 3 – 1)2 
= √25 + 16 
= √ 41
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
2.2.2. ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 
a) Dibujar la recta de ecuación 푦 = 4/5푋 + 3. 
b) Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y 
la pendiente de la recta que lo une al punto 퐴(3,4) es 1/2. Determinar 
las coordenadas del punto. 
c) Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el 
punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados. 
d) Una diagonal de un cuadrado une los vértices 퐴(1,2) 푦 퐶(2,5). Obtener 
las ecuaciones de los lados del cuadrado. NOTA: Tomando en 
consideración que cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la 
diagonal. 
23 
4 
4 Una cadena de 28 fichas 
¿Por qué las 28 fichas del dominó se 
pueden colocar, cumpliendo las
MATEMÁTICA 
2013 
2.3. RECTAS PARALELAS Y RECTAS 
PERPEDICULARES 
Serán paralelas si y solo si . 
Además, serán coincidentes cuando 
24 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
Serán perpendiculares si y sólo si 
, es decir: 
2.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. 
EJEMPLO. 1 Halla la ecuación de la recta que pasa por (4, 5). y es 
Paralela a la recta 풚 = – ퟐ풙 + ퟑ 
푚 = – 2 
Remplazando en la dela recta es: 
푦 = 5 – 2(푥 – 4) 
푦 = 5 − 2푥 + 4 
푦 = −2푥 + 9 
reglas del juego, en una cadena 
continua?
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
25 
EJEMPLO. 2 Escribe la 
ecuación de la recta que pasa 
por 푷(−ퟏ, ퟐ) y es paralela a 
recta ퟑ풙 − 풚 + ퟒ = ퟎ. 
Obtenemos la pendiente de la 
recta dada 
3푥 − 푦 + 4 = 0 
푦 = 3푥 + 4 
푝푒푛푑푖푒푛푡푒 = 3 
La recta paralela tiene la misma 
pendiente; su ecuación será 
푦 = 2 + 3 (푥 + 1) 
푦 = 2 + 3푥 + 3 
3푥 − 푦 + 5 = 0 
EJEMPLO. 3 Hallar la 
ecuación implícita de la 
recta perpendicular a ퟐ풙 + 
풚 − ퟑ = ퟎ que pasa por el 
punto 푷(ퟏ, ퟏ) 
Obtenemos la pendiente de la 
recta dada: 
2푥 + 푦 − 3 = 0 
푦 = −2푥 + 3 
푝푒푛푑푖푒푛푡푒 = −2
MATEMÁTICA 
2013 
26 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
La pendiente de la perpendicular es: 
−1 
−2 
= 
1 
2 
La ecuación de la recta buscada será: 
푦 = 1 + 
1 
2 
(푥 − 1) 
2푦 = 2 + 푥 − 1 
푥 − 2푦 + 1 = 0 
EJEMPLO. 4 Comprueba que el triángulo de vértices 푨(– ퟏ, ퟎ), 푩(ퟑ, ퟐ), 
푪(−ퟏ, ퟒ) es isósceles. 
¿Cuáles son los lados 
iguales? 
푨푩 = √ (– ퟏ – ퟑ)ퟐ + (ퟎ – ퟐ)ퟐ 
= √ ퟏퟔ + ퟒ = √ ퟐퟎ 
푨푪 = √ (– ퟏ + ퟏ)ퟐ + (ퟎ – ퟒ)ퟐ
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
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27 
= √ퟎ + ퟏퟔ = √ ퟏퟔ = ퟒ 
푩푪 = √√ (ퟕ – ퟑ)ퟐ + (ퟒ – ퟐ)ퟐ 
= √ ퟏퟔ + ퟒ = √ ퟐퟎ 
EJEMPLO. 5 Hallar la longitud de los lados de un tria ngulo A(2,3), 
B(5,1) Y C(4,6) 
AB d=√(5 − 2)2 + (1 − 3)2 
d=√(3)2 + (2)2 
d=√9 + 4 
BC d=√(4 − 5)2 + (6 + 1)2 
d=√(1)2 + (5)2 
d=√1 + 25 
B,C d=√(4 − 2)2 + (6 − 3)2 
d=√(2)2 + (3)2 
d=√4 + 9 
d=√ퟏퟑ 
d=√ퟐퟔ 
d=√ퟏퟑ
MATEMÁTICA 
2013 
28 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
5 
2.3.2. PRÁCTICA ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 
 Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es 푦 = 푚푥 + 5, para 
que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por 
las ecuaciones 푦 = −3푥 − 5, 푦 = 4푥 + 2. 
 La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación 
sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4 푥 + 9 푦 − 27 = 
0 . 
 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 푃(−3, −5) y es 
paralela a la recta 푦 = − 2/3푥 + 9 
 Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección 
de las rectas: 5 푥 − 3 푦 = − 2 y 8 푥 + 7 푦 = 44 y es 
perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: 푦 = 2/3푥 + 
1 
 Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de 
vértices A(–2, –1), B(3, 1), C(1, 6) es rectángulo. 
5 Teorema de Pitágoras, relaciona los tres 
lados de un triángulo rectángulo, y que 
establece que el cuadrado del lado mayor 
(hipotenusa) es igual a la suma de los 
cuadrados de los otros dos lados (catetos)
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
29
MATEMÁTICA 
2013 
30 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
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31
MATEMÁTICA 
2013 
32 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
6 
3. LA CIRCUNFERENCIA 
Se llama circunferencia al lugar geométrico 
de los puntos de un plano que 
equidistante de un punto fijo del mismo 
plano. 
Dicho punto fijo se llama centro, a la 
distancia de cualquier punto de la 
circunferencia al centro se acostumbra a 
llamar radio 
Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro 
en el origen y radio r se obtiene haciendo 푎 = 푏 = 0 
푥2 
+ 푦2 
= 푟2 
Notemos también que en general una circunferencia tal como 
(푥 − 푎)2 
+ (푦 − 푏)2 
= 푟2 
3.1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS. 
EJEMPLO 1. Dada la ecuación de una circunferencia en la forma general 
representarla en la forma normal. ퟒ풙ퟐ + ퟒ풚ퟐ – ퟏퟔ풙 + ퟐퟒ풚 + ퟐퟕ = ퟎ 
4푥2 + 4푦2 – 16푥 + 24푦 = −27 
4(푥2 + 4푥) + 4(푦2 + 6푦) = −27 
6 LIBÉRATE
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
4(푥2 + 4푥 + 4) + 4(푦2 
2 2 
x y 
4 2 4 3 
33 
+ 6푦 
+ 9) 
= −27 
+ 16 − 36 
    
    
25 
4 
2 3 
25 
4 
4 
2 2 
    
 
   
x y 
2 2 2 
    
x  h  y  k  
r 
5 
2 
(3, 5) 
  
 
C 
radio r 
EJEMPLO 2. Halla la ecuación de la 
circunferencia de centro (– ퟓ, ퟏퟐ) y 
radio 13. Comprueba que pasa por 
el punto (ퟎ, ퟎ). 
Aplicando la formula de la 
circunferencia obtenemos: 
(푥 + 5)² + (푦 – 12)² = 132 
푥² + 푦² + 10푥 – 24푦 = 0 
Si sustituimos 푥 = 0, 푦 = 0 en la
MATEMÁTICA 
2013 
ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).7 
EJEMPLO 3. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa 
por el punto 퐏(ퟏ, ퟎ) sabiendo que la circunferencia 퐱² + 퐲² − ퟐ 퐱 − 
ퟖ 퐲 + ퟏퟑ = ퟎ es concéntrica a 
ella 
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Lic. Ignacio Choque Ayma 
풙² + 풚² − ퟐ 풙 − ퟖ 풚 + ퟏퟑ = ퟎ . 
( 푥² − 2 푥 + 1 − 1 ) + ( 푦² − 8 푦 
+ 16 − 16 ) + 13 
= 0 
( 푥 − 1 )² + ( 푦 − 4 )² = 4 
Por tanto la ecuación buscada tiene 
radio, la distancia entre el punto 
centro y el punto indicado 
anteriormente. 
√(1 − 1)2 + (4 − 0)2 = √16 ⇒ 푟 = 4 
Entonces la ecuación es 
( 푥 − 1 )² + ( 푦 − 4 )² = 16 
EJEMPLO 4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta 
definido por los puntos: 퐴(−8, −2) y 퐵(4,6). Obtener la ecuación de 
dicha circunferencia. 
7 El radio es el segmento 
que une cualquier punto 
de la circunferencia con 
su centro
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Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
Solución. El centro es el punto 
medio del diámetro, cuyas 
coordenadas se obtienen 
aplicando las fórmulas para el 
punto medio de un segmento, 
en este caso A B: 
Por tanto, el centro 
푒푠 퐶(−2,2) El radio es la 
distancia del centro C a 
cualquiera de los extremos del 
diámetro, es decir: radio 
35 
푟 = 퐶 퐵 ² 
( − 2 − 4 )² + ( 2 − 6 )² 
36 + 16 = 52 , 
Por lo tanto, 푟 ² = 52 = 푟푎푑푖표 
La ecuación de la circunferencia pedida es: 
( 푥 + 2 )² + ( 푦 − 2 )² = 52. 
EJEMPLO 5. Comprobar que la recta 2 푦 + 푥 = 10 es tangente a la 
circunferencia 푥² + 푦² − 2 푥 − 4 푦 = 0 y determinar el punto de 
tangencia. 
