taller

1. MATEM´ATICAS B´ASICAS
Autoras: Jeanneth Galeano Pe˜naloza
Margarita Ospina Pulido
Edici´on: Marcela Rubio Perilla
Oscar Guillermo Ria˜no
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´aticas
Sede Bogot´a
Enero de 2014
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 1 / 37

2. Parte I
Coordenadas Rectangulares
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3. Coordenadas Rectangulares
Plano Cartesiano
Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, est´a formado
por dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejes
coordenados, que se intersectan en un punto llamado origen.
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4. Coordenadas Rectangulares
Plano Cartesiano
Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, est´a formado
por dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejes
coordenados, que se intersectan en un punto llamado origen.
La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y.
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5. Coordenadas Rectangulares
Plano Cartesiano
Generalmente se escoge la direcci´on positiva del eje x hacia la
derecha, y la direcci´on positiva del eje y hacia arriba.
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6. Coordenadas Rectangulares
Plano Cartesiano
Generalmente se escoge la direcci´on positiva del eje x hacia la
derecha, y la direcci´on positiva del eje y hacia arriba.
A cada punto del plano se le asigna una pareja de reales (a, b) donde
a es el punto de corte sobre el eje x de la recta perpendicular a este
eje que pasa por el punto (a, b)
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7. Coordenadas Rectangulares
Plano Cartesiano
Generalmente se escoge la direcci´on positiva del eje x hacia la
derecha, y la direcci´on positiva del eje y hacia arriba.
A cada punto del plano se le asigna una pareja de reales (a, b) donde
a es el punto de corte sobre el eje x de la recta perpendicular a este
eje que pasa por el punto (a, b) y b es el punto sobre el eje y del
corte de la perpendicular a este eje que pasa por (a, b).
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8. Coordenadas Rectangulares
Plano Cartesiano
Al trazar estas dos rectas, el plano queda dividido en cuatro sectores
llamados cuadrantes, en el primer cuadrante tanto x como y son positivos,
en el segundo, x es negativo y y es positivo, en el tercero los dos son
negativos y en el cuarto x es positivo y y negativo.
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9. Plano Cartesiano
1
1
x
y
III
III IV
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10. Coordenadas Rectangulares
Ejercicio
Encuentre las coordenadas de los puntos marcados en rojo.
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11. Coordenadas Rectangulares
1
1
x
y
ab
c
d
e
f
g
h
i
j
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12. Distancia
Definici´on
La distancia entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) del plano cartesiano
est´a dada por
d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
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13. Distancia
x
y
x1 x2
y1
y2
Q = (x2, y2)
P = (x1, y1)
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14. Punto medio
x
y
x1 x2
y1
y2
Q
P
M
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15. Punto medio
x
y
x1 x2
y1
y2
Q
P
M
Definici´on
Las coordenadas del punto medio
entre los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2)
est´a dada por
M =
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
.
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16. Pendiente de una recta
x
y
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17. Pendiente de una recta
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 37

