Este documento presenta los conceptos básicos del sistema de coordenadas cartesianas en 2D. Introduce la noción de segmento dirigido y distancia dirigida/no dirigida en una dimensión. Explica el plano cartesiano formado por los ejes x e y y cómo localizar puntos mediante coordenadas. También define la distancia entre puntos, pendiente de una recta, y rectas paralelas y perpendiculares. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.

1. FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
UNIDAD II: SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Mg.Laura Lucila Arbulú Baquedano
Tercera semana
Temario
 Segmento dirigido
 Distancia dirigida/No dirigida
 Plano cartesiano
 Distancia entre dos puntos
 Pendiente de una recta
 Rectas paralelas/perpendiculares
A.-SEGMENTO DIRIGIDO
En el estudio de la geometría plana, se estudió que Un segmento rectilíneo es una porción
de recta ℓ comprendida entre dos puntos A y B, cuya longitud se representa por AB o BA.
Dicha definición no considera el sentido, lo cual si será considerado en geometría analítica.
El sentido de un segmento es el de la traslación de un móvil que lo recorre partiendo del
origen o punto inicial A al extremo o punto final B. Se escribe primero el origen, así:
𝐴𝐵
̅̅̅̅
El segmento 𝐴𝐵
̅̅̅̅ será positivo o negativo según que su sentido sea el positivo o el negativo de la recta
ℓ que lo contiene. Si la recta ℓ está orientada positivamente, de izquierda a derecha, entonces el
segmento orientado 𝐴𝐵
̅̅̅̅ tiene longitud positiva y el segmento 𝐵𝐴
̅̅̅̅, longitud negativa.
Considerar las siguientes propiedades:
i) 𝐴𝐵
̅̅̅̅ ≠ 𝐵𝐴
̅̅̅̅
ii) 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = −𝐵𝐴
̅̅̅̅

2. B.-DISTANCIA DIRIGIDA/NO DIRIGIDA
Para definir distancia dirigida entre dos puntos de recta, debemos definir sistema coordenado
unidimensional.
Si sobre una recta se escoge un origen, una longitud que será unidad de medida y un sentido
positivo, entonces existe una correspondencia biunívoca entre los números y los puntos de
la recta. Esta recta cuyos puntos están asociados a los números reales recibe el nombre de
sistema coordenado unidimensional.
B.1.-DISTANCIA DIRIGIDA
En un sistema coordenado lineal, la distancia dirigida entre dos puntos 𝐴(𝑥1)𝑦 𝐵(𝑥2) sobre
una recta está dada por:
𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑥2 − 𝑥1
 Cuando la distancia de A(x1) a B(x2) está en el sentido positivo, entonces la distancia
dirigida de A a B es positiva, además se deduce que A está a la izquierda de B.
 Cuando la distancia de A(x1) a B(x2) está en el sentido negativo, entonces la distancia
dirigida de A a B es negativa, además se deduce que A está a la derecha de B.
B.2.-DISTANCIA NO DIRIGIDA
En un sistema coordenado lineal, la distancia no dirigida entre dos puntos A(𝑥1) y 𝐵(𝑥2), se
define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos,
esto es:
𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝑥2 − 𝑥1| = √(𝑥2 − 𝑥1)2
Notar que 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 𝐵𝐴
̅̅̅̅