Solución: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, 
despejamos a x de la primera ecuación: 
푥 = 10 − 2 푦 
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y 
simplificando, se obtiene: (10 − 2 푦 )² + 푦² − 2 ( 10 − 2 푦 ) − 
4 푦 = 0
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2013 
100 − 40 푦 + 4 푦² + 푦² − 20 
+ 4 푦 − 4 푦 = 0 
5 푦² − 40 푦 + 80 = 0 
푦2 − 8 푦 + 16 = 0 
Resolviendo para y: Aplicamos 
ecuación cuadrática y obtenemos 
que 푦 = 4, sustituimos este valor 
de 푦 = 4 en la ecuación despejada 
de X: 
푥 = 10 − 2 ( 4 ) 
36 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
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푥 = 10 − 8 
푥 = 2 
De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la 
circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común 푇 (2,4) , que es 
precisamente el de tangencia.8 
8 “Un matemático dice A, escribe B, 
quiere decir C, pero lo que significa es 
C. Y de hecho D es una idea 
espléndida que emerge al poner 
orden en la confusión”. (Morris Klein)
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3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA 
 Circunferencia de centro 퐶 (– 3, 4) y radio 5. Comprueba sí pasa por el 
origen de coordenadas. 
 Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya 
ecuación es: 9 푥² + 9 푦² − 12 푥 + 36 푦 − 104 = 0. 
Trazar la circunferencia 
 Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación: 
4푥² + 4 푦² + 4푥 + 4푦 − 2 = 0. 
 El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por 
los puntos: 퐴(−8, −2) y 퐵(4,6). Obtener la ecuación de dicha 
circunferencia.9 
9 - “El olvido de las matemáticas 
perjudica a todo el conocimiento, ya 
que el que las ignora no puede conocer 
las otras ciencias ni las cosas de este 
mundo”.(Roger Bacon) 
37
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2013 
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39
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2013 
4. LA PARABOLA 
Se llama parábola al lugar 
geométrico de los puntos del plano 
que equidistan de un punto fijo, 
llamado foco, y de una recta fija 
llamada directriz. 
La distancia entre el foco y la 
directriz de una parábola recibe el 
nombre de parámetro de la parábola 
(suele denotarse por p). 
Dada una parábola, se llama eje de la 
misma la recta que contiene al foco y 
es perpendicular a la directriz. 
Se llama vértice de la parábola al 
punto donde ésta corta a su eje. 
Para simplificar la parábola, se 
supondrá que el vértice es el origen 
de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de 
abscisas. 
40 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
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Ecuación canónica de la parábola 
La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en 
el punto 퐹 = 
푃 
2 
, 0 푦 = 2푝푥 
La directrices una recta vertical de la ecuación 푥 = − 
푃 
2 
, 0 osea 푥 + 
푃 
2 
= 0 
Dando un punto 푃 = (푥, 푦) del plano, su distancia al foco es
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41 
푑(퐹, 푃) = √(푥 − 
푃 
2 
)2 + 푦2 
La distancia a la directriz es 푑(푃, 푑) = |푥 + 
푃 
2 
| 
La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan: 
√(푥 − 
푃 
2 
) 
2 
+ 푦2 = |푥 + 
푃 
2 
| 
Elevando al cuadrado: 
(푥 − 
푃 
2 
) 
2 
+ 푦2 = (푥 + 
푃 
2 
2 
) 
푥2 − 푝푥 − 
푃2 
4 
+ 푦2 = 푥2 + 푝푥 + 
푃2 
4 
−푝푥 + 푦2 = 푝푥 Þ 푦2 = 2푝푥 
Hay otros tres casos elementales de parábolas: 
Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la 
ecuación es 푦2 = −2푝푥. 
Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la 
ecuación es푥2 
= 2푝푦. 
Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la 
ecuación es 푥2 
= −2푝푦. 10 
10 La longitud de una circunferencia 
es igual a su diámetro multiplicado por 
el número 
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Parábola con vértice en un punto cualquiera 
Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (푥0, 푦0) su ecuación 
será, según los casos: 
Eje horizontal y foco a la derecha: (푦 − 푦0)2 
= 2푝(푥 − 푥0) 
Eje horizontal y foco a la izquierda: (푦 − 푦0)2 
= −2푝(푥 − 푥0) 
Eje vertical y foco por encima: (푥 − 푥0)2 
= 2푝(푦 − 푦0) 
Eje vertical y foco por debajo: (푥 − 푥0)2 
= −2푝(푦 − 푦0) 
Reducción de la ecuación de una parábola 
Dada una ecuación del tipo 퐴푥2 
+ 퐵푥 + 퐶푦 + 퐷 = 0 o del tipo 
퐴푦2 
+ 퐵푥 + 퐶푦 + 퐷 = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de 
una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula 
adecuadamente el otro miembro. 
4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES PARABÓLICAS. 
EJEMPLO 1. Hallar la ecuación reducida de la parábola 
2푥2 
+ 8푥 + 3푦 − 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz. Se ha de 
transformar esta ecuación en una de la forma: 
(푦 − 푦0)2 = ± 2푝(푥 − 푥0) ó (푥 − 푥0)2 = ± 2푝(푦 − 푦0) 
La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en 
una del tipo (푥 − 푥0)2 = ± 2푝(푦 − 푦0) 
2푥2 + 8푥 + 3푦 − 5 = 0 Þ 2푥2 + 8푥 = −3푦 + 5 Þ 
푥2 + 3푥 = (푥 + 2)2 − 4. Se sustituye en la ecuación:
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43 
Se trata de una parábola con el eje 
vertical y el foco por debajo del vértice. 
Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice. 
Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del 
vértice: 
Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene 
sumándole la mitad del parámetro a la del vértice: 
11 
11 Exprese el número 10 con cinco nueves. 
Hágalo, por lo menos, por dos procedimientos.
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EJEMPLO 2. Hallar los elementos de la parábola 푦2 − 4푥 + 6푦 + 13 = 0. 
Resolución: Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que 
ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y: 
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푦2 + 6푦 = 4푥 − 13 
푦2 
+ 6푦 = 푦2 
+ 2 · 3푦 + 32 
− 32 
= (푦 + 3)2 − 9. 
(푦 + 3)2 
− 9 = 4푥 − 13 Þ 
(푦 + 3)2 = 4푥 − 4 
(푦 + 3)2 
= 4(푥 − 1) 
Es una parábola con vértice en el 
punto (1, −3). 
Su parámetro es 푝 + 
4 
2 
= 2, el eje es 
orizontal y el foco es a la derecha de 
vertice 
El foco es 퐹 (1 + 
푃 
2 
, −3) = 
(1 + 1,3) = (2, −3) 
La directriz se obtiene restándole la 
mitad del parámetro a la abscisa del vértice: x = 1 - 1 = 0. La directriz es 
el eje de ordenadas. 
12 
12 Piense en un número menor de 10 (y que no sea 
cero) Añádele 29, Quite la última cifra de la suma., 
Multiplique lo que queda por 10., Súmele 4 al 
producto. Multiplique lo obtenido por 3. Réstele 2 al 
resultado. (Ahora tendrá 100)
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EJEMPLO 3 Dadas las parábolas siguientes, calcular; las coordenadas del 
vértice, las coordenadas del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación 
de la directriz. 푦2 -4y +6x -8 = 0 
45 
푦2 -4y +6x -8 = 0 
(푦 − 2)2 - 22 + 6x = 8 
(푦 − 2)2 = - 6푥 + 12 
(푦 − 2)2 = - 6 (x + 2) 
V= (-2,2 
F= (h + q, k) 
F= (- 2+ (-1, 5), 2) 
F= (- 2-1.5, 2) 
F= (- 3.5, 2) 
EJEMPLO 4 Hallar característica y grafica de la parábola 푥2 = 6y 
determinar la longitud de a: 
4a = 6 
a= 1,5 
F: (0, a) 
F:(0, 1.5) 
Eje: x 
V: (0,0)
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47
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5. LA ELIPSE. 
DEFINICIÓN. Se 
llama elipse al 
lugar geométrico 
de los puntos 
tales que la suma 
de sus distancias 
a dos puntos 
fijos, llamados 
focos, es una 
constante. 
La línea que une 
los dos focos se 
llama eje 
principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. 
Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. 
El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia 
entre ellos se llama distancia 
focal . 
Generalmente el eje principal 
se representa por 2a y la 
distancia focal por 2c. Los 
valores a y c se llaman semieje 
principal y semidistancia focal, 
respectivamente. 
Cálculo del eje secundario 
Llamando 2b al eje secundario,
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P al vértice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por el 
teorema de Pitágoras: 
49 
Por definición de elipse, 
A la distancia b se le llama semieje secundario. 
Ecuación canónica de la elipse 
La ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0) y F'' (- 
c, 0) es: 
Vértices de una elipse referida a sus ejes 
(0, 푏) 푦 (0, −푏). 
El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su 
intersección con la elipse se 
resuelve el sistema: 
Los vértices son (푎, 0) 푦 (−푎, 0)
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Eje secundario: Se resuelve el sistema: 
Los otros dos vértices son (0, b) y (0, 
-b) 
Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas 
Desarrollando esta ecuación, se obtiene: 
푏2푥2 
− 2푏2푥0 
푥 + 푏2푥0 
2 
+ 푎2푦2 
− 2푎2 
푦0푦 + 푎2푦0 
2 
− 푎2푏2 
= 0, Que se 
puede poner en la forma: 
퐴푥2 
+ 퐵푦2 
+ 퐶푥 + 퐷푦 + 퐸 = 0 Donde A y B son del mismo signo. 
