2. Movimiento Armónico Simple
Concepto:
Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es
directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha
fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un
movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el
nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a su
posición original de equilibrio. El movimiento que se produce es un ejemplo de lo que se llama
movimiento periódico u oscilatorio.
El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio estable.
Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que actúa
sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, pequeños desplazamientos darán lugar a la
aparición de una fuerza que tenderá a llevar a la partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio.
Tal fuerza se denomina fuerza restauradora.
Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un resorte, el
movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la rotación
de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica
en los circuitos de corriente alterna y muchísimos otros más.
Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de movimiento, un cuerpo
oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sin perder energía mecánica. Pero en los
sistemas mecánicos reales, siempre se encuentran presente fuerzas de rozamiento, que
disminuyen la energía mecánica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones
se llaman amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera que la pérdida
de energía se equilibre con la energía de entrada, el movimiento se llama oscilación forzada.
En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable son los mínimos locales de
la misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un entorno de un mínimo local.
Desde el punto de vista matemático un movimiento es oscilatorio si la ecuación diferencial que
describe su movimiento es de la forma:
3. ]1[0.
2
0
2
x
dt
xd
Con solución dada por:
)(.)( 0 tsenAtx
o bien,
)cos(.)( 0 tAtx
Ambas soluciones son válidas por la relación:
)
2
(cos
xxsen
Luego:
)'´cos(.)
2
cos(.)(.)( 000
tAtAtsenAtx
Dónde:
2
'
Se Trabajara solo con la primera de estas, el trabajo con la segunda es análogo. De esta manera,
tenemos:
Posición:
)(.)( 0 tsenAtx
Velocidad:
22
000 )()cos(.)( txAtAtv
4. Aceleración:
)(.)(.)(
2
00
2
0 txtsenAta
Energía:
Cinética:
)t(cos.A.v.mK 0
222
0
2
2
1
2
1
Potencial:
)(..
2
1
0
222
0 tsenAU
Mecánica:
22
0 .
2
1
AUKE
Definición de algunos términos básicos:
Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.
Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.
Elongación, x (t): posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0). Amplitud
(A): máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la posición de equilibrio.
Frecuencia angular ( ):
f
T
.2
2
Fase ( t )
Fase inicial ( )
5. Se puede notar que cualquier movimiento armónico simple esta, bien definido cuando
conocemos, su frecuencia o el periodo.
Hidrostática
La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en estado de
equilibrio, es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. Los principales
teoremas y Principios que respaldan el estudio de la hidrostática son La Ecuación Fundamental
de la Hidrostática, el principio de Pascal y el principio de Arquímedes.
Ecuación fundamental de la Hidrostática
Presión
En física y disciplinas afines, la presión es una magnitud física que
mide la fuerza por unidad de superficie, y sirve para caracterizar
como se aplica una determinada fuerza resultante sobre una
superficie.
En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la presión se mide en
una unidad derivada que se denomina pascal (Pa) que es equivalente a
una fuerza total de un newton actuando uniformemente en un metro cuadrado.
La presión es la magnitud que relaciona la fuerza con la superficie sobre la que actúa, es decir,
equivale a la fuerza que actúa sobre la unidad de superficie. Cuando sobre una superficie plana
de área A se aplica una fuerza normal F de manera uniforme y perpendicularmente a la
superficie, la presión p viene dada por:
p = F / A
6. Presión absoluta y relativa: En determinadas aplicaciones la presión se mide no como la
presión absoluta sino como la presión por encima de la presión atmosférica, denominándose
presión relativa, presión normal, presión de gauge o presión manométrica. Consecuentemente, la
presión absoluta es la presión atmosférica más la presión manométrica (presión que se mide con
el manómetro).
Presión hidrostática
Un fluido pesa y ejerce presión sobre las paredes, sobre el fondo del recipiente que lo contiene y
sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en él. Esta presión, llamada presión
hidrostática, provoca, en fluidos en reposo, una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente
o a la superficie del objeto sumergido sin importar la orientación que adopten las caras. Si el
líquido fluyera, las fuerzas resultantes de las presiones ya no serían necesariamente
perpendiculares a las superficies.