3. C.-PLANO CARTESIANO
Este sistema, consta de dos rectas 𝑋´𝑋 y 𝑌´𝑌 mutuamente perpendiculares, llamados ejes
coordenados. La recta 𝑋´𝑋 se llama eje 𝑋; 𝑌´𝑌 es el eje 𝑌; y su punto de intersección 𝑂 es
el origen del sistema de coordenadas. Estos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas
cuadrantes numerados tal como se indica en la figura 1. La dirección positiva (negativa) del
eje 𝑋 es del origen hacia la derecha (izquierda) y La dirección positiva (negativa) del eje Y es
del origen hacia arriba (abajo)
Todo punto 𝑃 del plano se puede localizar por medio del sistema rectangular. Se traza 𝑃𝐴
perpendicular al eje 𝑋 y 𝑃𝐵 perpendicular al eje 𝑌. La longitud del segmento dirigido 𝑂𝐴 se
representa por «𝑥» y se llama abscisa de 𝑃, La longitud del segmento dirigido 𝑂𝐵 se
representa por «𝑦» y se llama ordenada de 𝑃. Los números reales 𝑥 e 𝑦 se llaman
coordenadas de 𝑷 y se representan por el par ordenado (𝑥, 𝑦).
Evidentemente a cada punto 𝑃 del plano coordenado le corresponde un único par de
coordenadas (𝑥, 𝑦). Recíprocamente, cada par de coordenadas determina un único punto en
el plano coordenado.
Ejemplo 1
Graficar en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos (1,2), (2,1), (2,-2), (1,2) y
(-3,2).
Graficar un triángulo cuyas coordenadas son:
i) 𝐴(−5, −2) 𝐵(0,4) 𝐶 (3,1)
ii) 𝐴(−6,9) 𝐵(−2, −2) 𝐶 (5,3)
iii) 𝐴(7,6) 𝐵(3, −5) 𝐶 (−2,1)

4. D.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean los 𝑃1(𝑥1,𝑦1) y 𝑃2(𝑥2,𝑦2) , la distancia d entre los dos puntos, está dada por la
fórmula:
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
E.-PENDIENTE DE UNA RECTA
a. Ángulo de inclinación
Es el ángulo 𝛼 formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando esta se considera
dirigida hacia arriba.
b. Pendiente de una recta
Pendiente o coeficiente angular m de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación
𝛼.
𝑚 = tan ∝

5. Si 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos diferentes de una recta, la pendiente de la recta
es
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
, 𝑥1 ≠ 𝑥2
La pendiente de una recta no vertical es un número que mide que tan inclinada está la recta
y hacia donde está inclinada.
a) Las rectas Verticales no tienen
pendiente. (𝑥1 − 𝑥2 = 0)
b) La pendiente es positiva cuando la
recta está inclinada hacia la
derecha.
c) La pendiente es negativa cuando la
recta está inclinada hacia la
izquierda.
d) La pendiente es cero cuando la
recta es horizontal.

6. F.-RECTAS PARALELAS/ RECTAS PERPENDICULARES
Rectas paralelas: dos rectas con pendientes 𝑚1 𝑦 𝑚2 son paralelas si y sólo si sus
pendientes son iguales, es decir, si y sólo si 𝑚1 = 𝑚2.
Rectas perpendiculares: dos rectas con pendientes 𝑚1 𝑦 𝑚2 son perpendiculares si y sólo
si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir, si y sólo si 𝑚1 ∗ 𝑚2 = −1.
IMPORTANTE TENER EN CUENTA
Es importante recordar definiciones de geometría básica que podrán ser empleadas en
los ejercicios que desarrollaremos.
i) Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales, un triángulo equilátero tiene
tres lados iguales y un triángulo escaleno tiene tres lados diferentes.
ii) En un triángulo isósceles ABC, donde AB y BC son los lados iguales, la
altura que parte del punto B, es también la mediana, mediatriz y bisectriz.
iii) Trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos lados no
paralelos. Los lados paralelos se llaman bases.
iv) En todo paralelogramo los lados opuestos son paralelos y de igual longitud.
v) En todo paralelogramo se cumple que donde se cortan las diagonales es
punto medio de cada diagonal.

7. MEDIANA.- Es un segmento
que une un vértice de un
triángulo con el punto medio
del lado opuesto.
ALTURA.- Es un segmento
que une un vértice de un
triángulo con el lado opuesto
en forma perpendicular.
MEDIATRIZ.- Es aquella
recta perpendicular a un lado
del triángulo en su punto
medio.
BISECTRIZ.- Es un
segmento que biseca un
ángulo interior o exterior
BARICENTRO.-Es el punto
donde se cortan las tres
medianas.
ORTOCENTRO.-Es el punto
donde se cortan las tres
alturas.
CIRCUNCENTRO.-Es el
punto donde se cortan las tres
mediatrices.
INCENTRO.-Es el punto
donde se cortan las tres
bisectrices.