Ecuación de una elipse vertical 
Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por: 
EJEMPLO 1. Reducir la ecuación 4푥2 
+ 9푦2 
− 8푥 + 18푦 − 23 = 0. Si 
se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices. Se agrupan 
los términos en x2 con los términos en x y los términos en y2 con los 
términos en y: 
(4푥2 
− 8푥) + (9푦2 
+ 18푦) − 23 = 0
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51 
4(푥2 
− 2푥) + 9 (푦2 
+ 2푦) − 23 = 0 
푥2 
− 2푥 = 푥2 − 2푥 + 1 − 1 = (푥 − 1)2 
− 1 
푦2 
+ 2푦 = 푦2 
+ 2푦 + 1 − 1 = (푦 + 1)2 
− 1 
4[(푥 − 1)2 
− 1] + 9[(푦 + 1)2 
− 1] − 23 = 0 
4(푥 − 1)2 
+ 9(푦 + 1)2 
= 36 
Centro de la elipse: (1, −1) 
Focos: Para hallar los focos hay que observar que éstos se hallan en una 
recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues 
con sumar y restar c a la abscisa del centro. 
Los focos son 
Los vértices se obtienen 
sumando y restando a las 
coordenadas del centro los 
semiejes de la elipse: 
(1 ± 3, −1), lo que da los 
puntos (4, −1) 푦 (−2, −1) 
(1, −1 ± 2), lo que da los 
puntos (1, 1) 푦 (1, −3)
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EJEMPLO 2. Reducir y, en su caso, hallar los elementos de la cónica de 
ecuación 
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푥2 
+ 3푦2 
− 8푥 − 12푦 + 32 = 0 
(푥2 
− 8푥) + (3푦2 
− 12푦) + 32 = 0 
(풙ퟐ 
− ퟖ풙) + ퟑ(풚ퟐ − ퟒ풚) + ퟑퟐ = ퟎ 
풙ퟐ 
− ퟖ풙 = 풙ퟐ 
+ ퟏퟔ − ퟏퟔ − ퟖ풙 = (풙 − ퟒ)ퟐ 
− ퟏퟔ 
풚ퟐ 
− ퟒ풚 = 풚ퟐ 
+ ퟒ − ퟒ − ퟒ풚 = (풚 − ퟐ)ퟐ 
− ퟒ 
(풙 − ퟒ)ퟐ 
+ ퟑ (풚 − ퟐ)ퟐ 
− ퟏퟔ − ퟏퟐ + ퟑퟐ = ퟎ 
(풙 − ퟒ)ퟐ 
+ ퟑ(풚 − ퟐ)ퟐ 
= −ퟒ 
Como el primer miembro es suma de números positivos y el segundo es un 
número negativo, la ecuación no tiene solución y se trata de una elipse 
imaginaria. 
EJEMPLO 3. Hallar los elementos de la elipse 
ퟐퟓ풙ퟐ + ퟏퟔ풚ퟐ − ퟓퟎ풙 + ퟔퟒ풚 − ퟑퟏퟏ = ퟎ 
(ퟐퟓ풙ퟐ 
− ퟓퟎ풙) + (ퟏퟔ풚ퟐ 
+ ퟔퟒ풚) − ퟑퟏퟏ = ퟎ 
ퟐퟓ(풙ퟐ 
− ퟐ풙) + ퟏퟔ(풚ퟐ 
+ ퟒ풚) − ퟑퟏퟏ = ퟎ 
풙ퟐ 
− ퟐ풙 = 풙ퟐ 
− ퟐ · ퟏ풙 + ퟏퟐ 
− ퟏퟐ 
= (풙 − ퟏ)ퟐ 
− ퟏ 
풚ퟐ 
+ ퟒ풚 = 풚ퟐ + ퟐ · ퟐ풚 + ퟐퟐ 
− ퟐퟐ 
= (풚 + ퟐ)ퟐ 
− ퟒ 
ퟐퟓ(풙 − ퟏ)ퟐ 
− ퟐퟓ + ퟏퟔ(풚 + ퟐ)ퟐ 
− ퟔퟒ − ퟑퟏퟏ = ퟎ 
ퟐퟓ(풙 − ퟏ)ퟐ 
+ ퟏퟔ(풚 + ퟐ)ퟐ 
= ퟐퟓ + ퟔퟒ + ퟑퟏퟏ = ퟒퟎퟎ
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53 
Como el denominador de la 
segunda fracción es mayor que el 
de la primera, no puede ser 푎2 
= 
16 푦 푏2 
= 25, lo cual significa 
que la elipse tiene su eje principal 
vertical. 
Como el denominador de la 
segunda fracción es mayor que el 
de la primera, no puede ser 푎2 
= 
16 푦 푏2 
= 25, lo cual significa 
que la elipse tiene su eje principal vertical. 
El centro es (1, -2) 
Los vértices son: 
(1 ± 4, −2), 표 푠푒푎 (−3, −2) 푦 (5, −2); (1, -2 ± 5), o sea (1, -7) y (1, 3) 
Los focos son (1, -2 ± 3), es decir (1, - 5) y (1, 1)
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2 
2 
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Ejemplo 2. Dada la ecuación 
encuentre los focos y sus vértices 
4푥 
2 
+ 4푦 
2 
= 푥 
2 
+ 6푥 + 9 
3푥 
2 
+ 4푦 
2 
− 6푥 = 9 
3(푥 
2 
− 2푥 + 1 − 1) + 4푦 
2 
= 9 
3(푥 − 1) 
+ 4(푦 − 0) 
= 12 
Finalmente, dividiendo entre 12, se encuentra la ecuación de la elipse 
(x − 1)2 
4 
+ 
(y − 0)2 
3 
= 1
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55
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57
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6. HIPÉRBOLAS. Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del 
plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, 
llamados focos, es una constante (se representa por 2a). A éstos es 
centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio O 
de [FF’] es el centro de la hipérbola. 
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El eje focal (FF’) corta a la hipérbola en dos puntos A y A’ llamados vértices 
de la hipérbola y que están a distancia a del centro de la misma. El eje no 
focal no corta 
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz 
se llama eje imaginario de la hipérbola. 
El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto 
medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. 
Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente 
corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola. 
Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos 
focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos 
focos se les llama radios vectores del punto. 
A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se 
puede considerar . Este valor se llama semieje 
imaginario de la hipérbola. 
Hipérbola. Al igual que en la elipse, se considerarán en primer 
lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con 
focos en el eje de abscisas. 
Cálculo de los radios vectores de un punto 
En un punto P(x, y) de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 
0) los radios vectores son: 
59 
Los radios vectores son:
MATEMÁTICA 
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Eliminando los términos comunes: 
2cx = 4a2 - 2cx + 4a· 
Despejando: 
4a · = 2cx - 4a2 + 2cx = 4cx - 4a2, luego 
' = + 2a = ex - a + 2a = ex + a 
Nótese que se ha utilizado que la distancia ' es mayor que , lo cual sólo 
es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un punto del 
semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sido 
similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó 
valor absoluto en los segundos miembros.
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Ecuación canónica de la hipérbola 
La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es 
Demostramos: 
Se toma la expresión de uno de los radios vectores y se opera en ella: 
Sacando factor común (푐2 
− 푎2) 
61 
(푐2 
− 푎2) 푥2 
+ 푎2 
(푎2 
− 푐2) − 푎2푦2 = 0 
Pero 푐2 
− 푎2 
= 푏2, luego 
푏2푥2 
− 푎2푏2 
− 푎2푦2 
= 0. Dividiendo entre 푎2 
· 푏2, se 
obtiene: 
En el caso en que la hipérbola tuviese el eje vertical, la ecuación sería:
MATEMÁTICA 
2013 
62 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
Vértices de una hipérbola 
Los vértices de una hipérbola son los puntos donde 
ésta corta a sus ejes. 
ejes de coordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0. 
Los vértices son (a, 0) y (-a, 0) 
Esta ecuación no tiene solución, ya que el primer miembro es siempre 
negativo y el segundo es positivo. 
Asíntotas de una hipérbola 
Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta: 
Pero, para valores grandes de x , » x , siempre que a sea un número 
fijo. En efecto: 
Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta 
indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la 
diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola. 
Cálculo de las asíntotas de una hipérbola 
Por tanto, para calcular las asíntotas, se iguala a cero el primer miembro de 
la ecuación reducida de la hipérbola y se despeja y. 
Hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas 
Si se tiene una hipérbola con centro en un punto (x0, y0), procediendo 
como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuación es 
Vertical será 
Los focos serán, si el eje real es horizontal (푥0 ± 푐, 푦0) 푦 (푥0, 푦0 ± 푐 ) si es 
vertical. De la misma forma los vértices son 
63 
(푥0 ± 푎, 푦0) ó (푥0, 푦0 ± 푎 ) 
según que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente. 
Para hallar las asíntotas, se sustituye 1 por 0 en el segundo miembro y se 
extrae la raíz cuadrada.
MATEMÁTICA 
2013 
64 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
Reducción de la ecuación de la hipérbola 
Sea una ecuación de la forma Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 en la que A y B 
tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el 
caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de 
una hipérbola. 