7. Esta presión depende de la densidad del líquido en cuestión y de la altura a la que esté sumergido
el cuerpo y se calcula mediante la siguiente expresión denominada Ecuación fundamental de la
Hidrostática:
Donde, usando unidades del SI,
es la presión hidrostática (en pascales);
es la densidad del líquido (kg /m3);
es la aceleración de la gravedad ( m / s2)
es la altura del fluido (m).
es la presión atmosférica ó la presión conocida de un unto dentro del fluido
Propiedades de la presión en un medio fluido
1. La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones.
2. La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido
en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es la misma.
3. En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior del fluido una parte de
este sobre la otra es normal a la superficie de contacto.
4. La fuerza asociada a la presión en un fluido ordinario en reposo se dirige siempre hacia el
exterior del fluido, por lo que debido al principio de acción reacción, resulta en una compresión
para el fluido.
5. La superficie libre de un líquido en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es
siempre horizontal pero a cierta escala puesto que se aprecia que la superficie libre de los
océanos es esférica.
8. 6. En los fluidos en reposo, un punto cualquiera de una masa líquida está sometida a una presión
que es función únicamente de la profundidad a la que se encuentra el punto. Otro punto a la
misma profundidad, tendrá la misma presión. A la superficie imaginaria que pasa por ambos
puntos se llama superficie equipotencial de presión o superficie isobárica.
Paradoja Hidrostática: La fuerza debida a la presión que ejerce un fluido en la base de un
recipiente puede ser mayor o menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en
esencia la paradoja hidrostática.
La ecuación fundamental de la estática de fluidos establece que la presión solamente depende de
la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma de la vasija
que lo contiene. Como es igual la altura del líquido en todos los vasos, la presión en la base es la
misma y el sistema de vasos comunicantes está en equilibrio.
Presión atmosférica:
La presión atmosférica es la presión ejercida por el aire atmosférico en cualquier punto de la
atmósfera. Normalmente se refiere a la presión atmosférica terrestre, pero el término es
generalizable a la atmósfera de cualquier planeta o satélite.
La presión atmosférica en un punto representa el peso de una columna de aire de área de sección
recta unitaria que se extiende desde ese punto hasta el límite superior de la atmósfera. Como la
densidad del aire disminuye cuando nos elevamos, no podemos calcular ese peso a menos que
seamos capaces de expresar la densidad del aire ρ en función de la altitud z o de la presión p. Por
ello, no resulta fácil hacer un cálculo exacto de la presión atmosférica sobre la superficie
terrestre; por el contrario, es muy fácil medirla.
9. La presión atmosférica en un lugar determinado experimenta variaciones asociadas con los
cambios meteorológicos. Por otra parte, en un lugar determinado, la presión atmosférica
disminuye con la altitud, a causa de que el peso total de la atmósfera por encima de un punto
disminuye cuando nos elevamos. La presión atmosférica decrece a razón de 1 mmHg o Torr por
cada 10 m de elevación en los niveles próximos al del mar. La presión atmosférica estándar, 1
atmósfera, fue definida como la presión atmosférica media al nivel del mar que se adoptó como
igual a 101.325 Pa o 760 Torr.
Principio de Pascal
El hecho de que los fluidos en equilibrio transmiten la presión sin modificar su intensidad fue
establecido por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) y se conoce como
Principio de Pascal:
Los cambios de presión en un fluido incompresible (líquido) en equilibrio dentro de un recipiente
de paredes indeformables se transmiten sin alteración a todo el fluido.
Esta experiencia permite comprobar la validez del principio de Pascal. Al oprimir el émbolo de
la jeringa, el consecuente cambio de presión se transmite a todo el fluido contenido en la esfera
rígida y los chorros de agua salen por los orificios al mismo tiempo.
Aquellos que están en el mismo plano horizontal tienen la misma amplitud.
10. También se evidencia el principio de Pascal en la prensa hidráulica de la figura: al hacer fuerza
en un extremo, el cambio de presión correspondiente se transmite a través del líquido y se
manifiesta por la acción de una fuerza sobre el objeto que está en el otro extremo.