18. Pendiente de una recta
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 37

19. Pendiente de una recta
x
y
(x0, y0)
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20. Pendiente de una recta
x
y
(x0, y0)
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21. Pendiente de una recta
x
y
(x0, y0)
(x1, y1)
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22. Pendiente de una recta
x
y
(x0, y0)
(x1, y1)
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23. Pendiente de una recta
x
y
(x0, y0)
(x1, y1)
x1 − x0
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24. Pendiente de una recta
x
y
(x0, y0)
(x1, y1)
x1 − x0
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25. Pendiente de una recta
x
y
(x0, y0)
(x1, y1)
x1 − x0
y1 − y0
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26. Ecuaci´on general de la recta
Si una recta pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) definimos la pendiente
de la recta como
m =
y1 − y0
x1 − x0
,
donde x0 = x1, que nos da el grado de inclinaci´on de la recta con respecto
al eje x.
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27. Ecuaci´on general de la recta
Si una recta pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) definimos la pendiente
de la recta como
m =
y1 − y0
x1 − x0
,
donde x0 = x1, que nos da el grado de inclinaci´on de la recta con respecto
al eje x.
Una recta con pendiente cero no tiene inclinaci´on, es decir, es horizontal.
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28. Ecuaci´on general de la recta
Si una recta pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) definimos la pendiente
de la recta como
m =
y1 − y0
x1 − x0
,
donde x0 = x1, que nos da el grado de inclinaci´on de la recta con respecto
al eje x.
Una recta con pendiente cero no tiene inclinaci´on, es decir, es horizontal.
La pendiente de una recta vertical no est´a definida.
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29. Ecuaci´on general de la recta
La ecuaci´on general de la recta que tiene pendiente m y cuyo corte con el
eje y est´a en y = b es
y = mx + b.
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30. Ecuaci´on general de la recta
Ejemplo
Para hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, −1)
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31. Ecuaci´on general de la recta
Ejemplo
Para hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, −1)
hallamos la pendiente:
m =
3 − (−1)
2 − 4
=
4
−2
= −2,
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32. Ecuaci´on general de la recta
Ejemplo
Para hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, −1)
hallamos la pendiente:
m =
3 − (−1)
2 − 4
=
4
−2
= −2,
y el corte:
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33. Ecuaci´on general de la recta
Ejemplo
Para hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, −1)
hallamos la pendiente:
m =
3 − (−1)
2 − 4
=
4
−2
= −2,
y el corte:
y = mx + b ecuaci´on general
−1 = (−2)(4) + b sustituimos los valores de x, y, m
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34. Ecuaci´on general de la recta
Ejemplo
Para hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, −1)
hallamos la pendiente:
m =
3 − (−1)
2 − 4
=
4
−2
= −2,
y el corte:
y = mx + b ecuaci´on general
−1 = (−2)(4) + b sustituimos los valores de x, y, m
7 = b despejamos b
y = −2x + 7 ecuaci´on reemplazando m y b.
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35. Ecuaci´on general de la recta
Ejercicio
1 Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (3, −7) y
(−6, 3).
2 Hallar la ecuaci´on de la recta que corta al eje y en y = −4 y pasa por
el punto (1, 5).
3 Hallar la ecuaci´on de la recta que tiene pendiente m = 2
3 y pasa por el
punto (5
3 , −7).
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36. Gr´afica de una expresi´on lineal
Para graficar y = 2x + 3 es suficiente encontrar dos puntos que
pertenezcan a esta recta.
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37. Gr´afica de una expresi´on lineal
Para graficar y = 2x + 3 es suficiente encontrar dos puntos que
pertenezcan a esta recta. Los obtenemos sustituyendo x por dos valores
distintos, por ejemplo
x = 0 implica y = 3
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38. Gr´afica de una expresi´on lineal
Para graficar y = 2x + 3 es suficiente encontrar dos puntos que
pertenezcan a esta recta. Los obtenemos sustituyendo x por dos valores
distintos, por ejemplo
x = 0 implica y = 3
x = 1 implica y = 5
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39. Gr´afica de una expresi´on lineal
Para graficar y = 2x + 3 es suficiente encontrar dos puntos que
pertenezcan a esta recta. Los obtenemos sustituyendo x por dos valores
distintos, por ejemplo
x = 0 implica y = 3
x = 1 implica y = 5
Ubicamos en el plano los puntos (0, 3) y (1, 5) y trazamos la recta que
contiene estos puntos.
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40. Gr´afica de una expresi´on lineal
1
1
x
y
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41. Gr´afica de una expresi´on lineal
1
1
x
y
•
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42. Gr´afica de una expresi´on lineal
1
1
x
y
•(0, 3)
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43. Gr´afica de una expresi´on lineal
1
1
x
y
•(0, 3)
•
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44. Gr´afica de una expresi´on lineal
1
1
x
y
•(0, 3)
• (1, 5)
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45. Gr´afica de una expresi´on lineal
1
1
x
y
•(0, 3)
• (1, 5)
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46. Gr´afica de una expresi´on lineal
En la recta y = 2x + 3, la pendiente es m = 2 y el corte con el eje y es
b = 3
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47. Gr´afica de una expresi´on lineal
En la recta y = 2x + 3, la pendiente es m = 2 y el corte con el eje y es
b = 3 , as´ı que podemos ubicarnos en el punto (0, 3) y como m = 2 = 2
1,
a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direcci´on positiva de x
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48. Gr´afica de una expresi´on lineal
En la recta y = 2x + 3, la pendiente es m = 2 y el corte con el eje y es
b = 3 , as´ı que podemos ubicarnos en el punto (0, 3) y como m = 2 = 2
1,
a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direcci´on positiva de x y
2 unidades en la direcci´on positiva de y.
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49. Gr´afica de una expresi´on lineal
En la recta y = 2x + 3, la pendiente es m = 2 y el corte con el eje y es
b = 3 , as´ı que podemos ubicarnos en el punto (0, 3) y como m = 2 = 2
1,
a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direcci´on positiva de x y
2 unidades en la direcci´on positiva de y.
De esta manera determinamos otro punto de la recta: (1, 5) y unimos
estos puntos para trazar la gr´afica.
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50. Gr´afica de y = 2x + 3
1
1
x
y
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51. Gr´afica de y = 2x + 3
1
1
x
y
•
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52. Gr´afica de y = 2x + 3
1
1
x
y
•(0, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 37