EJEMPLO. 1 Hallar la ecuación 
reducida de la hipérbola 
4푥2 
− 9푦2 − 8푥 + 36푦 + 4 
= 0. 
Resolución: Se asocian los 
términos que tengan la misma 
incógnita y se saca factor 
común el coeficiente de 
segundo grado: 
(4푥2 
− 8푥) − (9푦2 
− 36푦) + 4 = 0 
4(푥2 
− 2푥) − 9(푦2 
− 4푦) + 4 = 0 
Se completan cuadrados en los paréntesis: 
푥2 
− 2푥 = 푥2 − 2 · 1푥 + 12 
− 12 
= (푥 − 1)2 
− 1 
푦2 
− 4푦 = 푦2 
− 2 · 2푦 + 22 
− 22 
= (푦 − 2)2 
− 4 
Se sustituye en la ecuación: 
4(푥 − 1)2 
− 4 − 9(푦 − 2)2 
+ 36 + 4 = 0 
4(푥 − 1)2 
− 9(푦 − 2)2 
= 4 − 36 − 4 = −36
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
Se divide entre -36:13 
Se trata, pues, de una hipérbola con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y 
sus semiejes son 푎 = = 2 푦 푏 = = 3 
65 
Los vértices son (1, 2 ± 2), es decir (1, 0) 푦 (1, 4). 
Asíntotas: 
EJEMPLO. 2 Hallar los elementos de la hipérbola 
푥2 
− 푦2 
+ 2푥 + 4푦 − 12 = 0 
Resolución: (푥2 
+ 2푥) − (푦2 
− 4푦) − 12 = 0 
푥2 
+ 2푥 = 푥2 
+ 2 · 1푥 + 12 
− 12 
= (푥 + 1)2 
− 1 
13 33 * 3 + 3 = 100.
MATEMÁTICA 
2013 
푦2 − 4푦 = 푦2 
− 2 · 2푦 + 22 
− 22 
= (푦 − 2)2 
− 4 
(푥 + 1)2 
− 1 − (푦 − 2)2 
+ 4 − 12 = 0 
(푥 + 1)2 
− (푦 − 2) = 1 − 4 + 12 = 9 
Se trata de una hipérbola con centro 
en (−1, 2), eje real horizontal, y 
semiejes 푎 = 3, 푏 = 3 (este tipo 
de hipérbolas que tienen iguales sus 
semiejes se llaman hipérbolas 
equiláteras). 
Los vértices son los puntos 
(−4, 2) 푦 (2, 2). 
66 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
14 
14 Con cinco treses 
Usted sabe, como es natural, que con cinco 
treses y los signos de las operaciones 
matemáticas se puede escribir el número 100 así:
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
Para hallar las asíntotas se iguala a cero el primer miembro de la ecuación 
reducida: 
67 
Þ (푥 + 1)2 = (푦 − 2)2 Þ 푥 + 1 = ±(푦 − 2) 
푥 + 1 = 푦 − 2 Þ 푦 = 푥 + 3 
푥 + 1 = −푦 + 2 Þ 푦 = 1 − 푥 
15 
15 Con cuatro cuatros 
le gustan las rompecabezas, 
intente componer todos los 
números del 1 al 100 con cuatro 
cuatros. Esto no es más difícil que 
expresar estos mismos números 
con treses. 
13. Con cuatro cincos 
Hay que expresar el número 16 
valiéndose de cuatro cincos unidos 
entre sí por los signos de las 
operaciones.
MATEMÁTICA 
2013 
68 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. 
Lic. Ignacio Choque Ayma 
ÍNDICE 
MANUAL DE USO EN GEOMETRÍA ANALÍTICA .............................................. 7 
A) VISTAS GRÁFICA DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS ................ 7 
B) RECTA Y SUS HERRAMIENTAS .................................................... 8 
C) SECCIONES CÓNICAS Y SUS ERRAMIENTAS .................................. 9 
1. RECTA EN EL PLANO ...................................................................... 15 
1.1. BISECTRIZ DE DOS RECTAS: ..................................................... 15 
1.3. EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO: ...................................... 16 
1.4. EL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO: .......................................... 17 
1.5. EL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO:..................................... 17 
2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN EL PLANO ....................... 19 
Sabemos que en un punto del espacio pasan infinitas rectas. Asi mismo 
"Por un punto del plano pasan infinitas rectas". .............................. 19 
2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN ............ 19 
2.2. ECUACION DE LA RECTA QUE NO PASA POR EL ORIGEN ..... 20 
2.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. ......... 20 
2.2.2. ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS ........ 23 
2.3. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPEDICULARES ............... 24 
2.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. ......... 24 
EJEMPLO. 5 Hallar la longitud de los lados de un tria ngulo A(2,3), 
B(5,1) Y C(4,6) ............................................................................................... 27 
AB d=(5 − 2)2 + (1 − 3)2 ............................................................................ 27 
d=(3)2 + (2)2 ................................................................................................... 27 
d=9 + 4 .............................................................................................................. 27 
d=13 ................................................................................................................... 27
Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA 
Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 
BC d=(4 − 5)2 + (6 + 1)2 .............................................................................. 27 
d=(1)2 + (5)2 ................................................................................................... 27 
d=1 + 25 ........................................................................................................... 27 
d=26 .................................................................................................................. 27 
B,C d=(4 − 2)2 + (6 − 3)2 ............................................................................. 27 
d=(2)2 + (3)2 ................................................................................................... 27 
d=4 + 9 .............................................................................................................. 27 
d=13 .................................................................................................................. 27 
2.3.2. PRÁCTICA ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES 
EJERCICIOS ............................................................................................... 28 
3. LA CIRCUNFERENCIA ...................................................................... 32 
3.1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS. .................................................... 32 
3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA .................. 37 
4. LA PARABOLA .................................................................................. 40 
4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES PARABÓLICAS. ...................... 42 
5. LA ELIPSE. ......................................................................................... 48 
6. HIPÉRBOLAS. Se llama hipérbola al lugar geométrico de los 
puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos 
fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). A éstos 
es centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio 
O de [FF’] es el centro de la hipérbola. .................................................... 58 
69

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  • 3. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 Agradecimiento 3
  • 4. MATEMÁTICA 2013 4 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 5. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 5
  • 6. MATEMÁTICA 2013 6 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 7. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 GEOGEBRA MANUAL DE USO EN GEOMETRÍA ANALÍTICA GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para la enseñanza de matemática escolar. A) VISTAS GRÁFICA DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una Vista Gráfica, una, numérica, Vista Algebraica y además, una Vista de Hoja de Cálculo. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos matemáticos en tres representaciones diferentes: gráfica (como en el caso de puntos, gráficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de cálculo. Cada representación del 7
  • 8. MATEMÁTICA 2013 mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara originalmente. En este entendido para este texto utilizaremos las herramientas mas usuales para la geometría analítica. 8 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma B) RECTA Y SUS HERRAMIENTAS Bisectriz La bisectriz de un ángulo (ver también el comando Bisectriz), puede definirse de dos maneras • Al marcar los tres puntos A, B, C se produce la bisectriz del ángulo determinado por A, B y C, con B como vértice. • Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos. Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1. Atención: La dirección de la bisectriz es la del vector perpendicular del segmento s o AB. Recta que pasa por Dos Puntos Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. El vector que fija la dirección de la recta es (B ‐ A). (Ver también el comando Recta), Atención: La dirección del vector de la recta es (B ‐ A). Recta Paralela Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es paralela a g. (Ver también el comando Recta).
  • 9. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 9 Atención: La dirección del vector de esta recta es la de g. Mediatriz La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus dos puntos A y B extremos. Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular al segmento s. o AB (Ver también el comando Mediatriz). Recta Perpendicular Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es perpendicular a g. (Ver también el comando Perpendicular). Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular a g. C) SECCIONES CÓNICAS Y SUS ERRAMIENTAS Circunferencia dados su Centro y Radio Tras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana para ingresar el valor del radio. (Ver también el comando Circunferencia). Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con centro en M que pasa por P. (Ver también el comando Circunferencia).
  • 10. MATEMÁTICA 2013 10 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Atención: El radio del círculo es la distancia MP.1 Circunferencia dados Tres de sus Puntos Al seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los cruza. (Ver también el comando Circunferencia). Atención: Si los tres puntos estuvieran alineados, la circunferencia quedaría reducida a una recta. Compás Al seleccionar un segmento o dos puntos, queda especificado el radio y un clic posterior sobre un punto, lo marca como centro de la circunferencia a trazar. (Ver también el comando Circunferencia). Parábola La parábola se trazará al seleccionar un punto que será su foco y su directriz (recta, semirrecta o segmento). (Ver también el comando Parábola). Elipse La elipse se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando Elipse). Hipérbola La hipérbola se trazará al seleccionar sus dos focos en 1 Cómo es posible que flote sobre el mar un barco de acero, de miles de toneladas, y en cambio tú te hundas en la piscina si no haces algo para evitarlo
  • 11. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 primer lugar y luego, uno de sus puntos. (Ver también el comando Hipérbola). Por tanto este programa representa una tecnología informática que puede tener gran impacto en los procesos de mediación en la educación matemática a nivel secundario, pues ofrece la posibilidad de trabajar la Geometría y el Álgebra simultáneamente de formas dinámicas, atractivas e integradas. En este sentido, representa un micro mundo de posibilidades, que ofrece gran autonomía y capacidad de manipulación a sus usuarios; un entorno dinámico e interactivo con prestaciones que: Requieren la realización de acciones informáticas relativamente complejas (diseño, programación, ejecución). Devuelven resultados 11 matemáticos (como gráficas, construcciones, transformaciones, cálculos), y para matemáticos (como simulaciones, modelos, clasificaciones, ordenamientos e iteraciones). Facilitan el desarrollo de acciones matemáticas (como resolución de problemas, demostración, aplicación, verificación), y metamatemáticas (como análisis, deducción, inducción, reflexión, enseñanza, aprendizaje, valoración y experimentación).