Los ascensores hidráulicos y los frenos hidráulicos también se basan en ese principio.
Prensa hidráulica. Es un dispositivo "multiplicador de fuerzas” que funciona por el principio de
Pascal.
En la prensa hidráulica se aplica una fuerza sobre el émbolo de menor área y se consigue una
fuerza mayor sobre el émbolo mayor. La relación entre las fuerzas es la misma que existe entre
las áreas. Si bien se logra amplificar la fuerza, no se amplifica la energía (aun despreciando el
rozamiento): el trabajo realizado por la fuerza chica sobre el pistón pequeño es igual al que la
fuerza mayor hace sobre el pistón grande (despreciando los efectos dinámicos). El volumen
de líquido desplazado por el pistón pequeño se distribuye en una capa fina en el pistón grande
(𝐴𝑉1 = 𝐴𝑉2 ) y el producto de la fuerza por el desplazamiento es igual en ambas ramas. Así,
11. Principio fundamental de la hidrostática
El tipo de enlace que hay entre las moléculas de un líquido hace que sólo pueda ejercer
fuerzas perpendiculares de compresión sobre las paredes del recipiente y sobre la superficie de
los objetos sumergidos, sin importar la orientación que adopten esas superficies fronteras del
líquido. La presión se interpreta como la magnitud de la fuerza normal ejercida por unidad de
superficie y puede valer distinto en los diferentes puntos del sistema.
Al sumergirnos en agua podemos sentir que la presión aumenta con la profundidad.
Nuestros oídos detectan este cambio de presión, pues percibimos que el líquido ejerce una fuerza
normal de compresión mayor sobre la membrana del tímpano cuanto más hondo estamos. La
sensación experimentada en una determinada profundidad es la misma, sin que importe la
orientación de la cabeza; la presión es una magnitud escalar: no tiene asociada una dirección y un
sentido. En cada punto existe un determinado valor de presión que está en relación con la
intensidad de la fuerza que el líquido ejerce perpendicularmente al tímpano, esté la cabeza
erguida o acostada.
Si un fluido está en equilibrio cada porción de él está en equilibrio. Consideremos una
porción cúbica de líquido de volumen 𝑉 sumergida en reposo dentro del cuerpo del líquido y
efectuemos el análisis dinámico de este sistema. Las fuerzas que recibe son de dos tipos:
1) la fuerza gravitatoria ejercida a distancia por la Tierra (𝑃)
2) la fuerza superficial de contacto ejercida por el fluido circundante correspondiente a la
presión del entorno. (𝐹𝑠𝑢𝑝)
El cubo está en equilibrio por lo que la sumatoria de estas dos
fuerzas que recibe es nula. De manera que el fluido circundante ejerce fuerzas superficiales sobre
el cubo cuya resultante es una fuerza vertical hacia arriba de igual módulo que el peso del cubo
de fluido.
12. El fluido circundante ejerce fuerzas superficiales perpendiculares de compresión sobre
cada una de las seis caras del cubo. La resultante de estas fuerzas superficiales es vertical, por lo
que las fuerzas horizontales que se ejercen sobre las caras laterales verticales enfrentadas del
cubo se contrarrestan.
Dado que el fluido del entorno ejerce globalmente una fuerza vertical, para simplificar
dibujaremos sólo las fuerzas superficiales verticales que el cubo recibe sobre las caras
horizontales de superficie 𝑆. El carácter distributivo de esas fuerzas está indicado en la figura con
varias flechas que se interpretan como fuerza por unidad de área. Para que el peso sea
equilibrado por las fuerzas de contacto, la fuerza por unidad de área sobre la cara inferior del
cubo debe ser mayor que la fuerza por unidad de área sobre la cara superior. En
definitiva, la presión por debajo del cubo es mayor que por encima: en el seno de un líquido la
presión aumenta con la profundidad.
13. Esto lo enuncia el Principio Fundamental de la Hidrostática:
"La diferencia de presiones entre dos puntos pertenecientes a un mismo líquido en equilibrio, es
igual al peso específico del líquido por la diferencia de profundidad".