53. Gr´afica de y = 2x + 3
1
1
x
y
•(0, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 37

54. Gr´afica de y = 2x + 3
1
1
x
y
•(0, 3)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 37

55. Gr´afica de y = 2x + 3
1
1
x
y
•(0, 3)
•
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 37

56. Gr´afica de y = 2x + 3
1
1
x
y
•(0, 3)
• (1, 5)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 37

57. Si la pendiente es negativa,
Ejemplo
En la recta y = −4
3x − 1.
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58. Si la pendiente es negativa,
Ejemplo
En la recta y = −4
3x − 1.
A partir del punto (0, −1) (el corte con el eje y)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 21 / 37

59. Si la pendiente es negativa,
Ejemplo
En la recta y = −4
3x − 1.
A partir del punto (0, −1) (el corte con el eje y) avanzamos 3 en la
direcci´on positiva de x
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 21 / 37

60. Si la pendiente es negativa,
Ejemplo
En la recta y = −4
3x − 1.
A partir del punto (0, −1) (el corte con el eje y) avanzamos 3 en la
direcci´on positiva de x y 4 en la direcci´on negativa de y.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 21 / 37

61. Gr´afica de y = −4
3x − 1
1
1
x
y
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62. Gr´afica de y = −4
3x − 1
1
1
x
y
•
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 37

63. Gr´afica de y = −4
3x − 1
1
1
x
y
•(0, −1)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 37

64. Gr´afica de y = −4
3x − 1
1
1
x
y
•(0, −1)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 37

65. Gr´afica de y = −4
3x − 1
1
1
x
y
•(0, −1)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 37

66. Gr´afica de y = −4
3x − 1
1
1
x
y
•(0, −1)
•
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 37

67. Gr´afica de y = −4
3x − 1
1
1
x
y
•(0, −1)
•(3, −5)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 37

68. Qu´e pasa si la pendiente es cero?
Si la pendiente es cero, podemos escribir m = 0 = 0
a con a = 0.
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69. Qu´e pasa si la pendiente es cero?
Si la pendiente es cero, podemos escribir m = 0 = 0
a con a = 0.
Al realizar la gr´afica, avanzamos a unidades en la direcci´on positiva de x y
0 unidades en la direcci´on positiva de y,
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 23 / 37

70. Qu´e pasa si la pendiente es cero?
Si la pendiente es cero, podemos escribir m = 0 = 0
a con a = 0.
Al realizar la gr´afica, avanzamos a unidades en la direcci´on positiva de x y
0 unidades en la direcci´on positiva de y, la recta resultante es horizontal.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 23 / 37