  • 12. MATEMÁTICA 2013 2Las prestaciones del GeoGebra es para explorar conceptos como: los triángulos y sus puntos notables, la línea recta, la circunferencia, la elipse, la parábola, hipérbola. Por lo tanto nos servirá para sobreponer la enseñanza rutina en la educación secundaria, pero al mismo tiempo, permitira analizar los alcances y limitaciones del GeoGebra en el estudio de conceptos elementales de la Geometría Analítica. La geometría analítica estudia las relaciones entre puntos, rectas, ángulos, distancias, de un modo algebraico, mediante fórmulas algebraicas y ecuaciones. Para ello es imprescindible utilizar un sistema de referencia: un punto fijo (origen) y unos ejes (cartesianos) y una orientación. Tal referencia es bien conocida. Tal como vemos en la figura Los ejes cartesianos son perpendiculares. En el punto de corte se sitúa el origen: 푂 (0, 0). El eje horizontal se llama eje de abscisas, o eje de las X. A la derecha del origen las abscisas son positivas; a la izquierda, 12 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma negativas. El eje vertical se llama eje de ordenadas, o eje de las Y. Por encima del origen las ordenadas son positivas; por debajo, negativas. 2 Una cuerda fina clavada muy tensa en la pared o un rayo de luz representan lo que es una recta. Es una línea continua en una dirección que se mantiene fija, sin saltos o interrupciones, que no tiene principio ni tiene fin, ya que está formada por infinitos puntos.
  • 13. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 Cualquier punto del plano se designa por dos números, en general por sus coordenadas x e y: 푃(푥, 푦). 13
  • 14. MATEMÁTICA 2013 14 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 15. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 1. RECTA EN EL PLANO Una recta es un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada ecuación. La ecuación general de una recta (que también se llama ecuación implícita o cartesiana) es de la forma: 15 푎푥 + 푏푦 + 푐 = 0 1.1. BISECTRIZ DE DOS RECTAS: Dibuja las bisectrices de las dos rectas siguientes y halla sus ecuaciones. 푟: 5푥 – 12푦 + 22 = 0; 푠: 4푥 – 3푦 + 11 = 0 a) En la Barra de Entrada, introduce: b) Dibuja de igual forma la recta s y r c) Muestra el nombre y el valor de las dos rectas. d) Elige Bisectriz y haz clic en la recta r y en la recta s e) Muestra en las dos bisectrices y el nombre. f) En la ventana Algebraica, modifica una de las ecuaciones de las rectas y verás cómo cambian las bisectrices y sus ecuaciones. También puedes introducir las nuevas ecuaciones en la Barra de Entrada.3 3 Expresar el número 12 por medio de cuatro treses es muy sencillo: 12 = 3 + 3 + 3 + 3.
  • 16. MATEMÁTICA 2013 1.2. EL CIRCUNCENTRO DE UN TRIÁNGULO Dibuja el triángulo que tiene como vértices los puntos A = (6, 2), B = (1, –3) y C = (–3, 5). Halla las mediatrices de sus lados, sus ecuaciones, el circuncentro, la circunferencia circunscrita y su ecuación. a) En la Barra de Entrada, introduce uno a uno los puntos 푨 = (ퟔ, 16 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma ퟐ), 푩 = (ퟏ, – ퟑ) 푦 푪 = (ퟑ, ퟓ) b) Dibuja el triángulo ABC c) Dibuja las mediatrices. d) Muestra las coordenadas del circuncentro. 1.3. EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO: a) Dibuja un triángulo de vértices 퐴 = (6, 1), 퐵 = (1, 4) 푦 퐶 = (– 1, – 2) y halla el baricentro. b) Dibuja las medianas y halla el baricentro. Geometría dinámica: interactividad
  • 17. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 c) Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana 17 Algebraica o introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas coordenadas del baricentro. 1.4. EL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO: a) Dibuja un triángulo de vértices 푨 = (ퟐ, ퟑ), 푩 = (ퟏ, −ퟑ) 푦 푪 = (ퟐ, – ퟐ) y halla el incentro b) Dibuja las bisectrices y halla el incentro. c) Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana Algebraica o introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas coordenadas del incentro. 1.5. EL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO: 2. Dibuja un triángulo de vértices 푨 = (−ퟐ, ퟐ), 푩 = (ퟏ, −ퟑ) 푦 푪 = (ퟐ, ퟑ) y halla el ortocentro 3. Dibuja las alturas y halla el ortocentro
  • 18. MATEMÁTICA 2013 4. Arrastra un vértice del triángulo, modifícalo en la ventana Algebraica o introduce en la Barra de Entrada sus coordenadas; observa las nuevas coordenadas del ortocentro. 18 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 19. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 19 2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN EL PLANO Sabemos que en un punto del espacio pasan infinitas rectas. Asi mismo "Por un punto del plano pasan infinitas rectas". Por lo tanto dos puntos del espacio. ¿Cuántas rectas unen a esos dos puntos? "Dos puntos del espacio determinan una sola recta". Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del plano determinan una sola recta" 2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN Vamos ahora a demostrar que toda recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas está representada por una función de la forma 풚 = 풎풙 o sea una función de dos variables de primer grado, sin término independiente, en la que m es una constante cuyo significado estableceremos posteriormente. Para esto, necesitamos hacer ver que esta función establece o expresa la condición común a que se ajustan absolutamente todos los puntos que constituyen una recta que pasa por el origen, en otras palabras debemos hacer constar que la ordenada y de todo punto de la recta efectivamente es igual al producto de la constante m por la abscisa x de dicho punto, es decir 풚 = 풎풙.
  • 20. MATEMÁTICA 2013 2.2. ECUACION DE LA RECTA QUE NO PASA POR EL ORIGEN Se trata ahora de demostrar que una función de dos variables de primer grado con término independiente, o sea una función de la forma. 풚 − 풚ퟏ = 풎(풙 − 풙ퟏ) 2.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. EJEMPLO. 1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto dado. Como conocemos el punto 푃(4, −1) podemos calcular dicha recta, pero también es necesario determinar el valor de la pendiente m, la cual calcularemos de la siguiente forma: m= Tg (135º); donde 풎 = −ퟏ Sustituimos los valores en la expresión y obtenemos; 20 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 풀 − (−ퟏ) = −ퟏ(푿 − ퟒ) 풀 + ퟏ = −푿 + ퟒ 풀 = − 푿 – ퟑ
  • 21. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 21 EJEMPLO. 2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el siguiente par de puntos (–7, 11), (1, 7) Por medio de los puntos dados buscamos el valor de la pendiente aplicando la formula correspondiente y obtenemos que: m= -1/2 Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos, y obtenemos: − 7 = −1/2 (푥 − 1) 푦 − 7 = −1/2푥 + 1/2 푦 = −1/2푥 + 15/2 풙 + ퟐ풚 – ퟏퟓ = ퟎ EJEMPLO. 3 hallar la distancia entre los puntos 푨(ퟑ, ퟓ), 푩(ퟑ, – ퟕ) 푑 = √ (3 – 3)2 + (5 + 7)2 = √ 122 = 12
  • 22. MATEMÁTICA 2013 EJEMPLO. 4 hallar la distancia entre los puntos 푨(– ퟖ, ퟑ), 푩(– ퟔ, ퟏ) 22 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 푑 = √(– 8 + 6)2 + (3 – 1)2 = √4 + 4 = √8 = 2 √ 2 EJEMPLO. 4 hallar la distancia entre los puntos A(0, –3), B(–5, 1) 푑 = √25 + (– 3 – 1)2 = √25 + 16 = √ 41
  • 23. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 2.2.2. ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS a) Dibujar la recta de ecuación 푦 = 4/5푋 + 3. b) Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y la pendiente de la recta que lo une al punto 퐴(3,4) es 1/2. Determinar las coordenadas del punto. c) Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados. d) Una diagonal de un cuadrado une los vértices 퐴(1,2) 푦 퐶(2,5). Obtener las ecuaciones de los lados del cuadrado. NOTA: Tomando en consideración que cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la diagonal. 23 4 4 Una cadena de 28 fichas ¿Por qué las 28 fichas del dominó se pueden colocar, cumpliendo las
  • 24. MATEMÁTICA 2013 2.3. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPEDICULARES Serán paralelas si y solo si . Además, serán coincidentes cuando 24 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Serán perpendiculares si y sólo si , es decir: 2.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. EJEMPLO. 1 Halla la ecuación de la recta que pasa por (4, 5). y es Paralela a la recta 풚 = – ퟐ풙 + ퟑ 푚 = – 2 Remplazando en la dela recta es: 푦 = 5 – 2(푥 – 4) 푦 = 5 − 2푥 + 4 푦 = −2푥 + 9 reglas del juego, en una cadena continua?