8. EJERCICIOS EN CLASE
1. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son 𝐴(2,2) 𝐵(−4. −6) 𝐶(4, −12) es un
triángulo isósceles.
2. El triángulo que tiene los siguientes vértices 𝐴(−6, −4) 𝐵(3,5) 𝐶(10, −2) es:
a) Escaleno
b) Rectángulo isósceles
c) Rectángulo
d) Equilátero
3. Encuentre el punto que pertenece a la recta 4𝑥 − 8𝑦 + 7 = 0 y que equidista de los
puntos A(2,1) y B(1,-3). Rpta. 𝑷(−𝟐, −𝟏/𝟖)
4. En una esquina cerca del centro se encuentra un terreno baldío y se desea construir un
parque. Para ello se necesita calcular el área y el perímetro del terreno. Se sabe que las
coordenadas del terreno son A(1,1), B(4,1), C(-2,-4), D(4,-4). Calcular el área y el
perímetro del terreno. Rpta. Área: 22.5, Perímetro: 14 + √𝟑𝟒
5. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son A(-1,1) B(3,1). Hallar las posibles
coordenadas del vértice C. Rpta. 𝑪(𝟏, 𝟏 + 𝟑√𝟐), 𝑪′(𝟏, 𝟏 − 𝟑√𝟐).
6. Dados los puntos B(2,3) y C(-4,1), determine el vértice A del triángulo ABC sabiendo que
el punto A, está sobre el eje “y” y forma un ángulo recto sobre el lado BC. Rpta. A(0,5)
7. Hallar el valor de k para que la recta 𝑘𝑥 + (𝑘 − 1)𝑦 − 18 = 0, sea paralela a la recta
4𝑥 + 3𝑦 + 7 = 0. Rpta. 𝒌 = 𝟒.
8. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2𝑥 + 7𝑦 − 3 = 0 en su punto de
intersección con 3𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0. Rpta. 7x-2y+16=0
9. Un punto P(x, y) equidista de los puntos A(-3, 2) y B(5, -2). La pendiente de una recta L
que pasa por “P” y E(-1, -2) es -1/2. Hallar las coordenadas de P. Rpta. P(-1/5, -12/5)
10. En la siguiente figura se tiene un trapecio OABC, una de cuas bases es BC. Hallar:
i. El punto B(5, n)
ii. La proyección del punto “B” sobre OA.
Rpta. i) B(5, 4), ii) Z(28/5, 14/5)
11. Se tiene un triángulo isósceles ABC: A(a, b), B(-1, 2), C(1, 6). El lado desigual del triángulo
es BC y el punto A está en la recta 𝐿: 𝑥 − 𝑦 − 3 = 0. Hallar el punto A si está en el primer
cuadrante. Rpta. A(14/3, 5/3)
12. Los extremos de la cuerda de una circunferencia, de radio 5, son A(2, 6) y B(1, -1).
Determinar las coordenadas del centro de la circunferencia, si este centro está en el
segundo cuadrante. Rpta. C(-2, 3)
13. Si el punto P(b/2, 3b-2) es un punto que equidista de A(-6, 5) y B(2, 1); hallar el valor de
“b”. Rpta. b = 9/2
14. El triángulo que tiene los siguientes vértices 𝐴(0,3), 𝐵(7,6), 𝐶(2,8) es:
a) Escaleno
b) Rectángulo isósceles
c) Rectángulo escaleno
d) Equilátero
15. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son 𝐴(7,5) 𝐵(2,3) 𝐶(6, −7) es un triángulo
rectángulo.
16. Traza el triángulo de vértices A(4,2), B(0,6) y C(-2,-2), dibuja las medianas y calcula sus
longitudes. Rpta. 𝑪𝑵 = √𝟓𝟐, 𝑩𝑴 = √𝟑𝟕, 𝑨𝑷 = 𝟓