71. Qu´e pasa si la pendiente es cero?
Si la pendiente es cero, podemos escribir m = 0 = 0
a con a = 0.
Al realizar la gr´afica, avanzamos a unidades en la direcci´on positiva de x y
0 unidades en la direcci´on positiva de y, la recta resultante es horizontal.
Su ecuaci´on es y = b.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 23 / 37

72. Gr´afica de y = b
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 37

73. Gr´afica de y = b
x
y
b
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 37

74. Gr´afica de y = b
x
y
b
•
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 37

75. Gr´afica de y = b
x
y
b
•
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 37

76. Gr´afica de y = b
x
y
b
• •
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 37

77. Gr´afica de y = b
x
y
b
• •
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 37

78. Rectas
Ejercicio
Realice la gr´afica de y = 3
2x − 4 y de y = 3
2x − 1 en el mismo plano.
¿Qu´e relaci´on existe entre las rectas?
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79. Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y s´olo si
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80. Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y s´olo si tienen la misma pendiente
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 37

81. Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y s´olo si tienen la misma pendiente , ´o ambas
son verticales.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 37

82. Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y s´olo si tienen la misma pendiente , ´o ambas
son verticales.
¿Cu´ando dos rectas son perpendiculares?
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 37

83. Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y s´olo si tienen la misma pendiente , ´o ambas
son verticales.
¿Cu´ando dos rectas son perpendiculares?
Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si y s´olo si el producto de sus pendientes es
−1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 37

84. Paralelas y Perpendiculares
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si y s´olo si tienen la misma pendiente , ´o ambas
son verticales.
¿Cu´ando dos rectas son perpendiculares?
Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si y s´olo si el producto de sus pendientes es
−1 , ´o si una es vertical y la otra es horizontal.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 37

85. Rectas paralelas y perpendiculares
x
y
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 27 / 37

86. Rectas paralelas y perpendiculares
x
y
L1
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 27 / 37

87. Rectas paralelas y perpendiculares
x
y
L1 L2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 27 / 37

88. Rectas paralelas y perpendiculares
x
y
L1 L2
L3
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 27 / 37

89. Rectas paralelas y perpendiculares
Ejercicio
Realice la gr´afica de y = 5
3x + 2 y de y = −3
5x − 1 en el mismo plano.
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90. Rectas paralelas y perpendiculares
Ejercicio
1 Encuentre la ecuaci´on de la paralela a 3y + 4x = 2 que pasa por el
punto (3, −1).
2 Encuentre la ecuaci´on de la perpendicular a 2y − 6x − 5 = 0 que pasa
por el punto (2, 4).
3 Encuentre el punto de corte de las rectas L1 : 2y − 4x = 8 y
L2 : 3x + 4y = −1.
4 Encuentre la ecuaci´on de la paralela a L2 que pasa por (−3, 3).
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91. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Circunferencia
Una circunferencia con centro C(h, k) y radio r > 0 est´a formada por
todos los puntos del plano cuya distancia al centro es r.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 30 / 37

92. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Circunferencia
Una circunferencia con centro C(h, k) y radio r > 0 est´a formada por
todos los puntos del plano cuya distancia al centro es r.
Si un punto arbitrario P(x, y) del plano pertenece a la circunferencia,
satisface
d(P, C) = r
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 30 / 37

93. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Circunferencia
Una circunferencia con centro C(h, k) y radio r > 0 est´a formada por
todos los puntos del plano cuya distancia al centro es r.
Si un punto arbitrario P(x, y) del plano pertenece a la circunferencia,
satisface
d(P, C) = r
(x − h)2 + (y − k)2 = r
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 30 / 37

94. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Circunferencia
Una circunferencia con centro C(h, k) y radio r > 0 est´a formada por
todos los puntos del plano cuya distancia al centro es r.
Si un punto arbitrario P(x, y) del plano pertenece a la circunferencia,
satisface
d(P, C) = r
(x − h)2 + (y − k)2 = r
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 30 / 37

95. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Circunferencia
Una circunferencia con centro C(h, k) y radio r > 0 est´a formada por
todos los puntos del plano cuya distancia al centro es r.
Si un punto arbitrario P(x, y) del plano pertenece a la circunferencia,
satisface
d(P, C) = r
(x − h)2 + (y − k)2 = r
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 31 / 37

96. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
x
y
h
k •
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97. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
x
y
h
k •
r
•
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 32 / 37

98. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
x
y
h
k •
r
• P = (x, y)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 32 / 37

99. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
x
y
h
k •
r
• P = (x, y)
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 32 / 37

100. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Si el punto C es el origen
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101. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Si el punto C es el origen la ecuaci´on se reduce a
x2
+ y2
= r2
.
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102. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Si el punto C es el origen la ecuaci´on se reduce a
x2
+ y2
= r2
.
Si adem´as r = 1, la circunferencia se conoce como circunferencia unitaria.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 33 / 37

103. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Encontrar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) y
radio 3.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 37

104. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Encontrar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) y
radio 3.
(x + 2)2
+ (y − 4)2
= 32
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 37

105. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Encontrar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) y
radio 3.
(x + 2)2
+ (y − 4)2
= 32
x2
+ 4x + 4 + y2
− 8y + 16 = 9
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 37

106. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Encontrar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) y
radio 3.
(x + 2)2
+ (y − 4)2
= 32
x2
+ 4x + 4 + y2
− 8y + 16 = 9
x2
+ 4x + y2
− 8y + 11 = 0.
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 37

107. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Encontrar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) y
radio 3.
(x + 2)2
+ (y − 4)2
= 32
x2
+ 4x + 4 + y2
− 8y + 16 = 9
x2
+ 4x + y2
− 8y + 11 = 0.
Dada esta ecuaci´on, ¿c´omo encontramos el centro y el radio?
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108. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Completamos el cuadrado, as´ı:
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109. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Completamos el cuadrado, as´ı:
x2
+ 4x + y2
− 8y + 11 = 0
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 35 / 37

110. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Completamos el cuadrado, as´ı:
x2
+ 4x + y2
− 8y + 11 = 0
x2
+ 4x + y2
− 8y = −11
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 35 / 37

111. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Completamos el cuadrado, as´ı:
x2
+ 4x + y2
− 8y + 11 = 0
x2
+ 4x + 4 + y2
− 8y = −11 + 4
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112. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Completamos el cuadrado, as´ı:
x2
+ 4x + y2
− 8y + 11 = 0
x2
+ 4x + 4 + y2
− 8y + 16 = −11 + 4 + 16
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113. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Ejemplo
Completamos el cuadrado, as´ı:
x2
+ 4x + y2
− 8y + 11 = 0
x2
+ 4x + 4 + y2
− 8y + 16 = −11 + 4 + 16
(x + 2)2
+ (y − 4)2
= 9
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114. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.
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115. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.
x2
+ y2
− 6x + 4y + 12 = 0
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116. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.
x2
+ y2
− 6x + 4y + 12 = 0
x2
− 6x + y2
+ 4y = −12
Universidad Nacional de Colombia Matem´aticas B´asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 36 / 37

117. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.
x2
+ y2
− 6x + 4y + 12 = 0
x2
− 6x + 9 + y2
+ 4y = −12 + 9
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118. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.
x2
+ y2
− 6x + 4y + 12 = 0
x2
− 6x + 9 + y2
+ 4y + 4 = −12 + 9 + 4
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119. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.
x2
+ y2
− 6x + 4y + 12 = 0
x2
− 6x + 9 + y2
+ 4y + 4 = −12 + 9 + 4
(x − 3)2
+ (y + 2)2
= 1
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120. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.
x2
+ y2
− 6x + 4y + 12 = 0
x2
− 6x + 9 + y2
+ 4y + 4 = −12 + 9 + 4
(x − 3)2
+ (y + 2)2
= 1
Esta circunferencia tiene centro en (3, −2) y radio 1.
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121. Ecuaci´on cartesiana de la circunferencia
¿Toda ecuaci´on del tipo x2 + y2 + ax + by + c = 0 representa una
circunferencia?
x2 + y2 + 2x − 6y + 15 = 0
x2 + y2 + 2x − 6y + 10 = 0.
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