  • 25. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 25 EJEMPLO. 2 Escribe la ecuación de la recta que pasa por 푷(−ퟏ, ퟐ) y es paralela a recta ퟑ풙 − 풚 + ퟒ = ퟎ. Obtenemos la pendiente de la recta dada 3푥 − 푦 + 4 = 0 푦 = 3푥 + 4 푝푒푛푑푖푒푛푡푒 = 3 La recta paralela tiene la misma pendiente; su ecuación será 푦 = 2 + 3 (푥 + 1) 푦 = 2 + 3푥 + 3 3푥 − 푦 + 5 = 0 EJEMPLO. 3 Hallar la ecuación implícita de la recta perpendicular a ퟐ풙 + 풚 − ퟑ = ퟎ que pasa por el punto 푷(ퟏ, ퟏ) Obtenemos la pendiente de la recta dada: 2푥 + 푦 − 3 = 0 푦 = −2푥 + 3 푝푒푛푑푖푒푛푡푒 = −2
  • 26. MATEMÁTICA 2013 26 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma La pendiente de la perpendicular es: −1 −2 = 1 2 La ecuación de la recta buscada será: 푦 = 1 + 1 2 (푥 − 1) 2푦 = 2 + 푥 − 1 푥 − 2푦 + 1 = 0 EJEMPLO. 4 Comprueba que el triángulo de vértices 푨(– ퟏ, ퟎ), 푩(ퟑ, ퟐ), 푪(−ퟏ, ퟒ) es isósceles. ¿Cuáles son los lados iguales? 푨푩 = √ (– ퟏ – ퟑ)ퟐ + (ퟎ – ퟐ)ퟐ = √ ퟏퟔ + ퟒ = √ ퟐퟎ 푨푪 = √ (– ퟏ + ퟏ)ퟐ + (ퟎ – ퟒ)ퟐ
  • 27. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 27 = √ퟎ + ퟏퟔ = √ ퟏퟔ = ퟒ 푩푪 = √√ (ퟕ – ퟑ)ퟐ + (ퟒ – ퟐ)ퟐ = √ ퟏퟔ + ퟒ = √ ퟐퟎ EJEMPLO. 5 Hallar la longitud de los lados de un tria ngulo A(2,3), B(5,1) Y C(4,6) AB d=√(5 − 2)2 + (1 − 3)2 d=√(3)2 + (2)2 d=√9 + 4 BC d=√(4 − 5)2 + (6 + 1)2 d=√(1)2 + (5)2 d=√1 + 25 B,C d=√(4 − 2)2 + (6 − 3)2 d=√(2)2 + (3)2 d=√4 + 9 d=√ퟏퟑ d=√ퟐퟔ d=√ퟏퟑ
  • 28. MATEMÁTICA 2013 28 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 5 2.3.2. PRÁCTICA ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS  Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es 푦 = 푚푥 + 5, para que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones 푦 = −3푥 − 5, 푦 = 4푥 + 2.  La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4 푥 + 9 푦 − 27 = 0 .  Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto 푃(−3, −5) y es paralela a la recta 푦 = − 2/3푥 + 9  Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5 푥 − 3 푦 = − 2 y 8 푥 + 7 푦 = 44 y es perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: 푦 = 2/3푥 + 1  Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices A(–2, –1), B(3, 1), C(1, 6) es rectángulo. 5 Teorema de Pitágoras, relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos)
  • 29. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 29
  • 30. MATEMÁTICA 2013 30 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 31. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 31
  • 32. MATEMÁTICA 2013 32 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 6 3. LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistante de un punto fijo del mismo plano. Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio Un caso de gran importancia es el caso de una circunferencia con centro en el origen y radio r se obtiene haciendo 푎 = 푏 = 0 푥2 + 푦2 = 푟2 Notemos también que en general una circunferencia tal como (푥 − 푎)2 + (푦 − 푏)2 = 푟2 3.1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS. EJEMPLO 1. Dada la ecuación de una circunferencia en la forma general representarla en la forma normal. ퟒ풙ퟐ + ퟒ풚ퟐ – ퟏퟔ풙 + ퟐퟒ풚 + ퟐퟕ = ퟎ 4푥2 + 4푦2 – 16푥 + 24푦 = −27 4(푥2 + 4푥) + 4(푦2 + 6푦) = −27 6 LIBÉRATE
  • 33. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 4(푥2 + 4푥 + 4) + 4(푦2 2 2 x y 4 2 4 3 33 + 6푦 + 9) = −27 + 16 − 36         25 4 2 3 25 4 4 2 2         x y 2 2 2     x  h  y  k  r 5 2 (3, 5)    C radio r EJEMPLO 2. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (– ퟓ, ퟏퟐ) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (ퟎ, ퟎ). Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos: (푥 + 5)² + (푦 – 12)² = 132 푥² + 푦² + 10푥 – 24푦 = 0 Si sustituimos 푥 = 0, 푦 = 0 en la
  • 34. MATEMÁTICA 2013 ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).7 EJEMPLO 3. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto 퐏(ퟏ, ퟎ) sabiendo que la circunferencia 퐱² + 퐲² − ퟐ 퐱 − ퟖ 퐲 + ퟏퟑ = ퟎ es concéntrica a ella 34 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 풙² + 풚² − ퟐ 풙 − ퟖ 풚 + ퟏퟑ = ퟎ . ( 푥² − 2 푥 + 1 − 1 ) + ( 푦² − 8 푦 + 16 − 16 ) + 13 = 0 ( 푥 − 1 )² + ( 푦 − 4 )² = 4 Por tanto la ecuación buscada tiene radio, la distancia entre el punto centro y el punto indicado anteriormente. √(1 − 1)2 + (4 − 0)2 = √16 ⇒ 푟 = 4 Entonces la ecuación es ( 푥 − 1 )² + ( 푦 − 4 )² = 16 EJEMPLO 4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: 퐴(−8, −2) y 퐵(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia. 7 El radio es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con su centro
  • 35. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 Solución. El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B: Por tanto, el centro 푒푠 퐶(−2,2) El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir: radio 35 푟 = 퐶 퐵 ² ( − 2 − 4 )² + ( 2 − 6 )² 36 + 16 = 52 , Por lo tanto, 푟 ² = 52 = 푟푎푑푖표 La ecuación de la circunferencia pedida es: ( 푥 + 2 )² + ( 푦 − 2 )² = 52. EJEMPLO 5. Comprobar que la recta 2 푦 + 푥 = 10 es tangente a la circunferencia 푥² + 푦² − 2 푥 − 4 푦 = 0 y determinar el punto de tangencia. Solución: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuación: 푥 = 10 − 2 푦 Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, se obtiene: (10 − 2 푦 )² + 푦² − 2 ( 10 − 2 푦 ) − 4 푦 = 0
  • 36. MATEMÁTICA 2013 100 − 40 푦 + 4 푦² + 푦² − 20 + 4 푦 − 4 푦 = 0 5 푦² − 40 푦 + 80 = 0 푦2 − 8 푦 + 16 = 0 Resolviendo para y: Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que 푦 = 4, sustituimos este valor de 푦 = 4 en la ecuación despejada de X: 푥 = 10 − 2 ( 4 ) 36 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 푥 = 10 − 8 푥 = 2 De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común 푇 (2,4) , que es precisamente el de tangencia.8 8 “Un matemático dice A, escribe B, quiere decir C, pero lo que significa es C. Y de hecho D es una idea espléndida que emerge al poner orden en la confusión”. (Morris Klein)
  • 37. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA  Circunferencia de centro 퐶 (– 3, 4) y radio 5. Comprueba sí pasa por el origen de coordenadas.  Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: 9 푥² + 9 푦² − 12 푥 + 36 푦 − 104 = 0. Trazar la circunferencia  Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación: 4푥² + 4 푦² + 4푥 + 4푦 − 2 = 0.  El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: 퐴(−8, −2) y 퐵(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.9 9 - “El olvido de las matemáticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo”.(Roger Bacon) 37
  • 38. MATEMÁTICA 2013 38 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 39. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 39
  • 40. MATEMÁTICA 2013 4. LA PARABOLA Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje. Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas. 40 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Ecuación canónica de la parábola La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto 퐹 = 푃 2 , 0 푦 = 2푝푥 La directrices una recta vertical de la ecuación 푥 = − 푃 2 , 0 osea 푥 + 푃 2 = 0 Dando un punto 푃 = (푥, 푦) del plano, su distancia al foco es
  • 41. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 41 푑(퐹, 푃) = √(푥 − 푃 2 )2 + 푦2 La distancia a la directriz es 푑(푃, 푑) = |푥 + 푃 2 | La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan: √(푥 − 푃 2 ) 2 + 푦2 = |푥 + 푃 2 | Elevando al cuadrado: (푥 − 푃 2 ) 2 + 푦2 = (푥 + 푃 2 2 ) 푥2 − 푝푥 − 푃2 4 + 푦2 = 푥2 + 푝푥 + 푃2 4 −푝푥 + 푦2 = 푝푥 Þ 푦2 = 2푝푥 Hay otros tres casos elementales de parábolas: Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es 푦2 = −2푝푥. Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es푥2 = 2푝푦. Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es 푥2 = −2푝푦. 10 10 La longitud de una circunferencia es igual a su diámetro multiplicado por el número 
  • 42. MATEMÁTICA 2013 42 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Parábola con vértice en un punto cualquiera Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (푥0, 푦0) su ecuación será, según los casos: Eje horizontal y foco a la derecha: (푦 − 푦0)2 = 2푝(푥 − 푥0) Eje horizontal y foco a la izquierda: (푦 − 푦0)2 = −2푝(푥 − 푥0) Eje vertical y foco por encima: (푥 − 푥0)2 = 2푝(푦 − 푦0) Eje vertical y foco por debajo: (푥 − 푥0)2 = −2푝(푦 − 푦0) Reducción de la ecuación de una parábola Dada una ecuación del tipo 퐴푥2 + 퐵푥 + 퐶푦 + 퐷 = 0 o del tipo 퐴푦2 + 퐵푥 + 퐶푦 + 퐷 = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro. 4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES PARABÓLICAS. EJEMPLO 1. Hallar la ecuación reducida de la parábola 2푥2 + 8푥 + 3푦 − 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz. Se ha de transformar esta ecuación en una de la forma: (푦 − 푦0)2 = ± 2푝(푥 − 푥0) ó (푥 − 푥0)2 = ± 2푝(푦 − 푦0) La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en una del tipo (푥 − 푥0)2 = ± 2푝(푦 − 푦0) 2푥2 + 8푥 + 3푦 − 5 = 0 Þ 2푥2 + 8푥 = −3푦 + 5 Þ 푥2 + 3푥 = (푥 + 2)2 − 4. Se sustituye en la ecuación:
  • 43. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 43 Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice. Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice. Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice: Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole la mitad del parámetro a la del vértice: 11 11 Exprese el número 10 con cinco nueves. Hágalo, por lo menos, por dos procedimientos.
  • 44. MATEMÁTICA 2013 EJEMPLO 2. Hallar los elementos de la parábola 푦2 − 4푥 + 6푦 + 13 = 0. Resolución: Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y: 44 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 푦2 + 6푦 = 4푥 − 13 푦2 + 6푦 = 푦2 + 2 · 3푦 + 32 − 32 = (푦 + 3)2 − 9. (푦 + 3)2 − 9 = 4푥 − 13 Þ (푦 + 3)2 = 4푥 − 4 (푦 + 3)2 = 4(푥 − 1) Es una parábola con vértice en el punto (1, −3). Su parámetro es 푝 + 4 2 = 2, el eje es orizontal y el foco es a la derecha de vertice El foco es 퐹 (1 + 푃 2 , −3) = (1 + 1,3) = (2, −3) La directriz se obtiene restándole la mitad del parámetro a la abscisa del vértice: x = 1 - 1 = 0. La directriz es el eje de ordenadas. 12 12 Piense en un número menor de 10 (y que no sea cero) Añádele 29, Quite la última cifra de la suma., Multiplique lo que queda por 10., Súmele 4 al producto. Multiplique lo obtenido por 3. Réstele 2 al resultado. (Ahora tendrá 100)
  • 45. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 EJEMPLO 3 Dadas las parábolas siguientes, calcular; las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación de la directriz. 푦2 -4y +6x -8 = 0 45 푦2 -4y +6x -8 = 0 (푦 − 2)2 - 22 + 6x = 8 (푦 − 2)2 = - 6푥 + 12 (푦 − 2)2 = - 6 (x + 2) V= (-2,2 F= (h + q, k) F= (- 2+ (-1, 5), 2) F= (- 2-1.5, 2) F= (- 3.5, 2) EJEMPLO 4 Hallar característica y grafica de la parábola 푥2 = 6y determinar la longitud de a: 4a = 6 a= 1,5 F: (0, a) F:(0, 1.5) Eje: x V: (0,0)
  • 46. MATEMÁTICA 2013 46 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 47. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 47
  • 48. MATEMÁTICA 2013 48 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 5. LA ELIPSE. DEFINICIÓN. Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal . Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal, respectivamente. Cálculo del eje secundario Llamando 2b al eje secundario,
  • 49. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 P al vértice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por el teorema de Pitágoras: 49 Por definición de elipse, A la distancia b se le llama semieje secundario. Ecuación canónica de la elipse La ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c, 0) y F'' (- c, 0) es: Vértices de una elipse referida a sus ejes (0, 푏) 푦 (0, −푏). El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su intersección con la elipse se resuelve el sistema: Los vértices son (푎, 0) 푦 (−푎, 0)
  • 50. MATEMÁTICA 2013 50 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Eje secundario: Se resuelve el sistema: Los otros dos vértices son (0, b) y (0, -b) Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas Desarrollando esta ecuación, se obtiene: 푏2푥2 − 2푏2푥0 푥 + 푏2푥0 2 + 푎2푦2 − 2푎2 푦0푦 + 푎2푦0 2 − 푎2푏2 = 0, Que se puede poner en la forma: 퐴푥2 + 퐵푦2 + 퐶푥 + 퐷푦 + 퐸 = 0 Donde A y B son del mismo signo. Ecuación de una elipse vertical Si una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por: EJEMPLO 1. Reducir la ecuación 4푥2 + 9푦2 − 8푥 + 18푦 − 23 = 0. Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices. Se agrupan los términos en x2 con los términos en x y los términos en y2 con los términos en y: (4푥2 − 8푥) + (9푦2 + 18푦) − 23 = 0
  • 51. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 51 4(푥2 − 2푥) + 9 (푦2 + 2푦) − 23 = 0 푥2 − 2푥 = 푥2 − 2푥 + 1 − 1 = (푥 − 1)2 − 1 푦2 + 2푦 = 푦2 + 2푦 + 1 − 1 = (푦 + 1)2 − 1 4[(푥 − 1)2 − 1] + 9[(푦 + 1)2 − 1] − 23 = 0 4(푥 − 1)2 + 9(푦 + 1)2 = 36 Centro de la elipse: (1, −1) Focos: Para hallar los focos hay que observar que éstos se hallan en una recta horizontal que contiene al centro y a distancia c del mismo. Basta pues con sumar y restar c a la abscisa del centro. Los focos son Los vértices se obtienen sumando y restando a las coordenadas del centro los semiejes de la elipse: (1 ± 3, −1), lo que da los puntos (4, −1) 푦 (−2, −1) (1, −1 ± 2), lo que da los puntos (1, 1) 푦 (1, −3)
  • 52. MATEMÁTICA 2013 EJEMPLO 2. Reducir y, en su caso, hallar los elementos de la cónica de ecuación 52 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 푥2 + 3푦2 − 8푥 − 12푦 + 32 = 0 (푥2 − 8푥) + (3푦2 − 12푦) + 32 = 0 (풙ퟐ − ퟖ풙) + ퟑ(풚ퟐ − ퟒ풚) + ퟑퟐ = ퟎ 풙ퟐ − ퟖ풙 = 풙ퟐ + ퟏퟔ − ퟏퟔ − ퟖ풙 = (풙 − ퟒ)ퟐ − ퟏퟔ 풚ퟐ − ퟒ풚 = 풚ퟐ + ퟒ − ퟒ − ퟒ풚 = (풚 − ퟐ)ퟐ − ퟒ (풙 − ퟒ)ퟐ + ퟑ (풚 − ퟐ)ퟐ − ퟏퟔ − ퟏퟐ + ퟑퟐ = ퟎ (풙 − ퟒ)ퟐ + ퟑ(풚 − ퟐ)ퟐ = −ퟒ Como el primer miembro es suma de números positivos y el segundo es un número negativo, la ecuación no tiene solución y se trata de una elipse imaginaria. EJEMPLO 3. Hallar los elementos de la elipse ퟐퟓ풙ퟐ + ퟏퟔ풚ퟐ − ퟓퟎ풙 + ퟔퟒ풚 − ퟑퟏퟏ = ퟎ (ퟐퟓ풙ퟐ − ퟓퟎ풙) + (ퟏퟔ풚ퟐ + ퟔퟒ풚) − ퟑퟏퟏ = ퟎ ퟐퟓ(풙ퟐ − ퟐ풙) + ퟏퟔ(풚ퟐ + ퟒ풚) − ퟑퟏퟏ = ퟎ 풙ퟐ − ퟐ풙 = 풙ퟐ − ퟐ · ퟏ풙 + ퟏퟐ − ퟏퟐ = (풙 − ퟏ)ퟐ − ퟏ 풚ퟐ + ퟒ풚 = 풚ퟐ + ퟐ · ퟐ풚 + ퟐퟐ − ퟐퟐ = (풚 + ퟐ)ퟐ − ퟒ ퟐퟓ(풙 − ퟏ)ퟐ − ퟐퟓ + ퟏퟔ(풚 + ퟐ)ퟐ − ퟔퟒ − ퟑퟏퟏ = ퟎ ퟐퟓ(풙 − ퟏ)ퟐ + ퟏퟔ(풚 + ퟐ)ퟐ = ퟐퟓ + ퟔퟒ + ퟑퟏퟏ = ퟒퟎퟎ
  • 53. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 53 Como el denominador de la segunda fracción es mayor que el de la primera, no puede ser 푎2 = 16 푦 푏2 = 25, lo cual significa que la elipse tiene su eje principal vertical. Como el denominador de la segunda fracción es mayor que el de la primera, no puede ser 푎2 = 16 푦 푏2 = 25, lo cual significa que la elipse tiene su eje principal vertical. El centro es (1, -2) Los vértices son: (1 ± 4, −2), 표 푠푒푎 (−3, −2) 푦 (5, −2); (1, -2 ± 5), o sea (1, -7) y (1, 3) Los focos son (1, -2 ± 3), es decir (1, - 5) y (1, 1)
  • 54. MATEMÁTICA 2013 2 2 54 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Ejemplo 2. Dada la ecuación encuentre los focos y sus vértices 4푥 2 + 4푦 2 = 푥 2 + 6푥 + 9 3푥 2 + 4푦 2 − 6푥 = 9 3(푥 2 − 2푥 + 1 − 1) + 4푦 2 = 9 3(푥 − 1) + 4(푦 − 0) = 12 Finalmente, dividiendo entre 12, se encuentra la ecuación de la elipse (x − 1)2 4 + (y − 0)2 3 = 1
  • 55. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 55
  • 56. MATEMÁTICA 2013 56 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 57. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 57
  • 58. MATEMÁTICA 2013 6. HIPÉRBOLAS. Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). A éstos es centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio O de [FF’] es el centro de la hipérbola. 58 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma
  • 59. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 El eje focal (FF’) corta a la hipérbola en dos puntos A y A’ llamados vértices de la hipérbola y que están a distancia a del centro de la misma. El eje no focal no corta La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto. A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede considerar . Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola. Hipérbola. Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas. Cálculo de los radios vectores de un punto En un punto P(x, y) de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0) los radios vectores son: 59 Los radios vectores son:
  • 60. MATEMÁTICA 2013 60 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Eliminando los términos comunes: 2cx = 4a2 - 2cx + 4a· Despejando: 4a · = 2cx - 4a2 + 2cx = 4cx - 4a2, luego ' = + 2a = ex - a + 2a = ex + a Nótese que se ha utilizado que la distancia ' es mayor que , lo cual sólo es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un punto del semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sido similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó valor absoluto en los segundos miembros.
  • 61. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 Ecuación canónica de la hipérbola La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es Demostramos: Se toma la expresión de uno de los radios vectores y se opera en ella: Sacando factor común (푐2 − 푎2) 61 (푐2 − 푎2) 푥2 + 푎2 (푎2 − 푐2) − 푎2푦2 = 0 Pero 푐2 − 푎2 = 푏2, luego 푏2푥2 − 푎2푏2 − 푎2푦2 = 0. Dividiendo entre 푎2 · 푏2, se obtiene: En el caso en que la hipérbola tuviese el eje vertical, la ecuación sería:
  • 62. MATEMÁTICA 2013 62 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Vértices de una hipérbola Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes. ejes de coordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0. Los vértices son (a, 0) y (-a, 0) Esta ecuación no tiene solución, ya que el primer miembro es siempre negativo y el segundo es positivo. Asíntotas de una hipérbola Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta: Pero, para valores grandes de x , » x , siempre que a sea un número fijo. En efecto: Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.
  • 63. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola. Cálculo de las asíntotas de una hipérbola Por tanto, para calcular las asíntotas, se iguala a cero el primer miembro de la ecuación reducida de la hipérbola y se despeja y. Hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas Si se tiene una hipérbola con centro en un punto (x0, y0), procediendo como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuación es Vertical será Los focos serán, si el eje real es horizontal (푥0 ± 푐, 푦0) 푦 (푥0, 푦0 ± 푐 ) si es vertical. De la misma forma los vértices son 63 (푥0 ± 푎, 푦0) ó (푥0, 푦0 ± 푎 ) según que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente. Para hallar las asíntotas, se sustituye 1 por 0 en el segundo miembro y se extrae la raíz cuadrada.
  • 64. MATEMÁTICA 2013 64 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma Reducción de la ecuación de la hipérbola Sea una ecuación de la forma Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 en la que A y B tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de una hipérbola. EJEMPLO. 1 Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4푥2 − 9푦2 − 8푥 + 36푦 + 4 = 0. Resolución: Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado: (4푥2 − 8푥) − (9푦2 − 36푦) + 4 = 0 4(푥2 − 2푥) − 9(푦2 − 4푦) + 4 = 0 Se completan cuadrados en los paréntesis: 푥2 − 2푥 = 푥2 − 2 · 1푥 + 12 − 12 = (푥 − 1)2 − 1 푦2 − 4푦 = 푦2 − 2 · 2푦 + 22 − 22 = (푦 − 2)2 − 4 Se sustituye en la ecuación: 4(푥 − 1)2 − 4 − 9(푦 − 2)2 + 36 + 4 = 0 4(푥 − 1)2 − 9(푦 − 2)2 = 4 − 36 − 4 = −36
  • 65. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 Se divide entre -36:13 Se trata, pues, de una hipérbola con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y sus semiejes son 푎 = = 2 푦 푏 = = 3 65 Los vértices son (1, 2 ± 2), es decir (1, 0) 푦 (1, 4). Asíntotas: EJEMPLO. 2 Hallar los elementos de la hipérbola 푥2 − 푦2 + 2푥 + 4푦 − 12 = 0 Resolución: (푥2 + 2푥) − (푦2 − 4푦) − 12 = 0 푥2 + 2푥 = 푥2 + 2 · 1푥 + 12 − 12 = (푥 + 1)2 − 1 13 33 * 3 + 3 = 100.
  • 66. MATEMÁTICA 2013 푦2 − 4푦 = 푦2 − 2 · 2푦 + 22 − 22 = (푦 − 2)2 − 4 (푥 + 1)2 − 1 − (푦 − 2)2 + 4 − 12 = 0 (푥 + 1)2 − (푦 − 2) = 1 − 4 + 12 = 9 Se trata de una hipérbola con centro en (−1, 2), eje real horizontal, y semiejes 푎 = 3, 푏 = 3 (este tipo de hipérbolas que tienen iguales sus semiejes se llaman hipérbolas equiláteras). Los vértices son los puntos (−4, 2) 푦 (2, 2). 66 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma 14 14 Con cinco treses Usted sabe, como es natural, que con cinco treses y los signos de las operaciones matemáticas se puede escribir el número 100 así:
  • 67. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 Para hallar las asíntotas se iguala a cero el primer miembro de la ecuación reducida: 67 Þ (푥 + 1)2 = (푦 − 2)2 Þ 푥 + 1 = ±(푦 − 2) 푥 + 1 = 푦 − 2 Þ 푦 = 푥 + 3 푥 + 1 = −푦 + 2 Þ 푦 = 1 − 푥 15 15 Con cuatro cuatros le gustan las rompecabezas, intente componer todos los números del 1 al 100 con cuatro cuatros. Esto no es más difícil que expresar estos mismos números con treses. 13. Con cuatro cincos Hay que expresar el número 16 valiéndose de cuatro cincos unidos entre sí por los signos de las operaciones.
  • 68. MATEMÁTICA 2013 68 Est. Reynaldo Huarachi EscarzoDocente. Lic. Ignacio Choque Ayma ÍNDICE MANUAL DE USO EN GEOMETRÍA ANALÍTICA .............................................. 7 A) VISTAS GRÁFICA DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS ................ 7 B) RECTA Y SUS HERRAMIENTAS .................................................... 8 C) SECCIONES CÓNICAS Y SUS ERRAMIENTAS .................................. 9 1. RECTA EN EL PLANO ...................................................................... 15 1.1. BISECTRIZ DE DOS RECTAS: ..................................................... 15 1.3. EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO: ...................................... 16 1.4. EL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO: .......................................... 17 1.5. EL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO:..................................... 17 2. ECUACIONES DE LA LINEA RECTA EN EL PLANO ....................... 19 Sabemos que en un punto del espacio pasan infinitas rectas. Asi mismo "Por un punto del plano pasan infinitas rectas". .............................. 19 2.1. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN ............ 19 2.2. ECUACION DE LA RECTA QUE NO PASA POR EL ORIGEN ..... 20 2.2.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. ......... 20 2.2.2. ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS ........ 23 2.3. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPEDICULARES ............... 24 2.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA LINEA RECTA. ......... 24 EJEMPLO. 5 Hallar la longitud de los lados de un tria ngulo A(2,3), B(5,1) Y C(4,6) ............................................................................................... 27 AB d=(5 − 2)2 + (1 − 3)2 ............................................................................ 27 d=(3)2 + (2)2 ................................................................................................... 27 d=9 + 4 .............................................................................................................. 27 d=13 ................................................................................................................... 27
  • 69. Est. Reynaldo Huarachi Escarzo MATEMÁTICA Docente. Lic. Ignacio Choque Ayma 2013 BC d=(4 − 5)2 + (6 + 1)2 .............................................................................. 27 d=(1)2 + (5)2 ................................................................................................... 27 d=1 + 25 ........................................................................................................... 27 d=26 .................................................................................................................. 27 B,C d=(4 − 2)2 + (6 − 3)2 ............................................................................. 27 d=(2)2 + (3)2 ................................................................................................... 27 d=4 + 9 .............................................................................................................. 27 d=13 .................................................................................................................. 27 2.3.2. PRÁCTICA ANALIZA Y RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS ............................................................................................... 28 3. LA CIRCUNFERENCIA ...................................................................... 32 3.1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS. .................................................... 32 3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA .................. 37 4. LA PARABOLA .................................................................................. 40 4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES PARABÓLICAS. ...................... 42 5. LA ELIPSE. ......................................................................................... 48 6. HIPÉRBOLAS. Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). A éstos es centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio O de [FF’] es el centro de la hipérbola. .................................................... 58 69